多変数の連続性 | 実解析 II | 天游ヶ丘数理学院

1 距離による極限と連続性

定義 1.1. $A\subset\mathbb R^n$ 、 $f\colon A\to\mathbb R^m$ とする。点 $a\in\mathbb R^n$ が $A$ の集積点であり、 $L\in\mathbb R^m$ が

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in A, \qquad 0<\lVert x-a\rVert<\delta \Longrightarrow \lVert f(x)-L\rVert<\varepsilon

を満たすとき、 $x$ が $A$ の範囲で $a$ に近づくときの $f$ の極限 (limit) は $L$ であるといい、

\lim_{x\to a,\ x\in A}f(x)=L

と書く。

$a\in A$ とする。任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在し、任意の $x\in A$ について

\lVert x-a\rVert<\delta \Longrightarrow \lVert f(x)-f(a)\rVert<\varepsilon

が成り立つとき、 $f$ は $a$ で連続 (continuous) であるという。 $f$ が $A$ のすべての点で連続であるとき、 $f$ は $A$ 上で連続であるという。

注意 1.2 (集積点と孤立点). $a\in A$ が $A$ の集積点である場合、 $f$ が $a$ で連続であることは

\lim_{x\to a,\ x\in A}f(x)=f(a)

と同値である。 $a$ が $A$ の孤立点である場合には、十分小さい $\delta>0$ に対して $\{x\in A:\lVert x-a\rVert<\delta\}=\{a\}$ となるため、任意の写像 $f\colon A\to\mathbb R^m$ は $a$ で連続である。

2 点列による判定

定理 2.1. $A\subset\mathbb R^n$ 、 $f\colon A\to\mathbb R^m$ とし、 $a\in\mathbb R^n$ を $A$ の集積点とする。 $L\in\mathbb R^m$ について、次の二条件は同値である。

$\displaystyle\lim_{x\to a,\ x\in A}f(x)=L$ である。
$x_j\in A\setminus\{a\}$ かつ $x_j\to a$ を満たすすべての点列 $(x_j)_{j\geq 1}$ に対して、 $f(x_j)\to L$ である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $x_j\in A\setminus\{a\}$ かつ $x_j\to a$ を満たす点列をとる。任意の $\varepsilon>0$ に対して、極限の定義を満たす $\delta>0$ が存在する。 $x_j\to a$ であるから、ある正の整数 $N$ が存在して、 $j\geq N$ ならば

0<\lVert x_j-a\rVert<\delta

となる。したがって $j\geq N$ ならば $\lVert f(x_j)-L\rVert<\varepsilon$ であり、 $f(x_j)\to L$ である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。(1)が成り立たないならば、ある $\varepsilon_0>0$ が存在して、任意の $\delta>0$ に対して

x\in A,\qquad 0<\lVert x-a\rVert<\delta, \qquad \lVert f(x)-L\rVert\geq\varepsilon_0

を満たす $x$ が存在する。各正の整数 $j$ について $\delta=1/j$ とし、三つの条件を満たす点 $x_j$ を選ぶ。すると、 $x_j\in A\setminus\{a\}$ かつ $x_j\to a$ である一方、 $\lVert f(x_j)-L\rVert\geq\varepsilon_0$ である。これは(2)に反する。したがって(1)が成り立つ。▨

系 2.2. $A\subset\mathbb R^n$ 、 $f\colon A\to\mathbb R^m$ 、 $a\in A$ とする。 $f$ が $a$ で連続であるための必要十分条件は、 $x_j\in A$ かつ $x_j\to a$ を満たすすべての点列 $(x_j)_{j\geq 1}$ に対して $f(x_j)\to f(a)$ となることである。

証明. $f$ が $a$ で連続であるとする。任意の $\varepsilon>0$ に対して連続性の定義を満たす $\delta>0$ をとる。 $x_j\to a$ ならば、ある正の整数 $N$ が存在して、 $j\geq N$ のとき $\lVert x_j-a\rVert<\delta$ となる。したがって $\lVert f(x_j)-f(a)\rVert<\varepsilon$ であり、 $f(x_j)\to f(a)$ である。

逆に、 $A$ の任意の点列 $x_j\to a$ に対して $f(x_j)\to f(a)$ であると仮定する。 $f$ が $a$ で連続でないならば、ある $\varepsilon_0>0$ が存在して、任意の $\delta>0$ に対して

x\in A, \qquad \lVert x-a\rVert<\delta, \qquad \lVert f(x)-f(a)\rVert\geq\varepsilon_0

