§E10.6Grönwall の不等式と連続依存性

証明.

とおく。$u$は有界であり、$\ell u+r$は可積分であるから、§E10.2 定理 2.4により$v,H$は絶対連続である。右向きの不等式を仮定すると、$0\leq u\leq v$であり、ほとんど至る所で

となる。§E10.2 定理 3.1 (1)と§E10.2 定理 3.1 (2)により$e^{-H}v$は絶対連続であり、ほとんど至る所で

が成り立つ。§E10.2 定理 2.4の全点積分表示から

を得る。$e^{H(t)}$を掛け、$u(t)\leq v(t)$と$H(t)-H(s)=\int_s^t\ell(\tau)\,d\tau$を用いると、右向きの評価を得る。

左向きの不等式を仮定し、

とおく。$w$は絶対連続で、$0\leq u\leq w$である。ほとんど至る所で

となる。$t$から$b$まで積分し、$w(b)=A$を用いると

である。$e^{-H(t)}$を掛け、$u(t)\leq w(t)$を用いて左向きの評価を得る。▨

証明.定理 1.1に$\ell(t)=L$を代入する。連続関数$r$は有限閉区間上で可積分であり、$\int_s^t\ell(\tau)\,d\tau=L(t-s)$であるから、結論を得る。▨

証明.系 1.2で$r=0$と置けばよい。▨

証明.§E10.2 定理 2.4により、二つの解の差は全点で

と表される。両合成は可積分な導関数とほとんど至る所で一致するから可積分である。共通零集合$N$の外で

である。$u(t)=\|\boldsymbol z(t)-\boldsymbol y(t)\|$は非負連続であり、§E10.4 補題 3.1により

を満たす。定理 1.1を$[t_0,b]$と$[a,t_0]$のうち長さが正の区間へ適用して、二つの評価を得る。$t=t_0$の評価は$u(t_0)=\delta$による。$\ell,r\geq0$なので、各部分区間の積分を$[a,b]$の積分で抑えれば最後の評価が従う。▨

証明.$\delta\leq Q<\rho$より$(a,\boldsymbol\eta)\in K\subseteq\Omega$である。§E10.5 定理 2.1により、$\boldsymbol z(a)=\boldsymbol\eta$を満たす最大絶対連続解$\boldsymbol z:(\alpha,\beta)\to\R^d$を取る。$\alpha<a<\beta$である。また、$K$は連続写像

によるコンパクト集合の像なのでコンパクトである。

$a<c\leq b$、$c<\beta$を満たす$c$を取り、$u(t)=\|\boldsymbol z(t)-\boldsymbol y(t)\|$とおく。$[a,c]$に$u(t)\geq\rho$となる点が存在すると仮定する。$u$の連続性により、集合$\{t\in[a,c]:u(t)\geq\rho\}$は最小元$\tau$をもち、$u(a)=\delta<\rho$から$a<\tau$、$u(\tau)=\rho$である。$a\leq t\leq\tau$では二つの解のグラフは$K$に含まれる。定理 2.1を$[a,\tau]$と$S=K\cap([a,\tau]\times\R^d)$に適用すると

となり、$u(\tau)=\rho$と両立しない。従って$[a,c]$全体で$u<\rho$である。両グラフが$K$に含まれるので、同じ比較定理を$[a,c]$全体へ適用して$u(t)\leq Q$を得る。

$\beta\leq b$と仮定する。任意の$t\in[a,\beta)$に対して$t<c<\beta$となる$c$を取ると、直前の評価から$(t,\boldsymbol z(t))\in K$である。$\beta$は有限で、$K\subseteq\Omega$はコンパクトであるから、§E10.5 定理 4.1により$\boldsymbol z$は$\beta$を越えて延長することができる。最大性に反するので$\beta>b$である。$c=b$として得られる評価が結論の不等式である。

同じ初期値をもつ別の$J$上の絶対連続解$\widetilde{\boldsymbol z}$を取る。$\widetilde{\boldsymbol z}$に対しても、$c=b$として最初の離脱時刻を取る議論を適用すると、そのグラフは$K$に含まれる。定理 2.1を$S=K$上の二つの右辺$g,g$と二解$\boldsymbol z,\widetilde{\boldsymbol z}$に適用する。初期値の差と右辺の差はともに零なので、$\widetilde{\boldsymbol z}=\boldsymbol z|_J$である。▨

証明.

とおく。指数因子は$n$に依存しない有限な定数なので、$Q_n\to0$である。従って、ある$n_0\in\NN$が存在し、$n\geq n_0$ならば$Q_n<\rho$となる。各$n\geq n_0$に定理 3.1を$g=f_n$、$r=r_n$、$\boldsymbol\eta=\boldsymbol\eta_n$として適用すると、共通区間$J$上の一意な解と$Q_n$による評価を得る。▨

証明. 二つの解の導関数は連続であるから、両解は$J$上で絶対連続である。定理 2.1に$S=J\times D$、$t_0=a$、$\ell=L$、$r=\varepsilon$を代入すると、最初の評価を得る。$L>0$ならば

$L=0$ならば積分は$t-a$である。従って残りの二式も成り立つ。▨

証明.§E10.5 補題 5.1により$f,g$は局所的な Carathéodory 条件と可積分 Lipschitz 係数の条件を満たす。定理 3.1に$\Omega=I\times D$、$\rho=r$、$\ell(t)=L$、誤差関数として定数$\varepsilon$を代入する。このとき

であるから、$J$上の絶対連続解と評価を得る。$g$は連続であるため、得られた解は§E10.5 補題 5.1により古典解である。▨

証明.定理 2.1に$S=J\times D$、$g=f$、$t_0=a$、$\ell=L$、$r=0$を代入する。古典解は絶対連続であるから、同定理の評価が成り立つ。▨

証明. 各$n$に対して定理 2.1に$g=f_n$、$\boldsymbol z=\boldsymbol y_n$、$S=J\times D$、$t_0=a$、$\ell=L$、$r=\varepsilon_n$を代入すると、

を得る。右辺は零へ収束する。$L$による除算を含まないため、$L=0$の場合もこの評価に含まれる。▨