§E12.19可換 Gelfand–Naimark の定理

証明.$A$が単位元$1$をもつとする。$1^*1=1^*$であるから、C* 恒等式と§E12.15 補題 1.4により$\|1\|^2=\|1^*1\|=\|1^*\|=\|1\|$であり$\|1\|\in\{0,1\}$である。$\|1\|=0$のとき$1=0$であるから$A=\{0\}$であり、§E12.14 定義 4.4により$\Delta(A)=\emptyset$である。§E2.19 定義 2.1により$\emptyset$はコンパクトであり、相異なる二点をもたないから Hausdorff 性の条件も空虚に成り立つので、§E2.24 例 5.1 (1)により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、(1)が成り立つ。$\Gamma$は零写像であり$C_0(\emptyset)=\{0\}$であるから、§E12.16 命題 1.5の$X=\emptyset$の規約により$\|\Gamma(0)\|_\infty=0=\|0\|$であり、(2)が成り立つ。$\|1\|=1$のとき$A$は単位的である。§E12.14 定理 5.5により$\Delta(A)$は Gelfand 位相についてコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.24 例 5.1 (1)によりコンパクト空間は局所コンパクトであるから、$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、(1)が成り立つ。§E12.16 命題 4.1 (1)により$C_0(\Delta(A))=C(\Delta(A))$である。§E12.18 定理 3.1により$\Gamma$は$A$から$C(\Delta(A))$への等長な *-準同型であるから、(2)が成り立つ。

$A$が単位元をもたない（§E12.17 注意 1.2）とする。§E12.18 系 4.4により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であるから(1)が成り立ち、§E12.18 定理 4.7により$\Gamma$は$A$から$C_0(\Delta(A))$への等長な *-準同型であるから(2)が成り立つ。▨

証明.補題 1.1 (2)により$\Gamma$は線形かつ乗法的であるから、$a,b\in A$と$\lambda\in\mathbb C$に対して$\hat a+\hat b=\widehat{a+b}$、$\hat a\hat b=\widehat{ab}$、$\lambda\hat a=\widehat{\lambda a}$が成り立ち、これらはいずれも$\Gamma(A)$に属する。また$\hat0=\Gamma(0)=0$であるから$\Gamma(A)$は空でない。§E12.16 定義 1.1により$C_0(\Delta(A))$の元は$\Delta(A)$上の複素数値連続関数であるから$\Gamma(A)\subseteq C_0(\Delta(A))\subseteq C(\Delta(A),\mathbb C)$であり、§E2.32 定義 1.1により$\Gamma(A)$は部分代数である。

(1)を示す。$\varphi\neq\psi$を満たす$\varphi,\psi\in\Delta(A)$をとる。$\varphi$と$\psi$はともに$A$上で定義された写像であって相異なるから、$\varphi(a)\neq\psi(a)$を満たす$a\in A$が存在する。§E12.18 定義 1.1により$\hat a(\varphi)=\varphi(a)$かつ$\hat a(\psi)=\psi(a)$であるから$\hat a(\varphi)\neq\hat a(\psi)$である。

(2)を示す。$a\in A$をとる。§E12.16 定理 2.1により$C_0(\Delta(A))$の対合は複素共役をとる操作$f^*=\overline f$である。補題 1.1 (2)により$\overline{\Gamma(a)}=\Gamma(a^*)$であり、右辺は$\Gamma(A)$に属する。

(3)を示す。$\varphi\in\Delta(A)$をとる。§E12.14 定義 4.4により$\varphi$は零写像でないから、$\varphi(a)\neq0$を満たす$a\in A$が存在する。§E12.18 定義 1.1により$\hat a(\varphi)=\varphi(a)\neq0$である。▨

証明.補題 1.1により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、$\Gamma$は$A$から$C_0(\Delta(A))$への等長な *-準同型である。$a\in A$が$\Gamma(a)=0$を満たすとすると$\|a\|=\|\Gamma(a)\|_\infty=0$であるから$a=0$である。$\Gamma$は線形であるから、核が$\{0\}$であることにより$\Gamma$は単射である。

§E12.16 定義 1.1と§E2.32 定義 4.1は、局所コンパクト Hausdorff 空間の上の複素数値連続関数に対して同じ条件を課すから、集合として$C_0(\Delta(A))=C_0(\Delta(A),\mathbb C)$である。また§E2.32 補題 4.2の距離は$d_\infty(f,g)=\sup_{\varphi\in\Delta(A)}|f(\varphi)-g(\varphi)|$であり、§E12.16 命題 1.5の上限ノルムを用いて$d_\infty(f,g)=\|f-g\|_\infty$と書くことができる（$\Delta(A)=\emptyset$のときは両者いずれも$0$である）から、この距離が定める位相は上限ノルムが定める位相に一致する。補題 1.2により$\Gamma(A)$は$C_0(\Delta(A))$に含まれる部分代数であり、補題 1.2 (1)により$\Delta(A)$の点を分離し、補題 1.2 (2)により複素共役について閉じており、補題 1.2 (3)により各$\varphi\in\Delta(A)$に対して$\varphi$で$0$にならない元をもつ。したがって§E2.32 定理 4.5を$X=\Delta(A)$と$\mathcal A=\Gamma(A)$に適用することができ、$\Gamma(A)$は$C_0(\Delta(A))$で稠密である。

補題 1.2により$\Gamma(A)$は部分代数であるから、和とスカラー倍について閉じており、$C_0(\Delta(A))$の線形部分空間である。$(f_n)_{n\geq1}$を$\Gamma(A)$の$\|\cdot\|_\infty$に関する Cauchy 列とする。$\Gamma$は単射であるから、各$n$に対して$f_n=\Gamma(a_n)$を満たす$a_n\in A$がただ一つ定まる。$\Gamma$の線形性と等長性により

であるから$(a_n)_{n\geq1}$は$A$の Cauchy 列である。§E12.15 定義 1.2により$A$は対合を備えた複素 Banach 環であり、§E12.14 定義 1.1により Banach 空間であるから、極限$a=\lim_na_n\in A$が存在する。同じ等式により$\|f_n-\Gamma(a)\|_\infty=\|a_n-a\|\to0$であり$\Gamma(a)\in\Gamma(A)$であるから、$\Gamma(A)$は完備である。§E12.1 命題 1.4 (2)により$\Gamma(A)$は$C_0(\Delta(A))$の閉部分集合である。

§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline{\Gamma(A)}=\Gamma(A)$であり、§E2.11 定義 2.7により$\overline{\Gamma(A)}=C_0(\Delta(A))$であるから$\Gamma(A)=C_0(\Delta(A))$である。よって$\Gamma$は全射であり、単射性とあわせて全単射である。線形性、乗法性、$\Gamma(a^*)=\overline{\Gamma(a)}$および$\|\Gamma(a)\|_\infty=\|a\|$は補題 1.1 (2)が与える。▨

証明.補題 1.1 (1)により$\Delta(A)$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、$A$が単位的であるからコンパクトである。§E12.16 命題 4.1 (1)により$C_0(\Delta(A))=C(\Delta(A))$である。定理 1.3により$\Gamma$は$A$から$C_0(\Delta(A))$への等長な *-同型であり、この終域は$C(\Delta(A))$に等しい。▨