Bessel 関数 | 常微分方程式 | 天游ヶ丘数理学院

1 Bessel 方程式と決定方程式

定義 1.1. 実数 $\nu$ に対する

x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0, \qquad x>0 \tag{1}

を次数 $\nu$ の Bessel 方程式 (Bessel equation of order $\nu$ ) という。方程式は $\nu^2$ だけに依存するため、次数 $\nu$ と $-\nu$ の方程式は同じである。

式 (1) を正規化すると

y''+\frac1x y' +\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0

であり、 $x=0$ は確定特異点である。Frobenius 級数

y=x^\rho\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k,\qquad a_0\ne0

を代入すると、最低次数から

\rho^2-\nu^2=0 \tag{2}

を得る。これが決定方程式であり、指数根は $\rho=\nu,-\nu$ である。

指数 $\rho=\nu$ を選ぶと、奇数次係数を零とする解について

\bigl((2k+\nu)^2-\nu^2\bigr)a_{2k}+a_{2k-2}=0 \qquad(k\ge1)

である。すなわち、 $k+\nu\ne0$ のとき

a_{2k} =-\frac{a_{2k-2}}{4k(k+\nu)}. \tag{3}

正の実数上の Gamma 関数だけでは、 $k+\nu+1$ が正でない場合を式 (3) と同じ形で記述することができない。そこで、Gamma 関数の逆数を実数全体へ延長する。

2 Gamma 関数の逆数の実数延長

定義 2.1. $\xi\in\mathbb R$ とする。 $\xi+r>0$ となる非負整数 $r$ を選び、

q(\xi) = \frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{r-1}(\xi+j)} {\Gamma(\xi+r)} \tag{4}

と定める。これを逆 Gamma 関数の実数延長 (real extension of the reciprocal gamma function) という。 $r=0$ のとき、分子の空積は $1$ とする。

命題 2.2. 式 (4) は $r$ の選び方に依存せず、 $q$ は $\mathbb R$ 上で何回でも微分可能である。また、

q(\xi)=\xi q(\xi+1) \tag{5}

がすべての $\xi\in\mathbb R$ について成り立つ。 $q$ の零点は非正整数だけであり、各 $m\ge0$ について

q(-m)=0, \qquad q'(-m)=(-1)^m m! \tag{6}

である。とくに、これらの零点は単純である。

証明は演習とする（問題 8.1）。

3 第一種 Bessel 関数

定義 3.1. $\nu\in\mathbb R$ 、 $x>0$ に対して

J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kq(k+\nu+1)}{k!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu} \tag{7}

と定め、これを次数 $\nu$ の第一種 Bessel 関数 (Bessel function of the first kind of order $\nu$ ) という。

$k+\nu+1>0$ ならば $q(k+\nu+1)=1/\Gamma(k+\nu+1)$ である。したがって、式 (7) は通常の Gamma 関数を用いる Frobenius 級数を、有限個の係数も含めてすべての実数次数へ延長した式である。

定理 3.2. 式 (7) は任意の $x>0$ で絶対収束し、 $J_\nu$ は $(0,\infty)$ 上で何回でも微分可能である。さらに、実数 $\nu$ に対して $J_\nu$ は次数 $\nu$ の Bessel 方程式 (1) を満たす。非負整数 $n$ に対して

J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x) \tag{8}

が成り立つ。

証明. 式 (7) の第 $k$ 項を $T_k(x)$ と書く。十分大きい $k$ では $k+\nu+1>0$ であるから、Gamma 関数の漸化式と $q=1/\Gamma$ から

\left|\frac{T_{k+1}(x)}{T_k(x)}\right| = \frac{x^2}{4(k+1)|k+\nu+1|} \longrightarrow0.

