§E2.19コンパクト空間

証明.(1)を示す。$I_0\subseteq I$に対して、包含写像$I_0\to I$は各$i\in I_0$について$A_i\subseteq A_i$を満たすから、細分射である。

(2)を示す。細分射$f\colon I\to J$と$g\colon J\to K$に対して$A_i\subseteq B_{f(i)}\subseteq C_{g(f(i))}$が成り立つから、合成$g\circ f$は細分射である。

(3)を示す。$\mathcal A\prec\mathcal B$であるとすると、細分射$f\colon I\to J$が各$i\in I$に対して$A_i\subseteq B_{f(i)}$を満たす添字を与える。逆に、任意の$i\in I$に対して$A_i\subseteq B_j$を満たす$j\in J$が存在すると仮定し、各$i\in I$に対して$J_i=\{j\in J\mid A_i\subseteq B_j\}$とおくと、仮定により$J_i\neq\emptyset$である。$I$は有限集合であるから、§E1.18 補題 2.6 (1)は族$(J_i)_{i\in I}$の選択関数$f\colon I\to J$を与える。この$f$は細分射であるから$\mathcal A\prec\mathcal B$が成り立つ。▨

証明.$\mathcal U=(U_i)_{i\in I}$と書き、

とおいて、第二成分への射影が定める族を$\mathcal B_0=(B)_{(i,B)\in J}$とする。$x\in X$をとると、$\mathcal U$は$X$の被覆であるから$x\in U_i$を満たす$i\in I$が存在し、§E2.13 命題 1.2 (2)により$x\in B\subseteq U_i$を満たす$B\in\mathcal B$が存在する。この$(i,B)$は$J$に属するから、$\mathcal B_0$は$X$の被覆である。また、第一成分への射影$J\to I$は各$(i,B)\in J$について$B\subseteq U_i$を満たすから細分射であり、$\mathcal B_0\prec\mathcal U$が成り立つ。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。開被覆の有限部分被覆は$X$の有限被覆であり、もとの開被覆の部分族であるから、補題 1.3 (1)により細分である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$\mathcal U=(U_i)_{i\in I}$を$X$の開被覆とし、有限被覆$\mathcal A=(A_j)_{j\in J}$と細分射$f\colon J\to I$が$\mathcal A\prec\mathcal U$を与えるとする。各$j\in J$について$A_j\subseteq U_{f(j)}$であるから$X=\bigcup_{j\in J}A_j\subseteq\bigcup_{j\in J}U_{f(j)}$であり、像$f(J)\subseteq I$は有限集合であるから、$(U_i)_{i\in f(J)}$は$\mathcal U$の有限部分被覆である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$\mathcal B$として$X$の開集合系そのものをとればよい。値がすべて開集合である被覆は開被覆であるから、(2)がそのまま条件を与える。

(3)$\Rightarrow$(2)を示す。$\mathcal B$を(3)の条件を満たす開基とし、$\mathcal U$を$X$の開被覆とする。補題 1.4により、値がすべて$\mathcal B$に属する$X$の被覆$\mathcal B_0$で$\mathcal B_0\prec\mathcal U$を満たすものが存在する。仮定により$\mathcal B_0$は有限被覆による細分$\mathcal A$をもつ。$\mathcal A\prec\mathcal B_0$かつ$\mathcal B_0\prec\mathcal U$であるから、補題 1.3 (2)により$\mathcal A\prec\mathcal U$である。▨

証明.$\mathcal U=(U_i)_{i\in I}$を$X$の開被覆とする。一点集合の族$(\{x\})_{x\in X}$は$X$の有限被覆であり、各$x\in X$は$\mathcal U$のいずれかの値に属するから、$\{x\}\subseteq U_i$を満たす$i\in I$が存在する。その添字集合$X$は有限集合であるから、補題 1.3 (3)によりこの族は$\mathcal U$の細分である。ゆえに補題 2.2 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$X$はコンパクトである。▨

証明. 必要性を示す。$\mathcal U\subseteq\mathcal O$が$X=\bigcup\mathcal U$を満たすとき、$\mathcal U$をそれ自身の元で添字づけた族$(U)_{U\in\mathcal U}$は$X$の開被覆であるから有限部分被覆をもち、その添字集合が求める有限部分集合である。

