ベクトル場と流れ | 多様体入門

1 ベクトル場と積分曲線

ベクトル場は接束の $C^\infty$ 切断として定義され、関数環 $C^\infty(M)$ 上の導分として作用する（§E17.4 定理 5.3）。 $M$ 上の $C^\infty$ ベクトル場の全体を $\mathfrak{X}(M)$ と書く。

曲線の速度ベクトルを先に定める。 $J\subseteq\mathbb{R}$ を開区間とすると、 $J$ は $1$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、標準座標 $s$ が定める接空間の基底を $\left.\frac{d}{ds}\right|_{t}\in T_tJ$ と書く（§E17.3 定理 3.3）。

定義 1.1. $J\subseteq\mathbb{R}$ を開区間、 $\gamma:J\to M$ を $C^\infty$ 写像とする。 $t\in J$ における $\gamma$ の速度ベクトル (velocity vector) を

\gamma'(t)=d\gamma_t\left(\left.\frac{d}{ds}\right|_{t}\right)\in T_{\gamma(t)}M

で定める。

$X\in\mathfrak{X}(M)$ とする。 $C^\infty$ 写像 $\gamma:J\to M$ （ $J$ は開区間）が $X$ の積分曲線 (integral curve) であるとは、すべての $t\in J$ に対して

\gamma'(t)=X_{\gamma(t)}

が成り立つことをいう。 $0\in J$ かつ $\gamma(0)=p$ であるとき、 $\gamma$ を $p$ を始点とする (starting at a point) 積分曲線という。

積分曲線であるという条件は、チャートを取ると常微分方程式になる。

命題 1.2. $(U,\varphi)$ を $M$ のチャート、 $\varphi=(x^1,\dots,x^n)$ とし、 $X\in\mathfrak{X}(M)$ の $U$ 上の座標表示を

X|_U=\sum_{i=1}^{n}X^i\,\frac{\partial}{\partial x^i},\qquad X^i\in C^\infty(U)

とする。 $F=(F^1,\dots,F^n):\varphi(U)\to\mathbb{R}^n$ を $F^i=X^i\circ\varphi^{-1}$ で定めると、 $F$ は $C^\infty$ である。 $J$ を開区間、 $\gamma:J\to U$ を $C^\infty$ 写像とし、 $u=\varphi\circ\gamma$ と置く。このとき $\gamma$ が $X$ の積分曲線であることと、 $u$ が $J$ 上で

u'(t)=F(u(t))

を満たすことは同値である。

証明. $F$ が $C^\infty$ であることは、 $X^i$ が $U$ 上の $C^\infty$ 関数であり $\varphi^{-1}$ が $C^\infty$ であることによる（§E17.1 定義 4.1）。

$t\in J$ を固定する。連鎖律（§E17.3 定理 5.3）により

d\varphi_{\gamma(t)}\bigl(\gamma'(t)\bigr) =d(\varphi\circ\gamma)_t\left(\left.\frac{d}{ds}\right|_{t}\right) =u'(t)

である。ここで右辺の $u'(t)$ は、 $\mathbb{R}^n$ の標準座標が定める基底のもとで $T_{u(t)}\mathbb{R}^n$ を $\mathbb{R}^n$ と同一視して書いたものであり、成分は通常の一変数の導関数 $\bigl((u^1)'(t),\dots,(u^n)'(t)\bigr)$ である。一方

d\varphi_{\gamma(t)}\bigl(X_{\gamma(t)}\bigr) =\bigl(X^1(\gamma(t)),\dots,X^n(\gamma(t))\bigr) =F(u(t))

である。 $d\varphi_{\gamma(t)}$ は線形同型であるから、 $\gamma'(t)=X_{\gamma(t)}$ と $u'(t)=F(u(t))$ は同値である。 $t\in J$ は任意であったから、主張が従う。▨

「常微分方程式」が供給する定理を適用するためには、右辺 $F$ が連続であることに加えて局所 Lipschitz 連続であることが要る。 $F$ は $C^\infty$ であるからこの条件を満たす。以下でその評価を明示的に取る。

以下、 $\mathbb{R}^n$ の元 $u$ に対して $\lVert u\rVert^2=\sum_{i=1}^{n}(u^i)^2$ と書き、 $\overline B(a,r)=\{u\in\mathbb{R}^n:\lVert u-a\rVert\le r\}$ 、 $B(a,r)=\{u\in\mathbb{R}^n:\lVert u-a\rVert<r\}$ と書く。行列に対する $\lVert\cdot\rVert_{\mathrm{op}}$ はこのノルムから定まる作用素ノルム（§E4.2 定義 1.3）である。これらはいずれも座標空間 $\mathbb{R}^n$ の上で固定した量であって、多様体の上に計量を与えるものではない。本記事では、閉球と開球を指定すること、および評価の定数を取ることにだけ用いる。

補題 1.3. $V\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級とし、 $\overline B(y_0,b)\subseteq V$ とする。 $L=\max_{y\in\overline B(y_0,b)}\lVert DF(y)\rVert_{\mathrm{op}}$ と置くと、

\lVert F(u)-F(v)\rVert\le L\lVert u-v\rVert \qquad\bigl(u,v\in\overline B(y_0,b)\bigr)

が成り立つ。とくに $F$ は $V$ 上で局所 Lipschitz 連続である。

証明. $\overline B(y_0,b)$ はコンパクトであり $\lVert DF(\cdot)\rVert_{\mathrm{op}}$ は連続であるから $L$ は有限である。 $u,v\in\overline B(y_0,b)$ とすると、閉球は凸であるから線分 $[v,u]$ は $\overline B(y_0,b)\subseteq V$ に含まれる。§E4.3 定理 2.1を $M=L$ として適用すれば主張を得る。▨

したがって§E10.4 系 4.1と§E10.5 定理 5.3を適用することができる。

定理 1.4. $X\in\mathfrak{X}(M)$ とし、 $p\in M$ とする。 $0$ を含む開区間 $J_p$ と、 $p$ を始点とする $X$ の積分曲線 $\gamma_p:J_p\to M$ であって次を満たすものが、ちょうど一つ存在する。 $p$ を始点とする $X$ の任意の積分曲線 $\sigma:J\to M$ に対して $J\subseteq J_p$ かつ $\sigma=\gamma_p|_{J}$ である。

証明. 一意性の核となる主張を先に示す。 $\sigma:J\to M$ と $\tau:J'\to M$ を $X$ の積分曲線とし、 $J\cap J'$ が空でない区間であって、ある $t_0\in J\cap J'$ で $\sigma(t_0)=\tau(t_0)$ であるとする。このとき $\sigma=\tau$ が $J\cap J'$ の全体で成り立つ。実際、

