1 初期値問題と二点境界値問題 定義 1.1. a < b a<b a < b P , Q , f : [ a , b ] → R P,Q,f:[a,b]\to\R P , Q , f : [ a , b ] → R α a , β a , α b , β b \alpha_a,\beta_a,\alpha_b,\beta_b α a , β a , α b , β b
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) (1) y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)
\tag{1} y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) ( 1 ) に対して
B a [ y ] = α a y ( a ) + β a y ′ ( a ) = 0 , B b [ y ] = α b y ( b ) + β b y ′ ( b ) = 0 (2) \begin{aligned}
B_a[y]&=\alpha_a y(a)+\beta_a y'(a)=0,\\
B_b[y]&=\alpha_b y(b)+\beta_b y'(b)=0
\end{aligned}
\tag{2} B a [ y ] B b [ y ] = α a y ( a ) + β a y ′ ( a ) = 0 , = α b y ( b ) + β b y ′ ( b ) = 0 ( 2 ) を課す。ここで
( α a , β a ) ≠ ( 0 , 0 ) , ( α b , β b ) ≠ ( 0 , 0 ) (\alpha_a,\beta_a)\ne(0,0),\qquad
(\alpha_b,\beta_b)\ne(0,0) ( α a , β a ) = ( 0 , 0 ) , ( α b , β b ) = ( 0 , 0 ) とする。式 (1) と式 (2) を満たすy ∈ C 2 ( [ a , b ] ; R ) y\in C^2([a,b];\R) y ∈ C 2 ([ a , b ] ; R ) 斉次分離型二点境界値問題 (two-point boundary value problem with homogeneous separated boundary conditions )f f f
初期値問題ではy ( a ) y(a) y ( a ) y ′ ( a ) y'(a) y ′ ( a ) §E10.7 定理 5.2 を直接用いることができる。境界値問題では、左端条件を満たす一変数分の初期値から出発した解が、右端条件も満たすかを調べる必要がある。この追加条件が退化すると、解が存在しない場合または一意でない場合が生じる。
命題 1.2. a < b a<b a < b P , Q ∈ C ( [ a , b ] ; R ) P,Q\in C([a,b];\R) P , Q ∈ C ([ a , b ] ; R ) ( α a , β a ) (\alpha_a,\beta_a) ( α a , β a ) ( α b , β b ) (\alpha_b,\beta_b) ( α b , β b ) C 2 ( [ a , b ] ; R ) C^2([a,b];\R) C 2 ([ a , b ] ; R )
L [ y ] = y ′ ′ + P y ′ + Q y L[y]=y''+Py'+Qy L [ y ] = y ′′ + P y ′ + Q y とする。斉次境界値問題
L [ y ] = 0 , B a [ y ] = B b [ y ] = 0 (3) L[y]=0,\qquad B_a[y]=B_b[y]=0
\tag{3} L [ y ] = 0 , B a [ y ] = B b [ y ] = 0 ( 3 ) を満たす解の空間を境界核とする。非同次問題が一つの解y p y_p y p
y p + y h , L [ y h ] = 0 , B a [ y h ] = B b [ y h ] = 0 y_p+y_h,\qquad L[y_h]=0,\qquad B_a[y_h]=B_b[y_h]=0 y p + y h , L [ y h ] = 0 , B a [ y h ] = B b [ y h ] = 0 と一意に表される。したがって、境界核が自明ならば、任意の連続関数f f f y h y_h y h y p + C y h y_p+Cy_h y p + C y h C ∈ R C\in\mathbb R C ∈ R
証明. 任意の非同次解y y y y − y p y-y_p y − y p y h y_h y h
L [ y p + y h ] = f , B a [ y p + y h ] = B b [ y p + y h ] = 0 L[y_p+y_h]=f,\qquad
B_a[y_p+y_h]=B_b[y_p+y_h]=0 L [ y p + y h ] = f , B a [ y p + y h ] = B b [ y p + y h ] = 0 である。表示の一意性は差y − y p y-y_p y − y p y h y_h y h C ∈ R C\in\mathbb R C ∈ R C y h Cy_h C y h y p + C y h y_p+Cy_h y p + C y h
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2 固有値問題 定義 2.1. 線形微分作用素L λ L_\lambda L λ B a , λ , B b , λ B_{a,\lambda},B_{b,\lambda} B a , λ , B b , λ λ \lambda λ λ \lambda λ
