1 基本線形変換 補題 1.1. n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 T : R n → R n T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n T : R n → R n E ⊂ R n E\subset\mathbb R^n E ⊂ R n
二つの座標を交換する。この場合はλ T = 1 \lambda_T=1 λ T = 1
第i i i c ≠ 0 c\ne0 c = 0 λ T = ∣ c ∣ \lambda_T=|c| λ T = ∣ c ∣
i ≠ j i\ne j i = j i i i j j j α \alpha α λ T = 1 \lambda_T=1 λ T = 1 このときT ( E ) T(E) T ( E )
vol ( T ( E ) ) = λ T vol ( E ) (3) \operatorname{vol}(T(E))=\lambda_T\operatorname{vol}(E)
\tag{3} vol ( T ( E )) = λ T vol ( E ) ( 3 ) が成り立つ。
証明. 線形写像による Jordan 零集合の保存を、この証明で用いる範囲で示す。線形写像B : R n → R n B:\mathbb R^n\to\mathbb R^n B : R n → R n ∥ B x ∥ ≤ ∥ B ∥ o p ∥ x ∥ \lVert Bx\rVert\leq\lVert B\rVert_{\mathrm{op}}\lVert x\rVert ∥ B x ∥ ≤ ∥ B ∥ op ∥ x ∥ ℓ 1 , … , ℓ n \ell_1,\ldots,\ell_n ℓ 1 , … , ℓ n Q Q Q δ = min i ℓ i \delta=\min_i\ell_i δ = min i ℓ i δ \delta δ 3 δ 3\delta 3 δ Q Q Q
∏ i = 1 n ⌈ ℓ i δ ⌉ ≤ 2 n ∣ Q ∣ δ n \prod_{i=1}^n\left\lceil\frac{\ell_i}{\delta}\right\rceil
\leq 2^n\frac{|Q|}{\delta^n} i = 1 ∏ n ⌈ δ ℓ i ⌉ ≤ 2 n δ n ∣ Q ∣ 個の開立方体で覆われる。一辺3 δ 3\delta 3 δ B B B 4 n max ( 1 , ∥ B ∥ o p ) δ 4\sqrt n\max(1,\lVert B\rVert_{\mathrm{op}})\delta 4 n max ( 1 , ∥ B ∥ op ) δ B ( Q ) B(Q) B ( Q ) ∣ Q ∣ |Q| ∣ Q ∣
C B = 2 n ( 4 n max ( 1 , ∥ B ∥ o p ) ) n C_B=2^n\bigl(4\sqrt n\max(1,\lVert B\rVert_{\mathrm{op}})\bigr)^n C B = 2 n ( 4 n max ( 1 , ∥ B ∥ op ) ) n 倍である。Jordan 零集合の被覆の各直方体へこの構成を適用する。最初の被覆の総体積をε / C B \varepsilon/C_B ε / C B ε \varepsilon ε
各基本変換T T T T − 1 T^{-1} T − 1 T T T
∂ T ( E ) = T ( ∂ E ) \partial T(E)=T(\partial E) ∂ T ( E ) = T ( ∂ E ) は Jordan 零集合であり、T ( E ) T(E) T ( E )
閉直方体Q = ∏ k = 1 n [ a k , b k ] Q=\prod_{k=1}^n[a_k,b_k] Q = ∏ k = 1 n [ a k , b k ] i i i c c c ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣ i = 1 , j = 2 i=1,j=2 i = 1 , j = 2 n = 1 n=1 n = 1 n ≥ 2 n\geq2 n ≥ 2
D = { ( y 1 , y 2 ) : a 2 ≤ y 2 ≤ b 2 , a 1 + α y 2 ≤ y 1 ≤ b 1 + α y 2 } D=\{(y_1,y_2):a_2\leq y_2\leq b_2,
\ a_1+\alpha y_2\leq y_1\leq b_1+\alpha y_2\} D = {( y 1 , y 2 ) : a 2 ≤ y 2 ≤ b 2 , a 1 + α y 2 ≤ y 1 ≤ b 1 + α y 2 } である。横線単純領域の累次積分公式§E4.12 系 1.3 を定数関数1 1 1
