§D1.21級数の収束判定

証明.$S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n\to S$とおく。$N\geq2$に対して$a_N=S_N-S_{N-1}$であるから、$a_N\to S-S=0$である。▨

証明.$A_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$、$B_N=\sum_{n=1}^{N}b_n$とおく。$a_n\geq0$であるから$\{A_N\}$は単調増加であり、$A_N\leq B_N$である。収束列$\{B_N\}$は上に有界であるから、$\{A_N\}$も上に有界である。§D1.7 定理 1.1により$\{A_N\}$は収束する。▨

証明.$S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$とおく。$n>m$に対して

である。$\sum|a_n|$の部分和は収束するため、その右辺は$m,n\to\infty$のとき$0$へ収束する。したがって$\{S_N\}$はコーシー列である。

$\mathbb K=\mathbb R$のとき、§D1.10 定理 1.1により$\{S_N\}$は収束する。$\mathbb K=\mathbb C$のとき、$X_N=\operatorname{Re}S_N$、$Y_N=\operatorname{Im}S_N$とおくと、

であるから、$\{X_N\}$と$\{Y_N\}$は実数のコーシー列である。§D1.10 定理 1.1により、ある$X,Y\in\mathbb R$が存在して$X_N\to X$、$Y_N\to Y$となる。したがって

であり、$\{S_N\}$は複素数列として収束する。

$\pi\colon\mathbb Z_{\geq1}\to\mathbb Z_{\geq1}$を全単射とし、$P=\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$とおく。任意の$N$に対して

であるから、§D1.7 定理 1.1により$\sum_{k=1}^{\infty}|a_{\pi(k)}|$は収束する。

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$とし、$\varepsilon>0$をとる。ある$M$が存在して$\sum_{n>M}|a_n|<\varepsilon$となる。$\pi$は全射であるから、ある$N_0$が存在して

となる。$N\geq N_0$とし、$F_N=\{\pi(1),\ldots,\pi(N)\}$とおく。有限個の項を除いて元の順序で和をとると、

である。ゆえに$\sum_{k=1}^{\infty}a_{\pi(k)}=S$である。▨

証明.$r<1$とし、$r<s<1$を満たす$s$をとる。ある$N\geq N_0$が存在して、$n\geq N$ならば

となる。帰納的に$|a_n|\leq |a_N|s^{n-N}$が$n\geq N$に対して成り立つ。§B1.9 定理 2.1により$\sum_{m=0}^{\infty}s^m$は収束するから、定理 1.3により$\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$は収束する。有限個の初項を加えても収束性は変わらないため、$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$は絶対収束する。

$r>1$とし、$1<s<r$を満たす$s$をとる。ある$N\geq N_0$が存在して、$n\geq N$ならば$|a_{n+1}|>s|a_n|$となる。帰納的に$|a_n|\geq |a_N|s^{n-N}$が$n\geq N$に対して成り立つ。$a_N\neq0$かつ$s>1$であるから、$|a_n|\to\infty$であり、$a_n$は$0$に収束しない。有限個の初項は一般項の極限に影響しないため、命題 1.1の対偶により$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する。▨

証明.$r<1$とし、$r<s<1$を満たす$s$をとる。ある$N$が存在して、$n\geq N$ならば$\sqrt[n]{|a_n|}<s$となる。$a_n=0$ならば$|a_n|<s^n$である。$a_n\neq0$ならば、§B3.1 定理 2.1の順序保存性により

である。したがって、すべての$n\geq N$に対して$|a_n|<s^n$が成り立つ。§B1.9 定理 2.1と定理 1.3により$\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$は収束するから、$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$は絶対収束する。

$r>1$とし、$1<s<r$を満たす$s$をとる。ある$N$が存在して、$n\geq N$ならば$\sqrt[n]{|a_n|}>s$となる。このとき$a_n\neq0$であり、§B3.1 定理 2.1の順序保存性により$|a_n|>s^n>1$である。ゆえに$a_n$は$0$に収束せず、命題 1.1により$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する。▨

証明. 任意の実数$1\leq u<v$をとる。$f$の$[u,v]$への制限は単調減少であるから、§D1.18 定理 2.1によりリーマン可積分である。

$n\geq1$とする。定数関数$c$の$[n,n+1]$上の任意の分割に対する上 Darboux 和と下 Darboux 和はともに$c((n+1)-n)=c$であるから、この定数関数の積分値は$c$である。$x\in[n,n+1]$に対して$f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)$であるから、§D1.17 命題 3.4により

である。$N\geq2$とする。$N=2$では次の等式はそのまま成り立つ。$N\geq3$では§D1.17 定理 3.6を真の内点$2,\ldots,N-1$で繰り返し適用すると

となる。したがって、上の不等式を$n=1,\ldots,N-1$について加えると、

を得る。

$I_N=\int_1^N f(x)\,dx$とおく。$N\geq2$に対して、§D1.17 定理 3.6と§D1.17 命題 3.4により

である。ここで、最後の不等式には、定数関数$0$の積分値が$0$であるという上の Darboux 和の計算と、$0\leq f(x)$を用いた。したがって$\{I_N\}_{N\geq2}$は単調増加である。

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$が収束するとする。上の不等式により$I_N\leq\sum_{n=1}^{N-1}a_n$であり、右辺は上に有界である。§D1.7 定理 1.1により、ある$L\in\mathbb R$に対して$I_N\to L$である。

任意の実数$t\geq2$に対して$m=\lfloor t\rfloor$とおく。$t=m$ならば$\int_1^t f(x)\,dx=I_m$である。$m<t<m+1$ならば、§D1.17 定理 3.6により

