§D1.19微積分学の基本定理

証明.$x\in(a,b)$と$h\ne0$（$x+h\in[a,b]$）をとる。§D1.17 命題 3.8と§D1.17 定義 3.7により

である。さらに、§D1.17 系 3.3を$[\min\{x,x+h\},\max\{x,x+h\}]$上で適用し、§D1.17 定義 3.7によって向きを戻すと、

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} - f(x) = \frac1h \int_x^{x+h} \big(f(t) - f(x)\big)\,dt.$

$\varepsilon>0$をとる。$f$の連続性により、ある$\delta>0$が存在して、$|t-x|<\delta$ならば$|f(t)-f(x)|<\varepsilon$となる。$0<|h|<\delta$のとき、$x$と$x+h$の間の各$t$について$|f(t)-f(x)|<\varepsilon$であるから、§D1.17 命題 3.9により

$\left|\frac1h \int_x^{x+h} (f(t)-f(x))\,dt\right| \le \frac1{|h|}\cdot|h|\cdot\varepsilon = \varepsilon.$

したがって

であり、$F'(x)=f(x)$である。

$x=a$として$h>0$とすると、上の差商の等式と長さ評価をそのまま適用することができる。$a$における$f$の連続性により

であるから、$F'_+(a)=f(a)$である。同様に、$x=b$として$h<0$とし、$b$における$f$の連続性を用いると

であるから、$F'_-(b)=f(b)$である。▨

証明.$G(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$とおく。定理 1.1により、$G$は$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能であり、$G'=f$である。したがって$F-G$は$(a,b)$上で導関数が$0$であり、§D1.14 系 4.1により$(a,b)$上で定数である。$F-G$は$[a,b]$上連続であるから、この定数値は端点にも延長され、$F(b)-G(b)=F(a)-G(a)$となる。$G(a)=0$および$G(b)=\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$であるから、主張が従う。▨

証明 (リーマン和による別証明).$\varepsilon>0$をとる。$f$は連続であるから§D1.17 定理 2.5により可積分であり、§D1.17 定理 2.4により

を満たす分割$P:a=x_0<\cdots<x_n=b$が存在する。各小区間で$F$に§D1.14 定理 3.1 (平均値の定理)を適用すると、ある$\xi_i\in(x_{i-1},x_i)$が存在して

となる。これらの等式を加えると

$F(b) - F(a) = \sum_i f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}).$

各$\xi_i$は対応する小区間に属するから、右辺のリーマン和を$S_P$とおくと

である。一方、§D1.17 命題 2.3により

である。したがって

$\varepsilon>0$は任意であるから、$F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\,dx$である。▨

証明.§D1.13 定理 2.1 (最大値の定理)により、$f(u)=m$と$f(v)=M$を満たす$u,v\in[a,b]$が存在する。$m\leq f\leq M$であるから、§D1.17 命題 3.4により

である。したがって平均値$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$は$[m,M]$に属する。$m=M$ならば$\xi=u$とすればよい。$m<M$ならば$u\ne v$であり、$c=\min\{u,v\}$、$d=\max\{u,v\}$とおくと、$f(c)$と$f(d)$は$m$と$M$のいずれかである。§D1.12 系 1.2 (中間値の定理・一般形)を$[c,d]$上の$f$に適用すると、この平均値を$f(\xi)$にとる$\xi\in[c,d]\subseteq[a,b]$が存在する。▨