§D1.26パラメータを用いた広義積分の計算

例 3.2 (順序交換による計算).$0<a<b$とするとき

が成り立つ。ただし被積分関数の$x=0$での値は$b-a$と定める。

$f(x,t)=e^{-tx}$（$x \ge 0$、$t \in [a,b]$）とおく。$\int_0^\infty e^{-tx}dx=\dfrac1t$である。仮定を確かめる。$x\mapsto e^{-tx}$は連続である。$A_1>0$を固定すると、平均値の定理により$x\in[0,A_1]$と$t,t'\in[a,b]$について$|e^{-tx}-e^{-t'x}| \le x|t-t'| \le A_1|t-t'|$であり、右辺は$x$に依らない。また$|e^{-tx}-e^{-tx'}| \le t|x-x'| \le b|x-x'|$であり、右辺は$t$に依らない。一様収束については、$A>0$と$t\in[a,b]$に対して

であり、右辺は$t$に依らず$A\to\infty$で$0$へ収束する。

したがって定理 3.1を適用することができ、

となる。左辺は$\log b-\log a$である。内側の積分は、$x>0$では$\int_a^b e^{-tx}dt=\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}$、$x=0$では$b-a$である。

例 4.1 (ガウス積分).

収束すること.$x \ge 1$では$x^2 \ge x$より$e^{-x^2} \le e^{-x}$であり、$\int_1^\infty e^{-x}dx=e^{-1}$は収束するから、§D1.20 定理 3.1により$\int_1^\infty e^{-x^2}dx$は収束する。$[0,1]$では被積分関数が連続であるから積分は定まる。求める値を$J=\int_0^\infty e^{-x^2}dx>0$と書く。

二つの関数を作る.$t \ge 0$に対して

とおく。

$F$の微分.$\int_0^t e^{-x^2}dx$は§D1.19 定理 1.1により微分可能で導関数は$e^{-t^2}$であるから、積の微分により$F'(t)=2e^{-t^2}\int_0^t e^{-x^2}dx$である。

$G$の微分.$\varphi(u,t)=\dfrac{e^{-t^2(1+u^2)}}{1+u^2}$とおき、$T>0$を任意に固定して、パラメータ$t$の範囲を開区間$(0,T+1)$として補題 2.1を適用する。仮定を確かめる。各$t$について$u\mapsto\varphi(u,t)$は$[0,1]$上連続である。各$u$について$t\mapsto\varphi(u,t)$は微分可能で$\varphi_t(u,t)=-2t\,e^{-t^2(1+u^2)}$であり、これは各$t$について$u$の連続関数である。最後に、$\varphi_t$をさらに$t$で微分すると

であり、$u\in[0,1]$と$t\in(0,T+1)$では$1+u^2 \le 2$、$e^{-t^2(1+u^2)} \le 1$であるから、その絶対値は$2+8(T+1)^2$以下である。したがって平均値の定理により$|\varphi_t(u,t)-\varphi_t(u,t')| \le \bigl(2+8(T+1)^2\bigr)|t-t'|$となり、右辺は$u$に依らない。これは定義 1.2の条件である。

よって

である。$t>0$のとき$x=tu$と置換すると$\int_0^1 e^{-t^2u^2}du=\frac1t\int_0^t e^{-x^2}dx$であるから、

である。したがって$(F+G)'=0$は$(0,\infty)$上で成り立つ。

定数を決める.§D1.14 系 4.1により$F+G$は$(0,\infty)$上で定数である。$F$と$G$は$[0,\infty)$上で連続であるから、$t\to0+$とすると、この定数値は

である。一方$t\to\infty$とすると、$e^{-t^2(1+u^2)} \le e^{-t^2}$より$0 \le G(t) \le e^{-t^2}\cdot\frac\pi4 \to 0$であり、$F(t) \to J^2$である。したがって$J^2=\frac\pi4$であり、$J>0$より$J=\frac{\sqrt\pi}{2}$である。

例 5.1 (正弦を変数で割った関数の広義積分).