十分性を示す。$(U_i)_{i\in I}$を$X$の任意の開被覆とし、$\mathcal U=\{U_i\mid i\in I\}$とおく。$X=\bigcup\mathcal U$であるから、仮定により$X=\bigcup\mathcal U_0$を満たす有限部分集合$\mathcal U_0\subseteq\mathcal U$が存在する。族$(U)_{U\in\mathcal U_0}$は$X$の有限被覆であり、各$U\in\mathcal U_0$は$U=U_i$を満たす$i\in I$をもつから、$U\subseteq U_i$を満たす$i\in I$が存在する。その添字集合$\mathcal U_0$は有限集合であるから、補題 1.3 (3)によりこの族は$(U_i)_{i\in I}$の細分である。開被覆$(U_i)_{i\in I}$は任意であったから、補題 2.2 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$X$はコンパクトである。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$K$がコンパクトであると仮定し、$(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を第二条件の開集合族とする。§E2.12 定義 4.1により$(K\cap U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$は$K$の開被覆である。有限個の$K\cap U_{\lambda_i}$が$K$を覆うならば、対応する有限個の$U_{\lambda_i}$も$K$を覆う。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。第二条件を仮定し、$(V_j)_{j\in J}$を$K$の開被覆とする。各$j\in J$に対して

とおく。部分空間位相の定義により右辺の集合は空でなく、$U_j$は$X$の開集合であって$U_j\cap K=V_j$を満たす。したがって$(U_j)_{j\in J}$は$K$を覆う。第二条件から有限個の$U_{j_1},\ldots,U_{j_m}$が$K$を覆い、各集合と$K$との共通部分をとると$V_{j_1},\ldots,V_{j_m}$が$K$を覆う。ゆえに$K$はコンパクトである。▨

証明.§E2.12 系 4.5により、$A$が$Y$から受ける部分空間位相は、$A$が$Z$から受ける部分空間位相に一致する。定義 2.1により、部分集合がコンパクトであるとは部分空間位相を入れたその集合がコンパクト空間であることであるから、二つの条件はいずれも同じ位相空間$A$がコンパクトであることを述べている。▨

証明.$(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を$K_1\cup\cdots\cup K_m$を覆う$X$の開集合族とする。各$i$についてこの族は$K_i$を覆うため、命題 2.6により、$K_i$を覆う有限部分族の全体は空でない。添字$i$は$1$から$m$までの$m$個であるから、§E1.18 補題 2.6 (1)により、各$i$に対する有限部分族を同時にとることができる。それらを合わせた族は有限であり、$K_1\cup\cdots\cup K_m$を覆う。したがって命題 2.6により和集合はコンパクトである。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$がコンパクトであると仮定し、$(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を第二条件の閉集合族とする。$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda=\emptyset$ならば、§E1.2 定理 3.2により$(X\setminus F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$は$X$の開被覆である。有限部分被覆$X\setminus F_{\lambda_1},\ldots,X\setminus F_{\lambda_k}$をとると、同じド・モルガン則から$F_{\lambda_1}\cap\cdots\cap F_{\lambda_k}=\emptyset$となり、有限交差性に反する。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。第二条件を仮定する。$X$がコンパクトでないならば、有限部分被覆をもたない開被覆$(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$が存在する。$X=\emptyset$ならば空の部分族が有限部分被覆になるため、$X\neq\emptyset$かつ$\Lambda\neq\emptyset$である。$F_\lambda=X\setminus U_\lambda$とおくと、被覆であることと§E1.2 定理 3.2から$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda=\emptyset$である。一方、どの有限個の$U_\lambda$も$X$を覆わないため、対応する有限個の$F_\lambda$の共通部分は空でない。これは第二条件に反する。したがって$X$はコンパクトである。▨

証明.$(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を$C$を覆う$X$の開集合族とする。$C$が閉集合であるため$X\setminus C$は開集合であり、この族に$X\setminus C$を付け加えた族は$X$の開被覆である。その有限部分被覆から$X\setminus C$を除いても$C$は覆われる。命題 2.6により$C$はコンパクトである。▨

証明.$(V_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を$f(X)$を覆う$Y$の開集合族とする。§E2.12 定義 1.1により$(f^{-1}(V_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$は$X$の開被覆である。有限個の逆像が$X$を覆うならば、対応する有限個の$V_\lambda$は$f(X)$を覆う。命題 2.6により$f(X)$はコンパクトである。▨

