1 ベクトル値の初期値問題 定義 1.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y),\qquad
\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 をベクトル値初期値問題 (vector-valued initial value problem )
t 0 t_0 t 0 I I I y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d t ∈ I t\in I t ∈ I
( t , y ( t ) ) ∈ Ω , y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 (t,\boldsymbol y(t))\in\Omega,\qquad
\boldsymbol y'(t)=f(t,\boldsymbol y(t)),\qquad
\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 ( t , y ( t )) ∈ Ω , y ′ ( t ) = f ( t , y ( t )) , y ( t 0 ) = y 0 を満たすとき、y \boldsymbol y y I I I 解 (solution )t 0 t_0 t 0 局所解 (local solution )
定義 1.2. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω t 0 t_0 t 0 I I I y ∈ A C l o c ( I ; R d ) \boldsymbol y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) y ∈ A C loc ( I ; R d )
( t , y ( t ) ) ∈ Ω ( t ∈ I ) , y ( t 0 ) = y 0 , (t,\boldsymbol y(t))\in\Omega\quad(t\in I),\qquad
\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0, ( t , y ( t )) ∈ Ω ( t ∈ I ) , y ( t 0 ) = y 0 , およびI I I
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) \boldsymbol y'(t)=f(t,\boldsymbol y(t)) y ′ ( t ) = f ( t , y ( t )) を満たすとき、y \boldsymbol y y 絶対連続解 (absolutely continuous solution )t 0 t_0 t 0
局所解が初期時刻を含む十分小さい共通の開区間上で一致するとき、それらは同じ解の芽 (solution germ )
絶対連続解の初期値とグラフの条件は全点で課す。微分方程式を課すのはほとんど至る所である。古典解は各有限閉区間で導関数が有界なので Lipschitz 連続であり、§E10.2 補題 1.2 (4) により絶対連続解でもある。
2 時間可測なベクトル場と積分方程式 定義 2.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R B = { u : ∥ u − c ∥ ≤ b } B=\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol c\|\leq b\} B = { u : ∥ u − c ∥ ≤ b } b > 0 b>0 b > 0 f : J × B → R d f:J\times B\to\R^d f : J × B → R d Carathéodory 条件 (Carathéodory conditions )
すべてのu ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,\boldsymbol u) t ↦ f ( t , u )
ある Lebesgue 零集合N ⊆ J N\subseteq J N ⊆ J t ∈ J ∖ N t\in J\setminus N t ∈ J ∖ N u ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) B B B
ある非負関数m ∈ L 1 ( J ) m\in L^1(J) m ∈ L 1 ( J ) t ∈ J ∖ N t\in J\setminus N t ∈ J ∖ N u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t ) \|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m(t) ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t )
さらに、ある非負関数ℓ ∈ L 1 ( J ) \ell\in L^1(J) ℓ ∈ L 1 ( J ) N N N t t t u , v ∈ B \boldsymbol u,\boldsymbol v\in B u , v ∈ B
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ ℓ ( t ) ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|
\leq\ell(t)\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ ℓ ( t ) ∥ u − v ∥ が成り立つとき、ℓ \ell ℓ m , ℓ m,\ell m , ℓ N N N
開集合Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f f f Ω \Omega Ω J × B J\times B J × B m , ℓ , N m,\ell,N m , ℓ , N
補題 2.3. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R B ⊆ R d B\subseteq\R^d B ⊆ R d f : J × B → R d f:J\times B\to\R^d f : J × B → R d u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B t ↦ f ( t , u ) t\mapsto f(t,\boldsymbol u) t ↦ f ( t , u ) N ⊆ J N\subseteq J N ⊆ J u ↦ f ( t , u ) \boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u) u ↦ f ( t , u ) y : J → B \boldsymbol y:J\to B y : J → B t ↦ f ( t , y ( t ) ) t\mapsto f(t,\boldsymbol y(t)) t ↦ f ( t , y ( t ))
