§E12.11コンパクト作用素

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。有界列$(x_n)$に対して$\|x_n\|\le C$となる$C>0$をとる。$C=0$なら全ての$n$について$x_n=0$であり、$(Tx_n)$は$0$へ収束する。$C>0$なら$Tx_n\in C\,T(B_X)$であり、その閉包はコンパクトである。距離空間ではコンパクト性と点列コンパクト性が同値なので、収束部分列が存在する。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$T(B_X)$の任意の列$(y_n)$に対して$y_n=Tx_n$、$x_n\in B_X$と書くことができる。仮定により$(y_n)$は収束部分列をもつ。したがって$T(B_X)$は相対点列コンパクトである。距離空間では相対点列コンパクト性と閉包のコンパクト性が同値なので、$\overline{T(B_X)}$はコンパクトである。▨

証明.$T(B_X)$は有限次元部分空間$\operatorname{Ran}T$の有界集合である。有限次元部分空間は閉じており、その中の有界閉集合はコンパクトであるから、$\overline{T(B_X)}$はコンパクトである。▨

証明.$X$の有界列$(x_n)$に対して、命題 1.2により$(Tx_n)$は収束部分列をもつ。その部分列へ連続な$A$を適用した列も収束するので、同じ特徴づけにより$AT$はコンパクトである。また、$Z$の有界列$(z_n)$に対して$(Bz_n)$は有界であるから、$(TBz_n)$は収束部分列をもつ。よって$TB$はコンパクトである。▨

証明. 有界列$(x_k)$をとり、$\|x_k\|\le C$とする。$T_1$のコンパクト性から部分列をとり、その部分列から$T_2$の像が収束する部分列をとる。この操作を続け、対角部分列$(x_{k_j})$をとると、各$n$について$(T_nx_{k_j})_j$は収束する。$\varepsilon>0$に対して、$2C\|T-T_n\|<\varepsilon/2$となる$n$を固定する。十分大きい$j,l$では$\|T_nx_{k_j}-T_nx_{k_l}\|<\varepsilon/2$なので

$Y$は完備であるから$(Tx_{k_j})$は収束する。命題 1.2により$T$はコンパクトである。▨

証明.$\Omega_m\uparrow\Omega$、$\mu(\Omega_m)<\infty$となる可測集合列をとる。任意の$K\in L^2(\mu\times\mu)$に対し、

とおく。$|K-K_m|^2\to0$がほとんど至る所で成り立ち、$|K-K_m|^2\le4|K|^2$であるから、§E9.7 定理 3.2により$K_m\to K$が$L^2$で成り立つ。したがって有限測度の長方形上の有界可測関数を近似すれば十分である。

$D=\Omega_m\times\Omega_m$を固定する。$D$の可測部分集合$E$で、$\mathbf1_E$が有限個の可測長方形の指示関数の線形包の$L^2$閉包に属するものの全体を$\mathcal D$とする。$D\in\mathcal D$であり、$E\in\mathcal D$なら$\mathbf1_{D\setminus E}=\mathbf1_D-\mathbf1_E$であるから$D\setminus E\in\mathcal D$である。また、互いに素な$E_n\in\mathcal D$に対し、有限和は同じ閉包に属し、

である。よって$\mathcal D$は$D$上の Dynkin 系である。可測長方形は共通部分で閉じた$\pi$系であり、$\mathcal D$に含まれる。§E9.1 定理 4.8により、$\mathcal D$は$D$の積 σ-加法族を全て含む。

有界可測関数は、実部と虚部を値の小区間に分けることにより、可測単関数で一様に近似することができる。$D$の測度は有限なので一様近似は$L^2$近似でもある。各単関数の指示関数を上の長方形指示関数で$L^2$近似すれば、$K_m$は有限個の$\mathbf1_A(x)\mathbf1_B(y)$の線形結合で近似される。$A,B\subseteq\Omega_m$は有限測度なので、$\mathbf1_A,\mathbf1_B\in L^2(\mu)$である。$m\to\infty$と対角的に近似を選べば主張を得る。▨

証明.$K$と$f$の可測代表元を一つずつ選ぶ。§E9.11 定理 2.3により、ほとんど全ての$x$について$K(x,\,\cdot\,)\in L^2(\mu)$である。そのような$x$では Cauchy–Schwarz の不等式により$K(x,\,\cdot\,)f\in L^1(\mu)$である。

