§D1.8ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

証明. 正の整数$n$が、すべての$m>n$に対して$a_n\geq a_m$を満たすとき、$n$を峰の添字と呼ぶ。峰の添字が無限個存在するならば、それらを$n_1<n_2<\cdots$と並べることにより

を満たす単調非増加部分列を得る。

峰の添字が有限個しか存在しないならば、すべての峰の添字より大きい正の整数$n_1$をとる。峰の添字が存在しない場合は任意の正の整数を$n_1$とする。$n_1$は峰の添字でないので、$n_2>n_1$かつ$a_{n_2}>a_{n_1}$を満たす$n_2$が存在する。同じ理由により、この選択を帰納的に繰り返すことができる。したがって

を満たす単調増加部分列を得る。いずれの場合にも、もとの数列は単調な部分列をもつ。▨

証明 (二分法). 有界性より全項が閉区間$I_0 = [A, B]$に入る。$I_0$を中点で2等分すると、少なくとも一方の半区間は$\{a_n\}$の項を無限個含む。それを$I_1$とする。同様に$I_k$を2等分し、項を無限個含む側を$I_{k+1}$とすると、閉区間の列

$I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots, \qquad |I_k| = \frac{B-A}{2^k}$

が得られ、各$I_k$は無限個の項を含む。

$a_{n_1} \in I_1$となる$n_1$をとる。$I_2$は無限個の項を含むので、$n_2 > n_1$かつ$a_{n_2} \in I_2$をとることができる。以下同様に、$I_{k}$が無限個の項を含むことから$n_k > n_{k-1}$かつ$a_{n_k} \in I_k$を順に選ぶことができる。これで狭義増加列$n_1 < n_2 < \cdots$と部分列$\{a_{n_k}\}$が定まる。

左端点$\{A_k\}$（$I_k = [A_k, B_k]$）は単調増加かつ上に有界だから、§D1.7 定理 1.1 (単調収束定理)より$A_k \to c$（$c = \sup A_k$）。$B_k = A_k + |I_k| \to c$でもある。$a_{n_k} \in I_k$より$A_k \le a_{n_k} \le B_k$、§D1.6 定理 3.1 (はさみうちの原理)で$a_{n_k} \to c$。▨

証明 (単調部分列).補題 2.1により、$\{a_n\}$は単調な部分列$\{a_{n_k}\}$をもつ。この部分列は$\{a_n\}$の有界性を受け継ぐ。$\{a_{n_k}\}$が単調増加ならば、§D1.7 定理 1.1により収束する。$\{a_{n_k}\}$が単調非増加ならば、$\{-a_{n_k}\}$は単調増加かつ上に有界なので同じ定理により収束し、したがって$\{a_{n_k}\}$も収束する。▨

証明.定理 2.2により、$\{a_n\}$は収束する部分列をもつので$C$は空でない。各正の整数$n$に対して

とおく。$\{a_n\}$は有界であるから$s_n$と$i_n$は実数である。$\{s_n\}$は単調非増加で下に有界であるから、$\{-s_n\}$は単調増加かつ上に有界である。$\{i_n\}$は単調非減少で上に有界である。§D1.7 定理 1.1により、ある実数$\alpha,\beta$が存在して$s_n\to\alpha$、$i_n\to\beta$となる。

$k_0=0$とおく。正の整数$j$に対し$N_j=\max\{j,k_{j-1}+1\}$とおき、上限の定義により

を満たす$k_j$をとる。$\{k_j\}$は狭義増加し、$N_j\geq j$であるから$s_{N_j}\to\alpha$となる。したがって§D1.6 定理 3.1により$a_{k_j}\to\alpha$であり、$\alpha\in C$である。同様に、$\ell_0=0$とおき、$M_j=\max\{j,\ell_{j-1}+1\}$に対して

を満たす$\ell_j$をとると、$a_{\ell_j}\to\beta$となる。ゆえに$\beta\in C$である。

$c\in C$とし、$a_{n_j}\to c$を満たす部分列をとる。狭義増加する正の整数列は$n_j\geq j$を満たすので

がすべての$j$について成り立つ。極限をとると$\beta\leq c\leq\alpha$を得る。$\alpha,\beta\in C$であるから、$\alpha$は$C$の最大元であり、$\beta$は$C$の最小元である。▨

証明.(1)を示す。$\{c_n\}$が有界ならば、定理 2.4の証明で、$s_n=\sup_{k\geq n}c_k$の極限が部分列極限全体の最大元に等しいことを示した。したがって上極限の定義により主張が成り立つ。$\{c_n\}$が下に有界であるが上に有界でないならば、有限個の項を除いても上に有界にはならないので、すべての$n$について$\sup_{k\geq n}c_k=+\infty$である。この場合も上極限の定義により主張が成り立つ。

(2)を示す。有界な場合は、同じ証明で$i_n=\inf_{k\geq n}c_k$の極限が部分列極限全体の最小元に等しいことを示した。上に有界であるが下に有界でない場合は、すべての$n$について$\inf_{k\geq n}c_k=-\infty$である。したがって下極限の定義により主張が成り立つ。

(3)を示す。$L$が有限で$\theta>L$ならば、(1)により、ある正の整数$N$が存在して$s_N=\sup_{k\geq N}c_k<\theta$となる。したがって、すべての$n\geq N$について$c_n<\theta$である。$\theta<L$とし、ある正の整数$N$より後に$c_n>\theta$を満たす項が存在しないと仮定すると、$s_N\leq\theta<L$となる。一方、$\{s_n\}$は$L$へ単調非増加に収束するので$s_N\geq L$であり、両者は両立しない。ゆえに任意の正の整数$N$より後に$c_n>\theta$を満たす項が存在する。$L=+\infty$の場合は、各尾部が上に有界でないので、任意の実数$\theta$と正の整数$N$に対して$n\geq N$かつ$c_n>\theta$を満たす$n$が存在する。▨

証明.$S$は無限なので相異なる点$a_1, a_2, \dots \in S$を選ぶことができる。これは有界列だから定理 2.2より収束部分列$a_{n_k} \to c$をもつ。点が相異なるので、$c$の任意の近傍には$c$と異なる$a_{n_k}$が無限個入り、$c$は$S$の集積点である。▨