相平面と安定性 | 常微分方程式

1 相線と相平面

定義 1.1. 一階自律方程式

x'=f(x)

に対して、実直線の各点 $x$ に速度 $f(x)$ の符号を記したものを相線 (phase line) という。 $f(x)>0$ の区間では解は時間とともに増加し、 $f(x)<0$ の区間では減少する。 $f(x)=0$ を満たす点は平衡点 (equilibrium point) である。

定義 1.2. 開集合 $U\subseteq\mathbb R^2$ 上の自律系

\boldsymbol x'=\boldsymbol F(\boldsymbol x)

を考える。状態 $\boldsymbol x=(x_1,x_2)$ を点として表す平面を相平面 (phase plane) という。各点 $\boldsymbol x\in U$ に速度ベクトル $\boldsymbol F(\boldsymbol x)$ を対応させたものをベクトル場 (vector field) という。解 $\boldsymbol x(t)$ の像を、その解の軌道 (orbit) という。軌道には時間が増加する向きを付ける。

定義 1.3. $\boldsymbol x_*\in U$ が

\boldsymbol F(\boldsymbol x_*)=\boldsymbol0

を満たすとき、 $\boldsymbol x_*$ を平衡点 (equilibrium point) という。このとき $\boldsymbol x(t)=\boldsymbol x_*$ は定数解である。

2 Lyapunov 安定性

定義 2.1. $\boldsymbol x_*$ を自律系の平衡点とする。

$\boldsymbol x_*$ が Lyapunov 安定 (Lyapunov stable) であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ が存在し、

\lVert\boldsymbol x(0)-\boldsymbol x_*\rVert<\delta

を満たす任意の解がすべての $t\ge0$ で存在して

\lVert\boldsymbol x(t)-\boldsymbol x_*\rVert<\varepsilon \qquad(t\ge0)

を満たすことをいう。

平衡点が Lyapunov 安定であり、さらに $\rho>0$ が存在して

\lVert\boldsymbol x(0)-\boldsymbol x_*\rVert<\rho \quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty}\boldsymbol x(t)=\boldsymbol x_*

が成り立つとき、 $\boldsymbol x_*$ を漸近安定 (asymptotically stable) という。Lyapunov 安定でない平衡点を不安定 (unstable) という。

例 2.2 (相線による平衡点の判定).

x'=x(1-x)

では、 $x=0,1$ が平衡点である。 $x<0$ と $x>1$ では $x'<0$ 、 $0<x<1$ では $x'>0$ である。

$x(0)=x_0>0$ に対する一意な最大解 $x:(\alpha,\beta)\to\R$ を§E10.5 定理 5.3により取る。 $x_0=1$ ならば $x(t)=1$ である。 $x_0\ne1$ の場合、解が平衡点 $1$ に達すると、§E10.5 補題 5.2により定数解 $x(t)=1$ と一致するため、解は $1$ を横切らない。上の符号と合わせると

\min\{x_0,1\}\le x(t)\le\max\{x_0,1\} \qquad(0\le t<\beta)

を得る。もし $\beta<\infty$ ならば、解のグラフはコンパクト集合

[0,\beta]\times[\min\{x_0,1\},\max\{x_0,1\}]\subseteq\R^2

に含まれるので、§E10.5 定理 5.4によって $\beta$ を越えて延長することができる。これは最大性に反するから、 $\beta=\infty$ である。

解は単調かつ有界であるから、有限な極限 $\ell=\lim_{t\to\infty}x(t)$ をもつ。 $\ell(1-\ell)\ne0$ ならば、十分大きい $T$ と定数 $c>0$ が存在し、 $t\ge T$ で $x(t)(1-x(t))$ の符号は一定であり、その絶対値は $c$ 以上である。したがって

|x(t)-x(T)| =\left|\int_T^t x(s)(1-x(s))\,ds\right| \ge c(t-T)

となり、解が上の閉区間に含まれることに反する。ゆえに $\ell(1-\ell)=0$ であり、 $\ell\ge\min\{x_0,1\}>0$ であるから $\ell=1$ である。