$h(x,y)=K(x,y)f(y)$とおくと$h$は積 σ-加法族について可測である。実部と虚部の正部分および負部分に Tonelli の定理を適用すると、それぞれの$y$に関する積分は$x$の可測関数である。上で得た$h(x,\,\cdot\,)\in L^1(\mu)$により、これら四つの積分はほとんど全ての$x$で有限である。したがって$x\mapsto\int_\Omega h(x,y)\,d\mu(y)$は、例外集合上で$0$と定めれば可測関数になる。

$K'$が$K$と積空間上でほとんど至る所一致する別の代表元であるとする。$N=\{(x,y):K(x,y)\ne K'(x,y)\}$とおけば$(\mu\times\mu)(N)=0$である。Tonelli の定理を$\mathbf1_N$に適用すると、切断$N_x=\{y:(x,y)\in N\}$はほとんど全ての$x$について$\mu(N_x)=0$を満たす。したがって$K$と$K'$から得る積分はほとんど全ての$x$で一致する。また、$f=f'$がほとんど至る所で成り立つなら、$K(x,\,\cdot\,)\in L^2(\mu)$である全ての$x$について$K(x,\,\cdot\,)f$と$K(x,\,\cdot\,)f'$はほとんど至る所一致する。ゆえに、上の積分は$K$と$f$の代表元によらず、可測関数のほとんど至る所の同値類を定める。

さらに Cauchy–Schwarz の不等式から

両辺を$x$について積分すると$\|T_Kf\|_2\le\|K\|_2\|f\|_2$を得る。したがって、この同値類は$L^2(\mu)$に属する。積分の線形性により$T_K$は線形であり、この評価から$\|T_K\|\le\|K\|_2$である。

補題 2.1により、$K_N(x,y)=\sum_{j=1}^{r_N}a_{N,j}(x)b_{N,j}(y)$かつ$\|K-K_N\|_2\to0$となる列をとる。このとき

であるから$T_{K_N}$は有限階数であり、命題 1.3によりコンパクトである。上の評価を$K-K_N$に適用すると$\|T_K-T_{K_N}\|\le\|K-K_N\|_2\to0$となる。命題 1.5により$T_K$はコンパクトである。▨

証明.$u\in Z\setminus M$とし、$d=\operatorname{dist}(u,M)>0$とおく。$d\le\|u-m_0\|<d/\theta$を満たす$m_0\in M$をとり、$z=(u-m_0)/\|u-m_0\|$とする。任意の$m\in M$に対して

したがって$\|z\|=1$かつ$\operatorname{dist}(z,M)\ge d/\|u-m_0\|>\theta$である。▨

証明. 下からの評価が存在しないと仮定すると、$\|x_n\|=1$かつ$(\lambda I-T)x_n\to0$となる列をとることができる。$T$のコンパクト性により、部分列を取り直して$Tx_n\to y$としてよい。すると

$\|x\|=1$であり、連続性から$(\lambda I-T)x=0$となる。これは核の仮定に反する。

像が閉じていることを見るため、$\bigl((\lambda I-T)w_n\bigr)$が収束する列$(w_n)$をとる。上で得た下からの評価を差$w_n-w_m$に適用すると$(w_n)$は Cauchy 列であり、$X$の完備性からある$w\in X$へ収束する。$\lambda I-T$の連続性により$(\lambda I-T)w_n\to(\lambda I-T)w$となるので、収束先は$\lambda I-T$の像に属する。▨

証明.$A=\lambda I-T$とおく。$A$は$T$と可換である。命題 3.2により$R_1=A(X)$は閉じている。$R_n=A^n(X)$とおく。$R_n$は$T$で不変であり、$A|_{R_n}$は単射である。$T|_{R_n}$は、$R_n$から$X$への包含写像との合成として命題 1.4によりコンパクトなので、命題 3.2を Banach 空間$R_n$に適用すると、$R_{n+1}$は$R_n$で閉じている。帰納的に各$R_n$は$X$の閉部分空間である。

$A$が全射でないと仮定する。もし$R_n=R_{n+1}$となる$n$があれば、任意の$x\in X$に対して$A^nx=A^{n+1}y$となる$y\in X$が存在する。$A^n$の単射性から$x=Ay$となり、$A$は全射となるので矛盾する。したがって$R_{n+1}$は常に$R_n$の真部分空間である。