area ( D ) = ∫ a 2 b 2 ∫ a 1 + α y 2 b 1 + α y 2 1 d y 1 d y 2 = ( b 1 − a 1 ) ( b 2 − a 2 ) \operatorname{area}(D)
=\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1+\alpha y_2}^{b_1+\alpha y_2}1\,dy_1\,dy_2
=(b_1-a_1)(b_2-a_2) area ( D ) = ∫ a 2 b 2 ∫ a 1 + α y 2 b 1 + α y 2 1 d y 1 d y 2 = ( b 1 − a 1 ) ( b 2 − a 2 ) を得る。n > 2 n>2 n > 2 Q ′ = ∏ k = 3 n [ a k , b k ] Q'=\prod_{k=3}^n[a_k,b_k] Q ′ = ∏ k = 3 n [ a k , b k ] T ( Q ) = D × Q ′ T(Q)=D\times Q' T ( Q ) = D × Q ′ D D D Q ′ Q' Q ′
vol ( D × Q ′ ) = area ( D ) ∏ k = 3 n ( b k − a k ) \operatorname{vol}(D\times Q')
=\operatorname{area}(D)\prod_{k=3}^n(b_k-a_k) vol ( D × Q ′ ) = area ( D ) k = 3 ∏ n ( b k − a k ) となる。従って剪断も閉直方体の体積を保つ。
最後に一般のE E E E = ∅ E=\emptyset E = ∅ E ≠ ∅ E\ne\emptyset E = ∅ E E E P P P E E E I P I_P I P E E E O P O_P O P E E E
I P ⊂ E ⊂ O P , vol ( O P ) − vol ( I P ) ⟶ 0. I_P\subset E\subset O_P,
\qquad
\operatorname{vol}(O_P)-\operatorname{vol}(I_P)\longrightarrow0. I P ⊂ E ⊂ O P , vol ( O P ) − vol ( I P ) ⟶ 0. T T T 補題 1 の有限加法性と閉直方体に対する計算により
vol ( T ( I P ) ) = λ T vol ( I P ) , vol ( T ( O P ) ) = λ T vol ( O P ) . \operatorname{vol}(T(I_P))=\lambda_T\operatorname{vol}(I_P),
\qquad
\operatorname{vol}(T(O_P))=\lambda_T\operatorname{vol}(O_P). vol ( T ( I P )) = λ T vol ( I P ) , vol ( T ( O P )) = λ T vol ( O P ) . T ( I P ) ⊂ T ( E ) ⊂ T ( O P ) T(I_P)\subset T(E)\subset T(O_P) T ( I P ) ⊂ T ( E ) ⊂ T ( O P ) ▨
2 平行多面体の体積 定理 2.1. n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 A : R n → R n A:\mathbb R^n\to\mathbb R^n A : R n → R n E ⊂ R n E\subset\mathbb R^n E ⊂ R n A ( E ) A(E) A ( E )
vol ( A ( E ) ) = ∣ det A ∣ vol ( E ) (4) \operatorname{vol}(A(E))=|\det A|\operatorname{vol}(E)
\tag{4} vol ( A ( E )) = ∣ det A ∣ vol ( E ) ( 4 ) が成り立つ。
証明. A A A §D3.4 定理 10.2 により、A = T 1 ⋯ T m A=T_1\cdots T_m A = T 1 ⋯ T m 補題 1.1 を中間像へ順に適用すると
vol ( A ( E ) ) = ∏ ν = 1 m λ T ν vol ( E ) \operatorname{vol}(A(E))
=\prod_{\nu=1}^m\lambda_{T_\nu}\operatorname{vol}(E) vol ( A ( E )) = ν = 1 ∏ m λ T ν vol ( E ) となる。基本行列の行列式§D3.4 命題 8.2 と行列式の乗法性§D3.4 定理 9.1 により、∏ ν λ T ν = ∣ det A ∣ \prod_\nu\lambda_{T_\nu}=|\det A| ∏ ν λ T ν = ∣ det A ∣