L λ [ y ] = 0 , B a , λ [ y ] = B b , λ [ y ] = 0 L_\lambda[y]=0,\qquad B_{a,\lambda}[y]=B_{b,\lambda}[y]=0 L λ [ y ] = 0 , B a , λ [ y ] = B b , λ [ y ] = 0 が非零解をもつとき、λ \lambda λ 固有値 (eigenvalue of a boundary value problem )λ \lambda λ 固有関数 (eigenfunction of a boundary value problem )
例 2.2 (Dirichlet 境界条件の固有値). L > 0 L>0 L > 0
y ′ ′ + λ y = 0 , y ( 0 ) = y ( L ) = 0 (4) y''+\lambda y=0,\qquad
y(0)=y(L)=0
\tag{4} y ′′ + λ y = 0 , y ( 0 ) = y ( L ) = 0 ( 4 ) を考える。
λ = μ 2 > 0 \lambda=\mu^2>0 λ = μ 2 > 0
y = A cos ( μ x ) + B sin ( μ x ) y=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x) y = A cos ( μx ) + B sin ( μx ) である。y ( 0 ) = 0 y(0)=0 y ( 0 ) = 0 A = 0 A=0 A = 0
sin ( μ L ) = 0. \sin(\mu L)=0. sin ( μL ) = 0. したがって
λ n = ( n π L ) 2 , y n ( x ) = sin ( n π x L ) , n = 1 , 2 , … \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad
y_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
\qquad n=1,2,\ldots λ n = ( L nπ ) 2 , y n ( x ) = sin ( L nπ x ) , n = 1 , 2 , … が固有値と対応する固有関数である。
λ = 0 \lambda=0 λ = 0 y = A + B x y=A+Bx y = A + B x A = B = 0 A=B=0 A = B = 0 λ = − μ 2 < 0 \lambda=-\mu^2<0 λ = − μ 2 < 0
y = A cosh ( μ x ) + B sinh ( μ x ) y=A\cosh(\mu x)+B\sinh(\mu x) y = A cosh ( μx ) + B sinh ( μx ) である。y ( 0 ) = 0 y(0)=0 y ( 0 ) = 0 A = 0 A=0 A = 0 y ( L ) = 0 y(L)=0 y ( L ) = 0 sinh ( μ L ) > 0 \sinh(\mu L)>0 sinh ( μL ) > 0 B = 0 B=0 B = 0
固定したλ \lambda λ
3 Green 関数の構成 定義 3.1. a < b a<b a < b P , Q ∈ L 1 ( [ a , b ] ; R ) P,Q\in L^1([a,b];\R) P , Q ∈ L 1 ([ a , b ] ; R ) f ∈ L 1 ( [ a , b ] ; C ) f\in L^1([a,b];\C) f ∈ L 1 ([ a , b ] ; C ) ( α a , β a ) (\alpha_a,\beta_a) ( α a , β a ) ( α b , β b ) (\alpha_b,\beta_b) ( α b , β b ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
y ∈ C 1 ( [ a , b ] ; C ) , y ′ ∈ A C ( [ a , b ] ; C ) y\in C^1([a,b];\C),\qquad y'\in AC([a,b];\C) y ∈ C 1 ([ a , b ] ; C ) , y ′ ∈ A C ([ a , b ] ; C ) であって、
y ′ ′ + P y ′ + Q y = f ほとんど至る所 , B a [ y ] = α a y ( a ) + β a y ′ ( a ) = 0 , B b [ y ] = α b y ( b ) + β b y ′ ( b ) = 0 y''+Py'+Qy=f\quad\text{ほとんど至る所},\qquad
B_a[y]=\alpha_a y(a)+\beta_a y'(a)=0,\qquad
B_b[y]=\alpha_b y(b)+\beta_b y'(b)=0 y ′′ + P y ′ + Q y = f ほとんど至る所 , B a [ y ] = α a y ( a ) + β a y ′ ( a ) = 0 , B b [ y ] = α b y ( b ) + β b y ′ ( b ) = 0 を満たす関数をいう。端点の導関数は片側の古典導関数とする。f = 0 f=0 f = 0
補題 3.2. a < b a<b a < b P , Q ∈ L 1 ( [ a , b ] ; R ) P,Q\in L^1([a,b];\R) P , Q ∈ L 1 ([ a , b ] ; R ) ( α a , β a ) (\alpha_a,\beta_a) ( α a , β a ) ( α b , β b ) (\alpha_b,\beta_b) ( α b , β b ) w ′ ′ + P w ′ + Q w = 0 w''+Pw'+Qw=0 w ′′ + P w ′ + Qw = 0 w ∈ C 1 ( [ a , b ] ; R ) w\in C^1([a,b];\R) w ∈ C 1 ([ a , b ] ; R ) w ′ ∈ A C ( [ a , b ] ; R ) w'\in AC([a,b];\R) w ′ ∈ A C ([ a , b ] ; R )