である。二つの右端の積分は、定数関数$0$との点ごとの比較と§D1.17 命題 3.4により非負である。$t=m$の場合には左の不等式が等号であるから、すべての$t\geq2$に対して

である。$t\to\infty$ならば$m\to\infty$であり、両端はともに$L$に収束する。したがって$\int_1^t f(x)\,dx\to L$であり、広義積分は収束する。

広義積分が収束するとき、$\{I_N\}_{N\geq2}$は上に有界である。左辺の不等式により$\sum_{n=2}^{N}a_n$も上に有界である。この部分和は単調増加であるから、§D1.7 定理 1.1により収束する。初項$a_1$を加えると$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$も収束する。▨

証明.$S_N=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}b_k$とおく。$b_{2n+1}\geq b_{2n+2}$であるから、

であり、$\{S_{2n}\}$は単調増加である。また、

である。§D1.7 定理 1.1により、ある$S\in\mathbb R$に対して$S_{2n}\to S$となる。$S_{2n+1}=S_{2n}+b_{2n+1}$と$b_{2n+1}\to0$から$S_{2n+1}\to S$である。偶数番目と奇数番目の部分列がともに$S$へ収束するから、$S_N\to S$である。▨

証明.$P=\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$、$Q=\sum_{n=0}^{\infty}|b_n|$とおく。有限和について項を並べ替えると、

である。左辺は$N$について単調に増加して上に有界であるから、§D1.7 定理 1.1により$\sum |c_k|$は収束する。

$A_N=\sum_{i=0}^{N}a_i$、$B_N=\sum_{j=0}^{N}b_j$、$C_N=\sum_{k=0}^{N}c_k$とおく。二重和のうち$i+j>N$を満たす項では、$i>N/2$または$j>N/2$が成り立つので、

である。特に、正方形領域の和$A_NB_N$と三角形領域の和$C_N$の差について

である。また、収束列$\{A_N\}$は有界であるから、実数または複素数の絶対値について

である。したがって$C_N\to AB$であり、$\sum c_k=AB$である。▨

証明.$P_N=\sum_{n=1}^{N}a_n^+$、$Q_N=\sum_{n=1}^{N}a_n^-$、$S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$、$T_N=\sum_{n=1}^{N}|a_n|$とおく。$a_n=a_n^+-a_n^-$と$|a_n|=a_n^++a_n^-$から、

である。

$\sum a_n$は条件収束するから、$\{S_N\}$は収束し、$\{T_N\}$は収束しない。$\{T_N\}$は非負項級数の部分和として単調増加である。$\{T_N\}$が上に有界ならば§D1.7 定理 1.1により収束するため、$\{T_N\}$は上に有界でない。したがって$T_N\to+\infty$である。$\{S_N\}$は有界であるから、上の二つの等式により$P_N\to+\infty$かつ$Q_N\to+\infty$である。▨

証明.$I_+=\{n\geq1\mid a_n>0\}$、$I_-=\{n\geq1\mid a_n<0\}$、$I_0=\{n\geq1\mid a_n=0\}$とおく。補題 6.1により、$I_+$と$I_-$は無限集合であり、正項の和と負項の絶対値の和はともに$+\infty$へ発散する。各集合の元を元の添字順に

と並べる。$I_0$が無限集合ならば$I_0=\{z_1<z_2<\cdots\}$と並べ、有限集合ならばその全要素を昇順に並べる。また、命題 1.1により$a_n\to0$である。

未使用の正項を元の添字順に少なくとも一つ加え、部分和が$L$を越えるまで正項を加える。正項の和が$+\infty$へ発散するため、この操作は有限回で終了する。未使用の零項があれば、そのうち添字が最小のものを一つ加える。未使用の負項を元の添字順に少なくとも一つ加え、部分和が$L$を下回るまで負項を加える。負項の絶対値の和が$+\infty$へ発散するため、この操作も有限回で終了する。未使用の零項があれば、そのうち添字が最小のものを一つ加える。以上の二つの操作を繰り返す。

第$k$正項ブロックの終了時の部分和を$U_k$、第$k$負項ブロックの終了時の部分和を$V_k$とする。零項を加えても部分和は変わらないため、零項を加えた直後にも同じ記号を用いる。第$2$正項ブロック以降は直前の部分和が$L$より小さい。第$k$正項ブロックで最後に加えた項を$a_{p_{r_k}}$とすれば、$k\geq2$に対して

である。第$k$負項ブロックで最後に加えた項を$a_{q_{s_k}}$とすれば、

である。各ブロックで少なくとも一つの正項と一つの負項を使うため、$p_{r_k}\to\infty$かつ$q_{s_k}\to\infty$である。$a_n\to0$と二つの不等式から、$U_k\to L$かつ$V_k\to L$となる。

$k\geq2$において、第$k$正項ブロック内の各部分和は$V_{k-1}$と$U_k$の間にあり、第$k$負項ブロック内の各部分和は$V_k$と$U_k$の間にある。挿入した零項の直後の部分和は対応する端点に等しい。$V_{k-1}\to L$、$U_k\to L$、$V_k\to L$であるから、ブロック内の部分和も含め、構成した級数のすべての部分和は$L$へ収束する。

各段階では各符号の未使用項のうち添字が最小のものから使い、各正項ブロックと各負項ブロックは少なくとも一つの項を含む。したがって、すべての正項と負項は有限の段階でちょうど一度使われる。各半ブロックの後に未使用の零項を一つずつ使うため、零項が有限個の場合にも無限個の場合にも、すべての零項が有限の段階でちょうど一度使われる。ゆえに、構成した項の列は元の添字集合の置換$\pi\colon\mathbb Z_{\geq1}\to\mathbb Z_{\geq1}$を定め、その部分和は$L$へ収束する。▨