さらに、非負関数m ∈ L 1 ( J ) m\in L^1(J) m ∈ L 1 ( J ) t ∈ J ∖ N t\in J\setminus N t ∈ J ∖ N u ∈ B \boldsymbol u\in B u ∈ B ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t ) \|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m(t) ∥ f ( t , u ) ∥ ≤ m ( t ) f ( ⋅ , y ( ⋅ ) ) ∈ L 1 ( J ; R d ) f(\cdot,\boldsymbol y(\cdot))\in L^1(J;\R^d) f ( ⋅ , y ( ⋅ )) ∈ L 1 ( J ; R d )
証明. B B B { q 1 , q 2 , … } \{\boldsymbol q_1,\boldsymbol q_2,\ldots\} { q 1 , q 2 , … } B B B n , k ∈ N ≥ 1 n,k\in\NN n , k ∈ N ≥ 1
E n , k = { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q k ∥ < 1 / n } ∖ ⋃ j < k { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q j ∥ < 1 / n } E_{n,k}=\{t\in J:\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol q_k\|<1/n\}
\setminus\bigcup_{j<k}\{t\in J:\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol q_j\|<1/n\} E n , k = { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q k ∥ < 1/ n } ∖ j < k ⋃ { t ∈ J : ∥ y ( t ) − q j ∥ < 1/ n } とおく。各E n , k E_{n,k} E n , k n n n J J J t ∈ E n , k t\in E_{n,k} t ∈ E n , k y n ( t ) = q k \boldsymbol y_n(t)=\boldsymbol q_k y n ( t ) = q k ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ < 1 / n \|\boldsymbol y_n(t)-\boldsymbol y(t)\|<1/n ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ < 1/ n
g n ( t ) = f ( t , y n ( t ) ) g_n(t)=f(t,\boldsymbol y_n(t)) g n ( t ) = f ( t , y n ( t )) U ⊆ R d U\subseteq\R^d U ⊆ R d
g n − 1 ( U ) = ⋃ k ∈ N ≥ 1 ( E n , k ∩ { t : f ( t , q k ) ∈ U } ) g_n^{-1}(U)=\bigcup_{k\in\NN}
\bigl(E_{n,k}\cap\{t:f(t,\boldsymbol q_k)\in U\}\bigr) g n − 1 ( U ) = k ∈ N ≥ 1 ⋃ ( E n , k ∩ { t : f ( t , q k ) ∈ U } ) は可測である。従ってg n g_n g n N N N g n g_n g n g ~ n \widetilde g_n g n g ~ n \widetilde g_n g n t ∉ N t\notin N t ∈ / N g n ( t ) → f ( t , y ( t ) ) g_n(t)\to f(t,\boldsymbol y(t)) g n ( t ) → f ( t , y ( t )) g ~ n \widetilde g_n g n §E9.5 定理 4.1 を各成分へ適用すると、その極限は可測である。f ( t , y ( t ) ) f(t,\boldsymbol y(t)) f ( t , y ( t )) N N N
支配関数m m m ∥ f ( t , y ( t ) ) ∥ ≤ m ( t ) \|f(t,\boldsymbol y(t))\|\leq m(t) ∥ f ( t , y ( t )) ∥ ≤ m ( t ) ▨
補題 2.4. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω t 0 t_0 t 0 I I I y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d Ω \Omega Ω g ( t ) = f ( t , y ( t ) ) g(t)=f(t,\boldsymbol y(t)) g ( t ) = f ( t , y ( t )) L l o c 1 ( I ; R d ) L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) L loc 1 ( I ; R d ) y \boldsymbol y y t ∈ I t\in I t ∈ I
y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s \boldsymbol y(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,\boldsymbol y(s))\,ds y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s )) d s が成り立つことである。t < t 0 t<t_0 t < t 0 − ∫ t t 0 -\int_t^{t_0} − ∫ t t 0
証明. 必要性を示す。絶対連続解y \boldsymbol y y §E10.2 系 2.5 を適用すると、すべてのt ∈ I t\in I t ∈ I