したがって比の判定により任意の $x>0$ で絶対収束する。任意のコンパクト区間 $[\varepsilon,R]\subset(0,\infty)$ 上では、 $x$ の冪とその任意階の導関数に同じ比の評価を一様に適用することができる。したがって級数は項別微分することができる。

式 (7) を

J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^{2k+\nu}

と書く。係数は

c_k =\frac{(-1)^k2^{-2k-\nu}q(k+\nu+1)}{k!}

である。式 (5) により、 $k\ge1$ に対して

4k(k+\nu)c_k+c_{k-1}=0 \tag{9}

を満たす。各項へ微分作用素を作用させると

\bigl(x^2D^2+xD-\nu^2\bigr)x^{2k+\nu} =\bigl((2k+\nu)^2-\nu^2\bigr)x^{2k+\nu} =4k(k+\nu)x^{2k+\nu}.

$x^2J_\nu$ の $x^{2k+\nu}$ の係数は $k\ge1$ で $c_{k-1}$ であり、 $k=0$ の最低次係数は決定方程式 (2) によって消える。式 (9) により各係数が零になるため、 $J_\nu$ は式 (1) を満たす。

$\nu=-n$ とする。 $0\le k<n$ では $k-n+1$ が非正整数であるから、式 (6) により式 (7) の第 $k$ 項は零である。 $k=n+j$ と置き、 $q(j+1)=1/j!$ を用いると

\begin{aligned} J_{-n}(x) &=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+j}}{(n+j)!\,j!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2j}\\ &=(-1)^nJ_n(x). \end{aligned}

以上により式 (8) も得られる。

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とくに

J_0(x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k} =1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}-\cdots. \tag{10}

4 非整数次数の第二種 Bessel 関数

非整数 $\nu$ に対して、 $J_\nu$ と $J_{-\nu}$ は同じ方程式の二つの解である。これらが独立であることを Wronskian から確認する。

命題 4.1. $\nu\notin\mathbb Z$ とする。このとき

W(J_\nu,J_{-\nu})(x) =J_\nu(x)J_{-\nu}'(x)-J_\nu'(x)J_{-\nu}(x) =-\frac{2q(\nu)q(1-\nu)}{x}. \tag{13}

したがって $J_\nu,J_{-\nu}$ は $(0,\infty)$ 上の基本解系である。

証明. 正規化した Bessel 方程式の $y'$ の係数は $1/x$ である。Abel の公式§E10.7 系 5.5により、Wronskian は $C/x$ の形である。

式 (7) の先頭項から、任意の非整数 $\nu$ について

\begin{aligned} J_\nu(x) &=2^{-\nu}q(\nu+1)x^\nu \bigl(1+O(x^2)\bigr),\\ J_{-\nu}(x) &=2^\nu q(1-\nu)x^{-\nu} \bigl(1+O(x^2)\bigr) \end{aligned} \qquad(x\downarrow0).

これらの表示は一階微分しても成り立つから、

W(J_\nu,J_{-\nu})(x) = -2\nu q(\nu+1)q(1-\nu)\frac1x+O(x) =-\frac{2q(\nu)q(1-\nu)}x+O(x)

となる。最後の等号では式 (5) を用いた。Abel の公式により $xW(J_\nu,J_{-\nu})(x)$ は定数であるため、 $x\downarrow0$ の極限から式 (13) を得る。 $\nu$ と $1-\nu$ は非正整数ではないから、式 (6) により $q(\nu)q(1-\nu)\ne0$ である。したがって Wronskian は零でなく、二つの解は線形独立である。

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定義 4.2. $\nu\notin\mathbb Z$ に対して

Y_\nu(x) = \frac{ \cos(\pi\nu)J_\nu(x)-J_{-\nu}(x) }{\sin(\pi\nu)} \tag{14}

と定め、これを次数 $\nu$ の第二種 Bessel 関数 (Bessel function of the second kind of non-integer order) という。