A=\{t\in J\cap J':\sigma(t)=\tau(t)\}

と置く。 $A$ は空でない。 $M$ は Hausdorff であり（§E17.1 定義 2.2、「位相空間論 I」の§E2.15 定義 1.2）、 $\sigma$ と $\tau$ は連続であるから、 $A$ は $J\cap J'$ の相対位相で閉じている。 $A$ が開いていることを示す。 $t_1\in A$ とし、 $q=\sigma(t_1)=\tau(t_1)$ の周りのチャート $(U,\varphi)$ を取る。 $\sigma$ と $\tau$ は連続であるから、 $t_1$ を含む開区間 $I\subseteq J\cap J'$ で $\sigma(I)\subseteq U$ かつ $\tau(I)\subseteq U$ となるものが存在する。命題 1.2により $\varphi\circ\sigma$ と $\varphi\circ\tau$ は $I$ 上で同じ常微分方程式 $u'=F(u)$ を満たし、 $t_1$ で同じ値を取る。 $F$ は $C^\infty$ であり、補題 1.3により局所 Lipschitz 連続であるから、§E10.5 補題 5.2により $\varphi\circ\sigma=\varphi\circ\tau$ が $I$ 上で成り立つ。 $\varphi$ は単射であるから $I\subseteq A$ である。よって $A$ は $J\cap J'$ の相対位相で開いている。区間 $J\cap J'$ は連結である（§E2.43 定義 1.1）から $A=J\cap J'$ である。

存在を示す。 $p$ を始点とする $X$ の積分曲線の全体を $\{\sigma_\lambda:J_\lambda\to M\}_{\lambda\in\Lambda}$ とする。 $p$ の周りのチャートを取り、命題 1.2と§E10.4 系 4.1を適用すると、 $0$ を含む開区間上の積分曲線が少なくとも一つ存在するので $\Lambda$ は空でない。 $J_p=\bigcup_{\lambda}J_\lambda$ と置くと、 $J_p$ は $0$ を含む開区間である。 $t\in J_p$ に対して $t\in J_\lambda$ となる $\lambda$ を選び $\gamma_p(t)=\sigma_\lambda(t)$ と定める。別の $\mu$ を選んでも、 $J_\lambda\cap J_\mu$ は $0$ を含む区間であり両者は $0$ で $p$ に一致するので、上で示した一意性により $\sigma_\lambda=\sigma_\mu$ が $J_\lambda\cap J_\mu$ 上で成り立つ。したがって $\gamma_p$ は選び方に依らずに定まる。各 $t\in J_p$ の近くで $\gamma_p$ はある $\sigma_\lambda$ と一致するので、 $\gamma_p$ は $C^\infty$ であり $X$ の積分曲線である。定義から $J_\lambda\subseteq J_p$ かつ $\sigma_\lambda=\gamma_p|_{J_\lambda}$ である。

一意性を示す。同じ性質を持つ $\bigl(\tilde J_p,\tilde\gamma_p\bigr)$ があれば、互いに相手を延長するので $J_p=\tilde J_p$ かつ $\gamma_p=\tilde\gamma_p$ である。▨

定義 1.5. $X\in\mathfrak{X}(M)$ とする。定理 1.4の記号のもとで

\mathcal{D}=\{(t,p)\in\mathbb{R}\times M:\ t\in J_p\},\qquad \varphi(t,p)=\gamma_p(t)

と定める。 $\mathcal{D}$ を $X$ の流れの定義域 (domain of the flow)、 $\varphi:\mathcal{D}\to M$ を $X$ の流れ (flow) という。 $t\in\mathbb{R}$ に対して $M_t=\{p\in M:(t,p)\in\mathcal{D}\}$ と置き、 $\varphi_t:M_t\to M$ を $\varphi_t(p)=\varphi(t,p)$ で定める。

2 高階の微分可能性についての補題

初期点についての滑らかさの証明は、 $C^k$ 級であることを偏導関数で判定する主張と、 $C^k$ 級の写像の和・積・合成がふたたび $C^k$ 級であるという主張を繰り返し用いる。後者は§E17.1 補題 1.1としてすでに証明されているので、そのまま引用する。前者は上流にも単元内にも対応する主張が無いので、ここで自給する。以下、 $U\subseteq\mathbb{R}^n$ は開集合とし、 $C^k$ 級は§E4.4 定義 1.4の意味で用いる。 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^m)$ を行列の空間 $\mathbb{R}^{m\times n}$ と標準的に同一視する。この同一視は有限次元ノルム空間の間の線形同型であり、線形同型との合成は微分の階数を変えないので、 $C^k$ 級であるかどうかを変えない。

補題 2.1. $k$ を正の整数、 $f=(f_1,\dots,f_m):U\to\mathbb{R}^m$ とする。次は同値である。

$f$ は $C^k$ 級である。
$f$ の各成分 $f_i$ について、 $k$ 次以下のすべての反復偏導関数が $U$ 上で存在し、連続である。

さらに、 $k\ge1$ に対して次が成り立つ。 $f$ が $C^{k}$ 級であることと、 $f$ が $U$ の各点で全微分可能であって $Df:U\to\mathbb{R}^{m\times n}$ が $C^{k-1}$ 級であることは同値である（ $C^0$ 級は連続であることを意味するものとする）。また、 $f$ が $C^k$ 級であることと、各成分 $f_i$ が $C^k$ 級であることは同値である。

証明. 成分についての主張を先に示す。 $D^jf(x)[h_1,\dots,h_j]$ の第 $i$ 成分は $D^jf_i(x)[h_1,\dots,h_j]$ であり、作用素ノルムについて

\lVert D^jf_i(x)\rVert\le\lVert D^jf(x)\rVert\le\sum_{l=1}^{m}\lVert D^jf_l(x)\rVert

が成り立つ。したがって $D^jf$ が存在して連続であることと、すべての $D^jf_i$ が存在して連続であることは同値である。

条件 (a) $\Rightarrow$ (b)を示す。 $f$ が $C^k$ 級ならば、§E4.4 命題 1.6により $1\le j\le k$ と添字 $i_1,\dots,i_j$ に対して

\bigl(\partial_{i_j}\circ\cdots\circ\partial_{i_1}\bigr)f_l(x)=D^jf_l(x)[e_{i_1},\dots,e_{i_j}]

が成り立つ。右辺は $x$ について連続であるから、 $j$ 次の反復偏導関数は存在して連続である。

条件 (b) $\Rightarrow$ (a)を示す。 $k$ についての帰納法による。 $k=1$ とする。仮定によりすべての $\partial_jf_i$ が $U$ 上で存在して連続であるから、§E4.2 定理 2.1により $f$ は $U$ の各点で全微分可能であり、 $Df(x)$ は Jacobi 行列である。行列 $A=(a_{ij})$ について $\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\le\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|$ であるから、成分が連続であれば $Df$ は作用素ノルムについて連続である。よって $f$ は $C^1$ 級である。

$k\ge2$ とし、 $k-1$ について主張が成り立つとする。仮定は $k=1$ の場合の仮定を含むので、 $f$ は $C^1$ 級であり $Df$ の成分は $\partial_jf_i$ である。 $\partial_jf_i$ の $k-1$ 次以下の反復偏導関数は $f_i$ の $k$ 次以下の反復偏導関数であるから、存在して連続である。帰納法の仮定により $Df:U\to\mathbb{R}^{m\times n}$ は $C^{k-1}$ 級である。§E4.4 定義 1.4の定義における同一視 $\iota_j$ は有限次元ノルム空間のあいだの線形同型であり（§E4.4 命題 1.3）、有限次元ノルム空間のあいだの線形写像は連続であるから、 $\iota_j$ は逆写像とともに連続である。したがって $1\le j\le k$ に対して $D^jf$ が存在して連続であることと、 $0\le j-1\le k-1$ に対して $D^{j-1}(Df)$ が存在して連続であることは同値である。よって $f$ は $C^k$ 級である。