A A A r = rank A < n r=\operatorname{rank}A<n r = rank A < n V = Im A V=\operatorname{Im}A V = Im A r = 0 r=0 r = 0 A ( E ) ⊂ { 0 } A(E)\subset\{0\} A ( E ) ⊂ { 0 } { 0 } \{0\} { 0 } 0 < r < n 0<r<n 0 < r < n
V V V n × r n\times r n × r r r r r r r I I I π I : R n → R r \pi_I:\mathbb R^n\to\mathbb R^r π I : R n → R r
π I ∣ V : V ⟶ R r \pi_I|_V:V\longrightarrow\mathbb R^r π I ∣ V : V ⟶ R r は線形同型になる。その逆写像をS : R r → V S:\mathbb R^r\to V S : R r → V I I I I c I^c I c J : R n − r → R n J:\mathbb R^{n-r}\to\mathbb R^n J : R n − r → R n I c I^c I c
B ( t , z ) = S ( t ) + J ( z ) B(t,z)=S(t)+J(z) B ( t , z ) = S ( t ) + J ( z ) は線形同型である。実際、π I ( B ( t , z ) ) = t \pi_I(B(t,z))=t π I ( B ( t , z )) = t B ( t , z ) = 0 B(t,z)=0 B ( t , z ) = 0 t = 0 t=0 t = 0 z = 0 z=0 z = 0
K = π I ( A ( E ) ) K=\pi_I(A(E)) K = π I ( A ( E )) R > 0 R>0 R > 0 K ⊂ [ − R , R ] r K\subset[-R,R]^r K ⊂ [ − R , R ] r
A ( E ) = B ( K × { 0 } n − r ) A(E)=B(K\times\{0\}^{n-r}) A ( E ) = B ( K × { 0 } n − r ) が成り立つ。0 < δ ≤ 1 0<\delta\leq1 0 < δ ≤ 1 [ − R , R ] [-R,R] [ − R , R ] δ \delta δ N = ⌈ 2 R / δ ⌉ N=\lceil2R/\delta\rceil N = ⌈ 2 R / δ ⌉ r r r r r r 2 δ 2\delta 2 δ n − r n-r n − r ( − δ / 2 , δ / 2 ) (-\delta/2,\delta/2) ( − δ /2 , δ /2 ) K × { 0 } n − r K\times\{0\}^{n-r} K × { 0 } n − r N r N^r N r 2 r δ n 2^r\delta^n 2 r δ n
N r ≤ ( 2 R + 1 ) r δ − r N^r\leq(2R+1)^r\delta^{-r} N r ≤ ( 2 R + 1 ) r δ − r であるから、被覆の総体積は
2 r ( 2 R + 1 ) r δ n − r 2^r(2R+1)^r\delta^{n-r} 2 r ( 2 R + 1 ) r δ n − r 以下である。
基本線形変換の補題の証明で示した線形写像による Jordan 零集合の保存をB B B B B B C B C_B C B C B 2 r ( 2 R + 1 ) r δ n − r C_B2^r(2R+1)^r\delta^{n-r} C B 2 r ( 2 R + 1 ) r δ n − r ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0
C B 2 r ( 2 R + 1 ) r δ n − r < ε C_B2^r(2R+1)^r\delta^{n-r}<\varepsilon C B 2 r ( 2 R + 1 ) r δ n − r < ε となるδ \delta δ A ( E ) = B ( K × { 0 } n − r ) A(E)=B(K\times\{0\}^{n-r}) A ( E ) = B ( K × { 0 } n − r )
Jordan 零集合の有限開直方体被覆をわずかに拡大すれば、その閉包も任意に小さい総体積で覆われる。従って∂ A ( E ) ⊂ A ( E ) ‾ \partial A(E)\subset\overline{A(E)} ∂ A ( E ) ⊂ A ( E ) §E4.11 定理 2.2 によりA ( E ) A(E) A ( E ) det A = 0 \det A=0 det A = 0 ▨
