Riemann 重積分 | 実解析 II | 天游ヶ丘数理学院

1 閉直方体の分割と Darboux 和

定義 1.1. $n\in\mathbb Z_{\geq1}$ とし、

R=\prod_{i=1}^n[a_i,b_i]\subset\mathbb R^n, \qquad a_i<b_i

を閉直方体 (closed rectangle) とする。その体積を

|R|=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)

と定める。

各 $i$ について有限分割

P_i:\quad a_i=x_{i,0}<x_{i,1}<\cdots<x_{i,m_i}=b_i

をとる。これらから得られる小直方体

Q_{\nu} =\prod_{i=1}^n[x_{i,\nu_i-1},x_{i,\nu_i}] \qquad (1\leq\nu_i\leq m_i)

の有限族を $R$ の直積分割 (product partition) といい、 $P=P_1\times\cdots\times P_n$ と書く。小直方体の体積を

|Q_{\nu}|=\prod_{i=1}^n(x_{i,\nu_i}-x_{i,\nu_i-1})

と定め、その Euclid 距離に関する直径の最大値を $\lVert P\rVert$ と書く。

直積分割 $P'$ の各座標分割が $P$ の対応する座標分割の分点をすべて含むとき、 $P'$ は $P$ の細分 (refinement) であるという。二つの直積分割 $P$ と $P'$ の各座標の分点を合わせると、両方の細分である共通細分 (common refinement) $P\vee P'$ が得られる。

定義 1.2. $f\colon R\to\mathbb R$ を有界関数とし、 $G\subseteq R$ を空でない集合とする。非負の実数

\operatorname{osc}(f;G)=\sup_{x\in G}f(x)-\inf_{x\in G}f(x)

を $G$ における $f$ の振幅 (oscillation) という。

定義 1.3. $f\colon R\to\mathbb R$ を有界関数とし、 $P$ を $R$ の直積分割とする。 $P$ に属する小直方体 $Q$ に対して

m_Q(f)=\inf_{x\in Q}f(x), \qquad M_Q(f)=\sup_{x\in Q}f(x)

とおき、

L(f,P)=\sum_{Q\in P}m_Q(f)|Q|, \qquad U(f,P)=\sum_{Q\in P}M_Q(f)|Q|

を、それぞれ $f$ の $P$ に関する下 Darboux 和 (lower Darboux sum) および上 Darboux 和 (upper Darboux sum) という。さらに、

\underline{\int_R}f=\sup_P L(f,P), \qquad \overline{\int_R}f=\inf_P U(f,P)

を、それぞれ $f$ の下積分 (lower integral) および上積分 (upper integral) という。

下積分と上積分が等しいとき、 $f$ は $R$ 上で Riemann 可積分 (Riemann integrable) であるという。その共通の値を

\int_R f(x)\,dx

と書き、 $f$ の $R$ 上の Riemann 重積分 (Riemann multiple integral) という。

注意 1.4 (一変数の Darboux 和との関係). $n=1$ の場合、直積分割は閉区間の分割であり、定義 1.3は§D1.17 定義 1.1の上和・下和を用いる Riemann 積分の定義に一致する。多変数の場合には、小区間を小直方体へ置き換え、各小直方体の体積を重みとして用いる。

証明.(1)を示す。 $P'$ が $P$ の細分であるとする。 $P$ の小直方体 $Q$ を分割する $P'$ の小直方体を $Q_1,\ldots,Q_s$ とすると、

\sum_{j=1}^s|Q_j|=|Q|, \qquad m_Q(f)\leq m_{Q_j}(f)\leq M_{Q_j}(f)\leq M_Q(f)

である。これらの不等式へ $|Q_j|$ を掛けて $j$ について足し、さらに $P$ のすべての $Q$ について足すと、(1)を得る。

(2)を示す。 $P$ と $P'$ の共通細分を $P\vee P'$ とする。(1)により

L(f,P)\leq L(f,P\vee P') \leq U(f,P\vee P')\leq U(f,P')

