§E2.11位相空間

証明.$\mathcal{P}(X)$については、$\emptyset$と$X$はいずれも$X$の部分集合であるから定義 1.1 条件 (a)が成り立つ。また、$X$の部分集合の任意個の和集合も有限個の共通部分も$X$の部分集合であるから、定義 1.1 条件 (b)と定義 1.1 条件 (c)が成り立つ。

$\{\emptyset,X\}$については、$\emptyset$と$X$が定義によりこの族に属するから定義 1.1 条件 (a)が成り立つ。$\{\emptyset,X\}$の部分族の和集合は、その部分族が$X$を含むならば$X$であり、含まないならば$\emptyset$である。同じ部分族の空でない有限個の元の共通部分も、$X$だけからなるならば$X$であり、$\emptyset$を含むならば$\emptyset$である。したがって定義 1.1 条件 (b)と定義 1.1 条件 (c)が成り立つ。

$\mathcal{O}_{\mathrm{cc}}$について、$\emptyset$は定義により属し、$X\setminus X=\emptyset$は高々可算であるから$X\in\mathcal{O}_{\mathrm{cc}}$である。$\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$を$\mathcal{O}_{\mathrm{cc}}$の元からなる集合族とする。すべての$U_\lambda$が空集合ならば、その和集合も空集合である。空でない$U_{\lambda_0}$が存在するならば、

であり、右辺は高々可算である。したがって、和集合は$\mathcal{O}_{\mathrm{cc}}$に属する。

有限個の元$U_1,\dots,U_n$のいずれかが空集合ならば、その共通部分も空集合である。すべてが空でない場合には、§E1.2 定理 3.2が与える一般のド・モルガン則により

である。右辺は§E1.18 定理 5.1により高々可算である。したがって、有限個の元の共通部分も$\mathcal{O}_{\mathrm{cc}}$に属する。

離散距離が定める開集合について、§E2.2 例 5.2により$X$の任意の部分集合が開集合である。したがって、離散距離から生じる位相は$\mathcal{P}(X)$に一致する。▨

証明.$d$を$X$上の距離とし、$\mathcal{O}_d=\{\emptyset,X\}$であると仮定する。$X$は二つ以上の元をもつから、$x\ne y$を満たす$x,y\in X$をとることができる。§E2.1 定義 1.1 条件 (a)と§E2.1 命題 1.2により$r=d(x,y)>0$である。§E2.2 補題 1.2により開球$B(x,r)$は$\mathcal{O}_d$に属し、§E2.1 注意 1.5により$x\in B(x,r)$であるから$B(x,r)\ne\emptyset$である。仮定により$B(x,r)=X$となり、とくに$y\in B(x,r)$、すなわち$d(x,y)<r$である。これは$r=d(x,y)$に反する。▨

証明. 必要性を示す。$\mathcal{F}$を位相$\mathcal{O}$の閉集合の全体とする。$\emptyset$と$X$の補集合はそれぞれ$X$と$\emptyset$であり、いずれも開集合であるから、条件 (a)が成り立つ。

$\{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$を閉集合からなる任意の集合族とする。§E1.2 定理 3.2が与える一般のド・モルガン則により

である。右辺は開集合の任意個の和集合であるから開集合である。したがって$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda$は閉集合であり、条件 (b)が成り立つ。

閉集合$F_1,\dots,F_n$に対して

である。右辺は有限個の開集合の共通部分であるから開集合である。したがって、$\bigcup_{i=1}^{n}F_i$は閉集合であり、条件 (c)が成り立つ。

十分性を示す。$\mathcal{F}$が三つをすべて満たすと仮定し、$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$を定理文の式で定める。条件 (a)により

である。

$\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$を$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$の元からなる集合族とする。各$\lambda$に対して$F_\lambda=X\setminus U_\lambda$とおくと、$F_\lambda\in\mathcal{F}$である。条件 (b)と、§E1.2 定理 3.2が与える一般のド・モルガン則により

である。また、$U_i=X\setminus F_i$と書けば、条件 (c)により

である。したがって、$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$は$X$の位相である。

$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$について閉集合である$F\subseteq X$は、$X\setminus F\in\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$を満たす。定義により、これは$X\setminus F=X\setminus F'$を満たす$F'\in\mathcal{F}$が存在することと同値である。補集合を再びとると$F=F'$となるので、$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$の閉集合の全体は$\mathcal{F}$である。

