Banach–Alaoglu の定理 | 関数解析入門

1 弱星コンパクト性

係数体 $\mathbb K$ は $\mathbb R$ または $\mathbb C$ とする。 $B_{X^*}=\{x^*\in X^*:\|x^*\|\leq1\}$ と書き、各 $x\in X$ に対して $D_x=\{z\in\mathbb K:|z|\leq\|x\|\}$ と置く。 $D_x$ は $\mathbb R$ の閉区間または $\mathbb C$ の閉円板なのでコンパクトである。

補題 1.1. 積空間

P=\prod_{x\in X}D_x

と写像

\iota:B_{X^*}\longrightarrow P,\qquad \iota(x^*)=(x^*(x))_{x\in X}

を考える。 $\iota$ は単射であり、その像は

C=\bigcap_{x,y\in X}\ \bigcap_{a,b\in\mathbb K} \{z\in P:z_{ax+by}=az_x+bz_y\}

に一致する。特に、 $\iota(B_{X^*})$ は $P$ の閉集合である。

証明. $x^*\in B_{X^*}$ なら $|x^*(x)|\leq\|x\|$ なので、 $\iota(x^*)\in P$ である。すべての座標が等しい二つの線形汎関数は各 $x\in X$ で同じ値を取るから、 $\iota$ は単射である。線形性により $\iota(B_{X^*})\subset C$ である。

逆に $z\in C$ を取る。 $x^*_z(x)=z_x$ と定めると、 $C$ の定義から $x^*_z$ は線形である。 $z\in P$ なので

|x^*_z(x)|=|z_x|\leq\|x\|\qquad(x\in X)

であり、 $x^*_z$ は有界で $\|x^*_z\|\leq1$ を満たす。したがって $z=\iota(x^*_z)\in\iota(B_{X^*})$ であり、 $C\subset\iota(B_{X^*})$ である。

固定した $x,y,a,b$ に対して、座標射影の連続性により

z\longmapsto z_{ax+by}-az_x-bz_y

は $P$ 上で連続である。その零点集合は閉集合であり、 $C$ はこれらの閉集合の共通部分なので閉集合である。▨

補題 1.2. $B_{X^*}$ に弱星位相 $\sigma(X^*,X)$ の相対位相を入れると、 $\iota:B_{X^*}\to\iota(B_{X^*})$ は積位相の相対位相に関する同相写像である。

証明. 積位相は各座標射影 $\pi_x:P\to D_x$ を連続にする最も粗い位相である。一方、

(\pi_x\circ\iota)(x^*)=x^*(x)

であり、弱星位相はすべての評価写像 $x^*\mapsto x^*(x)$ を連続にする最も粗い位相である。したがって、 $\iota$ によって $B_{X^*}$ へ引き戻される積位相は弱星位相の相対位相に一致する。 $\iota$ は像への全単射なので、同相写像である。▨

定理 1.3 (Banach–Alaoglu の定理). ノルム空間 $X$ の連続双対 $X^*$ の閉単位球 $B_{X^*}$ は、弱星位相 $\sigma(X^*,X)$ に関してコンパクトである。

証明. 各 $D_x$ はコンパクトであるから、Tychonoff の定理§E2.19 定理 8.2により $P=\prod_{x\in X}D_x$ はコンパクトである。補題 1.1により $\iota(B_{X^*})$ は $P$ の閉集合なのでコンパクトである。補題 1.2により $B_{X^*}$ と $\iota(B_{X^*})$ は同相であるから、 $B_{X^*}$ は弱星コンパクトである。▨

定理の結論は位相的コンパクト性である。一般の $X$ について、弱星コンパクト性を「任意の点列が弱星収束部分列をもつ」と読み替えることはできない。積空間は非可算個の座標をもち得るため、点列だけでは積位相のコンパクト性を検出することができない場合がある。コンパクト性から収束部分ネットを得ることはできるが、収束部分列を得るには追加条件が必要である。

2 可分な場合の距離化

定理 2.1. $X$ が可分なノルム空間であるとする。 $X$ の閉単位球に稠密な点列 $(x_n)_{n\geq1}$ を取り、 $f,g\in B_{X^*}$ に対して

d(f,g)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n} \frac{|(f-g)(x_n)|}{1+|(f-g)(x_n)|}

と定める。このとき $d$ は $B_{X^*}$ 上の距離であり、 $d$ が定める位相は弱星位相の相対位相に一致する。

証明. 各項は非負で $2^{-n}$ 以下なので級数は収束する。対称性は $|(f-g)(x_n)|=|(g-f)(x_n)|$ から従い、 $d(f,f)=0$ は各項の分子が $0$ になることから従う。 $t\mapsto t/(1+t)$ は $[0,\infty)$ 上で劣加法的であるため、各項に三角不等式を適用すると $d$ の三角不等式を得る。 $d(f,g)=0$ なら $(f-g)(x_n)=0$ がすべての $n$ について成り立つ。閉単位球の稠密性と $f-g$ の連続性により $f-g$ は $X$ 上で $0$ なので、 $f=g$ である。したがって $d$ は距離である。

弱星収束するネット $f_\alpha\overset{*}{\rightharpoonup}f$ を $B_{X^*}$ に取る。 $\varepsilon>0$ に対して、まず $\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon/2$ となる $N$ を選ぶ。各 $1\leq n\leq N$ について $(f_\alpha-f)(x_n)\to0$ なので、有向性により、ある添字以後は最初の $N$ 項の和が $\varepsilon/2$ 未満になる。したがって $d(f_\alpha,f)\to0$ である。

逆に $d(f_\alpha,f)\to0$ と仮定する。固定した $n$ について、級数の第 $n$ 項も $0$ に収束するから $(f_\alpha-f)(x_n)\to0$ である。任意の $x\in X$ を取る。 $x=0$ の場合は $(f_\alpha-f)(0)=0$ である。 $x\neq0$ とし、 $R=\max\{1,\|x\|\}$ 、 $u=x/R$ と置く。 $\|u\|\leq1$ である。任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $2R\|u-x_n\|<\varepsilon/2$ となる $n$ を選ぶ。 $\|f_\alpha\|,\|f\|\leq1$ なので

|(f_\alpha-f)(x)| \leq R|(f_\alpha-f)(u-x_n)|+R|(f_\alpha-f)(x_n)| \leq2R\|u-x_n\|+R|(f_\alpha-f)(x_n)|.