最後の主張を示す。いま示した同値は、 $f$ が $C^k$ 級であることと $Df$ が存在して $C^{k-1}$ 級であることの同値をそのまま与えている。▨

3 初期点に一様な存在時間

以下、 $V\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 写像とし、自励系

u'(t)=F(u(t))

を扱う。「常微分方程式」の枠組みへ合わせるため、 $\Omega=\mathbb{R}\times V$ と置き $f(t,y)=F(y)$ とする。 $f$ は連続であり、補題 1.3により状態変数について局所 Lipschitz 連続である。したがって§E10.4 系 4.1、§E10.5 定理 5.3、§E10.5 定理 5.4をこの自励系へ適用することができる。 $y\in V$ に対して、初期条件 $u(0)=y$ をもつ最大解を $\theta(\cdot,y):(\alpha(y),\beta(y))\to V$ と書き、

\mathcal{W}=\{(t,y)\in\mathbb{R}\times V:\ \alpha(y)<t<\beta(y)\}

と置く。

方程式が自励系であることから、次の平行移動則が成り立つ。 $s\in(\alpha(y),\beta(y))$ とすると、 $t\mapsto\theta(t+s,y)$ は初期条件 $u(0)=\theta(s,y)$ をもつ解であり、定義区間を平行移動して戻すことで最大性も従う。したがって

\alpha\bigl(\theta(s,y)\bigr)=\alpha(y)-s,\qquad \beta\bigl(\theta(s,y)\bigr)=\beta(y)-s,\qquad \theta\bigl(t,\theta(s,y)\bigr)=\theta(t+s,y) \tag{1}

が、左辺の定義される範囲で成り立つ。

補題 3.1. $V\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 写像とし、 $\theta$ を自励系 $u'=F(u)$ の最大解の族とする。 $y_0\in V$ とし、 $b>0$ を $\overline B(y_0,b)\subseteq V$ となるように取る。

M=\max_{y\in\overline B(y_0,b)}\lVert F(y)\rVert,\qquad L=\max_{y\in\overline B(y_0,b)}\lVert DF(y)\rVert_{\mathrm{op}},\qquad h=\min\left\{1,\ \frac{b}{4M+4}\right\}

と置く。このとき、すべての $y\in\overline B(y_0,b/2)$ に対して $[-h,h]\subseteq(\alpha(y),\beta(y))$ であり、

\lVert\theta(t,y)-y\rVert\le M|t|\le\frac{b}{4} \qquad(|t|\le h)

が成り立つ。とくに $\theta$ は $[-h,h]\times\overline B(y_0,b/2)$ 上で定義され、その像は $\overline B(y_0,3b/4)$ に含まれる。

証明. $y\in\overline B(y_0,b/2)$ を固定する。まず正の時刻について示す。

A=\left\{t\in\bigl[0,\min\{h,\beta(y)\}\bigr):\ \lVert\theta(s,y)-y\rVert\le\tfrac{b}{4} \ \text{がすべての}\ s\in[0,t]\ \text{で成り立つ}\right\}

と置く。 $0\in A$ である。 $t\in A$ とすると、 $s\in[0,t]$ に対して $\theta(s,y)\in\overline B(y,b/4)\subseteq\overline B(y_0,3b/4)\subseteq\overline B(y_0,b)$ であるから $\lVert F(\theta(s,y))\rVert\le M$ であり、積分方程式 $\theta(t,y)=y+\int_0^tF(\theta(s,y))\,ds$ から

\lVert\theta(t,y)-y\rVert\le Mt\le Mh\le\frac{Mb}{4M+4}<\frac{b}{4} \tag{2}

を得る。 $\tau=\sup A$ と置く。 $\tau<\min\{h,\beta(y)\}$ と仮定すると、 $\theta(\cdot,y)$ の連続性と不等式 (2) により $\lVert\theta(\tau,y)-y\rVert\le Mb/(4M+4)<b/4$ であり、さらに連続性から $\varepsilon>0$ が存在して $s\in[0,\tau+\varepsilon]$ で $\lVert\theta(s,y)-y\rVert\le b/4$ が成り立つ。これは $\tau=\sup A$ に反する。したがって $\tau=\min\{h,\beta(y)\}$ であり、 $A=\bigl[0,\min\{h,\beta(y)\}\bigr)$ である。

ここで $\beta(y)\le h$ と仮定する。このとき $\beta(y)<\infty$ であり、上の結論から

\bigl(t,\theta(t,y)\bigr)\in K=[0,h]\times\overline B(y_0,3b/4) \qquad\bigl(0\le t<\beta(y)\bigr)

が成り立つ。 $K$ は $\Omega=\mathbb{R}\times V$ に含まれるコンパクト集合であるから、§E10.5 定理 5.4により解は $\beta(y)$ を越えて延長することができ、最大性に反する。したがって $\beta(y)>h$ である。そのうえで $A=[0,h)$ であるから、 $0\le t<h$ に対して $\lVert\theta(t,y)-y\rVert\le Mt$ が成り立ち、連続性により $t=h$ でも成り立つ。

負の時刻については、 $\tilde F=-F$ に対する最大解が $t\mapsto\theta(-t,y)$ であることに注意して同じ議論を適用すれば、 $\alpha(y)<-h$ と $\lVert\theta(t,y)-y\rVert\le M|t|$ （ $-h\le t\le0$ ）を得る。

最後に、 $\lVert\theta(t,y)-y_0\rVert\le\lVert\theta(t,y)-y\rVert+\lVert y-y_0\rVert\le b/4+b/2=3b/4$ である。▨

4 流れの連続性

補題 4.1. $V\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 写像とし、 $\theta$ を自励系 $u'=F(u)$ の最大解の族とする。 $y_0$ 、 $b$ 、 $M$ 、 $L$ 、 $h$ を補題 3.1のとおりに取る。このとき $t,s\in[-h,h]$ と $y,z\in\overline B(y_0,b/2)$ に対して

\lVert\theta(t,y)-\theta(s,z)\rVert\le e^{Lh}\lVert y-z\rVert+M|t-s|

が成り立つ。とくに $\theta$ は $[-h,h]\times\overline B(y_0,b/2)$ 上で連続である。

証明. 三角不等式により $\lVert\theta(t,y)-\theta(s,z)\rVert\le\lVert\theta(t,y)-\theta(t,z)\rVert+\lVert\theta(t,z)-\theta(s,z)\rVert$ である。

第一項を評価する。 $t\ge0$ とする。 $J=[0,h]$ 、 $D=\overline B(y_0,3b/4)$ と置くと、補題 3.1により $\theta(\cdot,y)$ と $\theta(\cdot,z)$ はいずれも $J$ 上で定義され $D$ に値を取る。 $D$ は凸であり $\overline B(y_0,b)$ に含まれるので、補題 1.3により $F$ は $D$ 上で Lipschitz 定数 $L$ を持つ。§E10.6 系 4.3を初期時刻 $0$ に対して適用すると

\lVert\theta(t,y)-\theta(t,z)\rVert\le e^{Lt}\lVert y-z\rVert\le e^{Lh}\lVert y-z\rVert

を得る。 $t<0$ のときは $\tilde F=-F$ に対して同じ評価を適用すればよい。

第二項を評価する。 $\theta(\cdot,z)$ の値は $\overline B(y_0,3b/4)$ に含まれるから $\lVert F(\theta(\sigma,z))\rVert\le M$ であり、 $\theta(t,z)-\theta(s,z)=\int_s^tF(\theta(\sigma,z))\,d\sigma$ から $\lVert\theta(t,z)-\theta(s,z)\rVert\le M|t-s|$ を得る。▨