一意性を示す。閉集合の全体が$\mathcal{F}$である位相では、開集合はその補集合として必ず$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$の元になり、逆に$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$の元は$\mathcal{F}$の元の補集合として開集合である。したがって、この位相は$\mathcal{O}_{\mathcal{F}}$に一致する。▨

証明.(1)を示す。$\tpint{A}$は開集合の族の和集合であるから開集合であり、和をとる各集合が$A$に含まれるため$\tpint{A}\subseteq A$である。$U$が$A$に含まれる開集合ならば、$U$は内部を定める和集合の一員であるから$U\subseteq\tpint{A}$である。したがって、$\tpint{A}$は$A$に含まれる最大の開集合である。$\overline{A}$は閉集合の族の共通部分であるから、定理 2.3 条件 (b)により閉集合である。共通部分をとる各閉集合が$A$を含むため、$A\subseteq\overline{A}$である。$F$が$A$を含む閉集合ならば、$F$は閉包を定める共通部分の一員であるから$\overline{A}\subseteq F$である。したがって、$\overline{A}$は$A$を含む最小の閉集合である。

(2)を示す。$A$が開集合ならば、(1)の最大性により$A\subseteq\tpint{A}$であり、$\tpint{A}\subseteq A$と合わせて等号を得る。逆に$\tpint{A}=A$ならば、内部が開集合であることから$A$は開集合である。$A$が閉集合ならば、(1)の最小性により$\overline{A}\subseteq A$であり、$A\subseteq\overline{A}$と合わせて等号を得る。逆に$\overline{A}=A$ならば、閉包が閉集合であることから$A$は閉集合である。

(3)を示す。$\tpint{A}$は開集合であるから、$X\setminus\tpint{A}$は閉集合である。また、$\tpint{A}\subseteq A$であるから

である。よって、(1)の最小性により

である。逆に、$F$を$X\setminus A$を含む閉集合とする。この包含の補集合をとると、$X\setminus F$は$A$に含まれる開集合である。(1)の最大性により$X\setminus F\subseteq\tpint{A}$であり、再び補集合をとると$X\setminus\tpint{A}\subseteq F$を得る。これは$X\setminus\tpint{A}$が$X\setminus A$を含むすべての閉集合に含まれることを示すので、

である。したがって、第一の等式が成り立つ。第一の等式で$A$を$X\setminus A$に置き換えると

を得る。両辺の補集合をとることにより、第二の等式が従う。▨

証明. 任意の$x\in A$をとり、仮定を満たす開集合$U$をとる。この$U$は$A$に含まれるので、命題 2.5 (1)により$U\subseteq\tpint{A}$である。とくに$x\in\tpint{A}$である。$x$は$A$の任意の元であったから$A\subseteq\tpint{A}$であり、命題 2.5 (1)が与える$\tpint{A}\subseteq A$と合わせて$A=\tpint{A}$を得る。よって命題 2.5 (2)により$A$は開集合である。▨

証明.(1)を示す。命題 2.5 (3)により$\overline{X\setminus A}=X\setminus\tpint{A}$であるから、

である。

(2)を示す。$X\setminus(X\setminus A)=A$であるから、$\partial(X\setminus A)=\overline{X\setminus A}\cap\overline{A}=\partial A$である。

(3)を示す。$\overline{A}$と$\overline{X\setminus A}$は閉集合であり、定理 2.3 条件 (b)により有限個の閉集合の共通部分は閉集合であるから、$\partial A$は閉集合である。

(4)を示す。$A\subseteq\overline{A}$かつ$\partial A\subseteq\overline{A}$であるから、$A\cup\partial A\subseteq\overline{A}$である。逆に$x\in\overline{A}$とする。$x\in A$ならば$x\in A\cup\partial A$である。$x\notin A$ならば$x\in X\setminus A\subseteq\overline{X\setminus A}$であるから、$x\in\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}=\partial A$である。したがって$\overline{A}\subseteq A\cup\partial A$である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$\overline{A}=X$と仮定し、$U$を空でない開集合とする。$U\cap A=\emptyset$であると仮定すると、$A\subseteq X\setminus U$であり、$X\setminus U$は閉集合である。命題 2.5 (1)により$\overline{A}\subseteq X\setminus U$となる。一方$\overline{A}=X$であるから$U=\emptyset$となり、$U$が空でないことに反する。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$\overline{A}\ne X$であると仮定すると、$U=X\setminus\overline{A}$は空でない開集合である。$A\subseteq\overline{A}$であるから$U\cap A=\emptyset$となり、(2)に反する。したがって$\overline{A}=X$である。

