Green の定理 | 実解析 II | 天游ヶ丘数理学院

定義 1.1.§E4.18 定義 1.1の意味で区分的に一階連続微分可能な曲線 $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2$ が次の条件を満たすとき、 $\gamma$ を区分的に一階連続微分可能な正則単純閉曲線 (piecewise $C^1$ regular simple closed curve) という。

$\gamma(a)=\gamma(b)$ であり、 $\gamma|_{[a,b)}$ は単射である。
ある分割 $a=t_0<t_1<\cdots<t_N=b$ が存在し、各開区間 $(t_{j-1},t_j)$ で $\gamma$ は一階連続微分可能かつ $\gamma'(t)\neq 0$ である。
各分点では片側微分が存在し、その片側微分は零ベクトルではない。

選んだ分割に現れる有限個の点 $\gamma(t_j)$ を角点 (corner point) と呼ぶ。不要な分点を加えても以下の議論は変わらない。

定義 1.2. 有界連結開集合 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ の閉包を $D=\overline\Omega$ とする。次の条件を満たすとき、 $D$ を区分的に一階連続微分可能な正則領域 (piecewise $C^1$ regular domain) という。

境界 $\partial D$ は、有限個の互いに交わらない区分的に一階連続微分可能な正則単純閉曲線 $\Gamma_0,\Gamma_1,\ldots,\Gamma_m$ の和である。
$\Gamma_0$ は $\mathbb{R}^2\setminus D$ の非有界成分に接し、各 $\Gamma_j\ (j\geq 1)$ は有界成分に接する。有界成分を $D$ の穴 (hole) と呼ぶ。
各 $p\in\partial D$ に対し、ある開球 $B(p,r)$ が存在し、 $B(p,r)\setminus\partial D$ はちょうど二つの連結成分をもち、一方は $\Omega$ に含まれ、他方は $\mathbb{R}^2\setminus D$ に含まれる。
各境界成分は、正則な弧に沿って進むとき $\Omega$ が左側にある向きをもつ。

条件 (d)の向きを $\partial D$ の正の向き (positive orientation) と呼ぶ。したがって、外周 $\Gamma_0$ は反時計回りであり、穴を囲む内周 $\Gamma_j$ は時計回りである。

注意 1.3 (Jordan 曲線定理との関係). 単純閉曲線が平面を内側と外側に分けるという Jordan 曲線定理は、境界成分の幾何を理解する背景になる。しかし、局所的な片側性は Jordan 曲線定理だけからは得られない。本記事では片側性を正則領域の定義に含め、Green の定理の証明で Jordan 曲線定理を未証明の補題として用いない。

命題 1.4. 区分的に一階連続微分可能な正則領域 $D$ は Jordan 可測である。

証明. 境界 $\partial D$ は有限個の区分的に一階連続微分可能な曲線像の和である。§E4.11 補題 1.4により各曲線像は Jordan 零集合であるから、有限和 $\partial D$ も Jordan 零集合である。 $D$ は有界閉集合なので、Jordan 可測性の境界判定から主張を得る。▨

定義 2.1. 閉領域 $D\subset\mathbb{R}^2$ が

D=\{(x,y):a\leq x\leq b,\ \alpha(x)\leq y\leq\beta(x)\}

と表され、 $\alpha,\beta$ が区分的に一階連続微分可能であるとき、 $D$ を $x$ 方向に単純 (simple in the x-direction) という。同様に、

D=\{(x,y):c\leq y\leq d,\ \gamma(y)\leq x\leq\delta(y)\}

と表されるとき、 $D$ を $y$ 方向に単純 (simple in the y-direction) という。境界には常に領域を左側に見る向きを入れる。この向きでは、 $x$ 方向に単純な表示の下側グラフは左から右へ、上側グラフは右から左へ進む。 $y$ 方向に単純な表示の右側グラフは下から上へ、左側グラフは上から下へ進む。

定理 2.2. $D$ が $x$ 方向にも $y$ 方向にも単純な正則領域であり、 $P,Q$ が $D$ を含む開集合上で一階連続微分可能であるとする。このとき

\int_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy

が成り立つ。

証明. $x$ 方向に単純な表示を用いる。正の向きに注意すると、垂直な境界部分では $dx=0$ であり、

\int_{\partial D}P\,dx =\int_a^bP(x,\alpha(x))\,dx-\int_a^bP(x,\beta(x))\,dx.

