可換 C* 環 | 関数解析入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 対合と C* 環

定義 1.1. 複素 Banach 環 $A$ （§E12.14 定義 1.1）上の写像 $a\mapsto a^*:A\to A$ が

任意の $\alpha,\beta\in\mathbb C$ と $a,b\in A$ に対して $(\alpha a+\beta b)^*=\bar\alpha a^*+\bar\beta b^*$ である。
任意の $a,b\in A$ に対して $(ab)^*=b^*a^*$ である。
任意の $a\in A$ に対して $a^{**}=a$ である。

を満たすとき、この写像を $A$ 上の対合 (involution) といい、対合を備えた複素 Banach 環をBanach *-環 (Banach star-algebra) という。

定義 1.2. Banach *-環 $A$ が、任意の $a\in A$ に対して

\|a^*a\|=\|a\|^2

（C* 恒等式 (C*-identity)）を満たすとき、 $A$ をC* 環 (C*-algebra) という。

例 1.3. $K$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間とし、 $C(K)$ に各点ごとの積、複素共役 $f^*(x):=\overline{f(x)}$ による対合、上限ノルムを入れる。加法・積・対合の各公理は各点ごとの $\mathbb C$ 上の演算の性質から直ちに従い、§E12.1 定理 3.3により $(C(K),\|\cdot\|_\infty)$ は Banach 空間である。任意の $f\in C(K)$ に対して

\|f^*f\|_\infty=\sup_{x\in K}|f(x)|^2=\left(\sup_{x\in K}|f(x)|\right)^2=\|f\|_\infty^2

であるから、 $C(K)$ は可換 C* 環である。

複素 Hilbert 空間 $H$ 上の有界線形作用素の全体 $B(H)$ （§E12.2 定義 1.1）に、作用素の合成を積、 $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$ （ $x,y\in H$ ）で定まる共役作用素 $T\mapsto T^*$ を対合、作用素ノルムを入れると、 $B(H)$ は C* 環になる。この主張は本記事では証明せず、有界作用素論の標準的な結果として参考文献の Murphy, C*-Algebras and Operator Theory へ委ねる。この対合のもとで、 $T\in B(H)$ が§E12.12 定義 1.1の意味で自己共役作用素であること、すなわち $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ （ $x,y\in H$ ）が成り立つことは、共役作用素の定義式により $\langle x,T^*y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ （ $x,y\in H$ ）と書き直せるので、内積の正定値性から $T=T^*$ であることと同値である。 $H=\mathbb C^2$ （標準的な内積）の場合、 $S:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ の共役作用素は $S^*=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ であり、

SS^*=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad S^*S=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

は互いに異なるから、 $B(H)$ は可換であるとは限らない。可換であるとは限らない C* 環の元の表現論は本単元では扱わない。

補題 1.4. C* 環 $A$ の任意の元 $a$ に対して $\|a^*\|=\|a\|$ である。

証明. $a=0$ のときは両辺が $0$ であるから成り立つ。 $a\neq0$ とする。C* 恒等式とノルムの劣乗法性から

\|a\|^2=\|a^*a\|\leq\|a^*\|\,\|a\|

であり、 $\|a\|>0$ で両辺を割ると $\|a\|\leq\|a^*\|$ を得る。この不等式を $a^*$ に適用すると、 $\|a^*\|\leq\|a^{**}\|=\|a\|$ を得る。したがって $\|a\|=\|a^*\|$ である。▨

定義 1.5. $A$ と $B$ を Banach *-環（定義 1.1）とする。写像 $\pi:A\to B$ が線形かつ乗法的であり、さらに任意の $a\in A$ に対して

\pi(a^*)=\pi(a)^*

を満たすとき、 $\pi$ を*-準同型 (*-homomorphism) という。この最後の等式が成り立つことを、 $\pi$ が対合を保つという。全単射な *-準同型を*-同型 (*-isomorphism) という。

$A$ と $B$ がそれぞれ単位元をもち、 $\pi$ が $A$ の単位元を $B$ の単位元へ写すとき、 $\pi$ は単位元を保つという。任意の $a\in A$ に対して $\|\pi(a)\|=\|a\|$ が成り立つとき、 $\pi$ は等長であるという。これらは *-準同型であることに加えて課す条件であり、単位元を保つ *-準同型、等長な *-準同型と呼び分ける。

2 元の分類

定義 2.1. Banach *-環 $A$ の元 $a$ について、

$a=a^*$ を満たすとき、 $a$ を自己共役元 (self-adjoint element) という。
$a^*a=aa^*$ を満たすとき、 $a$ を正規元 (normal element) という。

