§E3.2線形空間と座標

証明.(1)を示す。$0_V$と$0'_V$がともに (V3) の条件を満たすとする。$0'_V$についての条件を$v = 0_V$に適用すると$0_V + 0'_V = 0_V$であり、$0_V$についての条件を$v = 0'_V$に適用すると$0'_V + 0_V = 0'_V$である。(V2) により$0_V + 0'_V = 0'_V + 0_V$であるから、$0_V = 0'_V$である。

(2)を示す。$w$と$w'$がともに$v + w = 0_V$、$v + w' = 0_V$を満たすとする。(V3)、(V1)、(V2) を順に用いて

を得る。

(3)を示す。(F3) により$0_K = 0_K + 0_K$であるから、(V8) により$0_K v = (0_K + 0_K)v = 0_K v + 0_K v$である。(V4) により$0_K v + w = 0_V$を満たす$w \in V$が存在する。この$w$を用いると、(V1) と (V3) により

となる。

(4)を示す。(V3) により$0_V = 0_V + 0_V$であるから、(V7) により$a 0_V = a 0_V + a 0_V$である。(V4) により$a 0_V + w = 0_V$を満たす$w \in V$が存在し、(3)と同じ計算により$a 0_V = 0_V$となる。

(5)を示す。(V6)、(V8)、$-1$の定義、および(3)により

である。したがって$(-1)v$は$v$の加法についての逆元であり、(2)の一意性により$(-1)v = -v$である。▨

証明.$W$を部分空間とする。$u, v \in W$と$a, b \in K$に対して、定義 1.4 条件 (a)により$au \in W$かつ$bv \in W$であり、再び定義 1.4 条件 (a)により$au + bv \in W$である。よって条件は必要である。

逆に条件を仮定する。$W$は空でないので、元$w \in W$を一つ取る。$u = v = w$、$a = b = 0_K$とすると$0_K w + 0_K w \in W$であり、命題 1.3 (3)と (V3) により$0_K w + 0_K w = 0_V + 0_V = 0_V$であるから、$0_V \in W$である。$u, v \in W$に対して$a = b = 1$とすると、(V6) により$1u + 1v = u + v$であるから$u + v \in W$である。$u \in W$と$a \in K$に対して$v = u$、$b = 0_K$とすると、命題 1.3 (3)と (V3) により$au + 0_K u = au + 0_V = au$であるから$au \in W$である。よって定義 1.4 条件 (a)が成り立つ。

制限した演算が$W$を線形空間にすることを確かめる。(V1)、(V2)、(V5)、(V6)、(V7)、(V8) は、$V$の中で成り立つ等式を$W$の元へ適用したものであるから成り立つ。上で示した$0_V \in W$が (V3) の条件を満たす。$u \in W$に対して$v = u$、$a = -1$、$b = 0_K$とすると、命題 1.3 (3)、命題 1.3 (5)と (V3) により$(-1)u + 0_K u = -u + 0_V = -u$であるから$-u \in W$であり、これが (V4) の条件を満たす。したがって$W$は部分空間である。▨

証明.定義 1.6により、$K[t]_{\le 3}$の和とスカラー倍は係数の四つ組に対する成分ごとの演算であり、多項式の相等は係数ごとの相等である。したがって定義 1.1の (V1) から (V8) は、係数ごとに読むと、それぞれ (F1)、(F2)、(F3)、(F4)、(F5)、(F7)、(F9)、および (F6) と (F9) から得られる等式$(a + b)c = ac + bc$に帰着する。(V3) の条件は零多項式が満たし、$p$に対する (V4) の条件は、各係数を$-a_i$に取り替えた多項式が満たす。▨

証明.§E3.1 定義 4.1により、$K^n$の和とスカラー倍は成分ごとの演算$(x + y)_i = x_i + y_i$、$(cx)_i = c x_i$である。したがって定義 1.1の (V1) から (V8) は、第$i$成分ごとに読むと、それぞれ (F1)、(F2)、(F3)、(F4)、(F5)、(F7)、(F9)、および (F6) と (F9) から得られる等式$(a + b)c = ac + bc$に帰着する。(V3) の条件は、すべての成分が$0$である列が満たし、$x$に対する (V4) の条件は、第$i$成分が$-x_i$である列が満たす。▨

証明.$x = (x_1, \ldots, x_n)^{\mathsf T} \in K^n$とする。$a_1, \ldots, a_n \in K$に対して、$a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n$の第$i$成分は、和とスカラー倍の定義（§E3.1 定義 4.1）により$a_1 (e_1)_i + \cdots + a_n (e_n)_i$である。$(e_j)_i$は$j = i$のとき$1$、$j \ne i$のとき$0$であるから、(F7)、(F6) と§E3.1 命題 1.3 (3)、および (F2) と (F3) により、この和は$a_i$に等しい。したがって、$x = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n$が成り立つことと、各$i$について$a_i = x_i$が成り立つことは同値である。すなわち$x$は、組$(x_1, \ldots, x_n)$による表示をもち、それ以外の表示をもたない。よって$(e_1, \ldots, e_n)$は$K^n$の順序付き基底であり、$x$の座標は$(x_1, \ldots, x_n)^{\mathsf T} = x$である。▨

