ε-δ 型の文の読み方、否定、反例の構成 | ε-論法と基礎解析

定義 1.1 (連続性). $X\subseteq\mathbb R$ 、 $f\colon X\to\mathbb R$ 、 $a\in X$ とする。 $f$ が点 $a$ で連続 (continuous) であるとは、

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\in X,\ \bigl(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\bigr)

が成り立つことをいう。

注意 1.2. 量化子を左から読むと、 $\varepsilon>0$ は任意に与えられ、 $\delta>0$ は与えられた $\varepsilon$ に応じて選ばれ、その後に $x\in X$ が任意に与えられる。したがって、 $\delta$ は $\varepsilon$ に依存してよいが、選んだ $\delta$ はすべての $x\in X$ に対して同時に条件を満たさなければならない。

命題 2.1 (連続性の否定の標準形). $X\subseteq\mathbb R$ 、 $f\colon X\to\mathbb R$ 、 $a\in X$ とする。次の二条件を考える。

$f$ は $a$ で連続でない。
次の論理式が成り立つ。 $\exists \varepsilon>0,\ \forall \delta>0,\ \exists x\in X,\ \bigl(|x-a|<\delta\ \land\ |f(x)-f(a)|\geq\varepsilon\bigr)$

(1) $\Leftrightarrow$ (2)が成り立つ。

証明.(1) $\Leftrightarrow$ (2)を示す。 $A(x,\delta)$ を $|x-a|<\delta$ 、 $B(x,\varepsilon)$ を $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ とおく。量化域を保ったまま $\lnot\forall=\exists\lnot$ 、 $\lnot\exists=\forall\lnot$ 、 $\lnot(A\Rightarrow B)=A\land\lnot B$ を順に適用すると、

\begin{aligned} &\lnot\Bigl(\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\Rightarrow B(x,\varepsilon)\bigr)\Bigr)\\ &=\exists\varepsilon>0,\ \lnot\Bigl(\exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\Rightarrow B(x,\varepsilon)\bigr)\Bigr)\\ &=\exists\varepsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \lnot\Bigl(\forall x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\Rightarrow B(x,\varepsilon)\bigr)\Bigr)\\ &=\exists\varepsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\land\lnot B(x,\varepsilon)\bigr). \end{aligned}

実数の大小関係について $\lnot\bigl(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\bigr)$ は $|f(x)-f(a)|\geq\varepsilon$ と同値である。したがって、最後の論理式は(2)と一致する。▨

例 2.2 (否定文を使って不連続を証明する). 関数 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ を

f(x)= \begin{cases} 1 &(x\geq0),\\ -1 &(x<0) \end{cases}

で定める。この関数は $0$ で連続でない。

証明. $\varepsilon=1$ とおく。 $\delta>0$ を任意にとり、 $x=-\delta/2\in\mathbb R$ とおく。このとき、

|x-0|=\frac{\delta}{2}<\delta, \qquad |f(x)-f(0)|=|-1-1|=2\geq1=\varepsilon

が成り立つ。したがって命題 2.1 (2)が成り立つため、命題 2.1により $f$ は $0$ で連続でない。▨

例 3.1 (連続だが一様連続でない関数). 関数 $f\colon(0,1)\to\mathbb R$ を $f(x)=1/x$ で定める。この関数は各点で連続であるが、一様連続でない。

証明. $a\in(0,1)$ と $\varepsilon>0$ を任意にとり、

\delta=\min\left\{\frac a2,\frac{\varepsilon a^2}{2}\right\}>0

とおく。 $x\in(0,1)$ が $|x-a|<\delta$ を満たすとする。 $\delta\leq a/2$ から $x>a/2$ であり、

\left|\frac1x-\frac1a\right| =\frac{|x-a|}{ax} <\frac{\delta}{a(a/2)} =\frac{2\delta}{a^2} \leq\varepsilon

が成り立つ。したがって $f$ は任意の $a\in(0,1)$ で連続である。

一様連続性は

\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x,y\in(0,1),\ \bigl(|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\bigr)

である。上で用いた三つの否定規則をこの論理式に適用すると、その否定は

\exists\varepsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x,y\in(0,1),\ \bigl(|x-y|<\delta\ \land\ |f(x)-f(y)|\geq\varepsilon\bigr)

となる。 $\varepsilon=1$ とおき、 $\delta>0$ を任意にとる。 $t=\min\{\delta/2,1/2\}$ 、 $x=t/2$ 、 $y=t$ とおく。 $0<x<y\leq1/2<1$ であるから $x,y\in(0,1)$ である。また、

|x-y|=\frac t2\leq\frac\delta4<\delta, \qquad |f(x)-f(y)|=\left|\frac2t-\frac1t\right|=\frac1t\geq2\geq1=\varepsilon

が成り立つ。したがって一様連続性の否定形が成り立つため、 $f$ は $(0,1)$ 上で一様連続でない。▨

§D1.1ε-δ 型の文の読み方、否定、反例の構成

1 ε-δ 文を読む

2 否定を作る

3 否定形から反例を構成する

例題

演習

前提記事