$A$ が単位的であるとき、元 $u\in A$ が $u^*u=uu^*=1$ を満たすならば、 $u$ をユニタリ元 (unitary element) という。

補題 2.2. 単位的 Banach *-環 $A$ の単位元 $1$ は自己共役である。

証明. 任意の $a\in A$ に対して $1a=a=a1$ であるから、対合をとると $a^*1^*=a^*=1^*a^*$ を得る。対合 $*:A\to A$ は $a^{**}=a$ より全単射であるから、 $a$ が $A$ 全体を動くとき $a^*$ も $A$ 全体を動く。したがって、任意の $b\in A$ に対して $b1^*=b=1^*b$ が成り立ち、 $1^*$ は $A$ の単位元である。単位元の一意性から $1^*=1$ である。▨

補題 2.3. Banach *-環 $A$ の任意の元 $x$ に対して、 $x^*x$ は自己共役である。

証明. $(x^*x)^*=x^*x^{**}=x^*x$ である。▨

3 正規元のスペクトル半径

定理 3.1. $A$ を単位的 C* 環とする。 $a\in A$ が正規元ならば、

r(a)=\|a\|

である。

証明. 正規元 $c\in A$ について、 $c^2$ は正規である。実際、正規性 $c^*c=cc^*$ から

(c^2)^*c^2=c^{*2}c^2=c^*(c^*c)c=c^*(cc^*)c=(c^*c)(c^*c)

であり、同様に

c^2(c^2)^*=c^2c^{*2}=c(cc^*)c^*=c(c^*c)c^*=(cc^*)(cc^*)=(c^*c)(c^*c)

であるから、 $(c^2)^*c^2=c^2(c^2)^*$ となる。したがって $a$ が正規ならば、 $a^{2^n}$ （ $n\geq0$ ）は帰納的にすべて正規である。

正規元 $c\in A$ について $\|c^2\|=\|c\|^2$ が成り立つ。実際、C* 恒等式を $c^2$ に適用すると $\|c^2\|^2=\|(c^2)^*c^2\|$ であり、上の計算により $(c^2)^*c^2=(c^*c)^2$ である。補題 2.3により $c^*c$ は自己共役であるから、C* 恒等式を元 $c^*c$ に適用すると

\|(c^*c)^2\|=\|(c^*c)^*(c^*c)\|=\|c^*c\|^2

であり、さらに C* 恒等式を $c$ に適用すると $\|c^*c\|=\|c\|^2$ である。以上を合わせると $\|c^2\|^2=\|(c^*c)^2\|=\|c^*c\|^2=\|c\|^4$ となるので、両辺の非負平方根をとると $\|c^2\|=\|c\|^2$ を得る。

$a$ を正規元とする。 $a^{2^n}$ は各 $n\geq0$ について正規であるから、上の等式を $c=a^{2^n}$ に繰り返し適用すると、各 $n\geq0$ について

\|a^{2^{n+1}}\|=\|(a^{2^n})^2\|=\|a^{2^n}\|^2

が成り立ち、帰納的に $\|a^{2^n}\|=\|a\|^{2^n}$ を得る。§E12.14 定理 3.3により極限 $r(a)=\lim_{k\to\infty}\|a^k\|^{1/k}$ が存在するので、部分列 $k=2^n$ に沿った極限もこれに一致し、

r(a)=\lim_{n\to\infty}\|a^{2^n}\|^{1/2^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\|a\|^{2^n}\right)^{1/2^n}=\|a\|

である。▨

系 3.2. $B$ を単位元をもつ複素 *-多元環とする。 $B$ を C* 環にするノルム、すなわち劣乗法的で C* 恒等式 $\|x^*x\|=\|x\|^2$ を満たし $B$ を完備にするノルムは、存在すれば一つしかない。

証明. $B=\{0\}$ のとき $B$ 上のノルムは零写像に限られるので、主張は自明である。以下 $B\neq\{0\}$ とする。 $\|\cdot\|_1$ と $\|\cdot\|_2$ を $B$ を C* 環にするノルムとし、 $i=1,2$ とする。 $B$ の単位元 $1$ について $1^*1=1^*$ であるから、C* 恒等式により $\|1\|_i^2=\|1^*1\|_i=\|1^*\|_i$ であり、補題 1.4により $\|1^*\|_i=\|1\|_i$ である。 $B\neq\{0\}$ から $1\neq0$ であり $\|1\|_i>0$ であるので、 $\|1\|_i=1$ である。したがって $(B,\|\cdot\|_i)$ は単位的な C* 環である。