$x<0$ では解は減少し、 $0<x<1$ では増加するため、 $0$ の両側で解は $0$ から離れる。実際、 $\varepsilon=1/2$ と固定し、任意の $\delta>0$ に対して $0<x_0<\min\{\delta,1/2\}$ と取ると、上で示した収束により、この解は $0$ の半径 $1/2$ の近傍から出る。したがって $0$ は不安定である。一方、すべての $t\ge0$ で

|x(t)-1|\le|x_0-1|

が成り立つ。任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta=\min\{\varepsilon,1/2\}$ と取れば、 $|x_0-1|<\delta$ を満たす解はすべての前向き時間で $1$ の半径 $\varepsilon$ の近傍に留まり、 $1$ へ収束する。したがって $1$ は局所的に漸近安定である。二つの平衡点の判定に解の明示式は必要ない。

3 二次元線形系の分類

実行列 $A\in\mathbb R^{2\times2}$ に対する

\boldsymbol x'=A\boldsymbol x \tag{1}

を考える。解は $\boldsymbol x(t)=e^{tA}\boldsymbol x(0)$ である（§E10.10 定理 3.1）。

定理 3.1. $A$ の固有値に応じて、原点の相図と安定性は次のように分類される。

相異なる二実固有値がともに負ならば、原点は漸近安定な結節点である。ともに正ならば、不安定な結節点である。
相異なる二実固有値の符号が異なるならば、原点は不安定な鞍点である。負の固有値の固有直線上では原点へ近づき、正の固有値の固有直線上では原点から離れる。
零でない実重根をもつ場合、対角化可能ならば星形結節点、対角化不能ならば非正則結節点である。重根が負ならば漸近安定であり、正ならば不安定である。
固有値が $\alpha\pm i\beta$ 、 $\beta\ne0$ ならば、 $\alpha<0$ のとき漸近安定な渦状点、 $\alpha>0$ のとき不安定な渦状点である。 $\alpha=0$ のとき原点は Lyapunov 安定な中心であるが、漸近安定ではない。
固有値 $0$ をもつ場合には、原点が孤立平衡点でない場合を含むため、上の分類だけでは安定性を決めない。

証明. $A$ が対角化可能で実固有値 $\lambda_1,\lambda_2$ をもつ場合には、固有座標で

u(t)=u(0)e^{\lambda_1t},\qquad v(t)=v(0)e^{\lambda_2t}

である。したがって、実部の符号と固有直線上の挙動から(1)と(2)が従う。

実重根 $\lambda$ をもつ場合、対角化可能ならば $e^{tA}=e^{\lambda t}I$ である。対角化不能ならば、 Jordan 座標で

e^{tA}=e^{\lambda t} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}

となる（§E10.10 定理 5.1）。 $\lambda<0$ ならば $te^{\lambda t}\to0$ であり、 $\lambda>0$ ならば固有ベクトル方向の解が指数的に増大する。

複素共役固有値の場合には、実座標の可逆な線形変換によって

A= \begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta&\alpha\end{pmatrix}

の形へ移すことができる。この標準形では

e^{tA} =e^{\alpha t} \begin{pmatrix} \cos(\beta t)&-\sin(\beta t)\\ \sin(\beta t)&\cos(\beta t) \end{pmatrix}.

したがって半径は $e^{\alpha t}$ 倍され、 $\alpha=0$ では一定に保たれる。可逆な線形座標変換はノルムの同値性により安定性を保つため、(4)が従う。固有値 $0$ をもつ場合の例として $A=0$ ではすべての点が平衡点であり、原点は安定だが漸近安定ではない。一方、 $A=\operatorname{diag}(0,1)$ では原点は不安定である。このように、(5)では、固有値 $0$ をもつという情報だけから原点の安定性を決めることはできない。

▨

例 3.2 (鞍点).