証明.定理 4.2により$K=f(X)$はコンパクトであり、$X\ne\emptyset$より$K\ne\emptyset$である。$K$が最大元をもたないと仮定する。各$y\in K$に対して$y<t$を満たす$t\in K$が存在するため、$\{(-\infty,t)\mid t\in K\}$は$K$を覆う$\mathbb R$の開集合族である。命題 2.6により、$K\subseteq(-\infty,t_1)\cup\cdots\cup(-\infty,t_m)$を満たす$t_1,\ldots,t_m\in K$が存在する。$K\neq\emptyset$であるから$m\geq1$であり、$t_*=\max_i t_i$とおくと$t_*\in K\subseteq(-\infty,t_*)$から$t_*<t_*$が従う。実数の順序について$t_*<t_*$は成り立たないから、$K$は最大元をもつ。▨

証明.補題 4.3により$f(X)$は最大元をもち、それを像にもつ$X$の点で$f$は最大値をとる。$t\mapsto -t$は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$-f$も連続であり、同じ補題により$(-f)(X)$は最大元$\gamma$をもつ。$(-f)(X)=\{-y\mid y\in f(X)\}$であるから$-\gamma$は$f(X)$の最小元であり、それを像にもつ$X$の点で$f$は最小値をとる。▨

証明.$Y=\emptyset$のときは$W=X$とおけばよい。以下では$Y\ne\emptyset$とする。

とおき、第二成分への射影が定める族$\mathcal V=(V)_{(U,V)\in J}$を考える。各$y\in Y$に対して$(x_0,y)\in N$であるから、§E2.14 補題 1.11と§E2.13 命題 1.2 (2)により、$x_0\in U$、$y\in V$、$U\times V\subseteq N$を満たす開集合$U\subseteq X$と$V\subseteq Y$が存在する。この$(U,V)$は$J$に属するから、$\mathcal V$は$Y$の開被覆である。

$Y$のコンパクト性により、有限部分集合$J_0\subseteq J$で$(V)_{(U,V)\in J_0}$が$Y$の被覆となるものが存在する。$Y\ne\emptyset$であるから$J_0\ne\emptyset$であり、

とおく。§E2.11 定義 1.1に掲げた有限共通部分の公理により$W$は開集合であり、$x_0\in W$である。任意の$(x,y)\in W\times Y$に対して$y\in V$を満たす$(U,V)\in J_0$が存在し、$x\in W\subseteq U$であるから$(x,y)\in U\times V\subseteq N$となる。ゆえに$W\times Y\subseteq N$である。▨

証明.$X=\emptyset$または$Y=\emptyset$ならば$X\times Y=\emptyset$であるから、例 2.3により$X\times Y$はコンパクトである。以下では$X\ne\emptyset$かつ$Y\ne\emptyset$とし、$\mathcal N=(N_k)_{k\in K}$を$X\times Y$の開被覆とする。

$x\in X$をとる。写像$j_x\colon Y\to X\times Y$を$j_x(y)=(x,y)$で定める。定値写像と恒等写像は連続であるから、§E2.14 定理 1.6により$j_x$は連続である。定理 4.2により$j_x(Y)=\{x\}\times Y$はコンパクトであるから、命題 2.6により有限部分集合$K_0\subseteq K$で$\{x\}\times Y\subseteq\bigcup_{k\in K_0}N_k$を満たすものが存在する。$N=\bigcup_{k\in K_0}N_k$に補題 5.1を適用すると、$x\in W$かつ$W\times Y\subseteq N$を満たす開集合$W\subseteq X$を得る。

そこで

とおき、第一成分への射影が定める族$\mathcal W=(W)_{(W,K_0)\in L}$を考える。前段により$\mathcal W$は$X$の開被覆である。$X$のコンパクト性により、有限部分集合$L_0\subseteq L$で$(W)_{(W,K_0)\in L_0}$が$X$の被覆となるものが存在する。$K_1=\bigcup_{(W,K_0)\in L_0}K_0$は有限集合であり、