一変数の微積分学の基本定理と累次積分の公式から

\int_{\partial D}P\,dx =-\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}P_y(x,y)\,dy\,dx =-\iint_D P_y\,dx\,dy

を得る。同様に、 $y$ 方向に単純な表示を用いると

\int_{\partial D}Q\,dy =\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}Q_x(x,y)\,dx\,dy =\iint_D Q_x\,dx\,dy

となる。二式を加えれば主張を得る。▨

命題 2.3. Green の公式は、平行移動と行列式が $1$ である直交変換による座標変更に対して不変である。

証明. 座標変更を $z=R\xi+a$ とし、 $\det R=1$ とする。一形式 $P\,dx+Q\,dy$ を新座標で $\widetilde P\,d\xi_1+\widetilde Q\,d\xi_2$ と書けば、線積分の置換公式により境界積分は一致する。さらに連鎖律から

\widetilde Q_{\xi_1}-\widetilde P_{\xi_2}=Q_x-P_y

であり、面積要素も $d\xi_1d\xi_2=dxdy$ である。したがって公式の両辺は同時に保たれる。▨

補題 3.1. $p\in\partial D$ が角点でないとする。このとき、 $p$ の近傍で向きを保つ直交座標を選び、境界を

t=f(s)

と表すことができる。座標軸は、近傍をさらに小さくすれば $f'\neq0$ となるように選ぶことができ、この近傍と $D$ との交わりは両座標方向に単純である。

証明. 境界の正則な局所パラメータ表示を $\gamma$ とする。 $\gamma'(p)\neq0$ なので、 $s$ 軸を接線と平行にも垂直にもならない向きに選べる。このとき $s$ 成分と $t$ 成分の微分はいずれも零ではない。逆関数定理により $s$ を局所パラメータとして境界を $t=f(s)$ と表せ、 $f'\neq0$ である。正則領域の局所的な片側性により、領域はこのグラフの一方の側にある。 $f$ の単調性を用いて近傍を長方形に縮めれば、交わりは両座標方向に単純となる。▨

命題 3.2. $D$ を区分的に一階連続微分可能な正則領域とし、 $A\subset\partial D$ を一つの区分表示から得る有限角点集合とする。 $P,Q$ が $D$ の近傍で一階連続微分可能であり、 $A$ のある近傍でともに零であるならば、Green の公式が成り立つ。

証明. まず、 $D$ の近傍で $1$ となる一つの切断関数を掛け、 $P,Q$ を平面全体の一階連続微分可能なコンパクト支持関数へ延長する。 $K=D\cap(\operatorname{supp}P\cup\operatorname{supp}Q)$ と置く。 $K=\varnothing$ ならば $D$ の近傍で $P=Q=0$ であり、公式の両辺は零である。

以下、 $K\neq\varnothing$ とする。内部点には小長方形を取り、境界点には補題 3.1の二方向に単純な近傍を取る。 $P,Q$ は角点の近傍で零なので、この操作で $K$ の有限開被覆を得る。§E4.19 定義 1.2を $K$ とこの被覆に適用し、被覆要素に従属する有限個の一階連続微分可能な関数 $\theta_1,\ldots,\theta_N$ で、 $K$ の近傍において $\sum_\nu\theta_\nu=1$ となるものを取る。

$P_\nu=\theta_\nu P$ 、 $Q_\nu=\theta_\nu Q$ と置く。内部の長方形に支持される項には座標単純版を適用し、境界近傍の項には命題 2.3で座標を変えた後に定理 2.2を適用する。各項について

\int_{\partial D}P_\nu\,dx+Q_\nu\,dy =\iint_D\bigl((Q_\nu)_x-(P_\nu)_y\bigr)\,dx\,dy

を得る。 $K$ の外では $P,Q$ が近傍ごと零であるから、有限和を取ると左辺は $P,Q$ の境界積分に、右辺は $Q_x-P_y$ の面積積分になる。▨

補題 3.3. 各角点 $a$ に対し、ある定数 $C_a>0$ と $r_a>0$ が存在し、 $0<r<r_a$ ならば

\operatorname{length}(\partial D\cap B(a,r))\leq C_a r

が成り立つ。

証明. 角点の両側の境界弧は片側微分が零でない一階連続微分可能な正則弧である。各弧を接線方向へ射影すると、逆関数定理により角点の近傍で一階連続微分可能なグラフになる。その導関数は有界であり、球 $B(a,r)$ に入る射影区間の長さは $2r$ 以下である。グラフの長さの評価を両側の有限個の弧について加えれば主張を得る。▨

定理 4.1 (Green の定理). $D$ を区分的に一階連続微分可能な正則領域とし、 $\partial D$ に正の向きを入れる。 $P,Q$ が $D$ を含む開集合上で一階連続微分可能であるならば、