u ( a ) = β a , u ′ ( a ) = − α a , v ( b ) = β b , v ′ ( b ) = − α b u(a)=\beta_a,\qquad u'(a)=-\alpha_a,\qquad
v(b)=\beta_b,\qquad v'(b)=-\alpha_b u ( a ) = β a , u ′ ( a ) = − α a , v ( b ) = β b , v ′ ( b ) = − α b を満たすu , v u,v u , v B a [ u ] = 0 B_a[u]=0 B a [ u ] = 0 B b [ v ] = 0 B_b[v]=0 B b [ v ] = 0
W ( x ) = u ( x ) v ′ ( x ) − u ′ ( x ) v ( x ) W(x)=u(x)v'(x)-u'(x)v(x) W ( x ) = u ( x ) v ′ ( x ) − u ′ ( x ) v ( x ) は[ a , b ] [a,b] [ a , b ]
証明. §E10.7 命題 4.1 をn = 2 n=2 n = 2 K = R \mathbb K=\R K = R I = [ a , b ] I=[a,b] I = [ a , b ] u , v u,v u , v
B a [ u ] = α a β a − β a α a = 0 , B b [ v ] = α b β b − β b α b = 0 B_a[u]=\alpha_a\beta_a-\beta_a\alpha_a=0,\qquad
B_b[v]=\alpha_b\beta_b-\beta_b\alpha_b=0 B a [ u ] = α a β a − β a α a = 0 , B b [ v ] = α b β b − β b α b = 0 である。ある点でW = 0 W=0 W = 0 §E10.7 命題 5.4 によりu , v u,v u , v u u u v v v W W W ▨
補題 3.3. a < b a<b a < b P , Q ∈ C ( [ a , b ] ; R ) P,Q\in C([a,b];\R) P , Q ∈ C ([ a , b ] ; R ) ( α a , β a ) (\alpha_a,\beta_a) ( α a , β a ) ( α b , β b ) (\alpha_b,\beta_b) ( α b , β b ) L [ w ] = w ′ ′ + P w ′ + Q w L[w]=w''+Pw'+Qw L [ w ] = w ′′ + P w ′ + Qw u u u
L [ u ] = 0 , u ( a ) = β a , u ′ ( a ) = − α a (5) L[u]=0,\qquad
u(a)=\beta_a,\qquad u'(a)=-\alpha_a
\tag{5} L [ u ] = 0 , u ( a ) = β a , u ′ ( a ) = − α a ( 5 ) の解とし、v v v
L [ v ] = 0 , v ( b ) = β b , v ′ ( b ) = − α b (6) L[v]=0,\qquad
v(b)=\beta_b,\qquad v'(b)=-\alpha_b
\tag{6} L [ v ] = 0 , v ( b ) = β b , v ′ ( b ) = − α b ( 6 ) の解とする。このときu , v ∈ C 2 ( [ a , b ] ; R ) u,v\in C^2([a,b];\R) u , v ∈ C 2 ([ a , b ] ; R )
B a [ u ] = 0 , B b [ v ] = 0. B_a[u]=0,\qquad B_b[v]=0. B a [ u ] = 0 , B b [ v ] = 0. さらに、斉次境界値問題 (3) が自明解だけをもつならば、
W ( x ) = u ( x ) v ′ ( x ) − u ′ ( x ) v ( x ) W(x)=u(x)v'(x)-u'(x)v(x) W ( x ) = u ( x ) v ′ ( x ) − u ′ ( x ) v ( x ) は[ a , b ] [a,b] [ a , b ]
証明. 補題 3.2 で構成したu , v u,v u , v u ′ ′ = − P u ′ − Q u u''=-Pu'-Qu u ′′ = − P u ′ − Q u v ′ ′ = − P v ′ − Q v v''=-Pv'-Qv v ′′ = − P v ′ − Q v §E10.2 定理 2.4 によりu ′ , v ′ u',v' u ′ , v ′ u , v ∈ C 2 u,v\in C^2 u , v ∈ C 2 C 2 C^2 C 2 ▨
定義 3.4. 実連続係数P , Q P,Q P , Q [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 補題 3.3 のu , v , W u,v,W u , v , W
G ( x , s ) = { u ( x ) v ( s ) W ( s ) , a ≤ x ≤ s ≤ b , u ( s ) v ( x ) W ( s ) , a ≤ s ≤ x ≤ b (7) G(x,s)=
\begin{cases}
\dfrac{u(x)v(s)}{W(s)},&a\le x\le s\le b,\\[3mm]
\dfrac{u(s)v(x)}{W(s)},&a\le s\le x\le b
\end{cases}