式 (14) は同じ Bessel 方程式の解の線形結合である。また式 (13) から

W(J_\nu,Y_\nu)(x) = \frac{2q(\nu)q(1-\nu)} {\sin(\pi\nu)x} \ne0 \tag{15}

であり、 $J_\nu,Y_\nu$ は基本解系をなす。

5 整数次数と対数型の第二解

整数 $n$ では $J_{-n}=(-1)^nJ_n$ であるため、式 (14) の分子と分母がともに零になる。そこで次数を整数へ近づける。

整数次数の極限に先立ち、式 (7) の次数に関する微分可能性を確認する。

補題 5.1. 任意のコンパクト区間 $I\subset\mathbb R$ と $0<\varepsilon<R$ に対して、式 (7) の級数、 $x$ に関する二階までの導関数級数、およびそれらを $\nu$ で一階微分した級数は $I\times[\varepsilon,R]$ 上で一様収束する。したがって、写像

\nu\longmapsto J_\nu|_{[\varepsilon,R]}

は、関数と $x$ に関する二階までの導関数について $\nu$ で微分可能である。

証明. $I=[A,B]$ と書き、 $A+L>0$ となる非負整数 $L$ を固定する。 $k\ge L$ では式 (5) を有限回用いて

q(k+\nu+1) = \frac{q(\nu+L)} {\displaystyle\prod_{j=L}^{k}(\nu+j)}

(5.1.1)

と書くことができる。分母の各因子は $I$ 上で正である。式 (5.1.1)を $\nu$ で微分すると

\partial_\nu q(k+\nu+1) =q(k+\nu+1) \left( \frac{q'(\nu+L)}{q(\nu+L)} -\sum_{j=L}^{k}\frac1{\nu+j} \right)

(5.1.2)

を得る。 $q'(\nu+L)/q(\nu+L)$ は $I$ 上で有界であり、式 (5.1.2)の括弧内の絶対値は $C(1+\log(k+2))$ 以下である。

式 (7) の項を $\nu$ で微分すると、式 (5.1.2)に由来する項に加えて $\log(x/2)$ を掛けた項が現れる。 $[\varepsilon,R]$ 上ではこの対数は有界である。また、 $x$ について二階まで微分すると、各項には $k$ の二次式以下の因子と、 $[\varepsilon,R]$ 上で有界な $x$ の冪だけが加わる。元の項の絶対値の隣接比は、 $k$ が十分大きいとき一様に

\frac{R^2}{4(k+1)(k+A+1)}

以下である。この項へ $k$ の固定次数の多項式と $1+\log(k+2)$ を掛けた数列も比の判定で収束する。有限個の $k<L$ の項は滑らかであるから、Weierstrass の判定法と項ごとの微分の定理（§D1.22 定理 4.2）により、主張したすべての一様収束と微分可能性を得る。

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定義 5.2. 非負整数 $n$ に対して

Y_n(x) =\lim_{\nu\to n} \frac{ \cos(\pi\nu)J_\nu(x)-J_{-\nu}(x) }{\sin(\pi\nu)} \tag{16}

と定める。これを整数次数の第二種 Bessel 関数 (Bessel function of the second kind of integer order) という。負の整数次数は

Y_{-n}(x)=(-1)^nY_n(x) \tag{17}

と定める。

命題 5.3. 式 (16) の極限は各 $x>0$ で存在し、コンパクト部分区間上で $x$ に関する二階微分まで局所一様に収束する。 $Y_n$ は次数 $n$ の Bessel 方程式を満たし、

W(J_n,Y_n)(x)=\frac{2}{\pi x} \tag{18}

である。さらに、 $Y_n$ の $x=0$ 付近の表示には $J_n(x)\log x$ に比例する項が現れる。

証明. コンパクト区間 $[\varepsilon,R]\subset(0,\infty)$ を固定し、

A_\mu(x) = \left. \frac{\partial J_\rho(x)}{\partial\rho} \right|_{\rho=\mu}

と置く。補題 5.1により、 $J_\nu$ とその $x$ に関する二階までの導関数は、次数について $[\varepsilon,R]$ 上一様に微分可能である。 $h=\nu-n$ とすると、

\begin{aligned} \cos(\pi\nu)J_\nu-J_{-\nu} &= h\bigl((-1)^nA_n+A_{-n}\bigr)+o(h),\\ \sin(\pi\nu) &=\pi(-1)^nh+o(h) \end{aligned}