5 変分方程式と初期点についての微分可能性

初期点についての微分の候補を、線形の常微分方程式の解として先に用意する。

補題 5.1. $V\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 写像とし、 $\theta$ を自励系 $u'=F(u)$ の最大解の族、 $(\alpha(y),\beta(y))$ を $\theta(\cdot,y)$ の最大存在区間とする。 $y\in V$ とする。 $A(t)=DF\bigl(\theta(t,y)\bigr)$ と置くと $A:(\alpha(y),\beta(y))\to\mathbb{R}^{n\times n}$ は連続であり、行列に値を持つ初期値問題

Y'(t)=A(t)\,Y(t),\qquad Y(0)=I_n

は $(\alpha(y),\beta(y))$ の全体で定義された一意な解を持つ。この解を $\Psi(\cdot,y)$ と書く。

証明. $DF$ は連続であり $\theta(\cdot,y)$ は連続であるから $A$ は連続である。行列に値を持つ方程式を列ごとに分けると、各列は $\mathbb{R}^n$ に値を持つ線形系 $Y'=A(t)Y$ の初期値問題になる。§E10.7 系 1.2を開区間 $I=(\alpha(y),\beta(y))$ へ適用すると、各列の解は $I$ の全体で一意に存在する。▨

命題 5.2. $V\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 写像とし、 $\theta$ を自励系 $u'=F(u)$ の最大解の族、 $\Psi$ を補題 5.1の変分方程式の解とする。 $y_0$ 、 $b$ 、 $M$ 、 $L$ 、 $h$ を補題 3.1のとおりに取り、 $\lVert y-y_0\rVert<b/2$ とする。このとき、 $|t|\le h$ を満たす各 $t$ について写像 $z\mapsto\theta(t,z)$ は $y$ で全微分可能であり、その全微分は $\Psi(t,y)$ である。さらに剰余の評価は $t$ について一様であり、

\sup_{|t|\le h}\bigl\lVert\theta(t,y+w)-\theta(t,y)-\Psi(t,y)w\bigr\rVert \le h\,e^{2Lh}\,\rho(w)\,\lVert w\rVert

が、 $\lVert w\rVert$ が十分小さいすべての $w$ について成り立つ。ここで $\rho(w)$ は $w\to0$ のとき $0$ へ収束する量である。

証明. $\lVert w\rVert$ を $y+w\in\overline B(y_0,b/2)$ となるほど小さく取る。 $0\le t\le h$ の場合を示す。負の時刻については $\tilde F=-F$ に対して同じ議論を行えばよい。

\delta(t)=\theta(t,y+w)-\theta(t,y),\qquad \eta(t)=\delta(t)-\Psi(t,y)\,w

と置く。 $\eta(0)=0$ である。補題 3.1により $\theta(t,y),\theta(t,y+w)\in\overline B(y_0,3b/4)$ であり、この閉球は凸で $V$ に含まれる。したがって線分 $\bigl[\theta(t,y),\theta(t,y+w)\bigr]$ はこの閉球に含まれる。§E4.5 定理 1.1を $r=0$ として $F$ の各成分へ適用し、成分をまとめると

F\bigl(\theta(t,y+w)\bigr)-F\bigl(\theta(t,y)\bigr)=R(t)\,\delta(t), \qquad R(t)=\int_0^1DF\bigl(\theta(t,y)+\sigma\delta(t)\bigr)\,d\sigma

を得る。一方 $A(t)=DF(\theta(t,y))$ であり $\Psi(\cdot,y)$ は変分方程式を満たすから

\eta'(t)=R(t)\delta(t)-A(t)\Psi(t,y)w =A(t)\bigl(\delta(t)-\Psi(t,y)w\bigr)+\bigl(R(t)-A(t)\bigr)\delta(t) =A(t)\eta(t)+\bigl(R(t)-A(t)\bigr)\delta(t)

である。積分して

\lVert\eta(t)\rVert\le\int_0^t\Bigl(L\lVert\eta(s)\rVert+\bigl\lVert R(s)-A(s)\bigr\rVert\,\lVert\delta(s)\rVert\Bigr)ds

を得る。ここで $\theta(s,y)\in\overline B(y_0,b)$ であるから $\lVert A(s)\rVert\le L$ である。

$\delta$ を評価する。補題 4.1の第一項の評価により $\lVert\delta(s)\rVert\le e^{Lh}\lVert w\rVert$ （ $0\le s\le h$ ）である。

$R(s)-A(s)$ を評価する。 $K=\overline B(y_0,3b/4)$ は $V$ に含まれるコンパクト集合であり、 $DF$ は $K$ 上で一様連続である。 $\omega$ を $K$ 上の $DF$ の連続度、すなわち

\omega(r)=\sup\bigl\{\lVert DF(u)-DF(v)\rVert:\ u,v\in K,\ \lVert u-v\rVert\le r\bigr\}

とすると、一様連続性により $r\to0^+$ のとき $\omega(r)\to0$ である。 $\sigma\in[0,1]$ に対して $\theta(s,y)+\sigma\delta(s)$ は $K$ の二点を結ぶ線分の上にあるので $K$ に属し、 $\lVert\sigma\delta(s)\rVert\le e^{Lh}\lVert w\rVert$ であるから

\bigl\lVert R(s)-A(s)\bigr\rVert \le\int_0^1\bigl\lVert DF(\theta(s,y)+\sigma\delta(s))-DF(\theta(s,y))\bigr\rVert\,d\sigma \le\omega\bigl(e^{Lh}\lVert w\rVert\bigr)

である。 $\rho(w)=\omega\bigl(e^{Lh}\lVert w\rVert\bigr)$ と置くと $w\to0$ のとき $\rho(w)\to0$ である。

以上を合わせると

\lVert\eta(t)\rVert\le\int_0^t\Bigl(L\lVert\eta(s)\rVert+\rho(w)e^{Lh}\lVert w\rVert\Bigr)ds

である。§E10.6 系 1.2を $u(t)=\lVert\eta(t)\rVert$ 、 $A=0$ 、 $r(s)=\rho(w)e^{Lh}\lVert w\rVert$ として適用すると

\lVert\eta(t)\rVert\le\int_0^te^{L(t-s)}\rho(w)e^{Lh}\lVert w\rVert\,ds \le h\,e^{2Lh}\,\rho(w)\,\lVert w\rVert \qquad(0\le t\le h)

を得る。右辺は $\lVert w\rVert$ について $o(\lVert w\rVert)$ であり、 $t$ に依らない。したがって $z\mapsto\theta(t,z)$ は $y$ で全微分可能であり、全微分は $\Psi(t,y)$ である。▨

6 ユークリッド空間における滑らかな依存

前節の $\Psi$ が $(t,y)$ について滑らかであることは、 $(u,Y)$ を状態変数とする合併系を導入すると、階数についての帰納法で得られる。

定理 6.1. $k$ を正の整数とする。 $N$ を正の整数、 $V\subseteq\mathbb{R}^N$ を開集合、 $F:V\to\mathbb{R}^N$ を $C^\infty$ 写像とし、 $\theta$ を対応する最大解の族とする。このとき各 $y_0\in V$ に対して $h>0$ と $y_0$ の開近傍 $O\subseteq V$ が存在して、 $(-h,h)\times O\subseteq\mathcal{W}$ であり、 $\theta$ は $(-h,h)\times O$ 上で $C^k$ 級である。近傍のとり方は $k$ に依存してよい。