\tag{7} G ( x , s ) = ⎩ ⎨ ⎧ W ( s ) u ( x ) v ( s ) , W ( s ) u ( s ) v ( x ) , a ≤ x ≤ s ≤ b , a ≤ s ≤ x ≤ b ( 7 ) と定める。このG G G Green 関数 (Green's function )
x = s x=s x = s u ( s ) v ( s ) / W ( s ) u(s)v(s)/W(s) u ( s ) v ( s ) / W ( s ) G G G [ a , b ] 2 [a,b]^2 [ a , b ] 2 a < s < b a<s<b a < s < b s s s x x x
∂ x G ( s + 0 , s ) = u ( s ) v ′ ( s ) W ( s ) , ∂ x G ( s − 0 , s ) = u ′ ( s ) v ( s ) W ( s ) \begin{aligned}
\partial_xG(s+0,s)&=\frac{u(s)v'(s)}{W(s)},\\
\partial_xG(s-0,s)&=\frac{u'(s)v(s)}{W(s)}
\end{aligned} ∂ x G ( s + 0 , s ) ∂ x G ( s − 0 , s ) = W ( s ) u ( s ) v ′ ( s ) , = W ( s ) u ′ ( s ) v ( s ) であり、
∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 (8) \partial_xG(s+0,s)-\partial_xG(s-0,s)=1
\tag{8} ∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 ( 8 ) を満たす。この微分の跳躍が、積分表示を二回微分したときに右辺f ( x ) f(x) f ( x )
固定したs s s a < s < b a<s<b a < s < b x = a x=a x = a G ( x , s ) G(x,s) G ( x , s ) u ( x ) u(x) u ( x ) x = b x=b x = b v ( x ) v(x) v ( x )
B a [ G ( ⋅ , s ) ] = 0 , B b [ G ( ⋅ , s ) ] = 0 B_a[G(\,\cdot\,,s)]=0,\qquad B_b[G(\,\cdot\,,s)]=0 B a [ G ( ⋅ , s )] = 0 , B b [ G ( ⋅ , s )] = 0 が成り立つ。ここで境界形式はG G G
定理 3.5. a < b a<b a < b P , Q ∈ L 1 ( [ a , b ] ; R ) P,Q\in L^1([a,b];\R) P , Q ∈ L 1 ([ a , b ] ; R ) ( α a , β a ) (\alpha_a,\beta_a) ( α a , β a ) ( α b , β b ) (\alpha_b,\beta_b) ( α b , β b ) C 1 C^1 C 1 補題 3.2 の左右境界解u , v u,v u , v W = u v ′ − u ′ v W=uv'-u'v W = u v ′ − u ′ v
G ( x , s ) = { u ( x ) v ( s ) W ( s ) , a ≤ x ≤ s ≤ b , u ( s ) v ( x ) W ( s ) , a ≤ s ≤ x ≤ b G(x,s)=
\begin{cases}
\dfrac{u(x)v(s)}{W(s)},&a\leq x\leq s\leq b,\\[3mm]
\dfrac{u(s)v(x)}{W(s)},&a\leq s\leq x\leq b
\end{cases} G ( x , s ) = ⎩ ⎨ ⎧ W ( s ) u ( x ) v ( s ) , W ( s ) u ( s ) v ( x ) , a ≤ x ≤ s ≤ b , a ≤ s ≤ x ≤ b と定めると、G G G [ a , b ] 2 [a,b]^2 [ a , b ] 2 s ∈ ( a , b ) s\in(a,b) s ∈ ( a , b )
∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 , B a [ G ( ⋅ , s ) ] = B b [ G ( ⋅ , s ) ] = 0 \partial_xG(s+0,s)-\partial_xG(s-0,s)=1,\qquad
B_a[G(\,\cdot\,,s)]=B_b[G(\,\cdot\,,s)]=0 ∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 , B a [ G ( ⋅ , s )] = B b [ G ( ⋅ , s )] = 0 が成り立つ。
任意のf ∈ L 1 ( [ a , b ] ; C ) f\in L^1([a,b];\C) f ∈ L 1 ([ a , b ] ; C )
y ′ ′ + P y ′ + Q y = f ほとんど至る所 , B a [ y ] = B b [ y ] = 0 y''+Py'+Qy=f\quad\text{ほとんど至る所},\qquad B_a[y]=B_b[y]=0 y ′′ + P y ′ + Q y = f ほとんど至る所 , B a [ y ] = B b [ y ] = 0 を満たすy ∈ C 1 ( [ a , b ] ; C ) y\in C^1([a,b];\C) y ∈ C 1 ([ a , b ] ; C ) y ′ ∈ A C ( [ a , b ] ; C ) y'\in AC([a,b];\C) y ′ ∈ A C ([ a , b ] ; C )