を満たす $x$ が存在する。この不等式を満たす $x$ は $a$ と異なる。各正の整数 $j$ について $\delta=1/j$ とし、条件を満たす点 $x_j$ を選ぶと、 $x_j\to a$ であるが $f(x_j)$ は $f(a)$ に収束しない。これは仮定に反する。したがって $f$ は $a$ で連続である。▨

3 経路による非存在判定

命題 3.1. $A\subset\mathbb R^n$ 、 $f\colon A\to\mathbb R^m$ とし、 $a$ を $A$ の集積点とする。 $I\subset\mathbb R$ の集積点 $t_0$ と写像

\gamma\colon I\setminus\{t_0\}\longrightarrow A\setminus\{a\}

が

\lim_{t\to t_0,\ t\in I}\gamma(t)=a

を満たすとする。このとき、 $\lim_{x\to a,\ x\in A}f(x)=L$ ならば

\lim_{t\to t_0,\ t\in I}f(\gamma(t))=L

である。

証明. 任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $f$ の極限の定義を満たす $\delta>0$ が存在する。 $\gamma(t)\to a$ であるから、ある $\eta>0$ が存在して、 $t\in I$ かつ $0<|t-t_0|<\eta$ ならば

0<\lVert\gamma(t)-a\rVert<\delta

となる。したがって $\lVert f(\gamma(t))-L\rVert<\varepsilon$ であり、 $f(\gamma(t))\to L$ である。▨

例 3.2 (直線上の極限が一致しても存在しない極限). $(x,y)\neq(0,0)$ に対して

h(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}

と定める。任意の $m\in\mathbb R$ について、直線 $y=mx$ に沿う値は

h(t,mt)= \begin{cases} \displaystyle\frac{mt}{t^2+m^2},&m\neq0,\\ 0,&m=0 \end{cases}

であるため、 $t\to0$ のとき $0$ に収束する。鉛直線 $x=0$ に沿う値も $0$ である。したがって、原点を通るすべての直線に沿う極限は $0$ である。

一方、放物線 $y=x^2$ に沿って原点へ近づくと

h(t,t^2)=\frac{t^4}{2t^4}=\frac12 \qquad(t\neq0)

となる。命題 3.1の対偶により、原点における $h$ の極限は存在しない。経路に沿う計算は、異なる極限値を与える経路を発見すれば極限の非存在を証明する。しかし、直線などの指定した経路族で極限値が一致することだけでは、すべての近づき方に対する極限条件を確認したことにならない。

4 連続写像の演算

命題 4.1. $A\subset\mathbb R^n$ 、 $a\in A$ とする。

$f,g\colon A\to\mathbb R^m$ と $\alpha\colon A\to\mathbb R$ が $a$ で連続ならば、 $f+g$ と $\alpha f$ は $a$ で連続である。
$f\colon A\to\mathbb R^m$ が $a$ で連続ならば、 $x\mapsto\lVert f(x)\rVert$ は $a$ で連続である。
$p,q\colon A\to\mathbb R$ が $a$ で連続ならば、 $pq$ は $a$ で連続である。さらに $q(a)\neq0$ ならば、 $A_q=\{x\in A:q(x)\neq0\}$ 上の写像 $p/q$ は $a$ で連続である。
$B\subset\mathbb R^m$ 、 $f\colon A\to B$ 、 $g\colon B\to\mathbb R^\ell$ とする。 $f$ が $a$ で連続であり、 $g$ が $f(a)$ で連続ならば、 $g\circ f$ は $a$ で連続である。
$f=(f_1,\ldots,f_m)\colon A\to\mathbb R^m$ が $a$ で連続であるための必要十分条件は、各成分関数 $f_i\colon A\to\mathbb R$ が $a$ で連続であることである。

証明. $x_j\in A$ かつ $x_j\to a$ を満たす任意の点列をとる。 $f$ 、 $g$ 、 $\alpha$ が $a$ で連続ならば、系 2.2により

f(x_j)\to f(a), \qquad g(x_j)\to g(a), \qquad \alpha(x_j)\to\alpha(a)

である。和については

\lVert(f(x_j)+g(x_j))-(f(a)+g(a))\rVert \leq\lVert f(x_j)-f(a)\rVert+\lVert g(x_j)-g(a)\rVert

\lVert\alpha(x_j)f(x_j)-\alpha(a)f(a)\rVert \leq C\lVert f(x_j)-f(a)\rVert +|\alpha(x_j)-\alpha(a)|\lVert f(a)\rVert \longrightarrow0