\boxed{\int_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy}

が成り立つ。穴がある場合、外周は反時計回り、各内周は時計回りに積分する。

証明. 一つの区分表示から得る角点集合を $A=\{a_1,\ldots,a_L\}$ とする。 $A=\varnothing$ ならば命題 3.2を直接適用できる。以下、 $L\geq1$ とする。

滑らかな関数 $\rho:[0,\infty)\to[0,1]$ で、 $0\leq t\leq1$ では $0$ 、 $t\geq2$ では $1$ となるものを取る。十分小さい $r>0$ に対し

\chi_r(z)=\prod_{j=1}^{L}\rho\!\left(\frac{|z-a_j|}{r}\right), \qquad P_r=\chi_rP,\qquad Q_r=\chi_rQ

と置く。 $P_r,Q_r$ は角点の近傍で零なので、命題 3.2から

\int_{\partial D}P_r\,dx+Q_r\,dy =\iint_D\bigl((Q_r)_x-(P_r)_y\bigr)\,dx\,dy. \tag{1}

$P,Q,P_y,Q_x$ は $D$ の近傍で有界である。また、ある $C>0$ に対して $|\nabla\chi_r|\leq C/r$ であり、 $1-\chi_r$ と $\nabla\chi_r$ の支持は $\bigcup_jB(a_j,2r)$ に含まれる。この和集合の面積は $O(r^2)$ である。したがって

\iint_D(1-\chi_r)(Q_x-P_y)\,dx\,dy=O(r^2)

であり、積の微分で生じる項についても

\iint_D\bigl(P(\chi_r)_y-Q(\chi_r)_x\bigr)\,dx\,dy=O(r)

である。ゆえに (1) の右辺は $r\downarrow0$ で $\iint_D(Q_x-P_y)$ に収束する。

一方、補題 3.3により $\partial D\cap\bigcup_jB(a_j,2r)$ の長さは $O(r)$ である。 $P,Q$ の有界性から

\left|\int_{\partial D}(1-\chi_r)(P\,dx+Q\,dy)\right|=O(r).

したがって (1) の左辺は $\int_{\partial D}P\,dx+Q\,dy$ に収束する。 $r\downarrow0$ として結論を得る。▨

命題 4.2. 正則領域 $D$ が有限個の正則領域 $D_1,\ldots,D_N$ に分割され、各 $D_j$ が両座標方向に単純であり、異なる $D_i,D_j$ の内部が交わらないとする。このとき、各 $D_j$ の座標単純版を加えることでも $D$ 上の Green の公式を得る。

証明. 面積積分は有限加法性により各 $D_j$ 上の積分の和になる。内部の共有境界は、一方の領域では一つの向き、他方では逆向きに現れるため、線積分の和で相殺する。残る境界は $\partial D$ だけであり、その向きは正の向きと一致する。▨

注意 4.3 (二つの一般化経路の役割).命題 4.2は具体的な有限分割が既に与えられている場合に便利である。しかし、一般の正則領域が有限個の両方向に単純な領域へ分割できることは自明ではない。定理 4.1の証明は、その分割定理を仮定せず、非角点の有限局所化と角点切断によって貼り合わせを行う。

系 5.1. $U\subset\mathbb{R}^2$ を開かつ区分的に一階連続微分可能な弧状連結集合とし、 $F=(P,Q)\in C^1(U;\mathbb{R}^2)$ とする。 $U$ 内の任意の区分的に一階連続微分可能な正則単純閉曲線 $C$ に対し、 $C$ が囲む有界領域の閉包を、互いに内部が交わらない有限個の正則領域 $D_j\subset U$ の和として表せると仮定する。このとき、次の条件は同値である。

$F$ は保存場である。
$U$ 内の任意の区分的に一階連続微分可能な閉曲線 $\gamma$ に対し $\int_\gamma P\,dx+Q\,dy=0$ である。
$Q_x-P_y=0$ が $U$ 上で成り立つ。

証明.(1) $\Leftrightarrow$ (2)を示す。§E4.18 定理 5.3により両条件は同値である。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)を仮定し、任意の点の周りに十分小さい長方形を取って Green の定理を適用すれば、連続関数 $Q_x-P_y$ の長方形上の積分は常に零である。したがって(3)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。(3)を仮定し、 $U$ 内の区分的に一階連続微分可能な閉曲線 $\gamma:[a,b]\to U$ を取る。像がコンパクトであることと $U$ が開集合であることから、 $\gamma([a,b])$ のある閉近傍は $U$ に含まれる。 $\gamma$ の一階連続微分可能な区分点をすべて含み、各区間の幅が零へ収束する分割を取り、分点における $\gamma$ の値を線分で結ぶ閉多角形曲線を $\gamma_k$ とする。十分大きい $k$ では $\gamma_k$ の像は $U$ に含まれ、各滑らかな区分上の平均値表示と $\gamma'$ の一様連続性から