y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ t 0 t y ′ ( s ) d s \boldsymbol y(t)=\boldsymbol y(t_0)+\int_{t_0}^t\boldsymbol y'(s)\,ds y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ t 0 t y ′ ( s ) d s である。初期条件とy ′ = g \boldsymbol y'=g y ′ = g
十分性を示す。g ∈ L l o c 1 ( I ; R d ) g\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\R^d) g ∈ L loc 1 ( I ; R d ) §E10.2 系 2.5 により、積分方程式の右辺は局所絶対連続であり、導関数はほとんど至る所でg g g t = t 0 t=t_0 t = t 0 ▨
閉矩形内に値を取る連続曲線については、Carathéodory 条件と補題 2.3 が、積分同値に必要な可積分性を与える。
補題 2.5. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω t 0 t_0 t 0 I I I y : I → R d \boldsymbol y:I\to\R^d y : I → R d Ω \Omega Ω y \boldsymbol y y t ∈ I t\in I t ∈ I
y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s \boldsymbol y(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^t f(s,\boldsymbol y(s))\,ds y ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s )) d s を満たすことは同値である。積分方程式を満たすという条件には、被積分関数が各有限閉区間で Lebesgue 可積分であることを含める。
証明. 古典解は絶対連続解であり、f ( t , y ( t ) ) f(t,\boldsymbol y(t)) f ( t , y ( t )) 補題 2.4 により積分方程式を満たす。逆に積分方程式を満たすならば、同補題によりy \boldsymbol y y t ↦ f ( t , y ( t ) ) t\mapsto f(t,\boldsymbol y(t)) t ↦ f ( t , y ( t )) f ( t , y ( t ) ) f(t,\boldsymbol y(t)) f ( t , y ( t )) t = t 0 t=t_0 t = t 0 ▨
3 Picard 作用素と局所存在 補題 3.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ g ∈ L 1 ( J ; R d ) g\in L^1(J;\R^d) g ∈ L 1 ( J ; R d ) E ⊆ J E\subseteq J E ⊆ J
∥ ∫ E g ( t ) d t ∥ ≤ ∫ E ∥ g ( t ) ∥ d t \left\|\int_E g(t)\,dt\right\|\leq\int_E\|g(t)\|\,dt ∫ E g ( t ) d t ≤ ∫ E ∥ g ( t ) ∥ d t が成り立つ。
証明. §E9.5 定理 5.3 をg g g g n : J → R d g_n:J\to\R^d g n : J → R d g n , j → g j g_{n,j}\to g_j g n , j → g j ∣ g n , j ∣ ≤ ∣ g j ∣ |g_{n,j}|\leq|g_j| ∣ g n , j ∣ ≤ ∣ g j ∣ C > 0 C>0 C > 0
∥ g n ( t ) ∥ ≤ C ∑ j = 1 d ∣ g j ( t ) ∣ \|g_n(t)\|\leq C\sum_{j=1}^d|g_j(t)| ∥ g n ( t ) ∥ ≤ C j = 1 ∑ d ∣ g j ( t ) ∣ とすることができる。右辺は可積分である。単関数g n g_n g n
∥ ∫ E g n ( t ) d t ∥ ≤ ∫ E ∥ g n ( t ) ∥ d t \left\|\int_Eg_n(t)\,dt\right\|\leq\int_E\|g_n(t)\|\,dt ∫ E g n ( t ) d t ≤ ∫ E ∥ g n ( t ) ∥ d t である。§E9.7 定理 3.2 により各成分の積分はg g g ∫ E ∥ g ( t ) ∥ d t \int_E\|g(t)\|\,dt ∫ E ∥ g ( t ) ∥ d t ▨
補題 3.2. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 J ⊆ R J\subseteq\R J ⊆ R R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ c ∈ R d \boldsymbol c\in\R^d c ∈ R d b > 0 b>0 b > 0
X = { y ∈ C ( J ; R d ) : ∥ y ( t ) − c ∥ ≤ b がすべての t ∈ J で成り立つ } X=\{\boldsymbol y\in C(J;\R^d):\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol c\|\leq b\ \text{がすべての }t\in J\text{ で成り立つ}\} X = { y ∈ C ( J ; R d ) : ∥ y ( t ) − c ∥ ≤ b がすべての t ∈ J で成り立つ } は、一様距離d ∞ ( y , z ) = max t ∈ J ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥ d_\infty(\boldsymbol y,\boldsymbol z)=\max_{t\in J}\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol z(t)\| d ∞ ( y , z ) = max t ∈ J ∥ y ( t ) − z ( t ) ∥