系 2.2. v 1 , … , v n ∈ R n v_1,\ldots,v_n\in\mathbb R^n v 1 , … , v n ∈ R n
P = { ∑ i = 1 n t i v i : 0 ≤ t i ≤ 1 } P=\left\{\sum_{i=1}^nt_iv_i:0\leq t_i\leq1\right\} P = { i = 1 ∑ n t i v i : 0 ≤ t i ≤ 1 } とおく。このときP P P
vol ( P ) = ∣ det ( v 1 , … , v n ) ∣ \operatorname{vol}(P)=\left|\det(v_1,\ldots,v_n)\right| vol ( P ) = ∣ det ( v 1 , … , v n ) ∣ が成り立つ。
証明. 標準基底の第i i i v i v_i v i A A A P = A ( [ 0 , 1 ] n ) P=A([0,1]^n) P = A ([ 0 , 1 ] n ) A A A ( v 1 , … , v n ) (v_1,\ldots,v_n) ( v 1 , … , v n ) 定理 2.1 を体積1 1 1 ▨
3 線形変数変換 定理 3.1. n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 A : R n → R n A:\mathbb R^n\to\mathbb R^n A : R n → R n E ⊂ R n E\subset\mathbb R^n E ⊂ R n f : A ( E ) → R f:A(E)\to\mathbb R f : A ( E ) → R f ∘ A : E → R f\circ A:E\to\mathbb R f ∘ A : E → R
∫ A ( E ) f ( x ) d x = ∣ det A ∣ ∫ E f ( A u ) d u (5) \int_{A(E)}f(x)\,dx
=|\det A|\int_Ef(Au)\,du
\tag{5} ∫ A ( E ) f ( x ) d x = ∣ det A ∣ ∫ E f ( A u ) d u ( 5 ) が成り立つ。
証明. d = ∣ det A ∣ > 0 d=|\det A|>0 d = ∣ det A ∣ > 0 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 補題 1 によりA ( E ) A(E) A ( E ) { G ℓ } ℓ = 1 s \{G_\ell\}_{\ell=1}^s { G ℓ } ℓ = 1 s
∑ ℓ = 1 s osc ( f ; G ℓ ) vol ( G ℓ ) < ε (6) \sum_{\ell=1}^s
\operatorname{osc}(f;G_\ell)\operatorname{vol}(G_\ell)<\varepsilon
\tag{6} ℓ = 1 ∑ s osc ( f ; G ℓ ) vol ( G ℓ ) < ε ( 6 ) を満たすものが存在する。H ℓ = A − 1 ( G ℓ ) H_\ell=A^{-1}(G_\ell) H ℓ = A − 1 ( G ℓ ) 定理 2.1 をA − 1 A^{-1} A − 1 H ℓ H_\ell H ℓ
vol ( H ℓ ) = d − 1 vol ( G ℓ ) \operatorname{vol}(H_\ell)=d^{-1}\operatorname{vol}(G_\ell) vol ( H ℓ ) = d − 1 vol ( G ℓ ) を満たす。さらに、{ H ℓ } \{H_\ell\} { H ℓ } E E E
osc ( f ∘ A ; H ℓ ) = osc ( f ; G ℓ ) \operatorname{osc}(f\circ A;H_\ell)=\operatorname{osc}(f;G_\ell) osc ( f ∘ A ; H ℓ ) = osc ( f ; G ℓ ) である。従ってf ∘ A f\circ A f ∘ A d − 1 d^{-1} d − 1 ε \varepsilon ε f ∘ A f\circ A f ∘ A E E E
積分値を比較する。同じ分割について
m ℓ = inf G ℓ f , M ℓ = sup G ℓ f m_\ell=\inf_{G_\ell}f,
\qquad
M_\ell=\sup_{G_\ell}f m ℓ = G ℓ inf f , M ℓ = G ℓ sup f とおく。補題 1 (1) により、f ∣ G ℓ f|_{G_\ell} f ∣ G ℓ ( f ∘ A ) ∣ H ℓ (f\circ A)|_{H_\ell} ( f ∘ A ) ∣ H ℓ