証明. $k$ についての帰納法による。主張は「すべての $N$ 、すべての開集合 $V\subseteq\mathbb{R}^N$ 、すべての $C^\infty$ 写像 $F$ について」という形で立てる。この量化が帰納の段で必要である。

$k=1$ の場合。 $y_0\in V$ を取り、補題 3.1の $b$ 、 $M$ 、 $L$ 、 $h$ を取る。 $O_0=B(y_0,b/2)$ と置く。

合併系を作る。 $\widehat V=V\times\mathbb{R}^{N\times N}$ は $\mathbb{R}^{N+N^2}$ の開集合であり、

G:\widehat V\to\mathbb{R}^{N+N^2},\qquad G(u,Y)=\bigl(F(u),\,DF(u)\,Y\bigr)

と置く。 $DF$ は $C^\infty$ 級であり、 $DF(u)\,Y$ の各成分は $DF$ の成分と $Y$ の成分の積の有限和であるから、§E17.1 補題 1.1により $G$ は $C^\infty$ 級である（座標への射影は線形写像であり $C^\infty$ 級である）。 $(y,I_N)$ を初期点とする $G$ の最大解を $\Theta(\cdot,(y,I_N))$ と書く。その第一成分は $F$ の方程式を満たし初期値が $y$ であるから $\theta(\cdot,y)$ に一致し、第二成分は変分方程式を満たすから補題 5.1の $\Psi(\cdot,y)$ に一致する。 $\Psi(\cdot,y)$ は $(\alpha(y),\beta(y))$ の全体で定義されるので、 $G$ の最大解の存在区間もちょうど $(\alpha(y),\beta(y))$ である。

補題 4.1を $G$ へ適用すると、 $\Theta$ は $(0,(y_0,I_N))$ のある近傍の上で連続である。したがって $\Psi(t,y)$ は $(0,y_0)$ のある近傍の上で連続である。また $\partial_t\theta(t,y)=F(\theta(t,y))$ は連続である。命題 5.2により $\theta$ の $y$ についての偏微分は $\Psi(t,y)$ である。ゆえに、 $(0,y_0)$ の十分小さい近傍 $(-h_1,h_1)\times O$ （ただし $h_1\le h$ 、 $O\subseteq O_0$ ）の上で $\theta$ のすべての一階偏導関数が存在して連続である。補題 2.1により $\theta$ はその近傍の上で $C^1$ 級である。

帰納の段。 $k$ について主張が成り立つとする。 $F$ 、 $y_0$ を取り、上と同じ $G$ を作る。帰納法の仮定を $G$ と初期点 $(y_0,I_N)$ へ適用すると、 $h_2>0$ と $(y_0,I_N)$ の開近傍 $\widehat O\subseteq\widehat V$ が存在して、 $\Theta$ は $(-h_2,h_2)\times\widehat O$ 上で $C^k$ 級である。 $\widehat O$ は積の形の近傍 $O_1\times W$ （ $O_1$ は $y_0$ の開近傍、 $W$ は $I_N$ の開近傍）を含むので、 $y\in O_1$ ならば $(y,I_N)\in\widehat O$ である。写像

(t,y)\longmapsto\bigl(t,(y,I_N)\bigr)

はアフィン写像であり $C^\infty$ 級であるから、§E17.1 補題 1.1により

\theta(t,y)=\pi_1\Theta\bigl(t,(y,I_N)\bigr),\qquad \Psi(t,y)=\pi_2\Theta\bigl(t,(y,I_N)\bigr)

はいずれも $(-h_2,h_2)\times O_1$ 上で $C^k$ 級である（ $\pi_1,\pi_2$ は線形な射影である）。 $\partial_t\theta=F\circ\theta$ は、 $F$ が $C^\infty$ 級で $\theta$ が $C^k$ 級であるから§E17.1 補題 1.1により $C^k$ 級である。

$h_3=\min\{h,h_2\}$ 、 $O_2=B(y_0,b/2)\cap O_1$ と置く。 $(-h_3,h_3)\times O_2$ の上で $\theta$ の一階偏導関数は $\partial_t\theta$ と $D_y\theta=\Psi$ であり（命題 5.2。この等式は補題 3.1の $h$ と $B(y_0,b/2)$ の上で示されている）、いずれも $C^k$ 級である。補題 2.1により $D\theta$ が $C^k$ 級であることと $\theta$ が $C^{k+1}$ 級であることは同値であるから、 $\theta$ は $(-h_3,h_3)\times O_2$ 上で $C^{k+1}$ 級である。▨

注意 6.2 (近傍が階数に依存してよい理由).定理 6.1が与える近傍は、階数 $k$ とともに小さくなりうる。したがってこの定理だけからは、 $(0,y_0)$ の一つの近傍の上で $\theta$ が $C^\infty$ 級であることを結論することができない。この間隙は次節で閉じる。定理 7.1の証明は、各 $k$ について「 $\varphi$ が $C^k$ 級である点の集合」が流れの定義域 $\mathcal{D}$ の全体に一致することを示す。 $\mathcal{D}$ は $k$ に依らない一つの開集合であるから、すべての $k$ について $\varphi$ が $\mathcal{D}$ 上で $C^k$ 級であることが言えれば、 $\varphi$ は $\mathcal{D}$ 上で $C^\infty$ 級である。

7 多様体上の局所流

定理 7.1. $X\in\mathfrak{X}(M)$ とし、 $\mathcal{D}$ と $\varphi$ を定義 1.5のとおりとする。このとき次が成り立つ。

$\mathcal{D}$ は $\mathbb{R}\times M$ の開集合であり、各 $p\in M$ に対して $\mathcal{D}\cap(\mathbb{R}\times\{p\})=J_p\times\{p\}$ である。ここで $J_p$ は $0$ を含む開区間である。
$\varphi:\mathcal{D}\to M$ は $C^\infty$ 写像である。
$\varphi(0,p)=p$ であり、群法則 $\varphi\bigl(t,\varphi(s,p)\bigr)=\varphi(t+s,p)$ が、 $s\in J_p$ かつ $t+s\in J_p$ を満たすすべての組で成り立つ。このとき左辺も定義される。
各 $t$ に対して $M_t$ は $M$ の開集合であり、 $\varphi_t:M_t\to M_{-t}$ は微分同相であって逆写像は $\varphi_{-t}$ である。

さらに、これらの性質を持つ組 $(\mathcal{D},\varphi)$ であって $t\mapsto\varphi(t,p)$ が $p$ を始点とする最大積分曲線であるものは一意である。

証明.(1)の後半と一意性。 $\mathcal{D}\cap(\mathbb{R}\times\{p\})=J_p\times\{p\}$ は定義そのものであり、 $J_p$ が $0$ を含む開区間であることは定理 1.4による。組の一意性も定理 1.4の一意性から従う。