証明. C ( J ; R d ) C(J;\R^d) C ( J ; R d ) ( y n ) (\boldsymbol y_n) ( y n ) t ∈ J t\in J t ∈ J ( y n ( t ) ) (\boldsymbol y_n(t)) ( y n ( t )) R d \R^d R d y ( t ) \boldsymbol y(t) y ( t ) ε > 0 \ep>0 ε > 0 n , k n,k n , k t ∈ J t\in J t ∈ J ∥ y n ( t ) − y k ( t ) ∥ < ε \|\boldsymbol y_n(t)-\boldsymbol y_k(t)\|<\ep ∥ y n ( t ) − y k ( t ) ∥ < ε k → ∞ k\to\infty k → ∞ n n n t t t ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ ≤ ε \|\boldsymbol y_n(t)-\boldsymbol y(t)\|\leq\ep ∥ y n ( t ) − y ( t ) ∥ ≤ ε
t ∈ J t\in J t ∈ J ∥ y − y n ∥ ∞ < ε / 3 \|\boldsymbol y-\boldsymbol y_n\|_\infty<\ep/3 ∥ y − y n ∥ ∞ < ε /3 n n n s s s t t t y n \boldsymbol y_n y n ∥ y n ( s ) − y n ( t ) ∥ < ε / 3 \|\boldsymbol y_n(s)-\boldsymbol y_n(t)\|<\ep/3 ∥ y n ( s ) − y n ( t ) ∥ < ε /3 ∥ y ( s ) − y ( t ) ∥ < ε \|\boldsymbol y(s)-\boldsymbol y(t)\|<\ep ∥ y ( s ) − y ( t ) ∥ < ε y \boldsymbol y y C ( J ; R d ) C(J;\R^d) C ( J ; R d )
各y n \boldsymbol y_n y n X X X ∥ y ( t ) − c ∥ ≤ b \|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol c\|\leq b ∥ y ( t ) − c ∥ ≤ b X X X y ( t ) = c \boldsymbol y(t)=\boldsymbol c y ( t ) = c X X X X X X ▨
定理 3.3 (Carathéodory 型の局所存在・一意性定理). d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω a , b > 0 a,b>0 a , b > 0
R = J × B ⊆ Ω , J = [ t 0 − a , t 0 + a ] , B = { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } R=J\times B\subseteq\Omega,\qquad
J=[t_0-a,t_0+a],\qquad
B=\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|\leq b\} R = J × B ⊆ Ω , J = [ t 0 − a , t 0 + a ] , B = { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } 上でf f f m ∈ L 1 ( J ) m\in L^1(J) m ∈ L 1 ( J ) ℓ ∈ L 1 ( J ) \ell\in L^1(J) ℓ ∈ L 1 ( J )
このとき、初期値問題y ′ = f ( t , y ) \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y) y ′ = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ( t 0 ) = y 0 t 0 t_0 t 0
証明. §E10.2 補題 1.3 (1) を非負可積分関数m , ℓ m,\ell m , ℓ 0 < h ≤ a 0<h\leq a 0 < h ≤ a
∫ t 0 − h t 0 m ( s ) d s ≤ b , ∫ t 0 t 0 + h m ( s ) d s ≤ b , ∫ t 0 − h t 0 ℓ ( s ) d s < 1 , ∫ t 0 t 0 + h ℓ ( s ) d s < 1 \begin{aligned}
\int_{t_0-h}^{t_0}m(s)\,ds&\leq b,&
\int_{t_0}^{t_0+h}m(s)\,ds&\leq b,\\
\int_{t_0-h}^{t_0}\ell(s)\,ds&<1,&
\int_{t_0}^{t_0+h}\ell(s)\,ds&<1
\end{aligned} ∫ t 0 − h t 0 m ( s ) d s ∫ t 0 − h t 0 ℓ ( s ) d s ≤ b , < 1 , ∫ t 0 t 0 + h m ( s ) d s ∫ t 0 t 0 + h ℓ ( s ) d s ≤ b , < 1 となる。I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] I_h=[t_0-h,t_0+h] I h = [ t 0 − h , t 0 + h ]
q = max { ∫ t 0 − h t 0 ℓ ( s ) d s , ∫ t 0 t 0 + h ℓ ( s ) d s } < 1 q=\max\left\{\int_{t_0-h}^{t_0}\ell(s)\,ds,
\int_{t_0}^{t_0+h}\ell(s)\,ds\right\}<1 q = max { ∫ t 0 − h t 0 ℓ ( s ) d s , ∫ t 0 t 0 + h ℓ ( s ) d s } < 1 とおく。
補題 3.2 により、
X = { y ∈ C ( I h ; R d ) : ∥ y ( t ) − y 0 ∥ ≤ b がすべての t ∈ I h で成り立つ } X=\{\boldsymbol y\in C(I_h;\R^d):\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol y_0\|\leq b\ \text{がすべての }t\in I_h\text{ で成り立つ}\} X = { y ∈ C ( I h ; R d ) : ∥ y ( t ) − y 0 ∥ ≤ b がすべての t ∈ I h で成り立つ } は一様距離に関して空でない完備距離空間である。各y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X 補題 2.3 によりs ↦ f ( s , y ( s ) ) s\mapsto f(s,\boldsymbol y(s)) s ↦ f ( s , y ( s ))
