§E12.2有界線形作用素と作用素ノルム

証明.$X=\{0\}$の場合には線形写像$T:X\to Y$は零写像だけであり、作用素ノルムの定義から$\|T\|=0$である。以下では$X\neq\{0\}$とする。$x\neq0$に対して$u=x/\|x\|_X$とおくと$\|u\|_X=1$であり、線形性から

である。単位球上の各$x\neq0$を同様に正規化すると

となり、$x=0$に対しても同じ評価が成り立つ。単位球面は単位球に含まれるので、三つの上限は一致する。この等式に任意の$x\neq0$を代入すると$\|Tx\|_Y\leq\|T\|\|x\|_X$を得る。$x=0$の場合も同じ不等式が成り立つ。▨

証明. 作用素ノルムは非負である。$\|T\|=0$ならば、命題 1.2により任意の$x\in X$に対して$\|Tx\|_Y=0$なので$T=0$である。$T=0$ならば定義から$\|T\|=0$である。$\lambda\in\mathbb K$に対して

である。さらに、任意の$S,T\in B(X,Y)$と$\|x\|_X\leq1$に対して

なので、単位球上で上限をとると$\|S+T\|\leq\|S\|+\|T\|$を得る。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。ある$M\geq0$が存在して

が成り立つため、$T$は Lipschitz 連続である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。全域で連続ならば、特に$0$で連続である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$T$が$0$で連続であるとする。$0$の像は$0$なので、ある$\delta>0$が存在し、$\|z\|_X<\delta$ならば$\|Tz\|_Y<1$となる。$x\neq0$に対して$z=(\delta/2)x/\|x\|_X$とおくと$\|z\|_X=\delta/2<\delta$である。したがって

すなわち$\|Tx\|_Y\leq(2/\delta)\|x\|_X$である。$x=0$の場合は両辺が$0$であるから、同じ評価が成り立つ。したがって$T$は有界である。▨

証明.$(T_n)$を$B(X,Y)$の Cauchy 列とする。固定した$x\in X$に対して

なので、$(T_nx)$は$Y$の Cauchy 列である。$Y$の完備性により極限が存在するため、

と定める。極限と有限和およびスカラー倍を交換すると、$T$は線形である。

$\varepsilon>0$をとる。ある$N$が存在し、$m,n\geq N$なら$\|T_n-T_m\|<\varepsilon$である。$n\geq N$と$x\in X$を固定し、$m\to\infty$とすると

を得る。したがって$T_n-T$は有界で$\|T_n-T\|\leq\varepsilon$である。特に$T=T_N+(T-T_N)$は有界であり、$T_n\to T$は作用素ノルムについて成り立つ。▨

証明. 任意の$x\in X$に対して

である。命題 1.2によって結論が従う。▨