である。したがって $\alpha(x_j)f(x_j)\to\alpha(a)f(a)$ となる。点列判定を再び適用すると、(1)を得る。

逆三角不等式

\bigl|\lVert f(x_j)\rVert-\lVert f(a)\rVert\bigr| \leq\lVert f(x_j)-f(a)\rVert

から $\lVert f(x_j)\rVert\to\lVert f(a)\rVert$ が従うため、(2)が成り立つ。(3)について、§D1.6 定理 2.1の積に関する極限法則から $p(x_j)q(x_j)\to p(a)q(a)$ となる。 $q(a)\neq0$ とし、 $x_j\in A_q$ かつ $x_j\to a$ を満たす点列をとると、同じ定理の商に関する極限法則から

\frac{p(x_j)}{q(x_j)}\longrightarrow\frac{p(a)}{q(a)}

を得る。したがって商も $a$ で連続である。

(4)の仮定のもとで $x_j\to a$ とすると、 $f(x_j)\to f(a)$ であり、 $g$ の連続性から $g(f(x_j))\to g(f(a))$ である。点列判定により $g\circ f$ は $a$ で連続である。

(5)について、 $f$ が $a$ で連続ならば

|f_i(x)-f_i(a)|\leq\lVert f(x)-f(a)\rVert

であるから、各 $f_i$ は $a$ で連続である。逆に、各 $f_i$ が $a$ で連続であるとする。 $x_j\to a$ ならば各 $i$ について $f_i(x_j)\to f_i(a)$ であり、

\lVert f(x_j)-f(a)\rVert \leq\sum_{i=1}^m|f_i(x_j)-f_i(a)|\longrightarrow0

となる。したがって点列判定により $f$ は $a$ で連続である。▨

5 コンパクト集合上の最大値と最小値

定理 5.1 (最大値・最小値の定理). $K\subset\mathbb R^n$ を空でないコンパクト集合とし、 $f\colon K\to\mathbb R$ を連続とする。このとき、 $x_{\min},x_{\max}\in K$ が存在して、任意の $x\in K$ に対して

f(x_{\min})\leq f(x)\leq f(x_{\max})

が成り立つ。特に、

\min_{x\in K}f(x)=\inf_{x\in K}f(x), \qquad \max_{x\in K}f(x)=\sup_{x\in K}f(x)

である。

証明.§E2.19 定理 4.2により、 $f(K)$ は $\mathbb R$ の空でないコンパクト部分集合である。§E2.9 系 4.1により、 $f(K)$ は有界かつ閉である。「実数の連続性」で述べた上限公理により、 $M=\sup f(K)$ が存在する。

各正の整数 $j$ について、§D1.4 命題 1.6を $\varepsilon=1/j$ として適用すると、

M-\frac1j<y_j\leq M

を満たす $y_j\in f(K)$ を選ぶことができる。 $y_j\to M$ であり、 $f(K)$ は閉集合であるから $M\in f(K)$ である。したがって、 $f(x_{\max})=M$ を満たす $x_{\max}\in K$ が存在する。

定数関数 $-1$ は連続であるから、命題 4.1により $-f$ も $K$ 上で連続である。 $-f$ に最大値についての結論を適用すると、 $f$ が最小値をとる点 $x_{\min}\in K$ が存在する。▨

6 演習

問題 6.1 (距離による一様評価). $(x,y)\neq(0,0)$ に対して

u(x,y)=\frac{x^3y}{x^4+y^2}

と定める。 $2|x^2y|\leq x^4+y^2$ を用いて、 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}u(x,y)=0$ を距離による極限の定義から証明せよ。

解答.

$(x,y)\neq(0,0)$ について

|u(x,y)| =|x|\frac{|x^2y|}{x^4+y^2} \leq\frac{|x|}{2} \leq\frac{\lVert(x,y)\rVert}{2}

である。任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta=2\varepsilon$ とおけば、 $0<\lVert(x,y)\rVert<\delta$ から $|u(x,y)|<\varepsilon$ が従う。したがって極限は $0$ である。▨

問題 6.2 (分母を零から離す評価). $K\subset\mathbb R^n$ を空でないコンパクト集合とし、 $p,q\colon K\to\mathbb R$ を連続とする。すべての $x\in K$ について $q(x)\neq0$ であると仮定する。ある $c>0$ が存在して

|q(x)|\geq c\qquad(x\in K)

となることを証明し、 $p/q$ が $K$ 上で有界であることを導け。

解答.

命題 4.1により $|q|$ は $K$ 上で連続である。定理 5.1により、ある $x_0\in K$ が存在して

c:=|q(x_0)|=\min_{x\in K}|q(x)|

となる。 $q(x_0)\neq0$ であるから $c>0$ である。

同様に、 $|p|$ は $K$ 上で最大値 $M\geq0$ をとる。したがって任意の $x\in K$ について

\left|\frac{p(x)}{q(x)}\right| \leq\frac{M}{c}

であり、 $p/q$ は $K$ 上で有界である。▨

§E4.1多変数の連続性