( T y ) ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s (T\boldsymbol y)(t)=\boldsymbol y_0+\int_{t_0}^t f(s,\boldsymbol y(s))\,ds ( T y ) ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , y ( s )) d s が定まる。§E10.2 補題 1.3 (3) によりT y T\boldsymbol y T y I h I_h I h
y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X t ∈ I h t\in I_h t ∈ I h 補題 3.1 と支配関数の評価により
∥ ( T y ) ( t ) − y 0 ∥ ≤ ∫ min { t , t 0 } max { t , t 0 } ∥ f ( s , y ( s ) ) ∥ d s ≤ ∫ min { t , t 0 } max { t , t 0 } m ( s ) d s ≤ b \|(T\boldsymbol y)(t)-\boldsymbol y_0\|
\leq\int_{\min\{t,t_0\}}^{\max\{t,t_0\}}\|f(s,\boldsymbol y(s))\|\,ds
\leq\int_{\min\{t,t_0\}}^{\max\{t,t_0\}}m(s)\,ds
\leq b ∥ ( T y ) ( t ) − y 0 ∥ ≤ ∫ m i n { t , t 0 } m a x { t , t 0 } ∥ f ( s , y ( s )) ∥ d s ≤ ∫ m i n { t , t 0 } m a x { t , t 0 } m ( s ) d s ≤ b である。最後の不等式は、t ≤ t 0 t\leq t_0 t ≤ t 0 t ≥ t 0 t\geq t_0 t ≥ t 0 T ( X ) ⊆ X T(X)\subseteq X T ( X ) ⊆ X
y , z ∈ X \boldsymbol y,\boldsymbol z\in X y , z ∈ X y ( s ) , z ( s ) \boldsymbol y(s),\boldsymbol z(s) y ( s ) , z ( s )
∥ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∥ ≤ ∫ min { t , t 0 } max { t , t 0 } ℓ ( s ) ∥ y ( s ) − z ( s ) ∥ d s ≤ q ∥ y − z ∥ ∞ \begin{aligned}
\|(T\boldsymbol y)(t)-(T\boldsymbol z)(t)\|
&\leq\int_{\min\{t,t_0\}}^{\max\{t,t_0\}}
\ell(s)\|\boldsymbol y(s)-\boldsymbol z(s)\|\,ds\\
&\leq q\|\boldsymbol y-\boldsymbol z\|_\infty
\end{aligned} ∥ ( T y ) ( t ) − ( T z ) ( t ) ∥ ≤ ∫ m i n { t , t 0 } m a x { t , t 0 } ℓ ( s ) ∥ y ( s ) − z ( s ) ∥ d s ≤ q ∥ y − z ∥ ∞ となる。t ∈ I h t\in I_h t ∈ I h ∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ q ∥ y − z ∥ ∞ \|T\boldsymbol y-T\boldsymbol z\|_\infty\leq q\|\boldsymbol y-\boldsymbol z\|_\infty ∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ q ∥ y − z ∥ ∞ q < 1 q<1 q < 1 T : X → X T:X\to X T : X → X
「Banach の不動点定理」の§E2.7 定理 2.2 により、T T T X X X y \boldsymbol y y 補題 2.4 により、y \boldsymbol y y I h I_h I h y \boldsymbol y y ( t 0 − h , t 0 + h ) (t_0-h,t_0+h) ( t 0 − h , t 0 + h )
同じ初期値をもつ二つの絶対連続な局所解u , v \boldsymbol u,\boldsymbol v u , v u ( t 0 ) = v ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol u(t_0)=\boldsymbol v(t_0)=\boldsymbol y_0 u ( t 0 ) = v ( t 0 ) = y 0 0 < η ≤ h 0<\eta\leq h 0 < η ≤ h I η = [ t 0 − η , t 0 + η ] I_\eta=[t_0-\eta,t_0+\eta] I η = [ t 0 − η , t 0 + η ] I η I_\eta I η B B B 補題 2.4 により両解はI η I_\eta I η m , ℓ m,\ell m , ℓ I η I_\eta I η q < 1 q<1 q < 1 I η I_\eta I η ▨
定理の証明で得たI h I_h I h T T T y ( 0 ) ( t ) = y 0 \boldsymbol y^{(0)}(t)=\boldsymbol y_0 y ( 0 ) ( t ) = y 0
y ( n + 1 ) = T y ( n ) ( n ∈ N ≥ 0 ) \boldsymbol y^{(n+1)}=T\boldsymbol y^{(n)}\qquad(n\in\N) y ( n + 1 ) = T y ( n ) ( n ∈ N ≥ 0 ) は、§E2.7 定理 2.2 により解へ一様収束する。積分の支配m m m ℓ \ell ℓ
4 連続なベクトル場の場合 系 4.1 (Picard–Lindelöf の定理). d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 R d \R^d R d ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥ ⋅ ∥ Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω a , b > 0 a,b>0 a , b > 0
