§E12.13応用：正則 Sturm–Liouville 問題

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

証明.$y\in D(A)$に対して、$py'$と$\overline y$に§E10.2 定理 3.3を適用すると、

を得る。$\beta_e=0$である端点$e$では$y(e)=0$であり、$\beta_e\ne0$である端点では$p(e)y'(e)=-(\alpha_e/\beta_e)y(e)$である。したがって境界項は実数であり、

とおくと

が成り立つ。

$R>0$の場合は補題 1.2に$\varepsilon=m_p/(2R)$を代入する。$R=0$の場合も含めて

とおけば、

を得る。$m_w=\min_{[a,b]}w>0$とし、

と選ぶと、$\int_a^b|y|^2\,dx\leq m_w^{-1}\|y\|_w^2$より所要の下限を得る。$(A+\kappa I)y=0$ならば下限から$\|y\|_w=0$であり、$y=0$である。▨

証明.$P=p'/p$、$Q=-(q+\kappa w)/p$とおき、微分方程式を

と書く。$P,Q$は連続な実数値関数であり、正規化された境界条件の係数は$(\alpha_a,\beta_a p(a))$、$(\alpha_b,\beta_b p(b))$である。この斉次方程式の$C^1$級かつ導関数が絶対連続である境界解は$Ay=-\kappa y\in H$を満たすので$D(A)$に属し、仮定から零である。

$f\in H$に対して Cauchy–Schwarz の不等式より

である。§E10.13 定理 3.5により、正規化された方程式の Green 関数$G_\kappa$が存在し、

は境界条件を満たす一意な$C^1$解であり、$y'$は絶対連続である。$p\in C^1$なので$py'$も絶対連続であり、$Ay=f-\kappa y\in H$から$y\in D(A)$である。$f$の代表元を替えても全点の解は変わらない。したがって$A+\kappa I$は全射でもあり、逆写像を持つ。連続な外力についての$C^2$正則性と全点での方程式も、引用した定理から従う。

引用した Green 表示に現れる実数値の左右境界解を$u,v$、$W=uv'-u'v$とする。$u,v$は$-(py')'+(q+\kappa w)y=0$を満たす。§E10.14 定理 2.1 (1)を係数$p,q+\kappa w$と任意の部分区間に適用すると$[p(uv'-u'v)]=0$であるから、$c=pW$は零でない実定数である。そこで$K_\kappa(x,s)=-G_\kappa(x,s)/p(s)$とおくと、

この式から$K_\kappa$の実数値性と対称性を得る。連続性は$G_\kappa$の連続性と$p>0$から従う。▨

証明.$d\mu=w(x)\,dx$とおくと$\mu([a,b])<\infty$である。定理 2.1の連続核$K_\kappa$は有界なので$K_\kappa\in L^2(\mu\times\mu)$である。§E12.11 定理 2.2より$T_\kappa$は有界線形かつコンパクトであり、

を満たす。

$f,g\in H$とすると$f,g\in L^1(\mu)$でもあり、$K_\kappa(x,s)f(s)\overline{g(x)}$は積測度に関して可積分である。§E9.11 定理 3.2と実対称性により

したがって$T_\kappa$は自己共役である。

逆写像の等式

から、$T_\kappa$は単射であり、$\im T_\kappa=D(A)$である。$h\in(\im T_\kappa)^\perp$ならば、任意の$f\in H$に対して$0=\langle T_\kappa f,h\rangle_w=\langle f,T_\kappa h\rangle_w$である。$f=T_\kappa h$とすると$T_\kappa h=0$となり、単射性から$h=0$である。§E12.8 命題 2.3により$\im T_\kappa$は稠密である。

$\kappa\geq\kappa_0$、$f\ne0$とし、$y=T_\kappa f$とおくと$y\ne0$である。命題 1.3より

を得る。

一様な正下限$c>0$が存在すると仮定する。互いに素な区間$I_n=(a+(b-a)2^{-n},a+(b-a)2^{-n+1})$、$n\in\NN$の指示関数を用いて$e_n=\mathbf1_{I_n}/\sqrt{\mu(I_n)}$とおくと、$(e_n)$は$H$の正規直交列である。仮定と Cauchy–Schwarz の不等式により任意の$f\in H$に対して$\|T_\kappa f\|_w\geq c\|f\|_w$であるから、$n\ne m$ならば