(3)を示す。 $s\in J_p$ とする。 $\sigma(t)=\varphi(t+s,p)$ は $t\in J_p-s$ で定義され、 $\sigma'(t)=\gamma_p'(t+s)=X_{\gamma_p(t+s)}=X_{\sigma(t)}$ を満たすから $X$ の積分曲線であり、 $\sigma(0)=\varphi(s,p)$ である。定理 1.4により $J_p-s\subseteq J_{\varphi(s,p)}$ であり $\sigma=\gamma_{\varphi(s,p)}|_{J_p-s}$ である。よって $t+s\in J_p$ ならば $t\in J_{\varphi(s,p)}$ であり、 $\varphi(t,\varphi(s,p))=\varphi(t+s,p)$ である。

階数を局所的に述べる語を用意する。正の整数 $k$ に対して、 $\varphi$ が点 $(t_1,p_1)\in\mathcal{D}$ の近傍で $C^k$ 級であるとは、 $\mathcal{D}$ が $(t_1,p_1)$ のある開近傍 $\mathcal{N}$ を含み、 $p_1$ の周りのチャート $(U,\psi)$ と $\varphi(t_1,p_1)$ の周りのチャート $(U',\psi')$ を取ったときに、座標表示 $(t,x)\mapsto\psi'\bigl(\varphi(t,\psi^{-1}(x))\bigr)$ が $C^k$ 級であることをいう。座標変換は $C^\infty$ 級であるから、§E17.1 補題 1.1によりこの条件はチャートのとり方に依らない。

局所的な滑らかさ。 $q\in M$ と正の整数 $k$ を取る。 $q$ の周りのチャート $(U,\psi)$ を取り、 $V=\psi(U)$ 、 $F=(X^1,\dots,X^n)\circ\psi^{-1}$ と置く（命題 1.2）。定理 6.1により、 $h>0$ と $\psi(q)$ の開近傍 $O$ が存在して、 $\mathbb{R}^n$ の方程式 $u'=F(u)$ の最大解の族 $\theta$ は $(-h,h)\times O$ 上で定義され $C^k$ 級である。命題 1.2により、 $p\in\psi^{-1}(O)$ と $|t|<h$ に対して $t\mapsto\psi^{-1}\bigl(\theta(t,\psi(p))\bigr)$ は $p$ を始点とする $X$ の積分曲線であるから $(-h,h)\times\psi^{-1}(O)\subseteq\mathcal{D}$ であり、その上で $\varphi(t,p)=\psi^{-1}\bigl(\theta(t,\psi(p))\bigr)$ である。したがって $\varphi$ は $(0,q)$ の近傍 $(-h,h)\times\psi^{-1}(O)$ の上で定義され、 $C^k$ 級である。

(1)の前半と(2)を示す。正の整数 $k$ を固定し、

\mathcal{D}_k=\bigl\{(t,p)\in\mathcal{D}:\ \varphi\ \text{は}\ (t,p)\ \text{の近傍で}\ C^k\ \text{級である}\bigr\}

と置く。 $\mathcal{D}_k$ は定義から $\mathbb{R}\times M$ の開集合である。 $\mathcal{D}_k=\mathcal{D}$ を示す。

$p\in M$ を固定し、 $S=\{t\in J_p:(t,p)\in\mathcal{D}_k\}$ と置く。前段により $0\in S$ である。 $\mathcal{D}_k$ は開集合であるから $S$ は $J_p$ の相対位相で開いている。 $S$ が $J_p$ で閉じていることを示す。 $\tau\in J_p$ を $S$ の $J_p$ における触点とする。 $q=\varphi(\tau,p)$ に対して前段を適用し、 $\varepsilon>0$ と $q$ の開近傍 $U_q$ を、 $(-\varepsilon,\varepsilon)\times U_q\subseteq\mathcal{D}_k$ となるように取る。 $t\mapsto\varphi(t,p)$ は連続であり $\varphi(\tau,p)=q\in U_q$ であるから、

|\tau-\sigma|<\varepsilon\quad\text{かつ}\quad\varphi(\sigma,p)\in U_q

を満たす $\sigma\in S$ を取ることができる。 $(\sigma,p)\in\mathcal{D}_k$ であるから $\varphi$ は $(\sigma,p)$ の近傍で連続であり、 $p$ の開近傍 $O_p$ を縮めて $\varphi(\sigma,O_p)\subseteq U_q$ とすることができる。

$r\in O_p$ と $|t-\sigma|<\varepsilon$ に対して

\widetilde\varphi(t,r)=\varphi\bigl(t-\sigma,\varphi(\sigma,r)\bigr)

と定める。 $\varphi(\sigma,r)\in U_q$ かつ $|t-\sigma|<\varepsilon$ であるから右辺は定義され、 $C^k$ 級の写像の合成として $(t,r)$ について $C^k$ 級である（§E17.1 補題 1.1）。 $t\mapsto\widetilde\varphi(t,r)$ は $X$ の積分曲線であり $t=\sigma$ で $\varphi(\sigma,r)$ を取るから、定理 1.4の一意性により $(t,r)\in\mathcal{D}$ かつ $\varphi(t,r)=\widetilde\varphi(t,r)$ である。よって $(\sigma-\varepsilon,\sigma+\varepsilon)\times O_p\subseteq\mathcal{D}_k$ である。 $|\tau-\sigma|<\varepsilon$ であるから $\tau\in S$ である。

したがって $S$ は開区間 $J_p$ の空でない開かつ閉な部分集合であり、 $J_p$ は連結である（§E2.43 定義 1.1）から $S=J_p$ である。 $p$ は任意であったから $\mathcal{D}_k=\mathcal{D}$ である。とくに $\mathcal{D}=\mathcal{D}_1$ は開集合である。

$k$ は任意であったから、 $\varphi$ は開集合 $\mathcal{D}$ の上で、すべての正の整数 $k$ について $C^k$ 級である。すなわち $\varphi$ は $\mathcal{D}$ 上で $C^\infty$ 級である。

(4)を示す。 $M_t$ が開集合であることは $\mathcal{D}$ が開集合であることから従う。 $p\in M_t$ とすると $t\in J_p$ であり、(3)により $-t\in J_{\varphi(t,p)}$ かつ $\varphi(-t,\varphi(t,p))=\varphi(0,p)=p$ である。よって $\varphi_t(M_t)\subseteq M_{-t}$ であり $\varphi_{-t}\circ\varphi_t=\operatorname{id}_{M_t}$ である。 $t$ と $-t$ を入れ替えて $\varphi_t\circ\varphi_{-t}=\operatorname{id}_{M_{-t}}$ を得る。 $\varphi_t$ と $\varphi_{-t}$ は(2)により $C^\infty$ であるから、 $\varphi_t:M_t\to M_{-t}$ は微分同相である。▨

注意 7.2 (流れの定義域は積の形とは限らない). $\mathcal{D}$ は $\mathbb{R}\times M$ の開集合であるが、 $J\times M$ という形の集合を含むとは限らない。下の例 9.2では $\mathcal{D}=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:tx<1\}$ であり、 $0$ を含むどの開区間 $J$ についても $J\times\mathbb{R}\subseteq\mathcal{D}$ は成り立たない。

8 完備性

定義 8.1. $X\in\mathfrak{X}(M)$ が完備 (complete vector field) であるとは、 $\mathcal{D}=\mathbb{R}\times M$ となること、すなわちすべての $p\in M$ に対して $J_p=\mathbb{R}$ となることをいう。

定理 8.2. $X\in\mathfrak{X}(M)$ の台 $\operatorname{supp}X=\overline{\{p\in M:X_p\ne0\}}$ がコンパクトならば、 $X$ は完備である。とくに $M$ がコンパクトならば、 $M$ 上のすべての $C^\infty$ ベクトル場は完備である。