\|\gamma_k-\gamma\|_\infty\longrightarrow0, \qquad \int_a^b|\gamma_k'(t)-\gamma'(t)|\,dt\longrightarrow0

となる。 $F$ は像の共通なコンパクト近傍で一様連続かつ有界なので、

\left|\int_{\gamma_k}F\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r- \int_\gamma F\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r\right| \leq \|F\circ\gamma_k-F\circ\gamma\|_\infty \int_a^b|\gamma_k'|\,dt+\|F\circ\gamma\|_\infty \int_a^b|\gamma_k'-\gamma'|\,dt \longrightarrow0. \tag{2}

各 $\gamma_k$ の有限個の辺を、交点と重なる区間の端点ですべて分割する。この分割で得る有限平面グラフ上では、 $\gamma_k$ は向き付き閉歩道である。閉歩道を最初に再訪する頂点で順次切れば、有限個の単純閉歩道と、同じ辺を逆向きに進む往復に分解できる。往復の線積分は零であり、残る各単純閉歩道は $U$ 内の正則単純閉多角形 $C_\nu$ である。仮定にある有限分割を各 $C_\nu$ に取り、各正則領域に Green の定理を適用して加えると、内部境界は逆向きに相殺するため、

\int_{C_\nu}P\,dx+Q\,dy =\sum_j\iint_{D_{\nu,j}}(Q_x-P_y)\,dx\,dy=0

となる。従って $\int_{\gamma_k}F\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r=0$ であり、(2) の極限から $\int_\gamma F\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r=0$ を得る。ゆえに(2)が成り立つ。▨

注意 5.2 (穴がある領域での注意). 仮定した有限正則充填可能性は、閉曲線の内側全体が $U$ に収まることを保証する。穴のある開集合では $Q_x-P_y=0$ だけから保存場であるとは限らない。典型例は§E4.18 例 6.4であり、穴を一周する線積分が障害を検出する。

例 5.3 (Green の定理による面積公式). 正則領域 $D$ に対し、 $P=-y/2$ 、 $Q=x/2$ と置くと $Q_x-P_y=1$ である。したがって

\operatorname{area}(D) =\frac12\int_{\partial D}(x\,dy-y\,dx)

を得る。同様に $(P,Q)=(-y,0)$ または $(0,x)$ を用いれば

\operatorname{area}(D)=-\int_{\partial D}y\,dx =\int_{\partial D}x\,dy

となる。

例 5.4 (穴のある領域の面積). $0<r<R$ とし、 $D=\{(x,y):r^2\leq x^2+y^2\leq R^2\}$ とする。外周を反時計回り、内周を時計回りに取ると、例 5.3から

\operatorname{area}(D) =\frac12\int_{\partial D}(x\,dy-y\,dx) =\pi R^2-\pi r^2.

内周の時計回りの向きが、穴の面積を減じる符号を与える。

系 5.5. $F=(F_1,F_2)\in C^1(U;\mathbb{R}^2)$ とし、 $D\subset U$ を正則領域とする。 $n$ を有限個の角点を除く $\partial D$ の各正則弧上の外向き単位法線、 $ds$ を弧長要素とすると、

\int_{\partial D}F\cdot n\,ds =\iint_D\operatorname{div}F\,dx\,dy

が成り立つ。

証明. 各正則弧上で正の向きの単位接ベクトルを $T=(dx/ds,dy/ds)$ とすると、領域が左側にあるため外向き法線は $n=(dy/ds,-dx/ds)$ である。したがって

F\cdot n\,ds=F_1\,dy-F_2\,dx.

Green の定理に $P=-F_2$ 、 $Q=F_1$ を代入すれば、右辺の被積分関数は $(F_1)_x+(F_2)_y=\operatorname{div}F$ となる。▨

問題 5.6 (角点切断における二つの誤差). Green の定理の証明で用いた $\chi_r$ について、 $P,Q$ とその一階偏導関数が $D$ 上で絶対値 $M$ 以下であり、 $|\nabla\chi_r|\leq C/r$ 、 $\operatorname{supp}(1-\chi_r)\subset\bigcup_{j=1}^L B(a_j,2r)$ とする。面積積分で生じる切断誤差が $O(r)$ 、境界積分で生じる切断誤差が $O(r)$ であることを示せ。

§E4.22Green の定理

1 正則領域と境界の向き

2 座標方向に単純な領域

3 角点を除く局所化

4 Green の定理

5 保存場・面積・発散への適用

参考文献

前提記事