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}

の固有値は $3,-1$ であり、対応する固有ベクトルとして $\boldsymbol v_u=(1,1)^{\mathsf T}$ と $\boldsymbol v_s=(1,-1)^{\mathsf T}$ を取ることができる。固有座標 $\boldsymbol x=u\boldsymbol v_u+v\boldsymbol v_s$ では

u(t)=u(0)e^{3t},\qquad v(t)=v(0)e^{-t}.

$u(0)\ne0$ の解は正の固有値の方向へ離れるため、原点は不安定である。 $u(0)=0$ の固有直線上の解だけは原点へ収束する。

例 3.3 (安定な渦状点).

A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&-1\end{pmatrix}

の固有値は $-1\pm i$ であり、

e^{tA} =e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{pmatrix}.

したがって

\lVert\boldsymbol x(t)\rVert_2 =e^{-t}\lVert\boldsymbol x(0)\rVert_2

であり、原点は漸近安定である。軌道は回転しながら原点へ近づく。

4 非線形系の線形化

$\boldsymbol x_*$ を平衡点とする。座標を $\boldsymbol u=\boldsymbol x-\boldsymbol x_*$ へ移せば、平衡点を原点に置くことができる。 $\boldsymbol F$ が $\boldsymbol x_*$ の近くで $C^1$ 級ならば

\boldsymbol u' =\boldsymbol F(\boldsymbol x_*+\boldsymbol u) =A\boldsymbol u+\boldsymbol r(\boldsymbol u), \qquad A=D\boldsymbol F(\boldsymbol x_*), \qquad \frac{\lVert\boldsymbol r(\boldsymbol u)\rVert} {\lVert\boldsymbol u\rVert}\longrightarrow0 \quad(\boldsymbol u\to\boldsymbol0) \tag{2}

と書くことができる。

定義 4.1. Jacobi 行列 $A=D\boldsymbol F(\boldsymbol x_*)$ が実部 $0$ の固有値をもたないとき、 $\boldsymbol x_*$ を双曲型平衡点 (hyperbolic equilibrium point) という。

補題 4.2. $d\ge1$ とし、 $A\in\R^{d\times d}$ のすべての固有値の実部が負であるとする。 $\R^d$ のノルムを一つ固定し、行列には対応する作用素ノルムを用いる。このとき、ある $M\ge1$ と $\gamma>0$ が存在して

\lVert e^{tA}\rVert\le Me^{-\gamma t}\qquad(t\ge0) \tag{3}

が成り立つ。

証明. $A$ の固有値を重複度を込めて $\lambda_1,\ldots,\lambda_d$ とし、 $a=-\max_j\Re\lambda_j>0$ と $0<\gamma<a$ を取る。 $t\ge0$ と整数 $k\ge0$ に対して、指数級数の第 $k$ 項を用いると

\frac{t^k}{k!}e^{-at} \le \frac{1}{(a-\gamma)^k}e^{-\gamma t}

である。

§E10.10 定理 5.1により、複素 Jordan 座標での $e^{tA}$ の各成分は $e^{\lambda_jt}t^k/k!$ （ $0\le k\le d-1$ ）または零である。相似変換と有限次元ノルムの同値性により、固定した実空間の作用素ノルムに対して、ある $C>0$ が存在して

\lVert e^{tA}\rVert \le C\sum_{k=0}^{d-1}\frac{t^k}{k!}e^{-at} \le C\left(\sum_{k=0}^{d-1}(a-\gamma)^{-k}\right)e^{-\gamma t} \qquad(t\ge0)

となる。 $M=\max\{1,C\sum_{k=0}^{d-1}(a-\gamma)^{-k}\}$ と置けば式 (3) を得る。▨

補題 4.3. 有限次元ノルム空間を $E=E^u\oplus E^s$ と分解し、線形写像 $B$ が各部分空間を不変にするとする。各部分空間のノルムを適切に選んだ結果、ある $0<q<1$ に対して