y ( x ) = ∫ a b G ( x , s ) f ( s ) d s y(x)=\int_a^bG(x,s)f(s)\,ds y ( x ) = ∫ a b G ( x , s ) f ( s ) d s と表される。端点導関数は片側導関数である。f f f f f f y y y P , Q , f P,Q,f P , Q , f y ∈ C 2 y\in C^2 y ∈ C 2
証明. 補題 3.2 によりW W W u , v , u ′ , v ′ , W u,v,u',v',W u , v , u ′ , v ′ , W 1 / W 1/W 1/ W u / W u/W u / W v / W v/W v / W u f / W uf/W u f / W v f / W vf/W v f / W G G G G G G s s s
u ( s ) v ′ ( s ) − u ′ ( s ) v ( s ) W ( s ) = 1 \frac{u(s)v'(s)-u'(s)v(s)}{W(s)}=1 W ( s ) u ( s ) v ′ ( s ) − u ′ ( s ) v ( s ) = 1 である。s ∈ ( a , b ) s\in(a,b) s ∈ ( a , b ) G ( ⋅ , s ) G(\,\cdot\,,s) G ( ⋅ , s ) u u u v v v
§E10.7 命題 5.4 によりu , v u,v u , v §E10.9 系 4.1 をn = 2 n=2 n = 2 a a a
y p ( x ) = − u ( x ) ∫ a x v ( s ) f ( s ) W ( s ) d s + v ( x ) ∫ a x u ( s ) f ( s ) W ( s ) d s y_p(x)
=-u(x)\int_a^x\frac{v(s)f(s)}{W(s)}\,ds
+v(x)\int_a^x\frac{u(s)f(s)}{W(s)}\,ds y p ( x ) = − u ( x ) ∫ a x W ( s ) v ( s ) f ( s ) d s + v ( x ) ∫ a x W ( s ) u ( s ) f ( s ) d s はy p ′ ′ + P y p ′ + Q y p = f y_p''+Py_p'+Qy_p=f y p ′′ + P y p ′ + Q y p = f y p ( a ) = y p ′ ( a ) = 0 y_p(a)=y_p'(a)=0 y p ( a ) = y p ′ ( a ) = 0
J = ∫ a b v ( s ) f ( s ) W ( s ) d s , K = ∫ a b u ( s ) f ( s ) W ( s ) d s J=\int_a^b\frac{v(s)f(s)}{W(s)}\,ds,\qquad
K=\int_a^b\frac{u(s)f(s)}{W(s)}\,ds J = ∫ a b W ( s ) v ( s ) f ( s ) d s , K = ∫ a b W ( s ) u ( s ) f ( s ) d s とおく。§E10.9 定理 2.1 を伴随系へ適用した式の第二成分から、
y p ( b ) = − u ( b ) J + v ( b ) K , y p ′ ( b ) = − u ′ ( b ) J + v ′ ( b ) K y_p(b)=-u(b)J+v(b)K,\qquad
y_p'(b)=-u'(b)J+v'(b)K y p ( b ) = − u ( b ) J + v ( b ) K , y p ′ ( b ) = − u ′ ( b ) J + v ′ ( b ) K を得る。B b [ v ] = 0 B_b[v]=0 B b [ v ] = 0 B b [ y p ] = − J B b [ u ] B_b[y_p]=-J B_b[u] B b [ y p ] = − J B b [ u ] B b [ u ] = 0 B_b[u]=0 B b [ u ] = 0 u u u B b [ u ] ≠ 0 B_b[u]\ne0 B b [ u ] = 0 c ∈ C c\in\C c ∈ C
B b [ y p + c u ] = 0 ⟺ c = − B b [ y p ] B b [ u ] = J B_b[y_p+cu]=0\quad\Longleftrightarrow\quad
c=-\frac{B_b[y_p]}{B_b[u]}=J B b [ y p + c u ] = 0 ⟺ c = − B b [ u ] B b [ y p ] = J である。y = y p + J u y=y_p+Ju y = y p + J u
y ( x ) = v ( x ) I 1 ( x ) + u ( x ) I 2 ( x ) , I 1 ( x ) = ∫ a x u ( s ) f ( s ) W ( s ) d s , I 2 ( x ) = ∫ x b v ( s ) f ( s ) W ( s ) d s (10) y(x)=v(x)I_1(x)+u(x)I_2(x),\qquad
I_1(x)=\int_a^x\frac{u(s)f(s)}{W(s)}\,ds,\qquad
I_2(x)=\int_x^b\frac{v(s)f(s)}{W(s)}\,ds
\tag{10} y ( x ) = v ( x ) I 1 ( x ) + u ( x ) I 2 ( x ) , I 1 ( x ) = ∫ a x W ( s ) u ( s ) f ( s ) d s , I 2 ( x ) = ∫ x b W ( s ) v ( s ) f ( s ) d s ( 10 ) と書き直され、G G G
§E10.2 定理 2.4 によりI 1 , I 2 I_1,I_2 I 1 , I 2 §E10.2 定理 3.1 (2) を分割表示へ適用すると、y y y
y ′ = v ′ I 1 + u ′ I 2 + v u f W − u v f W = v ′ I 1 + u ′ I 2 y'=v'I_1+u'I_2+v\frac{uf}{W}-u\frac{vf}{W}