が、 $x$ に関する二階までの導関数について一様に成り立つ。ここでは式 (8) により定数項 $(-1)^nJ_n-J_{-n}$ が零になることを用いた。したがって式 (16) の極限は存在し、

Y_n = \frac{A_n+(-1)^nA_{-n}}{\pi} \tag{19}

であり、収束は二階微分まで局所一様である。各非整数 $\nu$ の $Y_\nu$ は式 (1) を満たすので、式 (1) の各項で極限を取ると、 $Y_n$ も次数 $n$ の Bessel 方程式を満たす。

次に Wronskian の係数を求める。式 (15) の係数について、 $n=0$ では式 (5) から

\lim_{\nu\to0} \frac{q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} = \lim_{\nu\to0} \frac{\nu q(\nu+1)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} =\frac1\pi.

$n\ge1$ では、式 (6) と $q(n)=1/(n-1)!$ から

\begin{aligned} \lim_{\nu\to n}\frac{q(1-\nu)}{\nu-n} &=-q'(1-n) =(-1)^n(n-1)!,\\ \lim_{\nu\to n}\frac{\sin(\pi\nu)}{\nu-n} &=\pi(-1)^n. \end{aligned}

したがって、この場合にも

\lim_{\nu\to n} \frac{q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} =\frac1\pi

である。式 (15) の Wronskian は、二階までの局所一様収束により極限へ移すことができるため、式 (18) を得る。この計算は反射公式を用いず、 $q'(-(n-1))=(-1)^{n-1}(n-1)!$ と $\sin(\pi\nu)$ の整数点における一次項から標準係数を回収している。

最後に、対数項を調べる。式 (7) の各項に含まれる

\left(\frac{x}{2}\right)^\nu

を次数について微分したとき

\frac{\partial}{\partial\nu} \left(\frac{x}{2}\right)^\nu = \left(\frac{x}{2}\right)^\nu \log\left(\frac{x}{2}\right)

となる。 $A_n$ の対数項の係数は $J_n$ であり、 $A_{-n}$ の対数項の係数は $J_{-n}=(-1)^nJ_n$ である。これらを式 (19) へ代入すると、 $Y_n$ の表示には

\frac{2}{\pi}J_n(x)\log\left(\frac{x}{2}\right)

が含まれる。式 (18) が零でないため、極限で得た解は $J_n$ の定数倍にはならず、対数型の第二解を与える。

▨

以後の議論では、 $Y_n$ の有限和を含む完全な展開式を用いない。

6 半整数次の例

例 6.1 (半整数次は初等関数で表される). $\nu=1/2$ とする。Gamma 関数の値

\Gamma\left(k+\frac32\right) =\frac{(2k+1)!}{2^{2k+1}k!}\sqrt\pi

を式 (7) へ代入すると

\begin{aligned} J_{1/2}(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+3/2)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1/2}\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x. \end{aligned}

したがって、一部の半整数次 Bessel 関数は三角関数と変数の冪で表される。

7 第一種 Bessel 関数の零点と直交性

$\alpha>0$ が $J_\nu$ の零点であるとき、関数

u_\alpha(x)=J_\nu(\alpha x), \qquad 0<x\le1

は

\bigl(xu_\alpha'(x)\bigr)' +\left(\alpha^2x-\frac{\nu^2}{x}\right)u_\alpha(x) =0, \qquad u_\alpha(1)=0 \tag{20}

を満たす。 $x=0$ は特異端点であるため、正則 Sturm–Liouville 問題の直交定理を直接適用せず、境界項を極限で評価する（§E10.14 定理 3.2）。