であるから、(2)が成り立つ。

(3)を示す。 $f$ は有界であるから、 $m\leq f(x)\leq M$ をすべての $x\in R$ について満たす実数 $m,M$ が存在する。各直積分割 $P$ について

m|R|\leq L(f,P)\leq U(f,P)\leq M|R|

である。したがって下積分と上積分は有限である。(2)において $P$ と $P'$ を独立に動かして上限と下限をとると、下積分が上積分以下であることが従う。▨

2 Darboux の可積分判定

命題 2.1 (Darboux の可積分判定). 有界関数 $f\colon R\to\mathbb R$ が Riemann 可積分であるための必要十分条件は、任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある直積分割 $P$ が存在して

U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon

となることである。

証明. 任意の $\varepsilon>0$ に対して条件を満たす $P$ が存在すると仮定する。補題 1.5により

0\leq \overline{\int_R}f-\underline{\int_R}f \leq U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon

である。この差は非負であり、任意の正の $\varepsilon$ より小さいため $0$ である。したがって $f$ は Riemann 可積分である。

逆に、 $f$ を Riemann 可積分とし、その積分値を $I$ とする。下積分が下和全体の上限であり、上積分が上和全体の下限であるから、直積分割 $P_1,P_2$ であって

L(f,P_1)>I-\frac{\varepsilon}{2}, \qquad U(f,P_2)<I+\frac{\varepsilon}{2}

を満たすものが存在する。共通細分 $P=P_1\vee P_2$ をとると、補題 1.5により

U(f,P)-L(f,P) \leq U(f,P_2)-L(f,P_1)<\varepsilon

となる。▨

3 連続関数の可積分性

定理 3.1. $f\colon R\to\mathbb R$ が連続ならば、 $f$ は $R$ 上で Riemann 可積分である。

証明. $R$ は有界閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。したがって§E2.9 定理 5.1により、 $f$ は $R$ 上で一様連続である。また、§E4.1 定理 5.1により $f$ は $R$ 上で最大値と最小値をとるため、有界である。

$\varepsilon>0$ をとり、 $\eta=\varepsilon/|R|$ とおく。一様連続性により、ある $\delta>0$ が存在して、任意の $x,y\in R$ について

\lVert x-y\rVert<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<\eta

が成り立つ。各座標区間を十分多く等分し、すべての小直方体の直径が $\delta$ 未満となる直積分割 $P$ をとる。

$P$ の各小直方体 $Q$ は有界閉集合であり、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。 $f|_Q$ は連続であるから、§E4.1 定理 5.1により、 $f(x_Q)=M_Q(f)$ と $f(y_Q)=m_Q(f)$ を満たす点 $x_Q,y_Q\in Q$ が存在する。 $Q$ の直径は $\delta$ 未満であるため、

\operatorname{osc}(f;Q) =f(x_Q)-f(y_Q)<\eta

となる。したがって

U(f,P)-L(f,P) =\sum_{Q\in P}\operatorname{osc}(f;Q)|Q| <\eta\sum_{Q\in P}|Q| =\eta|R|=\varepsilon

である。命題 2.1により、 $f$ は $R$ 上で Riemann 可積分である。▨

4 積分の基本性質

命題 4.1. $f,g\colon R\to\mathbb R$ を Riemann 可積分関数とし、 $\alpha,\beta\in\mathbb R$ とする。任意の $c\in\mathbb R$ による定数関数も Riemann 可積分であり、

\int_R c\,dx=c|R|

を満たす。さらに、次が成り立つ。

$\alpha f+\beta g$ は Riemann 可積分であり、 $\int_R(\alpha f+\beta g)\,dx =\alpha\int_Rf\,dx+\beta\int_Rg\,dx$ である。
すべての $x\in R$ について $f(x)\leq g(x)$ ならば、 $\int_Rf\,dx\leq\int_Rg\,dx$ である。
$|f|$ は Riemann 可積分であり、 $\left|\int_Rf\,dx\right| \leq\int_R|f|\,dx \leq |R|\sup_{x\in R}|f(x)|$ である。とくに、 $\left|\int_Rf\,dx-\int_Rg\,dx\right| \leq |R|\sup_{x\in R}|f(x)-g(x)|$ が成り立つ。