証明.(1)を示す。写像$\Phi : K^n \to V$を$\Phi\bigl((a_1, \ldots, a_n)^{\mathsf T}\bigr) = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$で定める。$v \in V$に対して、$[v]_{\mathcal B} = (a_1, \ldots, a_n)^{\mathsf T}$とは$v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$が成り立つことであるから、$\Phi([v]_{\mathcal B}) = v$である。逆に$x = (x_1, \ldots, x_n)^{\mathsf T} \in K^n$に対して、$\Phi(x) = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n$は組$(x_1, \ldots, x_n)$による表示をもつので、表示の一意性により$[\Phi(x)]_{\mathcal B} = x$である。したがって$[\,\cdot\,]_{\mathcal B}$と$\Phi$は互いに逆写像であり、$[\,\cdot\,]_{\mathcal B}$は全単射である。

(2)を示す。$[u]_{\mathcal B} = (a_1, \ldots, a_n)^{\mathsf T}$、$[v]_{\mathcal B} = (b_1, \ldots, b_n)^{\mathsf T}$とする。(V1) と (V2) により有限和の項の順序を入れ替えることができ、(V8) により$a_i v_i + b_i v_i = (a_i + b_i)v_i$であるから、

である。表示の一意性により$[u + v]_{\mathcal B}$は第$i$成分が$a_i + b_i$である列であり、行列の和の定義（§E3.1 定義 4.1）によりこれは$[u]_{\mathcal B} + [v]_{\mathcal B}$に等しい。

(3)を示す。$[v]_{\mathcal B} = (a_1, \ldots, a_n)^{\mathsf T}$とすると、(V7) と (V5) により

である。表示の一意性とスカラー倍の定義により$[cv]_{\mathcal B} = c[v]_{\mathcal B}$である。

(4)を示す。命題 1.3 (3)、(V2)、(V3)、(V6) により

である。この表示の係数を列として並べたものは$e_i$であるから、$[v_i]_{\mathcal B} = e_i$である。

(5)を示す。$F$が条件を満たすとする。加法についての条件を繰り返し用いると、項の個数についての帰納法により$F(u_1 + \cdots + u_m) = F(u_1) + \cdots + F(u_m)$が従う。$v \in V$の表示を$v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$とすると、

である。命題 2.4により$(a_1, \ldots, a_n)^{\mathsf T} = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n$であるから、$F(v) = (a_1, \ldots, a_n)^{\mathsf T} = [v]_{\mathcal B}$である。よって$F = [\,\cdot\,]_{\mathcal B}$である。▨

証明.(1)を示す。積の定義（§E3.1 定義 4.1）により$(Ax)_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j$である。他方、和とスカラー倍の定義により$(x_1 p_1 + \cdots + x_n p_n)_i = \sum_{j=1}^{n} x_j a_{ij}$である。(F6) により両者は等しい。

(2)を示す。$(e_j)_k$は$k = j$のとき$1$、$k \ne j$のとき$0$であるから、単位行列の定義（§E3.1 定義 4.1）により$(e_j)_k = (I_n)_{kj}$である。したがって、積の定義により

であり、§E3.1 命題 4.2 (3)により$AI_n = A$であるから、$(Ae_j)_i = a_{ij}$である。すなわち$Ae_j$の各成分は$p_j$の対応する成分に等しく、$Ae_j = p_j$である。

(3)を示す。$B$の第$j$列を$q_j$とすると、(2)により、各$j$について$p_j = Ae_j = Be_j = q_j$である。すべての列が一致するので$A = B$である。▨

証明. 第一の等式を示す。$[v]_{\mathcal C} = (c_1, \ldots, c_n)^{\mathsf T}$とすると$v = c_1 w_1 + \cdots + c_n w_n$である。定理 2.6 (2)と定理 2.6 (3)を繰り返し用いると

であり、右辺は補題 2.8 (1)により$P[v]_{\mathcal C}$に等しい。

可逆性を示す。$Q \in M_n(K)$を、第$j$列が$[v_j]_{\mathcal C}$である行列とすると、$\mathcal B$と$\mathcal C$の役割を入れ替えた第一の等式により、任意の$v \in V$について$[v]_{\mathcal C} = Q[v]_{\mathcal B}$である。したがって、積の結合法則（§E3.1 命題 4.2 (1)）により、任意の$v \in V$について

である。定理 2.6 (1)により座標写像$[\,\cdot\,]_{\mathcal B}$は全単射であるから、$v$が$V$の全体を動くとき$[v]_{\mathcal B}$は$K^n$のすべての元を動く。よって任意の$x \in K^n$について$(PQ)x = x = I_n x$が成り立ち（後者は§E3.1 命題 4.2 (3)）、補題 2.8 (3)により$PQ = I_n$である。$\mathcal B$と$\mathcal C$の役割を入れ替えた同じ議論により$QP = I_n$である。したがって$P$は可逆であり、§E3.1 命題 4.2 (4)により$P^{-1} = Q$である。第二の等式は、$[v]_{\mathcal C} = Q[v]_{\mathcal B} = P^{-1}[v]_{\mathcal B}$として従う。▨