§E17.3接空間と微分写像

証明.$\mathbf{1}$を値が$1$の定数関数とすると$\mathbf{1}=\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}$であるから、Leibniz 則により

であり$v(\mathbf{1})=0$である。$\mathbf{c}=c\,\mathbf{1}$であるから線形性により$v(\mathbf{c})=c\,v(\mathbf{1})=0$である。▨

証明.(1)を示す。$f$が恒等的に$0$になる$p$の開近傍を$W_0$とする。§E17.2 命題 1.5を$V=W_0$として適用し、$C^\infty$関数$\chi\colon M\to[0,1]$で、$p$を含むある開集合の上で$\chi\equiv 1$であり、$\operatorname{supp}\chi\subseteq W_0$を満たすものを取る。

積$\chi f$は$M$上で恒等的に$0$である。実際、$q\in W_0$ならば$f(q)=0$であり、$q\notin W_0$ならば$q\notin\operatorname{supp}\chi$であるから$\chi(q)=0$である。したがって$v(\chi f)=v(\mathbf{0})=0$である（補題 1.2）。一方、Leibniz 則により

である。ここで$p\in W_0$より$f(p)=0$であり、$\chi(p)=1$である。よって$v(f)=0$である。

(2)は、$f-g$が$p$の近傍で恒等的に$0$であることに(1)を適用し、線形性を用いれば従う。▨

証明. 最初に$E_\chi(f)$が$M$上の$C^\infty$関数であることを確かめる。$\operatorname{supp}\chi$はコンパクトであり$M$は Hausdorff であるから閉集合であり、$\operatorname{supp}\chi\subseteq U$であるから$U\cup(M\setminus\operatorname{supp}\chi)=M$である。$U$の上では$\chi|_Uf$が$C^\infty$、$M\setminus\operatorname{supp}\chi$の上では$0$が$C^\infty$であり、重なりの上ではどちらも$0$に等しい。よって§E17.1 命題 4.2により$E_\chi(f)\in C^\infty(M)$である。

$\chi$のとり方に依らないことを示す。$\chi$、$\chi'$を条件を満たす二つの関数とし、$\chi\equiv 1$となる開集合と$\chi'\equiv 1$となる開集合の交わりを$W$とすると、$W$は$p$を含む開集合であり、$W$の上で$E_\chi(f)=f=E_{\chi'}(f)$である。補題 1.3 (2)により$v(E_\chi(f))=v(E_{\chi'}(f))$である。

$\Lambda_U(v)$が$T_pU$の元であることを示す。線形性は$E_\chi$が線形であることから従う。Leibniz 則については、$f,g\in C^\infty(U)$に対して一つの$\chi$を固定すると、$E_\chi(fg)$と$E_\chi(f)E_\chi(g)$はともに$\chi\equiv 1$となる開集合の上で$fg$に等しい。補題 1.3により

であり、$E_\chi(f)(p)=f(p)$、$E_\chi(g)(p)=g(p)$であるから右辺は$\Lambda_U(v)(f)g(p)+f(p)\Lambda_U(v)(g)$に等しい。$\Lambda_U$が線形であることは定義から明らかである。

$P\colon T_pU\to T_pM$を$P(w)(g)=w(g|_U)$で定める。$g\mapsto g|_U$は環の準同型であるから$P(w)$は$T_pM$の元であり、$P$は線形である。

$P\circ\Lambda_U=\operatorname{id}$を示す。$v\in T_pM$、$g\in C^\infty(M)$とすると

である。$E_\chi(g|_U)$は$M$上の関数$\chi g$に等しく、$\chi\equiv 1$となる開集合の上で$g$と一致する。補題 1.3により$v(\chi g)=v(g)$である。

$\Lambda_U\circ P=\operatorname{id}$を示す。$w\in T_pU$、$f\in C^\infty(U)$とすると

である。$\chi|_Uf$は$\chi\equiv1$となる開集合の上で$f$と一致する。$U$もまた$C^\infty$多様体であるから補題 1.3を$U$に適用して$w(\chi|_Uf)=w(f)$を得る。▨