(1)と(3)が同値であることを示す。命題 2.5 (3)により$X\setminus\overline{A}=\tpint{X\setminus A}$である。したがって、$\overline{A}=X$であることと$\tpint{X\setminus A}=\emptyset$であることは同値である。▨

証明.$z\in V$をとり、$W$を$z$の近傍とする。定義 6.1により$z\in W_0\subseteq W$を満たす開集合$W_0$が存在する。$W_0\cap V$は$z$を含む空でない開集合であるから、$D$の稠密性と命題 2.9 (2)により$W_0\cap V\cap D\neq\emptyset$である。$W_0\cap V\cap D\subseteq W\cap(V\cap D)$であるから$W$は$V\cap D$と交わり、命題 7.2 (2)により$z\in\overline{V\cap D}$である。▨

証明.$X$自身は$X$に含まれる開集合であるから、命題 2.5 (1)により$I_{\mathcal{O}}(X)=X$である。命題 2.5 (1)の最大性に含まれる包含から、任意の$A\subseteq X$について$I_{\mathcal{O}}(A)\subseteq A$である。$I_{\mathcal{O}}(A)$は開集合であるから、命題 2.5 (2)により$I_{\mathcal{O}}(I_{\mathcal{O}}(A))=I_{\mathcal{O}}(A)$である。

$I_{\mathcal{O}}(A)\cap I_{\mathcal{O}}(B)$は二つの開集合の共通部分であるから開集合であり、$A\cap B$に含まれる。よって命題 2.5 (1)の最大性により$I_{\mathcal{O}}(A)\cap I_{\mathcal{O}}(B)\subseteq I_{\mathcal{O}}(A\cap B)$である。逆に$I_{\mathcal{O}}(A\cap B)$は$A$に含まれる開集合であり、$B$に含まれる開集合でもあるから、同じ最大性により$I_{\mathcal{O}}(A\cap B)\subseteq I_{\mathcal{O}}(A)$かつ$I_{\mathcal{O}}(A\cap B)\subseteq I_{\mathcal{O}}(B)$である。したがって$I_{\mathcal{O}}(A\cap B)=I_{\mathcal{O}}(A)\cap I_{\mathcal{O}}(B)$である。▨

証明.(1)を示す。$A\subseteq B$ならば$A=A\cap B$であるから、定義 3.1 条件 (d)により$I(A)=I(A)\cap I(B)$であり、$I(A)\subseteq I(B)$を得る。

(2)を示す。定義 3.1 条件 (b)を$A=\emptyset$に適用すると$I(\emptyset)=\emptyset$であり、定義 3.1 条件 (a)と合わせて$\emptyset\in\mathcal{O}_I$かつ$X\in\mathcal{O}_I$である。$\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$を$\mathcal{O}_I$の元からなる集合族とし、$U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda$とおく。各$\lambda\in\Lambda$について$U_\lambda\subseteq U$であるから、(1)により$U_\lambda=I(U_\lambda)\subseteq I(U)$である。したがって$U\subseteq I(U)$であり、定義 3.1 条件 (b)と合わせて$I(U)=U$を得る。正の整数$n$と$U_1,\dots,U_n\in\mathcal{O}_I$に対しては、定義 3.1 条件 (d)を$n-1$回用いて

を得る。したがって$\mathcal{O}_I$は$X$の位相である。▨

証明.$U\subseteq X$に対して、$U\in\mathcal{O}$であることと$I_{\mathcal{O}}(U)=U$であることは命題 2.5 (2)により同値である。したがって$\mathcal{O}_{I_{\mathcal{O}}}=\mathcal{O}$である。

$A\subseteq X$をとる。定義 3.1 条件 (c)により$I(A)\in\mathcal{O}_I$であり、定義 3.1 条件 (b)により$I(A)\subseteq A$である。$U\in\mathcal{O}_I$かつ$U\subseteq A$ならば、補題 3.3 (1)により$U=I(U)\subseteq I(A)$である。したがって$I(A)$は$\mathcal{O}_I$に属して$A$に含まれる集合のうち最大のものであり、命題 2.5 (1)を位相$\mathcal{O}_I$に適用すると$I_{\mathcal{O}_I}(A)=I(A)$を得る。▨

証明.補題 3.2により、$\mathcal{O}\mapsto I_{\mathcal{O}}$は$X$の位相の全体から$X$上の開核作用素の全体への写像である。補題 3.3 (2)により、$I\mapsto\mathcal{O}_I$は逆向きの写像である。補題 3.4は、二つの写像の合成がどちらの順序でも恒等写像であることを与える。したがって、二つの写像は互いに逆な全単射である。▨