証明. 定数関数 $c$ については、任意の直積分割 $P$ に対して

L(c,P)=U(c,P)=c\sum_{Q\in P}|Q|=c|R|

である。したがって $c$ は可積分であり、その積分値は $c|R|$ である。

(1)を示す。初めにスカラー倍を扱う。 $\alpha\geq0$ ならば、任意の小直方体 $Q$ について

m_Q(\alpha f)=\alpha m_Q(f), \qquad M_Q(\alpha f)=\alpha M_Q(f)

である。 $\alpha<0$ ならば上限と下限が交換され、

m_Q(\alpha f)=\alpha M_Q(f), \qquad M_Q(\alpha f)=\alpha m_Q(f)

である。これらの等式を小直方体について足すと、 $\alpha\geq0$ の場合には上下和がそれぞれ $\alpha$ 倍になり、 $\alpha<0$ の場合には上下和が交換して $\alpha$ 倍になる。従って命題 2.1から $\alpha f$ は可積分である。さらに、上下積分の上限と下限をとると

\int_R\alpha f\,dx=\alpha\int_Rf\,dx

が従う。

次に和を扱う。各小直方体 $Q$ について

m_Q(f)+m_Q(g)\leq m_Q(f+g) \leq M_Q(f+g)\leq M_Q(f)+M_Q(g)

である。したがって、任意の直積分割 $P$ に対して

U(f+g,P)-L(f+g,P) \leq\bigl(U(f,P)-L(f,P)\bigr) +\bigl(U(g,P)-L(g,P)\bigr)

が成り立つ。 $f$ と $g$ に対して Darboux の可積分判定を適用し、得られた二分割の共通細分をとると、右辺を任意に小さくすることができる。従って $f+g$ は可積分である。

$I_f=\int_Rf\,dx$ 、 $I_g=\int_Rg\,dx$ および $I_{f+g}=\int_R(f+g)\,dx$ とおく。任意の $\eta>0$ に対して、上の共通細分 $P$ を

\bigl(U(f,P)-L(f,P)\bigr) +\bigl(U(g,P)-L(g,P)\bigr)<\eta

となるように選ぶ。このとき、 $I_{f+g}$ と $I_f+I_g$ はともに

L(f,P)+L(g,P) \quad\text{以上、かつ}\quad U(f,P)+U(g,P) \quad\text{以下}

である。従って $|I_{f+g}-(I_f+I_g)|<\eta$ となる。 $\eta$ は任意であるから、

I_{f+g}=I_f+I_g

である。スカラー倍の結果と合わせると、(1)を得る。

(2)を示す。 $f\leq g$ とする。各直積分割 $P$ について $L(f,P)\leq L(g,P)$ であるから、下和全体の上限をとると

\int_Rf\,dx\leq\int_Rg\,dx

となり、(2)を得る。

(3)を示す。任意の実数 $s,t$ に対して $\bigl||s|-|t|\bigr|\leq|s-t|$ である。従って各小直方体 $Q$ について

\operatorname{osc}(|f|;Q)\leq\operatorname{osc}(f;Q)

