全微分可能性 | 実解析 II | 天游ヶ丘数理学院

1 微分の定義と基本性質

定義 1.1. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f\colon U\to\mathbb R^m$ を写像、 $a\in U$ を評価点とする。 $e_j\in\mathbb R^n$ を第 $j$ 標準基底ベクトルとする。極限が存在するとき、

\partial_j f(a) =\lim_{t\to0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t} \in\mathbb R^m

を $f$ の $a$ における第 $j$ 偏微分 (partial derivative) という。

$v\in\mathbb R^n$ を方向とする。極限が存在するとき、

D_vf(a) =\lim_{t\to0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t} \in\mathbb R^m

を $f$ の $a$ における $v$ 方向の方向微分 (directional derivative) という。偏微分は $D_{e_j}f(a)$ という特定の方向微分である。方向 $v$ ごとに方向微分が存在しても、写像 $v\mapsto D_vf(a)$ が線形であるとは限らない。

定義 1.2. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f\colon U\to\mathbb R^m$ を写像、 $a\in U$ を評価点とする。線形写像

A\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)

が存在して

\lim_{\substack{h\to0\\h\ne0}} \frac{\lVert f(a+h)-f(a)-Ah\rVert}{\lVert h\rVert}=0

となるとき、 $f$ は $a$ で全微分可能 (totally differentiable) であるという。この線形写像が一意であることは命題 1.5で証明し、一意な線形写像を全微分 (total derivative) といい、

Df(a)\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)

と書く。

$r(h)=f(a+h)-f(a)-Df(a)h$ とおけば、全微分可能性は

f(a+h)=f(a)+Df(a)h+r(h), \qquad \frac{\lVert r(h)\rVert}{\lVert h\rVert}\longrightarrow0

と同値である。

定義 1.3. $A\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)$ に対して、 $A$ の作用素ノルム (operator norm) を

\lVert A\rVert_{\mathrm{op}} =\sup_{\lVert h\rVert=1}\lVert Ah\rVert

で定める。

命題 1.4. 任意の $A\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)$ に対して $\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}$ は有限であり、任意の $h\in\mathbb R^n$ について

\lVert Ah\rVert\leq\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lVert h\rVert

が成り立つ。さらに、 $A$ の標準基底に関する行列を $(a_{ij})$ とすると、

\lVert A\rVert_{\mathrm{op}} \leq\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2\right)^{1/2}

である。

証明. $A$ の標準基底に関する行列を $(a_{ij})$ とする。Cauchy–Schwarz の不等式により、任意の $h=(h_1,\ldots,h_n)$ について

\lVert Ah\rVert^2 =\sum_{i=1}^m\left|\sum_{j=1}^na_{ij}h_j\right|^2 \leq\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2\right)\lVert h\rVert^2

となる。したがって、 $\lVert h\rVert=1$ を満たす $h$ に関する上限は有限である。 $h\ne0$ のとき、 $h/\lVert h\rVert$ は単位ベクトルであるから、

\lVert Ah\rVert =\lVert h\rVert\left\lVert A\frac{h}{\lVert h\rVert}\right\rVert \leq\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lVert h\rVert

を得る。 $h=0$ の場合にも同じ不等式が成り立つ。▨

命題 1.5. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f\colon U\to\mathbb R^m$ を写像、 $a\in U$ とする。 $f$ が $a$ で全微分可能ならば、次が成り立つ。

$Df(a)\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)$ は一意である。
$f$ は $a$ で連続である。
任意の $v\in\mathbb R^n$ に対して $D_vf(a)$ が存在し、 $D_vf(a)=Df(a)v$ となる。特に、任意の $j$ に対して $\partial_jf(a)=Df(a)e_j$ である。

証明. $A,B\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)$ がともに全微分可能性の定義を満たすとする。任意の単位ベクトル $v\in\mathbb R^n$ と十分小さい $t\ne0$ に対して

\lVert(A-B)v\rVert \leq \frac{\lVert f(a+tv)-f(a)-Atv\rVert}{|t|} +\frac{\lVert f(a+tv)-f(a)-Btv\rVert}{|t|}

である。 $t\to0$ とすると右辺は $0$ へ収束するため、 $(A-B)v=0$ となる。任意の単位ベクトル $v$ について $(A-B)v=0$ となるから、 $A=B$ である。

$A=Df(a)$ とし、 $r(h)=f(a+h)-f(a)-Ah$ とおく。命題 1.4により

\lVert f(a+h)-f(a)\rVert \leq\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lVert h\rVert+\lVert r(h)\rVert

である。右辺は $h\to0$ のとき $0$ へ収束するから、 $f(a+h)\to f(a)$ である。したがって§E4.1 定義 1.1により、 $f$ は $a$ で連続である。

$v\in\mathbb R^n$ とする。 $v=0$ のときは $D_0f(a)=0=A0$ である。 $v\ne0$ とすると、十分小さい $t\ne0$ について