証明.(1)を示す。写像$F:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$と任意の$A\subseteq X$に対して

である。

(2)を示す。補集合をとる写像$A\mapsto X\setminus A$は$\mathcal{P}(X)$からそれ自身への全単射であるから、$A$が$\mathcal{P}(X)$を動くとき$X\setminus A$も$\mathcal{P}(X)$を動く。$F^{*}(\emptyset)=X\setminus F(X)$であるから、$F^{*}(\emptyset)=\emptyset$であることと$F(X)=X$であることは同値である。任意の$A\subseteq X$に対して、$A\subseteq F^{*}(A)$であることは$F(X\setminus A)\subseteq X\setminus A$であることと同値であるから、任意の$A\subseteq X$について$A\subseteq F^{*}(A)$であることと、任意の$A\subseteq X$について$F(A)\subseteq A$であることは同値である。$X\setminus F^{*}(A)=F(X\setminus A)$であるから

であり、任意の$A\subseteq X$について$F^{*}(F^{*}(A))=F^{*}(A)$であることと、任意の$A\subseteq X$について$F(F(A))=F(A)$であることは同値である。任意の$A,B\subseteq X$に対して、§E1.2 定理 3.2により

であるから、任意の$A,B\subseteq X$について$F^{*}(A\cup B)=F^{*}(A)\cup F^{*}(B)$であることと、任意の$A,B\subseteq X$について$F(A\cap B)=F(A)\cap F(B)$であることは同値である。以上の四つの同値により、$F$が定義 3.1の四つをすべて満たすことと、$F^{*}$が定義 4.1の四つをすべて満たすことは同値である。

(3)を示す。(2)により、$I\mapsto I^{*}$は$X$上の開核作用素の全体から$X$上の Kuratowski 閉包作用素の全体への写像である。$C$を Kuratowski 閉包作用素とすると、(1)により$(C^{*})^{*}=C$であるから、(2)を$F=C^{*}$へ適用して$C^{*}$は開核作用素である。よって$C\mapsto C^{*}$は逆向きの写像である。(1)は、二つの写像の合成がどちらの順序でも恒等写像であることを与える。したがって、二つの写像は互いに逆な全単射である。

(4)を示す。命題 2.5 (3)により、任意の$A\subseteq X$に対して$\overline{A}=X\setminus\tpint{X\setminus A}$である。よって$C_{\mathcal{O}}(A)=X\setminus I_{\mathcal{O}}(X\setminus A)=(I_{\mathcal{O}})^{*}(A)$であり、$C_{\mathcal{O}}=(I_{\mathcal{O}})^{*}$である。補題 3.2により$I_{\mathcal{O}}$は開核作用素であるから、(2)により$C_{\mathcal{O}}$は Kuratowski 閉包作用素である。▨

証明.補題 4.3 (1)により$(C^{*})^{*}=C$であり、$C$は Kuratowski 閉包作用素であるから、補題 4.3 (2)により$C^{*}$は$X$上の開核作用素である。また、任意の$A\subseteq X$に対して$C^{*}(X\setminus A)=X\setminus C(A)$である。

(1)を示す。$A\subseteq B\subseteq X$とすると$X\setminus B\subseteq X\setminus A$であるから、補題 3.3 (1)を$C^{*}$へ適用すると$C^{*}(X\setminus B)\subseteq C^{*}(X\setminus A)$であり、直前の等式により$X\setminus C(B)\subseteq X\setminus C(A)$を得る。両辺の補集合をとると$C(A)\subseteq C(B)$である。

(2)を示す。$U\subseteq X$に対して、$C^{*}(U)=U$であることは$X\setminus C(X\setminus U)=U$であることと同値であり、これは$C(X\setminus U)=X\setminus U$、すなわち$X\setminus U\in\mathcal{F}_C$であることと同値である。補題 3.3 (2)を$C^{*}$へ適用すると$\mathcal{O}_{C^{*}}=\{\,U\subseteq X\mid C^{*}(U)=U\,\}$は$X$の位相であり、いま示したことにより$\mathcal{F}_C$は位相$\mathcal{O}_{C^{*}}$の閉集合の全体である。したがって定理 2.3の必要性により、$\mathcal{F}_C$は三つをすべて満たす。

(3)を示す。定理 2.3により、閉集合の全体が$\mathcal{F}_C$である位相は$\mathcal{O}_C$ただ一つである。直前に示したとおり$\mathcal{O}_{C^{*}}$もこの性質をもつから、$\mathcal{O}_C=\mathcal{O}_{C^{*}}$である。▨