∑ ℓ m ℓ vol ( G ℓ ) ≤ ∫ A ( E ) f ≤ ∑ ℓ M ℓ vol ( G ℓ ) \sum_\ell m_\ell\operatorname{vol}(G_\ell)
\leq\int_{A(E)}f
\leq\sum_\ell M_\ell\operatorname{vol}(G_\ell) ℓ ∑ m ℓ vol ( G ℓ ) ≤ ∫ A ( E ) f ≤ ℓ ∑ M ℓ vol ( G ℓ ) であり、同時に
∑ ℓ m ℓ vol ( G ℓ ) ≤ d ∫ E f ∘ A ≤ ∑ ℓ M ℓ vol ( G ℓ ) \sum_\ell m_\ell\operatorname{vol}(G_\ell)
\leq d\int_Ef\circ A
\leq\sum_\ell M_\ell\operatorname{vol}(G_\ell) ℓ ∑ m ℓ vol ( G ℓ ) ≤ d ∫ E f ∘ A ≤ ℓ ∑ M ℓ vol ( G ℓ ) である。この共通区間の長さは式 (6) の左辺より小さい。ε \varepsilon ε ▨
例 3.2 (楕円の面積). a , b > 0 a,b>0 a , b > 0
D = { ( u , v ) : u 2 + v 2 ≤ 1 } , E = { ( x , y ) : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 } D=\{(u,v):u^2+v^2\leq1\},
\qquad
E=\left\{(x,y):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1\right\} D = {( u , v ) : u 2 + v 2 ≤ 1 } , E = { ( x , y ) : a 2 x 2 + b 2 y 2 ≤ 1 } とする。A ( u , v ) = ( a u , b v ) A(u,v)=(au,bv) A ( u , v ) = ( a u , b v ) D D D E E E ∣ det A ∣ = a b |\det A|=ab ∣ det A ∣ = ab 定理 3.1 を定数関数1 1 1
area ( E ) = a b area ( D ) = π a b \operatorname{area}(E)=ab\operatorname{area}(D)=\pi ab area ( E ) = ab area ( D ) = π ab を得る。
4 演習 問題 4.1 (平行四辺形上の積分). A : R 2 → R 2 A:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 A : R 2 → R 2
A ( u , v ) = ( 2 u + v , u + 2 v ) A(u,v)=(2u+v,u+2v) A ( u , v ) = ( 2 u + v , u + 2 v ) とし、P = A ( [ 0 , 1 ] 2 ) P=A([0,1]^2) P = A ([ 0 , 1 ] 2 ) A A A
∫ P ( x − y ) 2 d ( x , y ) \int_P(x-y)^2\,d(x,y) ∫ P ( x − y ) 2 d ( x , y ) を求めよ。また、A A A
解答. A A A
( 2 1 1 2 ) \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} ( 2 1 1 2 ) であり、行列式は3 3 3 A A A x − y = u − v x-y=u-v x − y = u − v 定理 3.1 により
∫ P ( x − y ) 2 d ( x , y ) = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( u − v ) 2 d v d u = 3 ( 1 3 − 1 2 + 1 3 ) = 1 2 . \begin{aligned}
\int_P(x-y)^2\,d(x,y)
&=3\int_0^1\int_0^1(u-v)^2\,dv\,du\\
&=3\left(\frac13-\frac12+\frac13\right)
=\frac12.
\end{aligned} ∫ P ( x − y ) 2 d ( x , y ) = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( u − v ) 2 d v d u = 3 ( 3 1 − 2 1 + 3 1 ) = 2 1 . 二列を交換すると行列式の符号は反転するが、絶対値は3 3 3 ▨