=v'I_1+u'I_2 y ′ = v ′ I 1 + u ′ I 2 + v W u f − u W v f = v ′ I 1 + u ′ I 2 となる。右辺は連続であり、AC の積分表示によりy y y C 1 C^1 C 1 u ′ , v ′ , I 1 , I 2 u',v',I_1,I_2 u ′ , v ′ , I 1 , I 2 y ′ y' y ′
y ′ ′ = v ′ ′ I 1 + u ′ ′ I 2 + ( v ′ u − u ′ v ) f W = v ′ ′ I 1 + u ′ ′ I 2 + f , y''=v''I_1+u''I_2+\frac{(v'u-u'v)f}{W}
=v''I_1+u''I_2+f, y ′′ = v ′′ I 1 + u ′′ I 2 + W ( v ′ u − u ′ v ) f = v ′′ I 1 + u ′′ I 2 + f , すなわちy ′ ′ + P y ′ + Q y = f y''+Py'+Qy=f y ′′ + P y ′ + Q y = f I 1 ( a ) = I 2 ( b ) = 0 I_1(a)=I_2(b)=0 I 1 ( a ) = I 2 ( b ) = 0
y ( a ) = u ( a ) I 2 ( a ) , y ′ ( a ) = u ′ ( a ) I 2 ( a ) , y ( b ) = v ( b ) I 1 ( b ) , y ′ ( b ) = v ′ ( b ) I 1 ( b ) \begin{aligned}
y(a)&=u(a)I_2(a),&y'(a)&=u'(a)I_2(a),\\
y(b)&=v(b)I_1(b),&y'(b)&=v'(b)I_1(b)
\end{aligned} y ( a ) y ( b ) = u ( a ) I 2 ( a ) , = v ( b ) I 1 ( b ) , y ′ ( a ) y ′ ( b ) = u ′ ( a ) I 2 ( a ) , = v ′ ( b ) I 1 ( b ) となり、分割表示からも両境界条件を得る。
二つの解の差は同じ正則性をもち、斉次方程式と両境界条件を満たすので、境界核が自明であることから零である。f f f x x x u , v , W u,v,W u , v , W f f f P , Q , f P,Q,f P , Q , f y ′ ′ = f − P y ′ − Q y y''=f-Py'-Qy y ′′ = f − P y ′ − Q y y ′ y' y ′ y ∈ C 2 y\in C^2 y ∈ C 2 ▨
系 3.6. a < b a<b a < b P , Q ∈ C ( [ a , b ] ; R ) P,Q\in C([a,b];\R) P , Q ∈ C ([ a , b ] ; R ) ( α a , β a ) (\alpha_a,\beta_a) ( α a , β a ) ( α b , β b ) (\alpha_b,\beta_b) ( α b , β b ) f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to\R f : [ a , b ] → R C 2 ( [ a , b ] ; R ) C^2([a,b];\R) C 2 ([ a , b ] ; R )
y ( x ) = ∫ a b G ( x , s ) f ( s ) d s (9) y(x)=\int_a^bG(x,s)f(s)\,ds
\tag{9} y ( x ) = ∫ a b G ( x , s ) f ( s ) d s ( 9 ) で与えられる。
証明. 補題 3.3 の証明により、連続係数では複素数値の境界核も自明である。定理 3.5 を適用すると、実数値性、C 2 C^2 C 2 ▨
例 3.7 (不連続な外力). [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] f ( x ) = 1 f(x)=1 f ( x ) = 1 1 / 2 < x < 1 1/2<x<1 1/2 < x < 1 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 y ′ ′ = f y''=f y ′′ = f y ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 y(0)=y(1)=0 y ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 u ( x ) = − x u(x)=-x u ( x ) = − x v ( x ) = 1 − x v(x)=1-x v ( x ) = 1 − x W = 1 W=1 W = 1 定理 3.5 により、一意解は
y ( x ) = ∫ 1 / 2 1 G ( x , s ) d s = { − x / 8 , 0 ≤ x ≤ 1 / 2 , − x / 8 + ( x − 1 / 2 ) 2 / 2 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1 y(x)=\int_{1/2}^1G(x,s)\,ds
=\begin{cases}
-x/8,&0\leq x\leq1/2,\\[1mm]
-x/8+(x-1/2)^2/2,&1/2\leq x\leq1