証明.補題 4.3 (4)により$C_{\mathcal{O}}=(I_{\mathcal{O}})^{*}$であるから、補題 4.4 (3)と補題 4.3 (1)により

である。補題 3.4により右辺は$\mathcal{O}$に等しい。

補題 4.4 (3)により$\mathcal{O}_C=\mathcal{O}_{C^{*}}$であり、補題 4.3 (1)と補題 4.3 (2)により$C^{*}$は開核作用素であるから、補題 3.4により$I_{\mathcal{O}_C}=I_{\mathcal{O}_{C^{*}}}=C^{*}$である。よって補題 4.3 (4)と補題 4.3 (1)により

である。▨

証明.補題 4.3 (4)により、$\mathcal{O}\mapsto C_{\mathcal{O}}$は$X$の位相の全体から$X$上の Kuratowski 閉包作用素の全体への写像である。補題 4.4 (3)により、$C\mapsto\mathcal{O}_C$は逆向きの写像である。補題 4.5は、二つの写像の合成がどちらの順序でも恒等写像であることを与える。したがって、二つの写像は互いに逆な全単射である。▨

証明.$x\in\mathbb{R}$が$x\ne0$を満たすとき、$y\in B(x,\lvert x\rvert)$ならば$\lvert x-y\rvert<\lvert x\rvert$であるから$y\ne0$である。したがって$B(x,\lvert x\rvert)\subseteq\mathbb{R}\setminus\{0\}$であり、§E2.2 定義 1.1により$\mathbb{R}\setminus\{0\}$は通常の位相の開集合である。よって$\{0\}$は閉集合であり、命題 2.5 (2)により$\overline{\{0\}}=\{0\}$である。

命題 2.5 (1)により$\tpint{\{0\}}\subseteq\{0\}$であるから、$\tpint{\{0\}}\ne\emptyset$であると仮定すると$\tpint{\{0\}}=\{0\}$であり、命題 2.5 (2)により$\{0\}$は開集合である。このとき§E2.2 定義 1.1により$B(0,\varepsilon)\subseteq\{0\}$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在するが、$\lvert 0-\varepsilon/2\rvert=\varepsilon/2<\varepsilon$であるから$\varepsilon/2\in B(0,\varepsilon)$であり、$\varepsilon/2\ne0$である。これは$B(0,\varepsilon)\subseteq\{0\}$に反する。よって$\tpint{\{0\}}=\emptyset$であり、命題 2.8 (1)により$\partial\{0\}=\overline{\{0\}}\setminus\tpint{\{0\}}=\{0\}$である。

定義 1.1 条件 (a)により$\emptyset$と$\mathbb{R}$はいずれも通常の位相の開集合であるから、$\mathbb{R}$は開集合かつ閉集合である。したがって命題 2.5 (2)により$\tpint{\mathbb{R}}=\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}$であり、命題 2.8 (1)により$\partial\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{R}=\emptyset$である。▨

証明.定義 4.1 条件 (b)を$A=X$に適用すると$X\subseteq C(X)\subseteq X$であるから$C(X)=X$であり、定義 4.1 条件 (a)と合わせて$D_C(\emptyset)=C(\emptyset)\cap C(X)=\emptyset$である。したがって定義 5.2 条件 (a)が成り立つ。$X\setminus(X\setminus A)=A$であるから$D_C(X\setminus A)=C(X\setminus A)\cap C(A)=D_C(A)$であり、定義 5.2 条件 (e)が成り立つ。

定義 4.1 条件 (c)により$C(A)$と$C(X\setminus A)$はいずれも補題 4.4 (2)の$\mathcal{F}_C$に属する。$\mathcal{F}_C$は定理 2.3 条件 (b)を満たすから、共通部分$D_C(A)$も$\mathcal{F}_C$に属する。したがって

であり、定義 5.2 条件 (b)が成り立つ。

$x\in D_C(A\cup B)$とする。定義 4.1 条件 (d)により$x\in C(A)\cup C(B)$である。また、$X\setminus(A\cup B)$は$X\setminus A$と$X\setminus B$の双方に含まれるから、補題 4.4 (1)により$x\in C(X\setminus A)\cap C(X\setminus B)$である。$x\in C(A)$ならば$x\in D_C(A)$であり、$x\in C(B)$ならば$x\in D_C(B)$であるから、定義 5.2 条件 (c)が成り立つ。