証明. $K=\operatorname{supp}X$ と置く。

$p\notin K$ の場合、 $X$ は $p$ のある開近傍の上で恒等的に $0$ であるから、定数写像 $t\mapsto p$ （ $t\in\mathbb{R}$ ）は $X$ の積分曲線であり、定理 1.4により $J_p=\mathbb{R}$ である。

$p\in K$ の場合を考える。 $K$ の各点 $q$ に対して補題 3.1を $q$ の周りのチャートで適用すると、 $\varepsilon_q>0$ と $q$ の開近傍 $U_q$ であって $(-\varepsilon_q,\varepsilon_q)\times U_q\subseteq\mathcal{D}$ となるものが存在する。 $K$ はコンパクトであるから、有限個の $q_1,\dots,q_r$ を選んで $K\subseteq U_{q_1}\cup\cdots\cup U_{q_r}$ とすることができる（§E2.19 定義 2.1）。 $\varepsilon=\min\{\varepsilon_{q_1},\dots,\varepsilon_{q_r}\}>0$ と置くと、すべての $q\in K$ に対して $(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq J_q$ である。 $K$ の外の点については $J=\mathbb{R}$ であったから、結局すべての $q\in M$ に対して $(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq J_q$ である。

$p\in M$ を取り、 $\beta(p)=\sup J_p<\infty$ と仮定する。 $s\in J_p$ を $\beta(p)-\varepsilon/2<s<\beta(p)$ となるように取る。定理 7.1 (3)の証明で示したとおり $J_p-s\subseteq J_{\varphi(s,p)}$ であり、逆に $J_{\varphi(s,p)}+s\subseteq J_p$ である（後者は同じ議論を $\varphi(s,p)$ と $-s$ に対して行えば従う）。したがって $J_p=J_{\varphi(s,p)}+s$ であり、

\beta(p)=s+\sup J_{\varphi(s,p)}\ge s+\varepsilon>\beta(p)+\frac{\varepsilon}{2}

となって矛盾する。よって $\sup J_p=\infty$ である。同様に $\inf J_p=-\infty$ である。▨

完備なベクトル場は、多様体の微分同相からなる $\mathbb{R}$ で添字づけられた族を与える。この対応を「 $M$ の微分同相の全体がなす群への $C^\infty$ 写像」として述べることはしない。微分同相の全体がなす群は有限次元多様体ではなく、本単元が扱う多様体は有限次元である（§E17.1 定義 2.2）ので、その群への $C^\infty$ 写像を定義することができないからである。対応の相手は、次の意味の大域流である。

定義 8.3. $C^\infty$ 写像 $\theta:\mathbb{R}\times M\to M$ が $M$ 上の大域流 (global flow on $M$ ) であるとは、 $\theta_t(p)=\theta(t,p)$ と書くとき

\theta_0=\operatorname{id}_M,\qquad \theta_t\circ\theta_s=\theta_{t+s}\quad(s,t\in\mathbb{R})

が成り立つことをいう。

大域流を 1パラメータ変換群ともいう。下の定理 8.4が示すとおり、各 $\theta_t$ は $M$ の微分同相であり、 $t\mapsto\theta_t$ は加法群 $\mathbb{R}$ から $M$ の変換のなす群への準同型を与えるので、この呼び名が用いられる。本記事では、この対応を大域流の言葉で述べる。

定理 8.4. $M$ 上の完備な $C^\infty$ ベクトル場の全体と、 $M$ 上の大域流の全体は、次の対応で一対一に対応する。

完備な $X\in\mathfrak{X}(M)$ に対して、その流れ $\varphi:\mathbb{R}\times M\to M$ は大域流である。
大域流 $\theta$ に対して $X_p=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\theta(t,p)$ は $M$ 上の完備な $C^\infty$ ベクトル場であり、その流れは $\theta$ である。

さらに、大域流 $\theta$ の各 $\theta_t$ は $M$ の微分同相であり、逆写像は $\theta_{-t}$ である。

証明.(1)を示す。 $X$ が完備ならば $\mathcal{D}=\mathbb{R}\times M$ であり、定理 7.1 (2)により $\varphi:\mathbb{R}\times M\to M$ は $C^\infty$ である。 $\varphi_0=\operatorname{id}_M$ は $\gamma_p(0)=p$ による。群法則定理 7.1 (3)は、いまや $s,t$ の制限なしに $\varphi_t\circ\varphi_s=\varphi_{t+s}$ を与える。

(2)を示す。 $\theta$ を大域流とする。 $\iota_p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\times M$ を $\iota_p(t)=(t,p)$ とすると、 $\theta\circ\iota_p$ は $C^\infty$ 写像であるから $X_p=(\theta\circ\iota_p)'(0)\in T_pM$ が定まる。 $X$ が $C^\infty$ 切断であることは、チャートを取って $X$ の座標成分が $\partial(\theta^i\circ\psi^{-1})/\partial t$ を $t=0$ で評価したものであり、 $\theta$ が $C^\infty$ であることから座標成分が $C^\infty$ であることによる。

$p\in M$ を固定し $\sigma(t)=\theta(t,p)$ と置く。 $s\in\mathbb{R}$ に対して

\sigma'(s)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\theta(t+s,p) =\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\theta\bigl(t,\theta(s,p)\bigr)=X_{\theta(s,p)}=X_{\sigma(s)}

である。ここで第二の等号に群法則を用いた。よって $\sigma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義された $X$ の積分曲線であり、 $\sigma(0)=\theta(0,p)=p$ である。定理 1.4により $J_p=\mathbb{R}$ かつ $\varphi(t,p)=\theta(t,p)$ である。したがって $X$ は完備であり、その流れは $\theta$ である。

対応が互いに逆であること。 $X$ から $\varphi$ を作り、 $\varphi$ から(2)の手続きでベクトル場を作ると、 $\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\varphi(t,p)=\gamma_p'(0)=X_p$ であるから元の $X$ に戻る。逆に $\theta$ から $X$ を作り、 $X$ の流れを取ると(2)の最後の主張により $\theta$ に戻る。

各 $\theta_t$ が微分同相であること。 $\theta_t\circ\theta_{-t}=\theta_0=\operatorname{id}_M$ と $\theta_{-t}\circ\theta_t=\operatorname{id}_M$ が群法則から従い、 $\theta_t$ と $\theta_{-t}$ は $C^\infty$ である。▨

9 例

例 9.1 (定数ベクトル場と回転を生成するベクトル場). $M=\mathbb{R}^n$ 、 $v\in\mathbb{R}^n$ を固定し、 $X_p=v$ （標準座標が定める同一視のもとで）と置く。 $\varphi(t,p)=p+tv$ は $\varphi(0,p)=p$ と $\frac{d}{dt}\varphi(t,p)=v$ を満たすから $X$ の積分曲線を与え、 $\mathbb{R}$ 全体で定義される。よって $X$ は完備であり $\mathcal{D}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ である。

$M=\mathbb{R}^2$ 、 $X=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}$ とする。

\varphi\bigl(t,(x,y)\bigr)=(x\cos t-y\sin t,\ x\sin t+y\cos t)

と置くと、 $t$ について微分して

\frac{d}{dt}\varphi\bigl(t,(x,y)\bigr)=(-x\sin t-y\cos t,\ x\cos t-y\sin t)