が成り立つ。命題 2.1により $|f|$ は可積分である。点ごとの不等式

-|f|\leq f\leq|f|

へ(2)を適用し、(1)の線形性を用いると

-\int_R|f|\,dx\leq\int_Rf\,dx\leq\int_R|f|\,dx

を得る。また、 $M=\sup_{x\in R}|f(x)|$ とおけば $0\leq|f|\leq M$ であるから、(2)と定数関数の積分公式により

\int_R|f|\,dx\leq M|R|

となる。最後に、(1)を $f-g$ へ適用した後、得られた評価を $f-g$ へ適用すると、(3)の最後の不等式を得る。▨

例 4.2 (座標関数の積分). $1\leq k\leq n$ とし、 $\pi_k(x_1,\ldots,x_n)=x_k$ とおく。このとき

\int_R\pi_k(x)\,dx=\frac{a_k+b_k}{2}|R|

である。

実際、第 $k$ 座標の区間だけを $m$ 等分し、他の座標区間を分割しない直積分割を $P_m$ とする。 $\Delta=(b_k-a_k)/m$ とおくと、各小直方体における $\pi_k$ の下限と上限は、対応する第 $k$ 座標区間の左端と右端である。従って等差数列の和から

L(\pi_k,P_m) =|R|\left(\frac{a_k+b_k}{2}-\frac{b_k-a_k}{2m}\right),

U(\pi_k,P_m) =|R|\left(\frac{a_k+b_k}{2}+\frac{b_k-a_k}{2m}\right)

を得る。上和と下和の差は $|R|(b_k-a_k)/m$ であるから、命題 2.1により $\pi_k$ は可積分である。積分値はすべての $m$ について二つの表示の間にあり、両端が $m\to\infty$ のとき同じ値へ収束するため、上の公式が成り立つ。

5 演習

問題 5.1 (最大値関数と最小値関数). $f,g\colon R\to\mathbb R$ を Riemann 可積分関数とする。点ごとに定めた関数

h(x)=\max\{f(x),g(x)\}, \qquad \ell(x)=\min\{f(x),g(x)\}

が Riemann 可積分であることを証明せよ。さらに、

\int_Rh\,dx+\int_R\ell\,dx =\int_Rf\,dx+\int_Rg\,dx

を証明せよ。

解答.

実数 $s,t$ に対して

\max\{s,t\}=\frac{s+t+|s-t|}{2}, \qquad \min\{s,t\}=\frac{s+t-|s-t|}{2}

である。命題 4.1 (1)により $f-g$ は可積分であり、命題 4.1 (3)により $|f-g|$ も可積分である。従って上の表示と線形性から $h$ と $\ell$ は可積分である。二つの表示を加えると $h+\ell=f+g$ となるため、線形性を再び適用すると積分の等式を得る。▨

問題 5.2 (Lipschitz 関数に対する分割の選択). $f\colon R\to\mathbb R$ が、ある定数 $C\geq0$ によって

|f(x)-f(y)|\leq C\lVert x-y\rVert \qquad(x,y\in R)

を満たすとする。各座標区間を同じ個数 $m$ に等分する直積分割を $P_m$ とする。 $U(f,P_m)-L(f,P_m)$ を上から評価し、任意の $\varepsilon>0$ に対して Darboux の可積分判定を満たす $m$ の条件を与えよ。

解答.

$A=\max_{1\leq i\leq n}(b_i-a_i)$ とおく。 $P_m$ の各小直方体 $Q$ の直径は $\sqrt n A/m$ 以下である。Lipschitz 条件から $f$ は連続である。また、各 $Q$ は有界閉集合であり、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。従って§E4.1 定理 5.1により、 $f$ は各 $Q$ 上で最大値と最小値をとる。これらを与える点を $x_Q,y_Q\in Q$ とすると、

\operatorname{osc}(f;Q) =|f(x_Q)-f(y_Q)| \leq\frac{C\sqrt n A}{m}

である。従って

U(f,P_m)-L(f,P_m) \leq\frac{C\sqrt n A}{m}\sum_{Q\in P_m}|Q| =\frac{C\sqrt n A|R|}{m}

となる。したがって

m>\frac{C\sqrt n A|R|}{\varepsilon}

を満たす正の整数 $m$ を選ぶと、上和と下和の差は $\varepsilon$ 未満になる。▨

§E4.10Riemann 重積分

1 閉直方体の分割と Darboux 和

2 Darboux の可積分判定

3 連続関数の可積分性

4 積分の基本性質

5 演習

参考文献

前提記事