\frac{f(a+tv)-f(a)}{t} =Av+\frac{r(tv)}{t}

であり、

\left\lVert\frac{r(tv)}{t}\right\rVert =\lVert v\rVert\frac{\lVert r(tv)\rVert}{\lVert tv\rVert} \longrightarrow0

となる。よって $D_vf(a)=Av=Df(a)v$ である。 $v=e_j$ とすれば偏微分に関する結論を得る。▨

定義 1.6. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f=(f_1,\ldots,f_m)\colon U\to\mathbb R^m$ を写像とする。 $f$ が $a\in U$ で全微分可能であるとき、線形写像 $Df(a)$ の標準基底に関する行列

J_f(a) =\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{ \substack{1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n}} \in\mathbb R^{m\times n}

を $f$ の $a$ におけるJacobi 行列 (Jacobian matrix) という。

定義 1.7. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f\colon U\to\mathbb R^m$ を写像とする。 $f$ が $U$ の各点で全微分可能であり、写像

Df\colon U\longrightarrow\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^m)

が作用素ノルムについて連続であるとき、 $f$ は $C^1$ 級 (class C^1 map)、または一階連続微分可能 (continuously differentiable) であるという。

2 偏導関数の連続性による十分条件

定理 2.1. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f=(f_1,\ldots,f_m)\colon U\to\mathbb R^m$ を写像、 $a\in U$ とする。 $a$ のある開近傍 $V\subset U$ において、すべての $i\in\{1,\ldots,m\}$ と $j\in\{1,\ldots,n\}$ に対する偏導関数 $\partial_jf_i$ が存在し、 $a$ で連続であると仮定する。このとき $f$ は $a$ で全微分可能であり、 $Df(a)$ の標準基底に関する行列は

\left(\partial_jf_i(a)\right)_{ \substack{1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n}}

である。

証明. $B(a,r)\subset V$ を満たす $r>0$ をとる。 $0<\lVert h\rVert<r$ を満たす $h=(h_1,\ldots,h_n)$ に対して

a^{(j)}=a+(h_1,\ldots,h_j,0,\ldots,0) \qquad(0\leq j\leq n)

とおく。各 $a^{(j-1)}$ と $a^{(j)}$ を結ぶ座標線分は $B(a,r)$ に含まれる。

$i\in\{1,\ldots,m\}$ と $j\in\{1,\ldots,n\}$ を固定する。 $h_j\ne0$ の場合には、一変数関数

\varphi_{ij}(t) =f_i\bigl(a^{(j-1)}+te_j\bigr)

を考える。仮定により、 $\varphi_{ij}$ は端点 $0$ と $h_j$ の間の閉区間で連続であり、その内部で微分可能である。したがって、 $\varphi_{ij}$ へ§D1.14 定理 3.1をこの閉区間上で直接適用することができる。 $0$ と $h_j$ の間にある $\theta_{ij}$ が存在して

f_i(a^{(j)})-f_i(a^{(j-1)}) =\partial_jf_i\bigl(a^{(j-1)}+\theta_{ij}e_j\bigr)h_j

となる。 $h_j=0$ の場合には $\theta_{ij}=0$ とおく。 $\xi_{ij}=a^{(j-1)}+\theta_{ij}e_j$ と書けば、望遠鏡和により

f_i(a+h)-f_i(a)-\sum_{j=1}^n\partial_jf_i(a)h_j =\sum_{j=1}^n \bigl(\partial_jf_i(\xi_{ij})-\partial_jf_i(a)\bigr)h_j

を得る。

$\lVert\xi_{ij}-a\rVert\leq\lVert h\rVert$ であるから、 $h\to0$ のとき、すべての $i,j$ について $\xi_{ij}\to a$ である。有限個の偏導関数が $a$ で連続であるから、

\omega(h) =\max_{\substack{1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n}} \left|\partial_jf_i(\xi_{ij})-\partial_jf_i(a)\right|

とおけば $\omega(h)\to0$ となる。線形写像 $A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ を

(Ah)_i=\sum_{j=1}^n\partial_jf_i(a)h_j

によって定め、 $R(h)=f(a+h)-f(a)-Ah$ とおく。望遠鏡和から得た各成分の等式と Cauchy–Schwarz の不等式から

|R_i(h)| \leq\omega(h)\sum_{j=1}^n|h_j| \leq\sqrt n\,\omega(h)\lVert h\rVert

である。したがって

\lVert R(h)\rVert \leq\sqrt{mn}\,\omega(h)\lVert h\rVert, \qquad \frac{\lVert R(h)\rVert}{\lVert h\rVert}\longrightarrow0

となる。ゆえに $f$ は $a$ で全微分可能であり、 $Df(a)=A$ である。▨

系 2.2. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f=(f_1,\ldots,f_m)\colon U\to\mathbb R^m$ を写像とする。 $f$ が $C^1$ 級であるための必要十分条件は、すべての偏導関数 $\partial_jf_i$ が $U$ 上で存在して連続であることである。