補題 3.1により、$x_n\in R_n$を$\|x_n\|=1$かつ$\operatorname{dist}(x_n,R_{n+1})>1/2$となるように選ぶ。$n>m$なら$x_n,Ax_n,Ax_m\in R_{m+1}$であるから

より$\|Tx_m-Tx_n\|>|\lambda|/2$である。これは$(Tx_n)$が収束部分列をもつというコンパクト性に反する。よって$A$は全射である。命題 3.2の評価により$A^{-1}$は有界である。▨

証明. まず$E_1$が無限次元であると仮定する。補題 3.1を有限段の線形包へ繰り返し適用すると、$E_1$に単位ベクトル列$(x_n)$で$\|x_n-x_m\|>1/2$を満たすものをとることができる。$Tx_n=\lambda x_n$なので$(Tx_n)$は収束部分列をもたず、矛盾する。よって$E_1$は有限次元である。

$A=\lambda I-T$とおく。$A:E_k\to E_{k-1}$の核は$E_1$である。$E_{k-1}$が有限次元なら、第1同型定理により$E_k/E_1$は$E_{k-1}$の部分空間と同型であるため$E_k$も有限次元である。帰納法により全ての$E_k$は有限次元である。

一度$E_n=E_{n-1}$となれば、$A^{n+1}x=0$に対して$Ax\in E_n=E_{n-1}$となるため$A^nx=0$であり、$E_{n+1}=E_n$となる。帰納的に、その後の鎖も全て等しい。したがって鎖が安定しないと仮定すると、$E_{n-1}$は$E_n$の真の閉部分空間である。補題 3.1により$x_n\in E_n$を$\|x_n\|=1$かつ$\operatorname{dist}(x_n,E_{n-1})>1/2$となるように選ぶ。$n>m$なら$x_m,Ax_m,Ax_n\in E_{n-1}$であるから

より$\|Tx_n-Tx_m\|>|\lambda|/2$となる。これは$T$のコンパクト性に反する。したがって鎖は安定し、その安定値が$E_\lambda^{\mathrm{alg}}$である。▨

証明.$\lambda\ne0$が固有値でないなら$\lambda I-T$は単射である。補題 3.3により有界な逆作用素をもつので、$\lambda\notin\sigma(T)$である。対偶により(1)を得る。(2)は補題 3.4である。

(3)を示す。これに反して、相異なる固有値$\lambda_n$が$|\lambda_n|\ge\varepsilon$を満たすと仮定する。対応する固有ベクトルを一つずつ選び、$M_n$を最初の$n$個の固有空間の和とする。相異なる固有値に属する固有ベクトルは線形独立なので$M_{n-1}$は$M_n$の真部分空間であり、各$M_n$は有限次元で閉じている。補題 3.1により、$y_n\in M_n$を$\|y_n\|=1$かつ$\operatorname{dist}(y_n,M_{n-1})>1/2$となるように選ぶことができる。この$y_n$は、$(\lambda_nI-T)y_n\in M_{n-1}$も満たすように、$M_n=M_{n-1}\oplus E_{\lambda_n}$の新しい成分を保って選ぶことができる。実際、商空間$M_n/M_{n-1}$上で$T$は$\lambda_n I$として作用する。

$n>m$なら$Ty_m\in M_m\subseteq M_{n-1}$かつ$(\lambda_nI-T)y_n\in M_{n-1}$なので

から$\|Ty_n-Ty_m\|>|\lambda_n|/2\ge\varepsilon/2$を得る。これはコンパクト性に反する。よって各$\varepsilon$に対する固有値は有限個である。非零固有値全体は$\bigcup_{k\ge1}\{\lambda:|\lambda|\ge1/k\}$に含まれるので高々可算であり、零以外に集積点をもたない。▨

証明.$\max(\|x\|,\|y\|)\le\|(x,y)\|_\mathbb C\le\|x\|+\|y\|$であるから、定義したノルムは直積ノルムと同値であり、$X_\mathbb C$は完備である。複素スカラー倍に対する斉次性は、$a+ib=re^{i\varphi}$と書き、上限の変数$\theta$を$\theta+\varphi$へ移すことによって確認することができる。

有界列$((x_n,y_n))$に対し、$(x_n)$と$(y_n)$はともに有界である。$T$のコンパクト性から、まず$(Tx_n)$が収束する部分列をとり、その部分列から$(Ty_n)$も収束する部分列をとる。この共通部分列で$T_\mathbb C(x_n,y_n)$は収束する。よって$T_\mathbb C$はコンパクトである。▨