となる。ゆえに$(N_k)_{k\in K_1}$は$\mathcal N$の有限部分被覆であり、$X\times Y$はコンパクトである。▨

証明.§E1.2 命題 5.4による同一視のもとで、一項の積の積位相は$X_1$のもとの位相に一致する。したがって$n=1$のとき、主張は仮定から従う。$P_n=X_1\times\cdots\times X_n$がコンパクトであると仮定すると、定理 5.3により$P_n\times X_{n+1}$はコンパクトである。§E2.14 補題 1.15で定めた写像$R\colon P_n\times X_{n+1}\to X_1\times\cdots\times X_{n+1}$は連続かつ全射であるため、定理 4.2によりその像はコンパクトである。数学的帰納法により、すべての正の整数$n$に対して主張が成り立つ。▨

証明.(1)を示す。$X$を Hausdorff 空間とし、$y\in X\setminus K$をとる。$K=\emptyset$ならば$U=X$、$V=\emptyset$が結論を満たす。以下では$K\ne\emptyset$とする。

各$x\in K$に対し、$X$の Hausdorff 性により開集合$x\in U_x, y\in V_x, U_x\cap V_x = \emptyset$を選べば、$K\subset \bigcup_{x\in K}U_x$となる。$K$はコンパクトであるから、ある有限部分集合$K_0\subset K$が存在して$K\subset \bigcup_{x\in K_0}U_x =: U$となる。このとき$V:= \bigcap_{x\in K_0}V_x$とおけば、これは$y\in V, U\cap V = \emptyset$となる開集合である。

(2)を示す。$X$を正則空間とし、$K\cap F=\emptyset$を満たす$X$の閉集合$F$をとる。$K=\emptyset$ならば$U=X$、$V=\emptyset$が結論を満たす。以下では$K\ne\emptyset$とする。

各$x\in K$に対し、$X$の正則性により開集合$x\in U_x, F\subset V_x, U_x\cap V_x = \emptyset$を選べば、$K\subset \bigcup_{x\in K}U_x$となる。$K$はコンパクトであるから、ある有限部分集合$K_0\subset K$が存在して$K\subset \bigcup_{x\in K_0}U_x =: U$となる。このとき$V:= \bigcap_{x\in K_0}V_x$とおけば、これは$F\subset V, U\cap V = \emptyset$となる開集合である。

(3)を示す。$X$を完全正則空間とし、$K\cap F=\emptyset$を満たす$X$の閉集合$F$をとる。$K=\emptyset$ならば、§E2.12 例 1.12により値$1$をとる定値写像$f\colon X\to[0,1]$は連続であり、$K$が空であることから$K$のすべての点で値$0$をとるという条件も満たされるので、$f$が結論を満たす。以下では$K\ne\emptyset$とする。

各$x\in K$に対し、$X$の完全正則性により、$f_x(x)=0$かつ$f_x(F)\subseteq\{1\}$を満たす連続関数$f_x\colon X\to[0,1]$を選べば、$K\subset \bigcup_{x\in K}f_x^{-1}([0,1/2))$となる。$K$はコンパクトであり、各$f_x^{-1}([0,1/2))$は開であるから、ある有限部分集合$K_0\subset K$が存在して$K\subset \bigcup_{x\in K_0}f_x^{-1}([0,1/2)) =: U$となる。このとき、$f(t):=\min \{\max\{2f_x(t)-1, 0\}\mid x\in K_0\}$とおけば、これは連続で、さらに$f(K)\subset \{0\}, f(F)\subset \{1\}$を満たす。▨

証明.$y\in X\setminus K$をとる。補題 6.1 (1)により、$y\in U$、$K\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。$K\subseteq V$と$U\cap V=\emptyset$から$U\cap K=\emptyset$であり、$y\in U\subseteq X\setminus K$である。$y$は$X\setminus K$の任意の点であったから、$X\setminus K$は開集合であり、したがって$K$は閉集合である。▨

証明.定理 4.2により$f(X)$は$Y$のコンパクト部分集合であり、$Y$が Hausdorff であるから命題 6.4により$f(X)$は$Y$の閉集合である。$f(X)$が$Y$で稠密ならば、§E2.11 定義 2.7により$\overline{f(X)}=Y$であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline{f(X)}=f(X)$であるから$f(X)=Y$である。▨