である。これはコンパクト性により$(T_\kappa e_n)$が収束部分列を持つことに反する。したがって一様な正下限は存在しない。▨

証明.$-y''=0$と両端の零境界条件から$y=0$である。左右境界解$u(x)=x$、$v(x)=1-x$に対して$pW=-1$なので、定理 2.1の核の式は上記の$K_0$を与える。$\int_0^{1/2}K_0(x,s)\,ds$を$s=x$で分けて積分すると上記の解を得る。導関数は左側で$3/8-x$、右側で$-1/8$であり、$x=1/2$で一致する。導関数は連続な区分一次関数なので絶対連続であるが、その左右の傾きは$-1$と$0$である。▨

証明. 境界項は零であるから$\langle(A+\kappa I)y,y\rangle=\int_0^1|y'|^2\,dx+\kappa\int_0^1|y|^2\,dx$である。$\kappa>0$ならば核は零であり、定理 2.1が適用される。$y=1/\kappa$は$-y''+\kappa y=1$と両端の Neumann 条件を満たすため、一意性から結論を得る。▨

証明.$T_\kappa e=\tau e$とすると、定理 2.2により

であり、$\tau>0$である。定理 2.1より$e=\tau^{-1}T_\kappa e$は$C^1$級の代表元を持つ。この連続な代表元を外力として同じ Green 表示を適用すると、$T_\kappa e$、従って$e$は$C^2$級である。逆写像の等式から$(A+\kappa I)e=\tau^{-1}e$であり、境界条件と上記の微分方程式が全点で成り立つ。

逆に上記の古典解$e$は$D(A)$に属し、$(A+\kappa I)e=\tau^{-1}e$を満たす。両辺へ$T_\kappa$を適用すると$e=\tau^{-1}T_\kappa e$を得る。また、$Ay=\lambda y$、$y\in D(A)\setminus\{0\}$ならば、$A+\kappa I$の単射性から$\lambda+\kappa\ne0$であり、$T_\kappa y=(\lambda+\kappa)^{-1}y$である。先に示した同定により$y$は古典固有関数でもある。▨

証明.$y\in\ker(A-\lambda I)$の初期値$(y(a),y'(a))$は

を満たす$(u,v)\in\C^2$の一次元部分空間に属する。一方、$y$は

をほとんど至る所で満たす。係数は閉区間上で連続であり、§E10.7 命題 4.1の初期値一意性を$t_0=a$に適用すると、$y(a)=y'(a)=0$である解は零である。従って初期値を取る線形写像は$\ker(A-\lambda I)$上で単射であり、所要の次元の上限を得る。▨

証明.定理 2.2により、十分大きい実数$\kappa$に対して$T_\kappa$はコンパクト自己共役、単射かつ厳密に正値である。§E12.12 定理 3.1 (2)を適用すると、$H$は$T_\kappa$の非零固有空間の閉直交和である。補題 3.1と補題 3.2により、これらの固有値は正であり、固有空間はすべて一次元である。

$H$には互いに素な正の長さの区間の指示関数からなる無限の一次独立系が存在するので、$H$は無限次元である。従って$T_\kappa$の非零固有値は無限個存在する。§E12.12 定理 3.1 (1)と$0<\tau\leq\|T_\kappa\|$より、任意の$\varepsilon>0$に対して$\tau\geq\varepsilon$を満たす固有値は有限個である。そのため固有値全体を狭義単調減少列$(\tau_n)_{n\in\NN}$として並べることができ、$\tau_n\to0$である。