\lVert B_s\rVert\le q,\qquad \lVert B_u^{-1}\rVert\le q \tag{4}

が成り立つとする。 $E^u\ne\{\boldsymbol0\}$ とする。

原点の近くで定義された写像

G(\boldsymbol z)=B\boldsymbol z+\boldsymbol g(\boldsymbol z), \qquad G(\boldsymbol0)=\boldsymbol0, \qquad \frac{\lVert\boldsymbol g(\boldsymbol z)\rVert}{\lVert\boldsymbol z\rVert}\to0

について、原点は離散系 $\boldsymbol z_{k+1}=G(\boldsymbol z_k)$ の不安定な固定点である。

証明. $\boldsymbol z=\boldsymbol u+\boldsymbol s$ 、 $\boldsymbol u\in E^u$ 、 $\boldsymbol s\in E^s$ とし、

\lVert\boldsymbol z\rVert =\max\{\lVert\boldsymbol u\rVert,\lVert\boldsymbol s\rVert\}

という直和ノルムを用いる。錐

\mathcal C=\{\boldsymbol u+\boldsymbol s: \lVert\boldsymbol s\rVert\le\lVert\boldsymbol u\rVert\}

を考える。

$q+\eta<q^{-1}-\eta$ かつ $\mu=q^{-1}-\eta>1$ を満たす $\eta>0$ を選ぶ。原点の十分小さい近傍では、 $\boldsymbol g$ の二つの成分について

\lVert\boldsymbol g_u(\boldsymbol z)\rVert\le\eta\lVert\boldsymbol z\rVert, \qquad \lVert\boldsymbol g_s(\boldsymbol z)\rVert\le\eta\lVert\boldsymbol z\rVert

が成り立つ。 $\boldsymbol z\in\mathcal C$ ならば $\lVert\boldsymbol z\rVert=\lVert\boldsymbol u\rVert$ であり、式 (4) から

\begin{aligned} \lVert G_u(\boldsymbol z)\rVert &\ge\lVert B_u\boldsymbol u\rVert-\eta\lVert\boldsymbol u\rVert \ge(q^{-1}-\eta)\lVert\boldsymbol u\rVert,\\ \lVert G_s(\boldsymbol z)\rVert &\le q\lVert\boldsymbol s\rVert+\eta\lVert\boldsymbol u\rVert \le(q+\eta)\lVert\boldsymbol u\rVert. \end{aligned}

したがって、軌道がこの近傍にある限り $\mathcal C$ は前向きに保たれ、不安定成分は各反復で少なくとも $\mu>1$ 倍になる。

任意に小さい非零の $\boldsymbol u_0\in E^u$ を初期点に取ると $\boldsymbol z_0=\boldsymbol u_0\in\mathcal C$ である。この軌道が小さい固定近傍に留まり続けるならば、 $\lVert\boldsymbol u_k\rVert\ge\mu^k\lVert\boldsymbol u_0\rVert$ となり、有界性に反する。したがって、原点に任意に近い初期点から出る軌道が固定した近傍の外へ出るため、原点は不安定である。

▨

定理 4.4 (Lyapunov の間接法). $\boldsymbol F$ を平衡点 $\boldsymbol x_*$ の近くで $C^1$ 級とし、 $A=D\boldsymbol F(\boldsymbol x_*)$ とする。

$A$ のすべての固有値の実部が負ならば、 $\boldsymbol x_*$ は局所的に漸近安定である。
$A$ が正の実部をもつ固有値を少なくとも一つもち、実部 $0$ の固有値をもたないならば、 $\boldsymbol x_*$ は不安定である。

とくに双曲型平衡点では、すべての固有値の実部が負である場合だけが漸近安定であり、それ以外は不安定である。

証明. $\boldsymbol u=\boldsymbol x-\boldsymbol x_*$ と置き、式 (2) を用いる。 $\boldsymbol F$ は $\boldsymbol x_*$ の近くで $C^1$ 級であるから、 $\boldsymbol u\mapsto\boldsymbol F(\boldsymbol x_*+\boldsymbol u)$ は原点の十分小さい閉球上で微分が有界であり、§E4.3 定理 2.1により、その球内で Lipschitz 連続である。