証明. 最初に次の主張を示す。$\Psi\colon\Omega\times[0,1]\to\mathbb{R}$を連続関数、$x_0\in\Omega$、$\varepsilon>0$とすると、$\delta>0$が存在して、$\lVert x-x_0\rVert<\delta$かつ$x\in\Omega$を満たすすべての$x$とすべての$t\in[0,1]$に対して$|\Psi(x,t)-\Psi(x_0,t)|<\varepsilon$が成り立つ。実際、各$t\in[0,1]$に対して$\Psi$の$(x_0,t)$における連続性により、$\delta_t>0$と$\eta_t>0$が存在して、$\lVert y-x_0\rVert<\delta_t$かつ$|s-t|<\eta_t$ならば$|\Psi(y,s)-\Psi(x_0,t)|<\varepsilon/2$となる。区間$\{(t-\eta_t,t+\eta_t)\}_{t\in[0,1]}$は$[0,1]$の開被覆であるから、§E2.19 定義 2.1により有限個の$t_1,\dots,t_q$で覆うことができる。$\delta=\min(\delta_{t_1},\dots,\delta_{t_q})$と置く。$\lVert x-x_0\rVert<\delta$と$t\in[0,1]$を取り、$t\in(t_l-\eta_{t_l},t_l+\eta_{t_l})$を満たす$l$を選ぶと

である。

この主張から、連続関数$\Psi$に対して$x\mapsto\int_0^1\Psi(x,t)\,dt$は連続である。差の絶対値が$\varepsilon$以下になるからである。

次に、$1\le i\le n$に対して$\partial_iG(x)=\int_0^1\partial_{x^i}\Phi(x,t)\,dt$を示す。$x\in\Omega$を取り、$B_r(x)\subseteq\Omega$を満たす$r>0$を取る。$0<|s|<r$に対して

である。$t$を固定し、一変数関数$\tau\mapsto\Phi(x+\tau e_i,t)$に平均値の定理を適用すると、$0$と$s$の間の$\tau_{s,t}$が存在して

が成り立つ。$\partial_{x^i}\Phi$は連続であるから、上の主張を$\Psi=\partial_{x^i}\Phi$に適用すると、$\varepsilon>0$に対して$\delta\in(0,r)$が存在して、$\lVert y-x\rVert<\delta$とすべての$t$に対して$|\partial_{x^i}\Phi(y,t)-\partial_{x^i}\Phi(x,t)|<\varepsilon$となる。$0<|s|<\delta$ならば$|\tau_{s,t}|<\delta$であるから、被積分関数の絶対値は$\varepsilon$より小さい。したがって差の絶対値は$\varepsilon$以下であり、$s\to 0$の極限が存在して主張の等式が成り立つ。

$\partial_x^{\gamma}\Phi$もまた仮定を満たすので、この操作を繰り返すことができ、すべての多重指数$\gamma$に対して$\partial^{\gamma}G(x)=\int_0^1\partial_x^{\gamma}\Phi(x,t)\,dt$が成り立ち、右辺は最初の主張により連続である。§E17.2 補題 6.1により$G$は$C^\infty$級である。▨

証明.$G_i(x)=\displaystyle\int_0^1\partial_iF(tx)\,dt$と定める。星型性により$tx\in\Omega$であるから右辺は定まる。

$G_i$の滑らかさを示す。$\Phi_i(x,t)=\partial_iF(tx)$と置くと、$\Phi_i$は$\Omega\times[0,1]$上で定まり、連鎖律により多重指数$\gamma$に対して$\partial_x^{\gamma}\Phi_i(x,t)=t^{|\gamma|}\,(\partial^{\gamma}\partial_iF)(tx)$である。$\partial^{\gamma}\partial_iF$は連続であり$(x,t)\mapsto tx$も連続であるから、$\partial_x^{\gamma}\Phi_i$は連続である。補題 2.1により$G_i\in C^\infty(\Omega)$である。