証明. すべての偏導関数が $U$ 上で存在して連続であるとする。定理 2.1を各点に適用すると、 $f$ は $U$ の各点で全微分可能であり、 $Df(x)$ の行列成分は $\partial_jf_i(x)$ である。 $x\to a$ のとき、命題 1.4を $Df(x)-Df(a)$ へ適用すると

\lVert Df(x)-Df(a)\rVert_{\mathrm{op}} \leq \left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |\partial_jf_i(x)-\partial_jf_i(a)|^2\right)^{1/2} \longrightarrow0

となる。したがって $Df$ は作用素ノルムについて連続であり、 $f$ は $C^1$ 級である。

逆に、 $f$ が $C^1$ 級であるとする。命題 1.5により

\partial_jf_i(x)=\bigl(Df(x)e_j\bigr)_i

である。任意の $x,a\in U$ について

|\partial_jf_i(x)-\partial_jf_i(a)| \leq\lVert(Df(x)-Df(a))e_j\rVert \leq\lVert Df(x)-Df(a)\rVert_{\mathrm{op}}

となるから、 $Df$ の連続性によって各 $\partial_jf_i$ は連続である。▨

3 反例

例 3.1 (すべての方向微分が存在しても全微分可能でない関数). 関数 $g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ を

g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

によって定める。 $|g(x,y)|\leq|x|$ であるから、 $g$ は原点で連続である。 $v=(v_1,v_2)\ne0$ に対して

D_vg(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{g(tv_1,tv_2)}{t} =\frac{v_1^3}{v_1^2+v_2^2}

であり、 $D_0g(0,0)=0$ であるから、すべての方向微分が存在する。

$g$ が原点で全微分可能であると仮定すると、命題 1.5により $v\mapsto D_vg(0,0)$ は線形でなければならない。しかし、

D_{e_1}g(0,0)=1, \qquad D_{e_2}g(0,0)=0, \qquad D_{e_1+e_2}g(0,0)=\frac12

であり、 $D_{e_1+e_2}g(0,0)\ne D_{e_1}g(0,0)+D_{e_2}g(0,0)$ となる。したがって $g$ は原点で全微分可能ではない。特に、すべての偏微分が存在することも全微分可能性を保証しない。

例 3.2 (全微分可能だが $C^1$ 級でない関数). 関数 $q\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ を

q(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\sin\!\left((x^2+y^2)^{-1/2}\right),&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

によって定める。 $h=(x,y)\ne0$ に対して

\frac{|q(h)-q(0)-0h|}{\lVert h\rVert} \leq\lVert h\rVert \longrightarrow0

であるから、 $q$ は原点で全微分可能であり $Dq(0)=0$ である。

$x>0$ に対して

\partial_1q(x,0)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

である。右辺は $x\downarrow0$ のとき極限をもたない。一方、

\partial_1q(0,0) =\lim_{t\to0}t\sin(1/|t|)=0

である。したがって $\partial_1q$ は原点で連続でなく、系 2.2により $q$ は原点を含むどの開近傍でも $C^1$ 級ではない。ゆえに、偏導関数の連続性は全微分可能性の十分条件であるが、必要条件ではない。

4 演習

問題 4.1 (偏導関数から全微分を組み立てる). 写像 $F\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ を

F(x,y)=\bigl(xe^y,\ y\sin x\bigr)

によって定める。定理 2.1を用いて $F$ が任意の $(a,b)\in\mathbb R^2$ で全微分可能であることを証明し、

DF(a,b)\in\mathcal L(\mathbb R^2,\mathbb R^2)

を求めよ。さらに、 $D_{(u,v)}F(a,b)$ と二つの偏微分を同じ線形写像から求めよ。

解答.

四つの偏導関数は

\partial_1F(x,y)=\bigl(e^y,\ y\cos x\bigr), \qquad \partial_2F(x,y)=\bigl(xe^y,\ \sin x\bigr)

であり、いずれも $\mathbb R^2$ 上で連続である。したがって定理 2.1により $F$ は任意の $(a,b)$ で全微分可能である。Jacobi 行列から、

DF(a,b)(u,v) =\bigl(e^b u+ae^b v,\ b\cos(a)u+\sin(a)v\bigr)

を得る。

命題 1.5により、任意の方向 $(u,v)$ に対して

D_{(u,v)}F(a,b)=DF(a,b)(u,v)

である。特に

\partial_1F(a,b)=DF(a,b)e_1=\bigl(e^b,b\cos a\bigr), \qquad \partial_2F(a,b)=DF(a,b)e_2=\bigl(ae^b,\sin a\bigr)

となる。▨

§E4.2全微分可能性

1 微分の定義と基本性質

2 偏導関数の連続性による十分条件

3 反例

4 演習

参考文献

前提記事