十分大きい $\alpha$ では第二項も $\varepsilon/2$ 未満になる。したがって $(f_\alpha-f)(x)\to0$ であり、§E12.5 命題 2.2により $f_\alpha\overset{*}{\rightharpoonup}f$ である。二つの位相におけるネット収束が一致するので、二つの位相は一致する。▨

系 2.2. $X$ が可分なら、 $B_{X^*}$ の任意の点列は弱星収束部分列をもつ。

証明.定理 1.3と定理 2.1により、 $B_{X^*}$ はコンパクト距離空間である。コンパクト距離空間の点列 $(f_n)$ に対し、 $F_N=\overline{\{f_n:n\geq N\}}$ と置くと、 $(F_N)$ は空でない閉集合の減少列である。コンパクト性により $\bigcap_NF_N$ は空でない。 $f\in\bigcap_NF_N$ を取ると、各 $k$ について、既に選んだ添字より大きい $n_k$ で $d(f_{n_k},f)<1/k$ を満たすものを選ぶことができる。したがって $f_{n_k}\to f$ であり、距離位相と弱星位相の一致により弱星収束する。▨

3 演習

問題 3.1 (積表示にノルム条件が現れない理由).補題 1.1の集合 $C$ で、ノルム条件を別の閉条件として追加する必要がない理由を説明せよ。

解答.

$C$ は積空間 $P=\prod_{x\in X}D_x$ の部分集合として定めてあり、 $z\in P$ であること自体が各 $x\in X$ について $|z_x|\leq\|x\|$ を意味する。したがって $z\in C$ から定まる線形汎関数 $x^*_z(x)=z_x$ は $|x^*_z(x)|\leq\|x\|$ を満たし、 $\|x^*_z\|\leq1$ が従う。ノルム条件は積の因子 $D_x$ の取り方に組み込まれているので、閉条件として重ねて課す必要はない。▨

問題 3.2 (稠密な点列を閉単位球で取ることの十分性). 可分性から選んだ点列 $(x_n)$ が $X$ 全体ではなく閉単位球で稠密であれば十分である理由を説明せよ。

解答.

任意の $x\in X$ に対して $R=\max\{1,\|x\|\}$ と置くと、 $u=x/R$ は $X$ の閉単位球に属し、 $f,g\in B_{X^*}$ の線形性により $(f-g)(x)=R\,(f-g)(u)$ が成り立つ。したがって閉単位球の上で $f-g$ の値を制御すれば、その $R$ 倍として $X$ 全体での値が制御される。定理 2.1の証明はこの縮小を用いて、 $\|u-x_n\|$ が小さくなる $n$ を閉単位球の中の稠密な点列から選んでいる。 $X$ 全体で稠密な点列を要求しても、得られる評価は同じである。▨

問題 3.3 (Banach–Alaoglu の定理の証明の再構成).定理 1.3の証明で、積空間のコンパクト性、像の閉性、および位相の一致をそれぞれどこで用いたかを再構成せよ。

解答.

積空間のコンパクト性は、各 $D_x$ がコンパクトであることから Tychonoff の定理§E2.19 定理 8.2を通じて $P=\prod_{x\in X}D_x$ について用い、以後の議論の舞台を与える。像の閉性は補題 1.1が与えるものであり、コンパクト空間の閉部分集合がコンパクトであること（§E2.19 命題 4.1）と組み合わせて、 $\iota(B_{X^*})$ がコンパクトであることを得る段で用いる。位相の一致は補題 1.2が与えるものであり、 $\iota$ が $B_{X^*}$ から $\iota(B_{X^*})$ への同相写像であることを通じて、 $\iota(B_{X^*})$ のコンパクト性を $B_{X^*}$ の弱星コンパクト性へ移す段で用いる。▨

問題 3.4 (半径 $r$ の球の弱星コンパクト性). $r>0$ に対して $rB_{X^*}$ も弱星コンパクトであることを証明せよ。

解答.

$m_r:X^*\to X^*$ を $m_r(f)=rf$ で定める。各 $x\in X$ について $(m_r(f))(x)=r\,f(x)$ であるから、写像 $f\mapsto(m_r(f))(x)$ は評価写像 $f\mapsto f(x)$ の $r$ 倍であり、弱星位相について連続である。弱星位相はすべての評価写像を連続にする最も粗い位相であるから、 $m_r$ は弱星位相について連続である。 $r>0$ なので $m_{1/r}$ も同じ理由で連続であり、 $m_{1/r}$ は $m_r$ の逆写像である。したがって $m_r$ は $X^*$ の弱星同相写像である。定理 1.3により $B_{X^*}$ は弱星コンパクトであり、連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクトである（§E2.19 定理 4.2）から、 $rB_{X^*}=m_r(B_{X^*})$ も弱星コンパクトである。なお $r=0$ の場合、 $rB_{X^*}=\{0\}$ は一点集合であり、有限集合はコンパクトである。▨

§E12.7Banach–Alaoglu の定理

1 弱星コンパクト性

2 可分な場合の距離化

3 演習

参考文献

前提記事