§E12.4Banach 空間論の基本3定理

証明.$n\geq1$に対して$E_n$を、ある$x\in[0,1]$が存在し、$|y-x|\leq1/n$を満たすすべての$y\in[0,1]$に対して

となる関数$f\in C[0,1]$の集合とする。ある点で有限の微分係数をもつ関数は、十分大きい$n$に対して$E_n$に属する。したがって、少なくとも一点で微分可能な関数全体は$\bigcup_nE_n$に含まれる。

$E_n$が閉じていることを示す。$f_k\in E_n$が$f$へ一様収束し、$x_k$を$f_k$に対する (1) の点とする。座標空間の次元を$1$とした場合として§E12.1 補題 2.1を用いると、部分列をとって$x_k\to x$としてよい。$|y-x|<1/n$を満たす$y$を固定すると、十分大きい$k$で$|y-x_k|<1/n$なので

である。一様収束と$f$の連続性を用いて$k\to\infty$とすると (1) を得る。$|y-x|=1/n$の場合は、線分上で$y$に近づく点に同じ不等式を適用し、連続性によって極限をとる。よって$f\in E_n$であり、$E_n$は閉じている。

$E_n$の内部が空であることを示す。$f\in C[0,1]$と$\varepsilon>0$をとり、$\delta=\varepsilon/4$とする。ここで$f$が一様連続であることは、次の列による議論から従う。一様連続でないと仮定すると、ある$\eta>0$と点列$(s_k),(t_k)$が存在し、$|s_k-t_k|\to0$であるが$|f(s_k)-f(t_k)|\geq\eta$となる。座標空間の次元を$1$とした場合として§E12.1 補題 2.1により$s_k$の収束部分列をとると、対応する$t_k$も同じ点へ収束し、$f$の連続性に矛盾する。

したがって、十分細かい等分点$0=t_0<t_1<\cdots<t_m=1$を、同じ小区間内の$f$の振幅が$\delta$未満であり、各区間の長さが$\delta/(2n)$未満となるようにとる。節点で

と定め、各小区間上で$g$を線形にする。小区間内では、$f$と端点値の線形補間との差は$\delta$未満であり、交互に加えた項の絶対値は$2\delta$以下なので、$\|g-f\|_\infty<3\delta<\varepsilon$である。

隣り合う節点における$g$の値の差の絶対値は$3\delta$より大きい。したがって各線分の傾きの絶対値は$n$より大きい。任意の$x\in[0,1]$に対して、$x$と同じ線分上に十分近い$y\neq x$をとると$|g(y)-g(x)|>n|y-x|$となる。よって$g\notin E_n$である。任意の一様ノルム球が$E_n$の外の点を含むため、$E_n$の内部は空である。$E_n$は閉集合なので疎集合である。

定理 1.1により、$C[0,1]$は可算個の疎集合$E_n$の和では覆われない。さらに$C[0,1]\setminus\bigcup_nE_n$は稠密である。この補集合の各関数は、どの点でも有限の微分係数をもたない。▨

証明.$n\geq1$に対して

とおく。各$T_\alpha$は連続なので、$E_n=\bigcap_{\alpha\in A}\{x:\|T_\alpha x\|_Y\leq n\}$は閉集合である。各点有界性から$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$である。

定理 1.1により、ある$N$について$E_N$は空でない内部をもつ。したがって、ある$x_0\in X$と$r>0$が存在して、閉球$\overline B(x_0,r)$が$E_N$に含まれる。$\|z\|_X\leq r$ならば$x_0$と$x_0+z$はともに$E_N$に属するため、任意の$\alpha\in A$に対して

である。$\|u\|_X\leq1$に対して$z=ru$とおくと$\|T_\alpha u\|_Y\leq2N/r$を得る。したがって、すべての$\alpha$に対して$\|T_\alpha\|\leq2N/r$である。▨

証明.$U:=\{x\in X:\|x\|_X<1\}$とおく。$T$は全射なので、任意の$y\in Y$はある$x\in X$の像である。$n>\|x\|_X$をとれば$x\in nU$なので

各$\overline{T(nU)}$は$Y$の部分集合なので逆の包含も成り立ち、等号を得る。$Y$は Banach 空間であり、$\overline{T(nU)}$は閉集合なので、定理 1.1により、ある$n$について$\overline{T(nU)}$は空でない内部をもつ。スカラー倍によって、$A:=\overline{T(U)}$も空でない内部をもつ。

$T(U)$は凸かつ平衡であるため、その閉包$A$も凸かつ平衡である。ある$y_0\in Y$と$\rho>0$が存在して$B(y_0,\rho)\subseteq A$となる。$\|y\|_Y<\rho$ならば$y_0+y\in A$かつ$-y_0\in A$であるため、$y=(y_0+y)+(-y_0)\in A+A\subseteq2A$である。したがって$y/2\in A$であり、

を得る。

次に閉包を外す。$\|y\|_Y<r/2$とする。(2) を$1/2$倍すると$B(0,r/2)\subseteq\overline{T(U/2)}$であるため、$x_1\in U/2$を$\|y-Tx_1\|_Y<r/4$となるようにとることができる。帰納的に、$n-1$段目の残差のノルムが$r/2^n$未満ならば、(2) を$2^{-n}$倍した包含をその残差へ適用する。この操作により、$n\geq1$に対して

を満たす列$(x_n)$を構成することができる。

$\sum_n\|x_n\|_X<1$であり、$X$は Banach 空間なので、級数$\sum_nx_n$はある$x\in X$に収束する。$\|x\|_X<1$である。$T$は有界なので極限と交換することができ、(3) から$Tx=y$を得る。よって

$O\subseteq X$を開集合、$x_0\in O$とする。ある$\delta>0$が存在して$x_0+\delta U\subseteq O$となる。(4) から

である。したがって$T(O)$は開集合であり、$T$は開写像である。▨

証明.$T$は全射なので、定理 3.1により$T$は開写像である。$U=\{x\in X:\|x\|_X<1\}$は開集合であるから、$T(U)$は$0$の近傍である。したがって$T^{-1}$は$0$で連続である。§E12.2 定理 1.4により、線形写像$T^{-1}$は有界である。▨

証明.$X\times Y$に$\|(x,y)\|:=\|x\|_X+\|y\|_Y$を入れる。$((x_n,y_n))$がこのノルムについて Cauchy 列ならば、$(x_n)$と$(y_n)$はそれぞれ$X$と$Y$の Cauchy 列である。完備性により$x_n\to x$、$y_n\to y$となり、$\|(x_n,y_n)-(x,y)\|=\|x_n-x\|_X+\|y_n-y\|_Y\to0$である。したがって$X\times Y$は Banach 空間である。$G(T)$は閉部分空間なので、§E12.1 命題 1.4によって Banach 空間である。第1座標への射影

は線形、全単射かつ有界である。定理 3.2により、$\pi^{-1}:x\mapsto(x,Tx)$は有界である。したがって、ある$C>0$が存在して

となる。よって$\|Tx\|_Y\leq C\|x\|_X$であり、$T$は有界である。▨