すべての固有値の実部が負であるとする。補題 4.2の $M,\gamma$ を取る。 $\varepsilon>0$ を $M\varepsilon<\gamma/2$ となるように選ぶ。 $\boldsymbol r(\boldsymbol u)=o(\lVert\boldsymbol u\rVert)$ であるから、ある $\delta>0$ に対して半径 $\delta$ の閉球がベクトル場の定義域に含まれ、かつ

\lVert\boldsymbol u\rVert<\delta \quad\Longrightarrow\quad \lVert\boldsymbol r(\boldsymbol u)\rVert \le\varepsilon\lVert\boldsymbol u\rVert \tag{5}

が成り立つ。

解が半径 $\delta$ の球内にある間、定数変化公式§E10.9 系 3.2から

\lVert\boldsymbol u(t)\rVert \le Me^{-\gamma t}\lVert\boldsymbol u(0)\rVert +M\varepsilon\int_0^t e^{-\gamma(t-s)}\lVert\boldsymbol u(s)\rVert\,ds

である。両辺に $e^{\gamma t}$ を掛けて Grönwall の不等式§E10.6 系 1.2を適用すると

\lVert\boldsymbol u(t)\rVert \le M\lVert\boldsymbol u(0)\rVert e^{-(\gamma-M\varepsilon)t} \le M\lVert\boldsymbol u(0)\rVert e^{-\gamma t/2}. \tag{6}

$M\lVert\boldsymbol u(0)\rVert<\delta$ ならば式 (6) は解が球の境界へ初めて到達することを排除する。したがって解はすべての $t\ge0$ でこの球内に留まり、最大延長定理§E10.5 定理 5.4により前向きに存在する。式 (6) は収束 $\boldsymbol u(t)\to\boldsymbol0$ を与える。さらに、任意の $0<r\le\delta$ に対して $\lVert\boldsymbol u(0)\rVert<r/M$ と選べば式 (6) から $\lVert\boldsymbol u(t)\rVert<r$ がすべての $t\ge0$ で成り立つ。 $r>\delta$ の場合は $\delta$ に対する結論を用いればよい。したがって Lyapunov 安定性も従う。

次に、 $A$ が正の実部をもつ固有値をもち、実部 $0$ の固有値をもたないとする。複素一般固有空間を実数上でまとめることにより

\mathbb R^d=E^u\oplus E^s

と分解することができる。 $E^u$ は正の実部をもつ固有値に対応し、零でない。 $A_u=A|_{E^u}$ 、 $A_s=A|_{E^s}$ とし、各部分空間のノルムを固定する。 $-A_u$ のすべての固有値の実部は負であるから、補題 4.2により $\lVert e^{-tA_u}\rVert\to0$ である。 $E^s\ne\{\boldsymbol0\}$ ならば、同じ補題を $A_s$ へ適用して $\lVert e^{tA_s}\rVert\to0$ を得る。 $E^s=\{\boldsymbol0\}$ ならば、 $E^s$ 上の作用素のノルムは零である。したがって、 $0<q<1$ を一つ固定し、十分大きい $T>0$ を選べば

\lVert e^{TA}|_{E^s}\rVert\le q,\qquad \lVert(e^{TA}|_{E^u})^{-1}\rVert\le q

が成り立つ。ここで $(e^{TA_u})^{-1}=e^{-TA_u}$ を用いた。

原点を中心とする開球 $D$ を、その閉包が $\boldsymbol u\mapsto \boldsymbol F(\boldsymbol x_*+\boldsymbol u)$ の定義域に含まれるように取り、 $D$ 上の Lipschitz 定数 $L$ を取る。 $\overline B_\rho(\boldsymbol0)\subset D$ を満たす $\rho>0$ を取る。式 (2) と零解に§E10.6 系 4.2を $J=[0,T]$ 、右辺の摂動を零として適用すると、

e^{LT}\lVert\boldsymbol\xi\rVert<\rho

を満たす初期値から出る解は $[0,T]$ 上に存在し、

\sup_{0\le t\le T}\lVert\boldsymbol u(t;\boldsymbol\xi)\rVert \le e^{LT}\lVert\boldsymbol\xi\rVert<\rho