定理 7.1. $\nu>-1$ とし、 $\alpha,\beta$ を $J_\nu$ の相異なる正の零点とする。このとき

\int_0^1 xJ_\nu(\alpha x)J_\nu(\beta x)\,dx =0. \tag{21}

証明. $u(x)=J_\nu(\alpha x)$ 、 $v(x)=J_\nu(\beta x)$ と置く。 $0<\varepsilon<1$ を固定し、 $[\varepsilon,1]$ 上の微分作用素を

L[w]=-(xw')'+\frac{\nu^2}{x}w

と定める。式 (20) により

L[u]=\alpha^2xu, \qquad L[v]=\beta^2xv

である。とくに、 $uL[v]-vL[u]$ では共通する $\nu^2uv/x$ の項が相殺される。§E10.14 定理 2.2を $[\varepsilon,1]$ 上で $p(x)=x$ として適用すると

(\alpha^2-\beta^2) \int_\varepsilon^1xuv\,dx = -\left[ x(vu'-uv') \right]_\varepsilon^1. \tag{22}

$u(1)=v(1)=0$ であるから、 $x=1$ の境界項は零である。

$\nu>-1$ のとき、式 (7) とその項別微分の最初の二項から、任意の $c>0$ に対して

J_\nu(cx) = \frac{(c/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} x^\nu \left( 1-\frac{c^2x^2}{4(\nu+1)}+O(x^4) \right) \qquad(x\downarrow0).

A_c=\frac{(c/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}, \qquad d_c=\frac{c^2}{4(\nu+1)}

と置けば、

J_\nu(cx)=A_cx^\nu\bigl(1-d_cx^2+O(x^4)\bigr), \qquad \frac{d}{dx}J_\nu(cx) =A_cx^{\nu-1}\bigl(\nu-(\nu+2)d_cx^2+O(x^4)\bigr).

従って、 $vu'-uv'$ の $x^{2\nu-1}$ の項は相殺され、第二項まで計算すると

x(vu'-uv') =2A_\alpha A_\beta(d_\beta-d_\alpha)x^{2\nu+2} +O(x^{2\nu+4}) =O(x^{2\nu+2}).

$\nu>-1$ ならば $2\nu+2>0$ であるから、この境界項は $x\downarrow0$ で零へ収束する。また $xuv=O(x^{2\nu+1})$ であり、 $2\nu+1>-1$ であるから、 $xuv$ は $x=0$ の近傍で絶対可積分である。従って式 (22) で $\varepsilon\downarrow0$ とすることができる。 $\alpha$ と $\beta$ は相異なる正数なので $\alpha^2\ne\beta^2$ であり、 $\alpha^2-\beta^2$ で割ると式 (21) を得る。

▨

この定理が示すのは、与えられた二つの異なる正の零点に対応する第一種 Bessel 関数の直交性である。一般の $\nu>-1$ に対して正の零点が無限に存在すること、その全体を列挙すること、および対応する関数系の完備性は、この直交性とは別に証明を要する。本記事ではこれらを証明せず、第二種 Bessel 関数についても同じ直交性を主張しない。

8 演習

問題 8.1 (逆 Gamma 関数の実数延長).命題 2.2の証明を完成させよ。

解答.

正の実数上では§E4.15 命題 3.1により

\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)

が成り立つ。式 (4) で $r$ を $r+1$ に置き換えると、分子と分母に共通して現れる正数 $\xi+r$ が消去される。任意の二つの許される非負整数は、大きい方までこの操作を繰り返すことによって比較することができるため、式 (4) は $r$ の選び方に依存しない。また、 $\xi+r>0$ を満たす正の整数 $r$ を選ぶと、

\begin{aligned} \xi q(\xi+1) &=\xi\frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{r-1}(\xi+1+j)}{\Gamma(\xi+r+1)}\\ &=\frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{r-1}(\xi+j)}{\Gamma(\xi+r)} =q(\xi), \end{aligned}

となるため、

q(\xi)=\xi q(\xi+1)

を得る。

任意の $0<\alpha<\beta$ と非負整数 $\ell$ を固定する。整数 $N\ge2$ に対して

\Gamma_N(s)=\int_{1/N}^{N}t^{s-1}e^{-t}\,dt

と置く。有限区間上では被積分関数を $s$ について微分することができるため、

\Gamma_N^{(\ell)}(s) =\int_{1/N}^{N}t^{s-1}e^{-t}(\log t)^\ell\,dt.