である。一方、 $\varphi(t,(x,y))=(\xi,\eta)$ と書くと $X_{(\xi,\eta)}=(-\eta,\xi)=(-(x\sin t+y\cos t),\ x\cos t-y\sin t)$ であり、両者は一致する。 $\varphi(0,(x,y))=(x,y)$ であるから $\varphi$ は $X$ の流れであり、 $X$ は完備である。台はコンパクトでないので、定理 8.2の逆は成り立たない。

例 9.2 (完備でないベクトル場と変分方程式の検算). $M=\mathbb{R}$ 、 $X=x^2\frac{d}{dx}$ とする。座標表示の方程式は $u'=u^2$ である。

\theta(t,x)=\frac{x}{1-tx}

と置くと $\theta(0,x)=x$ であり、

\partial_t\theta(t,x)=\frac{x\cdot x}{(1-tx)^2}=\left(\frac{x}{1-tx}\right)^2=\theta(t,x)^2

であるから $\theta(\cdot,x)$ は解である。 $x>0$ のとき定義区間は $(-\infty,1/x)$ 、 $x<0$ のとき $(1/x,\infty)$ 、 $x=0$ のとき $\mathbb{R}$ であり、いずれの場合も端点で $|\theta|\to\infty$ となるのでこれが最大存在区間である。したがって

\mathcal{D}=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:\ tx<1\}

であり、 $X$ は完備でない。 $\mathcal{D}$ は開集合であり、定理 7.1 (1)と整合する。

変分方程式を検算する。補題 5.1の記号で $F(u)=u^2$ 、 $DF(u)=2u$ であるから、変分方程式は $Y'=2\theta(t,x)Y$ 、 $Y(0)=1$ である。

\int_0^t2\theta(s,x)\,ds=\int_0^t\frac{2x}{1-sx}\,ds=-2\log(1-tx)

であるから $\Psi(t,x)=\exp\bigl(-2\log(1-tx)\bigr)=(1-tx)^{-2}$ である。一方、 $\theta$ を $x$ について直接微分すると

\frac{\partial\theta}{\partial x}(t,x)=\frac{(1-tx)-x\cdot(-t)}{(1-tx)^2}=\frac{1}{(1-tx)^2}

であり、命題 5.2の主張どおり両者は一致する。

例 9.3 (台がコンパクトなベクトル場). $M=\mathbb{R}$ とし、 $\chi\in C^\infty(\mathbb{R})$ を $[-1,1]$ 上で $\chi\equiv1$ 、 $[-2,2]$ の外で $\chi\equiv0$ 、 $0\le\chi\le1$ を満たすものとする（§E17.2 命題 1.5）。 $X=\chi(x)x^2\frac{d}{dx}$ の台は $[-2,2]$ に含まれるコンパクト集合であるから、定理 8.2により $X$ は完備である。前の例の $x^2\frac{d}{dx}$ は完備でないので、完備性は多様体の外側での挙動によって定まり、局所的な形だけでは決まらない。

$M=(0,1)$ 、 $X=\frac{d}{dx}$ とすると、 $p\in(0,1)$ を始点とする最大積分曲線は $\gamma_p(t)=p+t$ （ $t\in(-p,1-p)$ ）であり $J_p\ne\mathbb{R}$ である。 $X$ の台は $(0,1)$ の全体であり、 $(0,1)$ の中でコンパクトでない。

10 演習

問題 10.1.

補題 3.1の証明では、 $\beta(y)\le h$ と仮定して§E10.5 定理 5.4を適用した。この適用のために確かめる必要があるのは、解のグラフがある一つのコンパクト集合に含まれることである。証明のどの不等式がこれを与えるか、またそのコンパクト集合が $\Omega=\mathbb{R}\times V$ に含まれることをどこで使ったかを述べよ。
命題 5.2の証明で、 $\eta'(t)=A(t)\eta(t)+\bigl(R(t)-A(t)\bigr)\delta(t)$ という分け方をした。この分け方をせずに $\eta'(t)=R(t)\delta(t)-A(t)\Psi(t,y)w$ のまま Grönwall の不等式を適用しようとすると、どこで議論が止まるかを説明せよ。
定理 6.1の帰納法の主張は「すべての次元 $N$ 、すべての開集合 $V$ 、すべての $C^\infty$ 写像 $F$ について」という形で立てられている。次元 $N$ を固定した主張では帰納が回らない理由を、帰納の段で導入する合併系 $G$ の定義域に即して述べよ。
定理 7.1の証明では、 $S=\{t\in J_p:(t,p)\in\mathcal{D}_\infty\}$ が $J_p$ で閉じていることを、群法則と $q=\varphi(\tau,p)$ の近くでの局所的な滑らかさから導いた。この議論を、時刻を逆向きに取った場合（ $\tau<0$ ）についてそのまま書き下せ。
定理 8.2の証明で、 $\varepsilon$ を $K$ のコンパクト性から取った。 $\operatorname{supp}X$ がコンパクトであるという仮定を「 $X$ が有界な座標成分を持つ」に置き換えると結論が成り立たないことを、例 9.2のどの部分を修正すれば示すことができるかを含めて説明せよ。
定理 8.4 (2)では、 $\sigma'(s)=X_{\sigma(s)}$ を示すために群法則を用いた。群法則を仮定せず、 $\theta_0=\operatorname{id}_M$ と $\theta$ の $C^\infty$ 性だけから同じ結論を導くことができない理由を、反例を一つ構成して示せ。

11 境界と次

滑らかさの階数。本記事の証明は、ベクトル場が $C^\infty$ であることを $C^k$ 級の各段で用いている。ベクトル場が $C^k$ （ $k$ は正の整数）であるにとどまる場合、定理 6.1の帰納は $k$ 段で止まり、流れは $C^k$ 級であることまでしか得られない。合併系 $G$ の右辺は $DF$ を含むので、右辺の階数は元のベクトル場より一つ下がるためである。

局所 Lipschitz 版の Picard–Lindelöf の定理。§E10.4 系 4.1は、閉管状領域の上での一様な Lipschitz 定数を仮定した形で述べられている。本記事は、その形で適用することができるように、補題 1.3で閉球の上の一様な Lipschitz 定数を明示的に取った。

完備性の他の十分条件。台のコンパクト性は完備性の十分条件であって必要条件ではない（例 9.1）。Lie 群の左不変ベクトル場が完備であることは、台のコンパクト性ではなく左移動によって定義域を延ばす議論から従う。この主張は「1パラメータ部分群と指数写像」が扱う。

流れが与える構成。本記事が構成した流れは、次の三つの場面で用いられる。「Lie 微分と括弧積の自然性」は流れによる引き戻しの微分として Lie 微分を定義する。「可積分分布と Frobenius の定理」は複数のベクトル場の流れを合成して平坦チャートを作る。「内部積・Cartan の公式・Poincaré の補題」は微分形式に対する Lie 微分を同じ形で定義する。いずれも、流れが時刻と初期点の両方について $C^\infty$ であることを使う。

扱わない事項。流れの長時間の挙動、不動点の安定性、周期軌道、および力学系の分類は本単元の範囲外である。ベクトル場のパラメータへの依存も扱わない。本記事が証明したのは、初期点についての滑らかさだけである。

§E17.6ベクトル場と流れ