\end{cases} y ( x ) = ∫ 1/2 1 G ( x , s ) d s = { − x /8 , − x /8 + ( x − 1/2 ) 2 /2 , 0 ≤ x ≤ 1/2 , 1/2 ≤ x ≤ 1 である。実際、x ≤ 1 / 2 x\leq1/2 x ≤ 1/2 − x ∫ 1 / 2 1 ( 1 − s ) d s = − x / 8 -x\int_{1/2}^1(1-s)\,ds=-x/8 − x ∫ 1/2 1 ( 1 − s ) d s = − x /8 x ≥ 1 / 2 x\geq1/2 x ≥ 1/2 − ( 1 − x ) ∫ 1 / 2 x s d s − x ∫ x 1 ( 1 − s ) d s = − x / 8 + ( x − 1 / 2 ) 2 / 2 -(1-x)\int_{1/2}^x s\,ds-x\int_x^1(1-s)\,ds=-x/8+(x-1/2)^2/2 − ( 1 − x ) ∫ 1/2 x s d s − x ∫ x 1 ( 1 − s ) d s = − x /8 + ( x − 1/2 ) 2 /2 − 1 / 8 -1/8 − 1/8 − 1 / 8 + x − 1 / 2 -1/8+x-1/2 − 1/8 + x − 1/2 y ∈ C 1 y\in C^1 y ∈ C 1 y ′ ∈ A C y'\in AC y ′ ∈ A C y ′ y' y ′ x = 1 / 2 x=1/2 x = 1/2 0 0 0 1 1 1 y y y
Green 関数の分母W ( s ) W(s) W ( s )
4 演習 問題 4.1 (Green 関数の構成と検算). 境界値問題
y ′ ′ = 1 , y ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 y''=1,\qquad y(0)=y(1)=0 y ′′ = 1 , y ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 について、Green 関数を構成し、積分表示から解を求めよ。また、境界条件と微分方程式を直接に確かめよ。
解答. 左端境界条件を満たす斉次方程式の解としてu ( x ) = − x u(x)=-x u ( x ) = − x v ( x ) = 1 − x v(x)=1-x v ( x ) = 1 − x
W ( u , v ) = u v ′ − u ′ v = 1 W(u,v)=uv'-u'v=1 W ( u , v ) = u v ′ − u ′ v = 1 であるから、Green 関数は
G ( x , s ) = { − x ( 1 − s ) , x ≤ s , − s ( 1 − x ) , s ≤ x G(x,s)=
\begin{cases}
-x(1-s),&x\leq s,\\
-s(1-x),&s\leq x
\end{cases} G ( x , s ) = { − x ( 1 − s ) , − s ( 1 − x ) , x ≤ s , s ≤ x となる。したがって、
y ( x ) = ∫ 0 1 G ( x , s ) d s = − ∫ 0 x s ( 1 − x ) d s − ∫ x 1 x ( 1 − s ) d s = x ( x − 1 ) 2 . \begin{aligned}
y(x)
&=\int_0^1G(x,s)\,ds\\
&=-\int_0^x s(1-x)\,ds-\int_x^1x(1-s)\,ds
=\frac{x(x-1)}2.
\end{aligned} y ( x ) = ∫ 0 1 G ( x , s ) d s = − ∫ 0 x s ( 1 − x ) d s − ∫ x 1 x ( 1 − s ) d s = 2 x ( x − 1 ) . 実際にy ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 y(0)=y(1)=0 y ( 0 ) = y ( 1 ) = 0 y ′ ′ = 1 y''=1 y ′′ = 1
∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 \partial_xG(s+0,s)-\partial_xG(s-0,s)=1 ∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 であるため、積分表示を二回微分したときに右辺の1 1 1 A + B x A+Bx A + B x 0 0 0 A = B = 0 A=B=0 A = B = 0 ▨
問題 4.2 (固有値における可解性). 区間[ 0 , π ] [0,\pi] [ 0 , π ]
y ′ ′ + y = sin x , y ( 0 ) = y ( π ) = 0 y''+y=\sin x,\qquad y(0)=y(\pi)=0 y ′′ + y = sin x , y ( 0 ) = y ( π ) = 0 が解をもたないことを示せ。また、右辺を零に置き換えた斉次境界値問題のすべての解を求めよ。
解答. 非同次方程式の一般解は
y ( x ) = A cos x + B sin x − x cos x 2 y(x)=A\cos x+B\sin x-\frac{x\cos x}{2} y ( x ) = A cos x + B sin x − 2 x cos x である。実際、− x cos x / 2 -x\cos x/2 − x cos x /2 sin x \sin x sin x A = 0 A=0 A = 0
y ( π ) = π 2 ≠ 0 y(\pi)=\frac{\pi}{2}\ne0 y ( π ) = 2 π = 0 である。したがって、二つの境界条件を同時に満たす解は存在しない。
斉次方程式y ′ ′ + y = 0 y''+y=0 y ′′ + y = 0 y = A cos x + B sin x y=A\cos x+B\sin x y = A cos x + B sin x A = 0 A=0 A = 0 B sin π = 0 B\sin\pi=0 B sin π = 0 B ∈ R B\in\mathbb R B ∈ R
y ( x ) = B sin x , B ∈ R y(x)=B\sin x,\qquad B\in\mathbb R y ( x ) = B sin x , B ∈ R である。特に境界核は自明でなく、非同次問題には解が存在しない。▨