$s\in[\alpha,\beta]$ に対し、 $0<t\le1$ では

\left|t^{s-1}e^{-t}(\log t)^\ell\right| \le t^{\alpha-1}|\log t|^\ell,

$t\ge1$ では $|\log t|^\ell\le t^\ell$ を用いて

\left|t^{s-1}e^{-t}(\log t)^\ell\right| \le t^{\beta+\ell-1}e^{-t}

を得る。第一の上界は $t=e^{-u}$ と置換すると積分可能であり、第二の上界も指数減衰によって積分可能である。従って

\sup_{s\in[\alpha,\beta]} \left| \int_0^{1/N}t^{s-1}e^{-t}(\log t)^\ell\,dt \right| \le \int_0^{1/N}t^{\alpha-1}|\log t|^\ell\,dt \longrightarrow0

であり、同様に

\sup_{s\in[\alpha,\beta]} \left| \int_N^\infty t^{s-1}e^{-t}(\log t)^\ell\,dt \right| \le \int_N^\infty t^{\beta+\ell-1}e^{-t}\,dt \longrightarrow0.

従って各 $\ell$ について $(\Gamma_N^{(\ell)})_N$ は $[\alpha,\beta]$ 上で一様収束する。 $\ell=0$ では任意の一点における $\Gamma_N$ の収束も Gamma 積分の定義から従うため、§D1.22 定理 4.2により Gamma 関数は一回微分可能であり、その導関数は $(\Gamma_N')_N$ の極限である。同じ定理を $\Gamma_N^{(\ell)}$ へ帰納的に適用すると、Gamma 関数は $(0,\infty)$ 上で何回でも微分可能である。Gamma 関数は正であるから、その逆数も同じ性質をもつ。

$\xi_0\in\R$ をとる。 $\xi+r>0$ が $\xi_0$ のある近傍のすべての $\xi$ について成り立つように、非負整数 $r$ を一つ固定する。その近傍では、式 (4) は多項式と滑らかな正値関数の商である。従って $q$ は $\R$ 上で何回でも微分可能である。

$\xi$ が非正整数でなければ、式 (4) の分子の各因子と分母は零でないから $q(\xi)\ne0$ である。 $m$ を非負整数とし、 $\xi=-m$ で $r=m+1$ と選ぶ。このとき分子で零になる因子は $\xi+m$ だけであり、

q(\xi) =(\xi+m) \frac{\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}(\xi+j)}{\Gamma(\xi+m+1)}

が $-m$ の近傍で成り立つ。分母は $\xi=-m$ で $\Gamma(1)=1$ となるため、積の微分から

q(-m)=0, \qquad q'(-m) =\prod_{j=0}^{m-1}(-m+j) =(-1)^m m!.

ここで $m=0$ の積は空積 $1$ である。従って $q$ の零点は非正整数だけであり、各零点における導関数は零でないため、すべての零点は単純である。▨

問題 8.2 (問1：整数次数の級数計算). 式 (7) と $q(j+1)=1/j!$ を用いて、 $J_2(x)$ の最初の三つの非零項を求めよ。また、同じ式から $J_{-2}=J_2$ が成り立つことを確認せよ。

解答.

$q(3)=1/2!$ 、 $q(4)=1/3!$ 、 $q(5)=1/4!$ であるから、

J_2(x) = \frac{x^2}{8} -\frac{x^4}{96} +\frac{x^6}{3072} +O(x^8).