分解の等式を示す。$x\in\Omega$を固定する。線分$\{tx\mid 0\le t\le 1\}$はコンパクトであり$\Omega$に含まれるから、その各点を中心とする$\Omega$に含まれる開球を取り、コンパクト性により有限個を選んでその合併を取れば、線分の近傍が$\Omega$に含まれる。したがって§E4.5 定理 1.1を$r=0$、$a=0$、$h=x$として適用することができ、

を得る。ここで二番目の等号は$DF(y)[x]=\sum_{i=1}^{n}x^{i}\partial_iF(y)$と、有限和と積分の交換による。よって求める等式が成り立つ。

最後に$G_i(0)=\int_0^1\partial_iF(0)\,dt=\partial_iF(0)$である。▨

証明.$\mathbb{R}$線形性は、$f\mapsto f\circ\varphi^{-1}$が$\mathbb{R}$線形であることと、偏微分が$\mathbb{R}$線形であることから従う。Leibniz 則を示す。$f,g\in C^\infty(U)$に対して$(fg)\circ\varphi^{-1}=(f\circ\varphi^{-1})(g\circ\varphi^{-1})$であるから、積の偏微分法により

が成り立つ。両辺を$\varphi(p)$で評価し、$(g\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))=g(p)$と$(f\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))=f(p)$を用いると

を得る。よって$\partial/\partial x^i|_p$は$p$における導分である。▨

証明. 一次独立性を示す。$a^1,\dots,a^n\in\mathbb{R}$が$\sum_{i=1}^{n}a^i\,\partial/\partial x^i|_p=0$を満たすとする。$x^j\in C^\infty(U)$に対して

であるから、両辺を$x^j$に適用すると$a^j=0$を得る。したがって座標ベクトルは一次独立である。

生成性を示す。$\varphi(U)$は$\varphi(p)$を含む開集合であるから、$B_r(\varphi(p))\subseteq\varphi(U)$を満たす$r>0$が存在する。

と置く。$U_0$は$p$を含む開集合であり、平行移動は$\mathbb{R}^n$の$C^\infty$微分同相であるから$(U_0,\varphi_0)$は$M$の可微分構造に属するチャートであり、$\varphi_0(U_0)=B_r(0)$である。$B_r(0)$は原点について星型である。

$\varphi_0^{-1}(u)=\varphi^{-1}(u+\varphi(p))$であるから、$f\in C^\infty(U)$に対して

が成り立つ。すなわち、$(U_0,\varphi_0)$が定める座標ベクトルは、注意 1.5の同一視のもとで$(U,\varphi)$が定める座標ベクトルに一致する。$\varphi_0$の成分を$x_0^1,\dots,x_0^n$と書くと$x_0^i=x^i-x^i(p)$であり、補題 1.2により$v(x_0^i)=v(x^i)$である。

$v\in T_pM$を取り、同一視によって$v\in T_pU_0$と見る。$f\in C^\infty(U_0)$に対して$F=f\circ\varphi_0^{-1}\in C^\infty(B_r(0))$と置く。補題 2.2により$G_1,\dots,G_n\in C^\infty(B_r(0))$が存在して

が成り立つ。$g_i=G_i\circ\varphi_0\in C^\infty(U_0)$と置き、両辺を$\varphi_0$で引き戻すと、$U_0$の上で

が成り立つ。ここで$g_i(p)=G_i(0)=\partial_iF(0)=\dfrac{\partial}{\partial x^i}\Big|_p(f)$である。

この等式に$v$を適用する。定数関数への作用は$0$であり（補題 1.2）、Leibniz 則と$x_0^i(p)=0$により

を得る。$f\in C^\infty(U_0)$は任意であり、同一視によって$T_pM$の元は$C^\infty(U_0)$上の作用で決まるから、$v=\sum_{i=1}^{n}v(x^i)\,\partial/\partial x^i|_p$である。