被積分関数は$x=0$で定義されないが、$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$であるから、$x=0$での値を$1$と定めると$[0,\infty)$上の連続関数になる。積分が収束することは§D1.20 例 4.1による。

$t \ge 0$に対して

とおく（$x=0$での被積分関数の値は$1$と定める）。

各$t$で収束すること.$t>0$では$\left|e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\right| \le e^{-tx}$であり、$\int_0^\infty e^{-tx}dx=\frac1t$が収束するので、§D1.20 定理 3.1により絶対収束する。$t=0$では上に述べたとおり収束する。

収束が$[0,\infty)$上一様であること.$1 \le A<B$とし、$S(x)=\int_A^x\sin u\,du=\cos A-\cos x$とおく。$S(A)=0$かつ$|S(x)| \le 2$である。$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{-tx}}{x}\right) =-e^{-tx}\left(\frac tx+\frac1{x^2}\right)$であるから、部分積分により

である。第一項は$S(A)=0$より$\frac{e^{-tB}S(B)}{B}$に等しく、その絶対値は$\frac2B \le \frac2A$以下である。第二項は

と評価される（$\int_A^B t e^{-tx}dx=e^{-tA}-e^{-tB} \le 1$、$\int_A^B x^{-2}dx \le \frac1A$、いずれも$t \ge 0$で成り立つ）。したがって$A \ge 1$と$B>A$と$t \ge 0$について

である。$B\to\infty$の極限を取ると$\left|F(t)-\int_0^A e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx\right| \le \frac6A$となり、右辺は$t$に依らず$0$へ収束する。よって収束は$[0,\infty)$上一様である。

$F$が$[0,\infty)$上連続であること. 各$t$について$x\mapsto e^{-tx}\frac{\sin x}{x}$は連続である。$A>0$を固定すると、$x\in[0,A]$と$t,t'\ge0$について、平均値の定理により$|e^{-tx}-e^{-t'x}| \le x|t-t'| \le A|t-t'|$であり、$\left|\frac{\sin x}{x}\right| \le 1$であるから$\left|e^{-tx}\frac{\sin x}{x}-e^{-t'x}\frac{\sin x}{x}\right| \le A|t-t'|$となって、右辺は$x$に依らない。一様収束は上で示した。したがって定理 1.4により$F$は$[0,\infty)$上連続である。

$t>0$での微分.$\delta>0$を固定し、開区間$I=(\delta,\infty)$の上で定理 2.2を適用する。$f(x,t)=e^{-tx}\frac{\sin x}{x}$とおくと$f_t(x,t)=-e^{-tx}\sin x$である。各$t$について$x\mapsto f_t(x,t)$は連続である。$A>0$について、$x\in[0,A]$と$t,t'\in I$で$|f_t(x,t)-f_t(x,t')| \le x|t-t'| \le A|t-t'|$であるから、変数について一様な連続性が成り立つ。また$|f_t(x,t)| \le e^{-\delta x}$であり$\int_0^\infty e^{-\delta x}dx$は収束するから、定理 1.3により$\int_0^\infty f_t(x,t)dx$は$I$上一様に収束する。よって

である。右辺を計算する。$-\dfrac{e^{-tx}(t\sin x+\cos x)}{1+t^2}$は$e^{-tx}\sin x$の原始関数であるから、§D1.19 定理 2.1により

である。$\delta>0$は任意であるから、$t>0$で$F'(t)=-\dfrac1{1+t^2}$が成り立つ。

定数を決める.$\arctan$の導関数は$\frac1{1+t^2}$であるから、$F(t)+\arctan t$の導関数は$t>0$で$0$であり、§D1.14 系 4.1により定数である。この定数を$C$とする。$t>0$では$\left|\frac{\sin x}{x}\right| \le 1$より$|F(t)| \le \int_0^\infty e^{-tx}dx=\frac1t$であるから、$t\to\infty$で$F(t)\to0$である。また$\arctan t \to \frac\pi2$であるから$C=\frac\pi2$、すなわち

である。

$t=0$へ戻る.$F$は$[0,\infty)$上連続であったから、$t\to0+$の極限を取ることができ、

となる。