$\lambda_n=\tau_n^{-1}-\kappa$とおくと、補題 3.1により$\lambda_n$は$A$の固有値を尽くし、狭義単調増加して正の無限大へ発散する。各固有空間は実係数の微分方程式と境界条件で定まるため、非零固有関数の実部または虚部は実数値の非零固有関数である。その一つを$H$のノルムで正規化して$e_n$とする。固有空間の直交性と閉直交和分解により、$(e_n)$は完全正規直交系である。別の許されるシフトについても、同定補題を各$e_n$に適用すれば、同じ$\lambda_n$から所要の$\tau_n$を得る。▨

証明.定理 3.3の完全正規直交系へ§E12.8 定理 3.3 (3)と§E12.8 定理 3.3 (4)を適用する。▨

証明.$\kappa\geq\kappa_0$を命題 1.3の下限を満たす実数とする。$y\in D(A)$が$(A-zI)y=f$を満たすことは

と同値である。$y_n=\langle y,e_n\rangle_w$とおき、$T_\kappa$の自己共役性と$T_\kappa e_n=(\lambda_n+\kappa)^{-1}e_n$を用いて係数を比較すると、

を得る。従って非共鳴時にはすべての係数が一意に定まり、共鳴時には$f_m=0$が必要で、$y_m$だけが自由である。完全性により、係数が等しい二つの解は$H$の元として一致する。

$J=\{n\in\NN:\lambda_n\ne z\}$とおく。$\lambda_n\to+\infty$であるから、ある$N_0$が存在して、$n\geq N_0$ならば$|\lambda_n-z|\geq1$である。残る$J$の添字は有限個であり、分母は零でないので、

である。系 3.4により

となる。正規直交性から級数の部分和は Cauchy 列であり、$H$の完備性により極限を持つ。この極限を非共鳴時には$y$とし、共鳴時には$f_m=0$と仮定して任意の$c\in\C$に対する$ce_m$を加えたものを$y$とする。

$g=f+(z+\kappa)y\in H$とおく。構成した$y$の各係数は$(\lambda_n-z)y_n=f_n$を満たすので、

がすべての$n$で成り立つ。完全性から$T_\kappa g=y$である。定理 2.1により、$y$は$D(A)$に属し、境界条件を満たし、$(A-zI)y=f$がほとんど至る所で成り立つ。従って上記の級数は実際に解を与え、先の係数比較によってすべての解を尽くす。共鳴時には$\langle y,e_m\rangle_w=c$であるから、直交する解は$c=0$のものに限られる。

$f$が連続な代表元を持つ場合、すでに$y\in C^1$であるため$g=f+(z+\kappa)y$は連続である。同じ Green 表示へ連続外力についての正則性を適用すると$y\in C^2$であり、方程式は全点で成り立つ。▨

証明. 固有方程式$-y''=\lambda y$の非零解は、部分積分により$\lambda\int_0^L|y|^2\,dx=\int_0^L|y'|^2\,dx>0$を満たす。$r=\sqrt\lambda>0$とすると、解は$y=c\sin(rx)+d\cos(rx)$であり、左端条件は$d=0$、右端条件は$\sin(rL)=0$を与える。従って固有値と固有関数は上記に尽き、$\int_0^L\sin^2(n\pi x/L)\,dx=L/2$から正規化係数を得る。完全性は定理 3.3から従う。

$f=1$の係数は

である。定理 4.1 (1)に$z=0$を代入すると、上記の正弦級数を得る。$x(L-x)/2$も同じ微分方程式と境界条件を満たすので、解の一意性により級数の極限と一致する。▨

証明. 固有方程式に部分積分を適用すると$\lambda\int_0^L|y|^2\,dx=\int_0^L|y'|^2\,dx\geq0$である。$\lambda=0$の場合は定数関数を得る。$\lambda=r^2>0$の場合は$y=c\cos(rx)+d\sin(rx)$に左端条件を課して$d=0$を得て、右端条件から$rL=n\pi$を得る。各ノルムを積分して上記の正規化係数を得る。定理 3.3により完全性が成り立つ。固有値$0$に対する係数は$\langle f,e_0\rangle=L^{-1/2}\int_0^Lf$であるから、定理 4.1 (2)が可解条件とすべての解を与える。▨