以上より座標ベクトルは$T_pM$の基底であり、$\dim T_pM=n$である。▨

証明.(1)を示す。$\gamma$が$p$を通る滑らかな曲線であるとき、$\gamma$は連続であるから$|t|$が十分小さければ$\gamma(t)\in U$であり、$\varphi\circ\gamma$は$0$の近傍で定義された$\mathbb{R}^n$値の滑らかな写像である。したがって$(\varphi\circ\gamma)'(0)\in\mathbb{R}^n$が定まる。関係は$\mathbb{R}^n$における等号の引き戻しであるから、反射律、対称律、推移律をいずれも満たす。

(2)を示す。$|t|$が十分小さければ$\gamma_k(t)\in U\cap V$であり、その範囲で$\psi\circ\gamma_k=(\psi\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\gamma_k)$が成り立つ。§E4.3 定理 1.1により

である。$A=D(\psi\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))$と置くと、§E4.3 定理 1.1を$(\varphi\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ\varphi^{-1})=\operatorname{id}$へ適用することにより$A$は可逆である。したがって

が成り立つ。▨

証明.$f\in C^\infty(M)$に対して$f\circ\gamma$は滑らかな写像の合成であるから$C^\infty$である（§E17.1 系 4.3）。線形性は明らかであり、$(fg)\circ\gamma=(f\circ\gamma)(g\circ\gamma)$に一変数の積の微分法を適用すると

であるから$v_\gamma\in T_pM$である。

$p$を含むチャート$(U,\varphi)$を取り、$a=(\varphi\circ\gamma)'(0)\in\mathbb{R}^n$と置く。$\gamma$は連続であるから、$|t|$が十分小さければ$\gamma(t)\in U$である。その範囲で$f\circ\gamma=(f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\gamma)$であり、§E4.3 定理 1.1により

である。すなわち$v_\gamma=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\,\partial/\partial x^i|_p$であり、$v_\gamma$は$a$だけで決まる。したがって同値な曲線は同じ導分を与え、対応$[\gamma]\mapsto v_\gamma$は定まる。

単射性を示す。$v_{\gamma_1}=v_{\gamma_2}$とすると、定理 3.3の一次独立性により、対応する$a$が一致する。すなわち$(\varphi\circ\gamma_1)'(0)=(\varphi\circ\gamma_2)'(0)$であり$[\gamma_1]=[\gamma_2]$である。

全射性を示す。$v\in T_pM$を取り、定理 3.3により$v=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\,\partial/\partial x^i|_p$と書く。$\varphi(U)$は開集合であるから、$\varepsilon>0$を十分小さく取ると$|t|<\varepsilon$に対して$\varphi(p)+ta\in\varphi(U)$となる。

と定める。§E17.1 系 7.2により$\varphi^{-1}\colon\varphi(U)\to U$は滑らかであり、包含写像$U\to M$も滑らかであるから（§E17.1 命題 7.1）、$\gamma$は滑らかである。$\gamma(0)=p$であり$(\varphi\circ\gamma)(t)=\varphi(p)+ta$であるから$(\varphi\circ\gamma)'(0)=a$であり、$v_\gamma=v$である。▨

証明.$g\in C^\infty(N)$に対して$g\circ F\in C^\infty(M)$である（§E17.1 系 4.3）から、$dF_p(v)(g)=v(g\circ F)$は定まる。$g\mapsto g\circ F$は$\mathbb{R}$線形であり、$v$も$\mathbb{R}$線形であるから、$dF_p(v)$は$\mathbb{R}$線形である。$(gh)\circ F=(g\circ F)(h\circ F)$であるから、$v$の Leibniz 則により

である。ここで$(g\circ F)(p)=g(F(p))$と$(h\circ F)(p)=h(F(p))$を用いた。よって$dF_p(v)$は$F(p)$における導分であり、$dF_p(v)\in T_{F(p)}N$である。