§E12.1ノルム空間と Banach 空間

証明. 非負性と同一性は定義 1.1 条件 (a)から従い、対称性は$\|x-y\|=\|-(y-x)\|=\|y-x\|$から従う。三角不等式は

である。

さらに、$x=(x-y)+y$に三角不等式を適用すると$\|x\|-\|y\|\leq\|x-y\|$を得る。$x$と$y$を交換すると$\|y\|-\|x\|\leq\|x-y\|$を得るため、逆三角不等式が従う。▨

証明.(1)を示す。$M$の Cauchy 列$(x_n)$は$X$でも Cauchy 列であるため、$X$の完備性から、ある$x\in X$に収束する。$M$は閉じているので$x\in M$であり、$(x_n)$は$M$内で収束する。

(2)を示す。$M$の点列$(x_n)$が$X$の元$x$に収束したとする。収束列は Cauchy 列であるため、$M$の完備性から、ある$y\in M$に収束する。距離空間の極限は一意なので$x=y\in M$である。したがって$M$は閉じている。▨

証明.$\mathbb K=\mathbb R$の場合を示す。すべての点を含む閉直方体$Q_0$をとる。各座標区間を二等分すると$Q_0$は$2^n$個の閉直方体に分かれるため、そのうち少なくとも一つは点列の項を無限個含む。その直方体を$Q_1$とする。同じ操作を繰り返し、$Q_{k+1}\subset Q_k$、各辺の長さが$Q_0$の各辺の$2^{-(k+1)}$以下であり、$Q_k$が点列の項を無限個含むようにする。$k$番目の項より後にある項を一つ$Q_k$から選ぶと、部分列$(x_{m_k})$を得る。

各座標について、$Q_k$の対応する閉区間は入れ子であり、その長さは$0$に近づく。実数の完備性から、各座標区間の共通部分は一点からなる。$Q_k$の直径は$0$に近づくので、$(x_{m_k})$は、その座標をもつ点へ座標ごとに収束する。複素数体の場合は、各複素座標を実部と虚部に分け、$\mathbb C^n\cong\mathbb R^{2n}$に前述の入れ子の閉直方体を構成する。▨

証明.$V=\{0\}$ならば、任意の$c,C>0$に対して主張する不等式が成り立つ。以下では$V\neq\{0\}$とし、$n=\dim V\geq1$とする。$V$の基底$e_1,\ldots,e_n$を固定し、$x=\sum_{j=1}^n\xi_j e_j$に対して

と定める。任意のノルム$\|\cdot\|$について、三角不等式から

を得る。

次に、ある$c>0$が存在して$\|x\|\geq c|x|_1$となることを示す。成り立たないと仮定すると、各$m\geq1$に対して$|x_m|_1=1$かつ$\|x_m\|<1/m$となる$x_m$が存在する。各座標の絶対値は$1$以下なので、補題 2.1により、座標ごとにある$x$へ収束する部分列$(x_{m_k})$が存在する。有限和の極限をとると$|x|_1=1$である。一方、すでに示した上からの評価を$x_{m_k}-x$に適用すると$\|x_{m_k}-x\|\to0$である。逆三角不等式により$\|x\|=\lim_k\|x_{m_k}\|=0$となるので$x=0$である。$|x|_1=1$と矛盾する。

したがって、任意のノルムは$|\cdot|_1$と同値である。$\|\cdot\|_a$と$\|\cdot\|_b$のそれぞれを$|\cdot|_1$と比較し、不等式を合成すると、主張する定数$c,C$を得る。▨

証明. 基底を固定する。与えられたノルムの Cauchy 列は、命題 2.2によって座標の$1$-ノルムについても Cauchy 列である。各座標は$\mathbb K$の Cauchy 列なので収束する。座標極限から定まる$x\in V$へ座標の$1$-ノルムで収束し、ふたたびノルム同値を用いると、もとのノルムでも$x$へ収束する。▨

証明.$(f_n)$を$C[0,1]$の Cauchy 列とする。各$x\in[0,1]$に対して$|f_n(x)-f_m(x)|\leq\|f_n-f_m\|_\infty$なので、$(f_n(x))$は$\mathbb K$の Cauchy 列である。$f(x):=\lim_n f_n(x)$と定める。

$\varepsilon>0$をとる。ある$N$が存在し、$n,m\geq N$なら$\|f_n-f_m\|_\infty<\varepsilon/2$である。$n\geq N$を固定して$m\to\infty$とすると、任意の$x\in[0,1]$に対して$|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon/2<\varepsilon$となる。したがって$\|f_n-f\|_\infty<\varepsilon$であり、$f_n\to f$は一様収束である。

最後に$f$の連続性を示す。$x_0\in[0,1]$と$\varepsilon>0$を固定する。$\|f-f_N\|_\infty<\varepsilon/3$となる$N$をとる。$f_N$の連続性から、$|x-x_0|<\delta$なら$|f_N(x)-f_N(x_0)|<\varepsilon/3$となる$\delta>0$が存在する。このとき

よって$f\in C[0,1]$であり、$C[0,1]$は完備である。▨

証明. 連続関数によるコンパクト集合の像はコンパクトであるため、各$f\in C(K)$は有界であり、一様ノルムは有限である。$C(K)$の Cauchy 列$(f_n)$に対し、各点の極限$f(x)=\lim_nf_n(x)$を定める。$\varepsilon>0$に対して、ある$N$が存在し、$n,m\geq N$なら$\|f_n-f_m\|_\infty<\varepsilon/2$となる。$n\geq N$を固定して各$x\in K$で$m\to\infty$とすると$|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon/2$となるため、$\|f_n-f\|_\infty<\varepsilon$である。よって$f_n\to f$は一様収束である。

$f$の連続性を直接確認する。$x_0\in K$と$\varepsilon>0$に対し、$\|f-f_N\|_\infty<\varepsilon/3$となる$N$をとる。$f_N$の連続性から、$x_0$のある近傍$U$が存在し、$x\in U$なら$|f_N(x)-f_N(x_0)|<\varepsilon/3$となる。三角不等式により、$x\in U$なら$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$である。よって$f\in C(K)$であり、$C(K)$は完備である。▨