問題 4.3 (Green 表示の証明再構成). a < b a<b a < b P , Q , f ∈ C ( [ a , b ] ; R ) P,Q,f\in C([a,b];\R) P , Q , f ∈ C ([ a , b ] ; R ) G ( x , s ) G(x,s) G ( x , s )
y ( x ) = ∫ a b G ( x , s ) f ( s ) d s y(x)=\int_a^bG(x,s)f(s)\,ds y ( x ) = ∫ a b G ( x , s ) f ( s ) d s が非同次境界値問題
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f y''+P(x)y'+Q(x)y=f y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f の一意な解になることを証明せよ。
解答. 式 (7) をs = x s=x s = x
y ( x ) = v ( x ) ∫ a x u ( s ) f ( s ) W ( s ) d s + u ( x ) ∫ x b v ( s ) f ( s ) W ( s ) d s . y(x)
=v(x)\int_a^x\frac{u(s)f(s)}{W(s)}\,ds
+u(x)\int_x^b\frac{v(s)f(s)}{W(s)}\,ds. y ( x ) = v ( x ) ∫ a x W ( s ) u ( s ) f ( s ) d s + u ( x ) ∫ x b W ( s ) v ( s ) f ( s ) d s . ここで
I 1 ( x ) = ∫ a x u ( s ) f ( s ) W ( s ) d s , I 2 ( x ) = ∫ x b v ( s ) f ( s ) W ( s ) d s I_1(x)=\int_a^x\frac{u(s)f(s)}{W(s)}\,ds,\qquad
I_2(x)=\int_x^b\frac{v(s)f(s)}{W(s)}\,ds I 1 ( x ) = ∫ a x W ( s ) u ( s ) f ( s ) d s , I 2 ( x ) = ∫ x b W ( s ) v ( s ) f ( s ) d s とおく。y = v I 1 + u I 2 y=vI_1+uI_2 y = v I 1 + u I 2
I 1 ′ = u f W , I 2 ′ = − v f W I_1'=\frac{uf}{W},\qquad I_2'=-\frac{vf}{W} I 1 ′ = W u f , I 2 ′ = − W v f を得る。v I 1 ′ + u I 2 ′ = 0 vI_1'+uI_2'=0 v I 1 ′ + u I 2 ′ = 0
y ′ = v ′ I 1 + u ′ I 2 . y'=v'I_1+u'I_2. y ′ = v ′ I 1 + u ′ I 2 . I 1 ( a ) = 0 I_1(a)=0 I 1 ( a ) = 0 I 2 ( b ) = 0 I_2(b)=0 I 2 ( b ) = 0
y ( a ) = u ( a ) I 2 ( a ) , y ′ ( a ) = u ′ ( a ) I 2 ( a ) , y ( b ) = v ( b ) I 1 ( b ) , y ′ ( b ) = v ′ ( b ) I 1 ( b ) \begin{aligned}
y(a)&=u(a)I_2(a),& y'(a)&=u'(a)I_2(a),\\
y(b)&=v(b)I_1(b),& y'(b)&=v'(b)I_1(b)
\end{aligned} y ( a ) y ( b ) = u ( a ) I 2 ( a ) , = v ( b ) I 1 ( b ) , y ′ ( a ) y ′ ( b ) = u ′ ( a ) I 2 ( a ) , = v ′ ( b ) I 1 ( b ) となる。B a [ u ] = 0 B_a[u]=0 B a [ u ] = 0 B b [ v ] = 0 B_b[v]=0 B b [ v ] = 0 B a [ y ] = B b [ y ] = 0 B_a[y]=B_b[y]=0 B a [ y ] = B b [ y ] = 0
さらに一回微分すると
y ′ ′ = v ′ ′ I 1 + u ′ ′ I 2 + ( v ′ u − u ′ v ) f W = v ′ ′ I 1 + u ′ ′ I 2 + f . y''=v''I_1+u''I_2+\frac{(v'u-u'v)f}{W}
=v''I_1+u''I_2+f. y ′′ = v ′′ I 1 + u ′′ I 2 + W ( v ′ u − u ′ v ) f = v ′′ I 1 + u ′′ I 2 + f . 最後の等号ではv ′ u − u ′ v = W v'u-u'v=W v ′ u − u ′ v = W u , v u,v u , v L [ u ] = L [ v ] = 0 L[u]=L[v]=0 L [ u ] = L [ v ] = 0
y ′ ′ + P y ′ + Q y = f y''+Py'+Qy=f y ′′ + P y ′ + Q y = f である。このf f f x x x
∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 \partial_xG(s+0,s)-\partial_xG(s-0,s)=1 ∂ x G ( s + 0 , s ) − ∂ x G ( s − 0 , s ) = 1 に対応している。
二つの解が存在すると仮定すると、その差は斉次方程式と斉次境界条件を満たす。核が自明であるという仮定により差は0 0 0 ▨