R = [ t 0 − a , t 0 + a ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } ⊆ Ω R=[t_0-a,t_0+a]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol y_0\|\leq b\}
\subseteq\Omega R = [ t 0 − a , t 0 + a ] × { u : ∥ u − y 0 ∥ ≤ b } ⊆ Ω であり、あるL ≥ 0 L\geq0 L ≥ 0 ( t , u ) , ( t , v ) ∈ R (t,\boldsymbol u),(t,\boldsymbol v)\in R ( t , u ) , ( t , v ) ∈ R
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ \|f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\|\leq L\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\| ∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L ∥ u − v ∥ が成り立つと仮定する。このとき、初期値問題y ′ = f ( t , y ) \boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y) y ′ = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0 \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0 y ( t 0 ) = y 0 t 0 t_0 t 0
証明. R R R f f f M = max ( t , u ) ∈ R ∥ f ( t , u ) ∥ M=\max_{(t,\boldsymbol u)\in R}\|f(t,\boldsymbol u)\| M = max ( t , u ) ∈ R ∥ f ( t , u ) ∥ m ( t ) = M m(t)=M m ( t ) = M ℓ ( t ) = L \ell(t)=L ℓ ( t ) = L N = ∅ N=\varnothing N = ∅ f ∣ R f|_R f ∣ R 定理 3.3 の証明で0 < h ≤ a 0<h\leq a 0 < h ≤ a
M h ≤ b , L h < 1 Mh\leq b,\qquad Lh<1 M h ≤ b , L h < 1 となるように取ると、I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] I_h=[t_0-h,t_0+h] I h = [ t 0 − h , t 0 + h ] X X X T T T 補題 2.5 により古典解である。古典解は絶対連続解でもあるから、同じ局所定理が古典解の芽の一意性を与える。▨
5 局所 Lipschitz 条件 定義 5.1. d ∈ N ≥ 1 d\in\NN d ∈ N ≥ 1 Ω ⊆ R × R d \Omega\subseteq\R\times\R^d Ω ⊆ R × R d R d \R^d R d f : Ω → R d f:\Omega\to\R^d f : Ω → R d 状態変数について局所 Lipschitz 連続 (locally Lipschitz continuous in the state variable )( t 0 , y 0 ) ∈ Ω (t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omega ( t 0 , y 0 ) ∈ Ω U ⊆ Ω U\subseteq\Omega U ⊆ Ω L U ≥ 0 L_U\ge0 L U ≥ 0
∥ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∥ ≤ L U ∥ u − v ∥ \lVert f(t,\boldsymbol u)-f(t,\boldsymbol v)\rVert
\le L_U\lVert\boldsymbol u-\boldsymbol v\rVert ∥ f ( t , u ) − f ( t , v )∥ ≤ L U ∥ u − v ∥ が、( t , u ) , ( t , v ) ∈ U (t,\boldsymbol u),(t,\boldsymbol v)\in U ( t , u ) , ( t , v ) ∈ U
f f f f f f
6 不連続な係数と一意性の限界 例 6.1. Ω = R 2 \Omega=\R^2 Ω = R 2
a ( t ) = { 1 , t < 0 , 2 , t ≥ 0 a(t)=\begin{cases}1,&t<0,\\2,&t\geq0\end{cases} a ( t ) = { 1 , 2 , t < 0 , t ≥ 0 によって定まる初期値問題y ′ = a ( t ) y y'=a(t)y y ′ = a ( t ) y y ( 0 ) = 1 y(0)=1 y ( 0 ) = 1 R = [ − 1 , 1 ] × [ 0 , 2 ] R=[-1,1]\times[0,2] R = [ − 1 , 1 ] × [ 0 , 2 ] f ( t , u ) = a ( t ) u f(t,u)=a(t)u f ( t , u ) = a ( t ) u
∣ f ( t , u ) ∣ ≤ 4 , ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ ≤ 2 ∣ u − v ∣ |f(t,u)|\leq4,\qquad |f(t,u)-f(t,v)|\leq2|u-v| ∣ f ( t , u ) ∣ ≤ 4 , ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ ≤ 2∣ u − v ∣ が成り立つ。従って支配関数m = 4 m=4 m = 4 ℓ = 2 \ell=2 ℓ = 2 N = ∅ N=\varnothing N = ∅ b = 1 b=1 b = 1 h = 1 / 4 h=1/4 h = 1/4
∫ − h 0 m ( t ) d t = ∫ 0 h m ( t ) d t = 1 ≤ b , ∫ − h 0 ℓ ( t ) d t = ∫ 0 h ℓ ( t ) d t = 1 2 < 1 \int_{-h}^0m(t)\,dt=\int_0^hm(t)\,dt=1\leq b,
\qquad
\int_{-h}^0\ell(t)\,dt=\int_0^h\ell(t)\,dt=\frac12<1 ∫ − h 0 m ( t ) d t = ∫ 0 h m ( t ) d t = 1 ≤ b , ∫ − h 0 ℓ ( t ) d t = ∫ 0 h ℓ ( t ) d t = 2 1 < 1 となる。定理 3.3 により、絶対連続な局所解が存在し、その芽は一意である。