を満たす。この初期値の近傍で $G(\boldsymbol\xi)=\boldsymbol u(T;\boldsymbol\xi)$ と置く。原点から出る解は定数解であるから、 $G(\boldsymbol0)=\boldsymbol0$ である。

定数変化公式により

G(\boldsymbol\xi) =e^{TA}\boldsymbol\xi +\int_0^T e^{(T-s)A}\boldsymbol r(\boldsymbol u(s;\boldsymbol\xi))\,ds.

直前の一様評価と $\boldsymbol r(\boldsymbol u)=o(\lVert\boldsymbol u\rVert)$ から、積分項は $o(\lVert\boldsymbol\xi\rVert)$ である。したがって補題 4.3を $B=e^{TA}$ へ適用すると、原点は時間 $T$ 写像の不安定な固定点である。連続時間の平衡点が Lyapunov 安定ならば、その時刻 $0,T,2T,\ldots$ における離散軌道も同じ近傍に留まるはずである。これは拡大錐補題に反するため、原点は不安定である。

▨

固有値の実部が零である場合には、この定理を適用することができない。例えば線形中心は安定であるが、非線形項を加えると安定にも不安定にもなり得る。流れ、不変集合、Hartman–Grobman の定理、安定多様体、 Lyapunov 関数、分岐、およびカオスは、後続単元「力学系と制御」が扱う。

5 演習

問題 5.1 (零固有値と Jordan 構造). 二つの行列

A_0=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

について、線形系 $\boldsymbol x'=A_0\boldsymbol x$ と $\boldsymbol x'=N\boldsymbol x$ の解を求めよ。両行列の固有値はともに $0,0$ であるが、前者の原点は Lyapunov 安定であって漸近安定ではなく、後者の原点は不安定であることを証明せよ。

解答.

$A_0$ と $N$ の特性多項式はともに $z^2$ である。初期値を $(u_0,v_0)^{\mathsf T}$ とすると、 $A_0$ に対する解はすべての実数 $t$ に対して

u(t)=u_0,\qquad v(t)=v_0

である。任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta=\varepsilon$ と取れば原点からの距離は $\varepsilon$ 未満に保たれるため、原点は Lyapunov 安定である。非零の初期値から出る解は原点へ収束しないため、原点は漸近安定ではない。

$N^2=0$ であるから、§E10.10 定理 5.1により $e^{tN}=I+tN$ であり、解は

u(t)=u_0+tv_0,\qquad v(t)=v_0 \qquad(t\in\R)

となる。Euclid ノルムを用いて $\varepsilon=1$ と固定する。任意の $\delta>0$ に対して $0<a<\min\{\delta,1\}$ を取り、 $(u_0,v_0)=(0,a)$ と置くと、初期値のノルムは $\delta$ 未満であるが、 $t=2/a$ では $u(t)=2$ となり、解のノルムは $1$ より大きい。したがって、 $N$ に対する原点は不安定である。▨

問題 5.2 (安定な結節点の軌道). $\lambda<0$ とし、

J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}

と置く。 $J$ に対する線形系 $u'=\lambda u+v$ 、 $v'=\lambda v$ を考える。初期値 $(u_0,v_0)$ に対する解を求め、 $v_0\ne0$ ならば十分大きい $t$ で $u(t)\ne0$ となり、 $v(t)/u(t)\to0$ が成り立つことを示せ。また、行列 $\lambda I$ に対する系と比較し、両系の原点が漸近安定であることと、 $\lambda I$ に対する非定数解の軌道が原点を通る直線上にあることを示せ。

解答.