$J_{-2}$ の級数では $q(-1)=q(0)=0$ であるため、 $k=0,1$ の項が消える。 $k=2+j$ と置くと

J_{-2}(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2+j}q(j+1)}{(2+j)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2+2j} =J_2(x)

となる。▨

問題 8.3 (問2：整数次数の Wronskian 係数). $n\ge1$ とする。 $q'(-(n-1))=(-1)^{n-1}(n-1)!$ と $\sin(\pi(n+h))=\pi(-1)^nh+o(h)$ だけを用いて

\lim_{\nu\to n} \frac{2q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} =\frac2\pi

を証明せよ。この極限から $W(J_n,Y_n)=2/(\pi x)$ を導く際に、本文で証明したどの収束が Wronskian の極限移行を正当化する十分条件となるかも述べよ。

解答.

$h=\nu-n$ と置く。 $q(n)=1/(n-1)!$ であり、 $1-\nu=-(n-1)-h$ であるから、

q(1-\nu) =-q'(-(n-1))h+o(h) =(-1)^n(n-1)!h+o(h).

したがって

\frac{2q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} \longrightarrow \frac{2\{1/(n-1)!\}(-1)^n(n-1)!}{\pi(-1)^n} =\frac2\pi.

Wronskian には関数と一階導関数が現れるため、 $J_\nu,Y_\nu$ とその一階導関数が各コンパクト部分区間上で一様収束することは、Wronskian の極限移行を正当化する十分条件である。補題 5.1は $J_\nu$ の次数微分を二階の $x$ 微分まで正当化し、命題 5.3は $Y_\nu$ が $Y_n$ へ二階微分まで局所一様に収束することを与える。したがって、Wronskian の極限と微分方程式への極限移行の双方が正当化される。▨

問題 8.4 (問3：特異端点の境界項). $\nu>-1$ とし、 $\alpha,\beta$ を $J_\nu$ の相異なる正の零点とする。 $u(x)=J_\nu(\alpha x)$ 、 $v(x)=J_\nu(\beta x)$ に対して

x(vu'-uv')\longrightarrow0 \qquad(x\downarrow0)

を証明し、この事実から式 (21) の直交性を導け。

解答.

式 (7) の最初の二項から、 $c>0$ に対して

J_\nu(cx) = \frac{(c/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} x^\nu \left( 1-\frac{c^2x^2}{4(\nu+1)}+O(x^4) \right).

$u$ と $v$ の先頭項はいずれも定数倍の $x^\nu$ であるため、 $vu'-uv'$ では先頭項同士が相殺される。次の項まで含めると $x(vu'-uv')=O(x^{2\nu+2})$ となる。 $\nu>-1$ ならば指数 $2\nu+2$ は正であるから、境界項は零へ収束する。 $x=1$ でも $u(1)=v(1)=0$ で境界項は零である。式 (22) で $\varepsilon\downarrow0$ とし、 $\alpha^2-\beta^2\ne0$ で割ると式 (21) を得る。▨

問題 8.5 (半整数次数の直交積分). 正整数 $m,n$ に対して、例 6.1を用いて

xJ_{1/2}(m\pi x)J_{1/2}(n\pi x)

を正弦関数の積で表せ。また、この表示を $x=0$ へ連続に延長したうえで、区間 $[0,1]$ 上の積分を $m\ne n$ と $m=n$ の場合に分けて求めよ。

解答.

例 6.1で $x$ を $m\pi x$ に置き換えると、 $0<x\le1$ で

J_{1/2}(m\pi x) =\sqrt{\frac{2}{m\pi^2x}}\sin(m\pi x)

となる。したがって

xJ_{1/2}(m\pi x)J_{1/2}(n\pi x) =\frac{2}{\pi^2\sqrt{mn}}\sin(m\pi x)\sin(n\pi x).