証明.$F$を$X$の閉集合とする。$X$のコンパクト性から$F$はコンパクトである命題 4.1。$f$の連続性から$f(F)$は$Y$のコンパクト部分集合である定理 4.2。$Y$は Hausdorff であるから、命題 6.4より$f(F)$は$Y$の閉集合である。

したがって$f$は閉写像である。$f$は連続な全単射であるから、閉写像判定§E2.12 命題 6.3により$f$は同相写像である。▨

証明.§E2.13 定義 5.7により、$\lvert\mathcal B\rvert=w(K)$を満たす$K$の開基$\mathcal B$をとる。$\mathcal B$の有限部分集合$\mathcal F$に対する和集合$\bigcup\mathcal F$の全体を$\mathcal B'$とおく。$\mathcal B'$は$[\mathcal B]^{<\omega}$の$\mathcal F\mapsto\bigcup\mathcal F$による像であり、§E1.20 系 2.4 (2)が与える切断は単射であるから、$\lvert\mathcal B'\rvert\le\lvert[\mathcal B]^{<\omega}\rvert$である。$\mathcal B$が有限ならば$[\mathcal B]^{<\omega}=\mathcal P(\mathcal B)$は有限集合であり、$\mathcal B$が無限ならば§E1.22 補題 6.3により$\lvert[\mathcal B]^{<\omega}\rvert=\lvert\mathcal B\rvert$である。ゆえに$\lvert\mathcal B'\rvert\le\max\{w(K),\aleph_0\}$である。

$B\in\mathcal B'$に対して$V_B=Y\setminus g(K\setminus B)$とおく。§E2.20 命題 1.2 (4)により$g$は閉写像であり、$K\setminus B$は$K$の閉集合であるから、$V_B$は$Y$の開集合である。

$W$を$Y$の開集合、$y\in W$とする。§E2.15 定理 1.11 (4)と§E2.15 命題 1.5により$\{y\}$は$Y$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6により$g^{-1}(\{y\})$は$K$の閉集合であり、命題 4.1によりコンパクトである。各$k\in g^{-1}(\{y\})$に対して、$g^{-1}(W)$は$k$を含む開集合であるから、§E2.13 命題 1.2 (2)により$k\in B_k\subseteq g^{-1}(W)$を満たす$B_k\in\mathcal B$が存在する。命題 2.6 (2)により、有限個の$k_1,\dots,k_n\in g^{-1}(\{y\})$で$g^{-1}(\{y\})\subseteq B_{k_1}\cup\dots\cup B_{k_n}$を満たすものが存在する。$B=B_{k_1}\cup\dots\cup B_{k_n}$とおくと$B\in\mathcal B'$であり、$g^{-1}(\{y\})\subseteq B\subseteq g^{-1}(W)$である。

$y\in g(K\setminus B)$とすると、$g(k)=y$を満たす$k\in K\setminus B$が存在するが、$k\in g^{-1}(\{y\})\subseteq B$であるから矛盾する。ゆえに$y\in V_B$である。$y'\in V_B$とすると、$g$は全射であるから$g(k')=y'$を満たす$k'\in K$が存在し、$y'\notin g(K\setminus B)$であるから$k'\in B\subseteq g^{-1}(W)$であり、$y'=g(k')\in W$である。ゆえに$y\in V_B\subseteq W$である。

したがって§E2.13 命題 1.2 (2)により$\{V_B\mid B\in\mathcal B'\}$は$Y$の開基であり、§E2.13 定義 5.7により$w(Y)\le\lvert\{V_B\mid B\in\mathcal B'\}\rvert\le\lvert\mathcal B'\rvert\le\max\{w(K),\aleph_0\}$である。▨

証明.$K$を$X$の閉集合、$x\in X\setminus K$とする。$X$はコンパクトであるから、命題 4.1により$K$はコンパクトである。補題 6.1 (1)により、$x\in U$、$K\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。ゆえに$X$は正則である。▨

証明.$A,B$を互いに素な$X$の閉集合とする。命題 4.1により$A$と$B$はコンパクトであり、$X$は Hausdorff であるから、命題 6.3により$A\subseteq U$、$B\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。ゆえに$X$は正規である。さらに Hausdorff 性から$X$は T1 である§E2.15 定理 1.11。ゆえに$X$は T4 である§E2.15 定義 1.8。▨