§E10.10 定理 5.1から

u(t)=e^{\lambda t}(u_0+tv_0),\qquad v(t)=e^{\lambda t}v_0 \qquad(t\in\R)

を得る。 $v_0\ne0$ のとき、 $t>|u_0/v_0|$ ならば $t+u_0/v_0>0$ であるから $u(t)\ne0$ であり、

\frac{v(t)}{u(t)}=\frac{1}{t+u_0/v_0}\longrightarrow0 \qquad(t\to\infty)

となる。 $v_0=0$ の場合は $v(t)=0$ であり、解は固有直線 $v=0$ 上にある。

行列 $\lambda I$ に対する解は

(u(t),v(t))=e^{\lambda t}(u_0,v_0) \qquad(t\in\R)

である。非零の初期値に対して、軌道は初期値と原点を結ぶ直線上にあり、方向は一定である。一方、 $J$ に対する $v_0\ne0$ の解では比 $v(t)/u(t)$ が変化し、原点へ近づくにつれて固有直線 $v=0$ の方向へ近づく。両行列の重根は負であるから、定理 3.1 (3)により両系の原点は漸近安定である。▨

問題 5.3 (Jacobi 行列による局所安定性の判定). 非線形系

\begin{aligned} x'&=-x+xy,\\ y'&=-2y+x^2 \end{aligned}

について、原点が平衡点であることを確認し、Jacobi 行列の固有値から原点の局所安定性を判定せよ。また、この判定から大域的な安定性までを結論することができない理由を述べよ。

解答.

右辺を $\boldsymbol F(x,y)$ と書くと $\boldsymbol F(0,0)=\boldsymbol0$ であるから、原点は平衡点である。Jacobi 行列は

D\boldsymbol F(x,y) = \begin{pmatrix} -1+y&x\\ 2x&-2 \end{pmatrix}

であり、

D\boldsymbol F(0,0) = \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-2 \end{pmatrix}

の固有値は $-1,-2$ である。右辺は原点の近くで $C^1$ 級であり、二つの固有値の実部がともに負である。したがって、Lyapunov の間接法により原点は局所的に漸近安定である。同定理は平衡点の十分小さい近傍で剰余項を評価して得る局所定理であるため、遠方から出る解の挙動や大域的な存在を結論しない。実際、 $(\sqrt2,1)$ と $(-\sqrt2,1)$ も平衡点であり、各平衡点の定数解は原点へ収束しないため、原点はすべての初期値から出る解を吸引するわけではない。▨

問題 5.4 (非双曲型平衡点で線形化だけでは安定性が定まらないことの証明). 次の二つの系を考える。

\begin{aligned} \text{(I)}\quad &x'=-y,\qquad y'=x,\\ \text{(II)}\quad &x'=-y+x(x^2+y^2),\qquad y'=x+y(x^2+y^2). \end{aligned}

二つの系が原点で同じ Jacobi 行列をもち、その固有値の実部が零であることを示せ。そのうえで、系 (I) の原点は Lyapunov 安定であるが漸近安定ではなく、系 (II) の原点は不安定であることを証明せよ。

解答.

いずれの系でも原点は平衡点であり、原点における Jacobi 行列は

A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

である。固有値は $\pm i$ であり、実部は零である。

系 (I) では

\frac{d}{dt}(x^2+y^2) =2x(-y)+2yx=0

であるから、原点からの距離は一定である。したがって原点は Lyapunov 安定であるが、原点以外から出る解は原点へ収束しないため漸近安定ではない。

系 (II) で $s=x^2+y^2$ と置くと

s' =2x\bigl(-y+xs\bigr)+2y\bigl(x+ys\bigr) =2s^2.

$s(0)=s_0>0$ に対して

s(t)=\frac{s_0}{1-2s_0t}

である。任意に小さい正の $s_0$ から出発しても、 $s(t)$ は有限時間後にあらかじめ固定した小さい正の値へ達する。したがって、原点に任意に近い初期点から出る解が固定した近傍の外へ出るため、原点は不安定である。同じ線形化から異なる安定性が生じるので、固有値の実部が零である場合には線形化だけで判定することができない。▨

§E10.11相平面と安定性

1 相線と相平面

2 Lyapunov 安定性

3 二次元線形系の分類

4 非線形系の線形化

5 演習

参考文献

前提記事