実際、全実数上で
y ( t ) = { e t , t ≤ 0 , e 2 t , t ≥ 0 y(t)=\begin{cases}e^t,&t\leq0,\\e^{2t},&t\geq0\end{cases} y ( t ) = { e t , e 2 t , t ≤ 0 , t ≥ 0 とおくと、g ( t ) = a ( t ) y ( t ) g(t)=a(t)y(t) g ( t ) = a ( t ) y ( t ) t ≤ 0 t\leq0 t ≤ 0 ∫ 0 t g ( s ) d s = e t − 1 \int_0^tg(s)\,ds=e^t-1 ∫ 0 t g ( s ) d s = e t − 1 t ≥ 0 t\geq0 t ≥ 0 ∫ 0 t g ( s ) d s = e 2 t − 1 \int_0^tg(s)\,ds=e^{2t}-1 ∫ 0 t g ( s ) d s = e 2 t − 1 t t t y ( t ) = 1 + ∫ 0 t g ( s ) d s y(t)=1+\int_0^tg(s)\,ds y ( t ) = 1 + ∫ 0 t g ( s ) d s 補題 2.4 によりy y y 1 1 1 2 2 2 y y y
この初期値問題には、原点を含む開区間上の古典解は存在しない。古典解が存在すれば、それは絶対連続解でもあるため、局所一意性から原点の近傍で表示したy y y y y y
例 6.2 (Lipschitz 条件を満たさない初期値問題). 実数値初期値問題
y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 y'=\sqrt{|y|},\qquad y(0)=0 y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 を考える。零関数y ≡ 0 y\equiv0 y ≡ 0 c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0
y c ( t ) = { 0 , t ≤ c , ( t − c ) 2 4 , t ≥ c ( t ∈ R ) y_c(t)=
\begin{cases}
0,&t\le c,\\[1mm]
\dfrac{(t-c)^2}{4},&t\ge c
\end{cases}
\qquad(t\in\R) y c ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , 4 ( t − c ) 2 , t ≤ c , t ≥ c ( t ∈ R ) と定める。y c y_c y c y c ( 0 ) = 0 y_c(0)=0 y c ( 0 ) = 0 y c y_c y c t > c t>c t > c ∣ y ∣ \sqrt{|y|} ∣ y ∣ y = 0 y=0 y = 0 問題 8.3 ）。特にc = 0 c=0 c = 0
この例は、Picard–Lindelöf の定理の仮定を満たさない方程式で一意性が失われ得ることを示す。ただし、
Lipschitz 条件は一意性の十分条件であり、すべての一意な初期値問題がこの条件を満たすという必要条件ではない。
7 局所定理が残す問題 局所存在・一意性定理は、初期時刻の近くにおける解を与える。解を延長する議論では、解のグラフ上の各点から新たな局所解を得るため、ベクトル場に Carathéodory 条件と可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に仮定する。連続なベクトル場に対しては、状態変数についての局所 Lipschitz 連続性が対応する仮定である。局所解を貼り合わせた最大解の構成と、延長不能性を定義域内のコンパクト集合からの離脱として特徴づける定理は、後続で扱う。
8 演習 問題 8.1 (具体的な矩形による Picard の適用). 初期値問題
y ′ = t + y 2 , y ( 0 ) = 0 y'=t+y^2,\qquad y(0)=0 y ′ = t + y 2 , y ( 0 ) = 0 を考える。Ω = R 2 \Omega=\R^2 Ω = R 2 R = [ − 1 , 1 ] 2 R=[-1,1]^2 R = [ − 1 , 1 ] 2 M = L = 2 M=L=2 M = L = 2 h = 1 / 4 h=1/4 h = 1/4
解答. f ( t , y ) = t + y 2 f(t,y)=t+y^2 f ( t , y ) = t + y 2 ( t , y ) ∈ [ − 1 , 1 ] 2 (t,y)\in[-1,1]^2 ( t , y ) ∈ [ − 1 , 1 ] 2
∣ f ( t , y ) ∣ = ∣ t + y 2 ∣ ≤ ∣ t ∣ + ∣ y ∣ 2 ≤ 2 |f(t,y)|=|t+y^2|\le |t|+|y|^2\le2 ∣ f ( t , y ) ∣ = ∣ t + y 2 ∣ ≤ ∣ t ∣ + ∣ y ∣ 2 ≤ 2 であり、f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2 M = 2 M=2 M = 2 t ∈ [ − 1 , 1 ] t\in[-1,1] t ∈ [ − 1 , 1 ] u , v ∈ [ − 1 , 1 ] u,v\in[-1,1] u , v ∈ [ − 1 , 1 ]
∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ = ∣ u 2 − v 2 ∣ = ∣ u + v ∣ ∣ u − v ∣ ≤ 2 ∣ u − v ∣ |f(t,u)-f(t,v)|=|u^2-v^2|=|u+v||u-v|\le2|u-v| ∣ f ( t , u ) − f ( t , v ) ∣ = ∣ u 2 − v 2 ∣ = ∣ u + v ∣∣ u − v ∣ ≤ 2∣ u − v ∣ であるから、L = 2 L=2 L = 2 h = 1 / 4 h=1/4 h = 1/4
M h = 1 2 ≤ 1 , L h = 1 2 < 1 Mh=\frac12\le1,\qquad Lh=\frac12<1 M h = 2 1 ≤ 1 , L h = 2 1 < 1 となる。
I = [ − 1 / 4 , 1 / 4 ] I=[-1/4,1/4] I = [ − 1/4 , 1/4 ] C ( I , R ) C(I,\R) C ( I , R )