右辺は $x=0$ で値 $0$ をとる連続関数へ延長される。 $m\ne n$ ならば、積和公式により

\begin{aligned} \int_0^1\sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx &=\frac12\left[ \frac{\sin((m-n)\pi x)}{(m-n)\pi} -\frac{\sin((m+n)\pi x)}{(m+n)\pi} \right]_0^1\\ &=0. \end{aligned}

$m=n$ ならば、 $\sin^2(m\pi x)=(1-\cos(2m\pi x))/2$ であるから

\int_0^1\sin^2(m\pi x)\,dx=\frac12

となる。以上より

\int_0^1xJ_{1/2}(m\pi x)J_{1/2}(n\pi x)\,dx = \begin{cases} 0,&m\ne n,\\ \dfrac{1}{m\pi^2},&m=n \end{cases}

を得る。異なる添字の場合は直交し、同じ添字の場合の積分は正である。▨

問題 8.6 (次数 $-3/2$ における原点の発散). 固定した $c,d>0$ に対して、式 (7) の全実数次数の級数から

xJ_{-3/2}(cx)J_{-3/2}(dx) =\frac{2}{\pi(cd)^{3/2}}x^{-2}+O(1) \qquad(x\downarrow0)

を導き、区間 $(0,1]$ 上の広義積分が正の向きへ発散することを証明せよ。また、正整数 $p$ に対する $xJ_{-p}(cx)J_{-p}(dx)$ は原点近くで絶対可積分であることを示し、条件 $\nu>-1$ が全実数次数における可積分性の必要十分条件ではないことを確認せよ。

解答.

$\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$ であるから、式 (5) により

q(1/2)=\frac12q(3/2)=\frac1{\sqrt\pi}, \qquad q(-1/2)=-\frac12q(1/2)=-\frac1{2\sqrt\pi}

となる。式 (7) で $\nu=-3/2$ とし、 $k=0,1$ の項を取り出すと、固定した $c>0$ に対して

J_{-3/2}(cx) =-\sqrt{\frac2\pi}\,c^{-3/2}x^{-3/2} \left(1+\frac{c^2x^2}{2}+O(x^4)\right) \qquad(x\downarrow0)

を得る。ここで剰余は、 $x^{-3/2}$ を括り出した後の $x^2$ のべき級数に比の判定を適用して評価したものであり、このべき級数は原点を含む有界区間上で絶対一様収束する。したがって

xJ_{-3/2}(cx)J_{-3/2}(dx) =\frac{2}{\pi(cd)^{3/2}}x^{-2}+O(1)

となる。先頭係数 $2/(\pi(cd)^{3/2})$ は正であるから、十分小さい $x>0$ では被積分関数は $x^{-2}/(\pi(cd)^{3/2})$ 以上である。よって

\int_\varepsilon^1xJ_{-3/2}(cx)J_{-3/2}(dx)\,dx =\frac{2}{\pi(cd)^{3/2}}\frac1\varepsilon+O(1) \longrightarrow+\infty \qquad(\varepsilon\downarrow0).

一方、正整数 $p$ については式 (8) と式 (7) の先頭の非零項から

xJ_{-p}(cx)J_{-p}(dx) =\frac{(cd)^p}{2^{2p}(p!)^2}x^{2p+1}\bigl(1+O(x^2)\bigr)

となる。指数 $2p+1$ は $-1$ より大きいので、この関数は原点近くで絶対可積分である。したがって $\nu>-1$ は直交定理の証明で用いた十分条件であるが、全実数次数における可積分性の必要十分条件ではない。▨

§E10.16Bessel 関数

1 Bessel 方程式と決定方程式

2 Gamma 関数の逆数の実数延長

3 第一種 Bessel 関数

4 非整数次数の第二種 Bessel 関数

5 整数次数と対数型の第二解

6 半整数次の例

7 第一種 Bessel 関数の零点と直交性

8 演習

参考文献

前提記事