X = { y ∈ C ( I , R ) : ∣ y ( t ) ∣ ≤ 1 for every t ∈ I } X=\{y\in C(I,\R): |y(t)|\le1\ \text{for every }t\in I\} X = { y ∈ C ( I , R ) : ∣ y ( t ) ∣ ≤ 1 for every t ∈ I } を考える。C ( I , R ) C(I,\R) C ( I , R ) X X X 1 1 1 X X X C ( I , R ) C(I,\R) C ( I , R ) X X X X X X X X X
X X X
( T y ) ( t ) = ∫ 0 t ( s + y ( s ) 2 ) d s (Ty)(t)=\int_0^t\bigl(s+y(s)^2\bigr)\,ds ( T y ) ( t ) = ∫ 0 t ( s + y ( s ) 2 ) d s と定める。y ∈ X y\in X y ∈ X t ∈ I t\in I t ∈ I
∣ ( T y ) ( t ) ∣ ≤ M ∣ t ∣ ≤ M h = 1 2 ≤ 1 |(Ty)(t)|\le M|t|\le Mh=\frac12\le1 ∣ ( T y ) ( t ) ∣ ≤ M ∣ t ∣ ≤ M h = 2 1 ≤ 1 であるから、T ( X ) ⊆ X T(X)\subseteq X T ( X ) ⊆ X y , z ∈ X y,z\in X y , z ∈ X
∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ L h ∥ y − z ∥ ∞ = 1 2 ∥ y − z ∥ ∞ \lVert Ty-Tz\rVert_\infty
\le Lh\lVert y-z\rVert_\infty
=\frac12\lVert y-z\rVert_\infty ∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ L h ∥ y − z ∥ ∞ = 2 1 ∥ y − z ∥ ∞ であるから、T T T 補題 2.5 により、初期値問題はI = [ − 1 / 4 , 1 / 4 ] I=[-1/4,1/4] I = [ − 1/4 , 1/4 ] ( − 1 / 4 , 1 / 4 ) (-1/4,1/4) ( − 1/4 , 1/4 ) ▨
問題 8.2 (Picard 作用素の二つの評価). 系 4.1 の証明で用いた記号を用いる。条件
M h ≤ b , L h < 1 Mh\le b,\qquad Lh<1 M h ≤ b , L h < 1 が、それぞれ Picard 作用素のどの性質を保証するかを述べ、対応する評価を再現せよ。さらに、二つの評価だけでは不動点の存在を結論することができず、X X X
解答. y ∈ X \boldsymbol y\in X y ∈ X
∥ ( T y ) ( t ) − y 0 ∥ ≤ M ∣ t − t 0 ∣ ≤ M h ≤ b \lVert(T\boldsymbol y)(t)-\boldsymbol y_0\rVert
\le M|t-t_0|
\le Mh
\le b ∥( T y ) ( t ) − y 0 ∥ ≤ M ∣ t − t 0 ∣ ≤ M h ≤ b である。したがってM h ≤ b Mh\le b M h ≤ b T ( X ) ⊆ X T(X)\subseteq X T ( X ) ⊆ X T T T y , z ∈ X \boldsymbol y,\boldsymbol z\in X y , z ∈ X
∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ L h ∥ y − z ∥ ∞ \lVert T\boldsymbol y-T\boldsymbol z\rVert_\infty
\le Lh\lVert\boldsymbol y-\boldsymbol z\rVert_\infty ∥ T y − T z ∥ ∞ ≤ L h ∥ y − z ∥ ∞ である。したがってL h < 1 Lh<1 L h < 1 T T T
縮小写像の反復列が Cauchy 列になっても、空間が完備でなければ極限がX X X C ( I h , R d ) C(I_h,\R^d) C ( I h , R d ) X X X X X X T : X → X T:X\to X T : X → X ▨
問題 8.3 (Lipschitz 条件を外した場合の反例). 初期値問題
y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 y'=\sqrt{|y|},\qquad y(0)=0 y ′ = ∣ y ∣ , y ( 0 ) = 0 について、零関数y ≡ 0 y\equiv0 y ≡ 0 c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0
y c ( t ) = { 0 , t ≤ c , ( t − c ) 2 / 4 , t ≥ c y_c(t)=
\begin{cases}
0,&t\le c,\\[1mm]
(t-c)^2/4,&t\ge c
\end{cases} y c ( t ) = { 0 , ( t − c ) 2 /4 , t ≤ c , t ≥ c が一階連続微分可能な解であることを確認せよ。この解族から、系 4.1 のどの仮定を外したときにどの結論が失われ得るかを述べよ。
解答. y ≡ 0 y\equiv0 y ≡ 0 y ′ = 0 = ∣ y ∣ y'=0=\sqrt{|y|} y ′ = 0 = ∣ y ∣ y ( 0 ) = 0 y(0)=0 y ( 0 ) = 0
t < c t<c t < c y c ′ = 0 = ∣ y c ∣ y_c'=0=\sqrt{|y_c|} y c ′ = 0 = ∣ y c ∣ t > c t>c t > c
y c ′ ( t ) = t − c 2 = ( t − c ) 2 4 = ∣ y c ( t ) ∣ y_c'(t)=\frac{t-c}{2}
=\sqrt{\frac{(t-c)^2}{4}}
=\sqrt{|y_c(t)|} y c ′ ( t ) = 2 t − c = 4 ( t − c ) 2 = ∣ y c ( t ) ∣ である。t = c t=c t = c y c y_c y c c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0 y c ( 0 ) = 0 y_c(0)=0 y c ( 0 ) = 0 t > c t>c t > c y c ( t ) > 0 y_c(t)>0 y c ( t ) > 0 y c y_c y c
右辺はy = 0 y=0 y = 0
∣ y − 0 ∣ ∣ y − 0 ∣ = 1 y \frac{|\sqrt y-\sqrt0|}{|y-0|}=\frac1{\sqrt y} ∣ y − 0∣ ∣ y − 0 ∣ = y 1 はy ↓ 0 y\downarrow0 y ↓ 0 ▨