$x\in B$ をとり $y:=x^*x$ とおく。複素数 $\mu$ に対して $\mu1-y$ が可逆であるかどうかは環 $B$ の乗法構造だけで定まり、ノルムには依存しない（§E12.14 定義 2.1）。したがって $\sigma(y)$ は $\|\cdot\|_1$ 、 $\|\cdot\|_2$ のどちらの C* 環構造で計算しても同じ部分集合であり、§E12.14 定理 3.3の $r(y)=\max\{|\mu|:\mu\in\sigma(y)\}$ により $r(y)$ の値も共通である。

補題 2.3により $y$ は自己共役であり、したがって正規元である。定理 3.1を $(B,\|\cdot\|_1)$ と $(B,\|\cdot\|_2)$ のそれぞれへ適用すると

\|y\|_1=r(y)=\|y\|_2

である。C* 恒等式を $\|\cdot\|_1$ と $\|\cdot\|_2$ のそれぞれへ適用すると $\|x\|_1^2=\|y\|_1$ と $\|x\|_2^2=\|y\|_2$ であるから、

\|x\|_1^2=\|y\|_1=\|y\|_2=\|x\|_2^2

であり、両辺は非負であるから $\|x\|_1=\|x\|_2$ である。 $x\in B$ は任意であったから、 $\|\cdot\|_1=\|\cdot\|_2$ である。▨

4 可換 C* 環の指標

定理 4.1. $A$ を単位的可換 C* 環とする。 $a\in A$ が自己共役元ならば、 $\sigma(a)\subseteq\mathbb R$ である。

証明. $\lambda=\alpha+i\beta\in\sigma(a)$ （ $\alpha,\beta\in\mathbb R$ ）をとる。 $t\in\mathbb R$ を任意にとる。複素数 $z$ に対して

z1-(a+it1)=(z-it)1-a

であるから、 $z\in\sigma(a+it1)$ であることと $z-it\in\sigma(a)$ であることは同値である。 $z=\alpha+i(\beta+t)$ とおくと $z-it=\lambda\in\sigma(a)$ であるから、 $\alpha+i(\beta+t)\in\sigma(a+it1)$ である。

§E12.14 定理 2.5により $\sigma(a+it1)\subseteq\{\mu\in\mathbb C:|\mu|\leq\|a+it1\|\}$ であるから、

\alpha^2+(\beta+t)^2=|\alpha+i(\beta+t)|^2\leq\|a+it1\|^2

である。 $a$ は自己共役であり、補題 2.2により $1^*=1$ であるから $(a+it1)^*=a^*-it1^*=a-it1$ であり、C* 恒等式から

\|a+it1\|^2=\|(a+it1)^*(a+it1)\|=\|(a-it1)(a+it1)\|=\|a^2+t^21\|

である。三角不等式と $\|1\|=1$ から $\|a^2+t^21\|\leq\|a^2\|+t^2$ であり、 $a$ が自己共役であることから C* 恒等式により $\|a^2\|=\|a^*a\|=\|a\|^2$ である。したがって

\|a+it1\|^2\leq\|a\|^2+t^2

である。

以上を合わせると、任意の $t\in\mathbb R$ について

\alpha^2+\beta^2+2\beta t+t^2\leq\|a\|^2+t^2, \qquad\text{すなわち}\qquad \alpha^2+\beta^2+2\beta t\leq\|a\|^2

である。 $\beta\neq0$ と仮定すると、 $\beta>0$ のとき $t\to+\infty$ で、 $\beta<0$ のとき $t\to-\infty$ で左辺 $\alpha^2+\beta^2+2\beta t$ は $+\infty$ に発散し、右辺の有界性に反する。したがって $\beta\neq0$ という仮定は誤りであり、 $\beta=0$ である。よって $\lambda=\alpha\in\mathbb R$ であり、 $\sigma(a)\subseteq\mathbb R$ である。▨

定理 4.2. $A$ を単位的可換 C* 環とする。 $A$ の零でない指標 $\varphi$ は、任意の $a\in A$ に対して

\varphi(a^*)=\overline{\varphi(a)}

を満たす。

証明. $h:=\dfrac{a+a^*}2$ 、 $k:=\dfrac{a-a^*}{2i}$ とおく。共役線形性 $(\lambda x)^*=\bar\lambda x^*$ と対合性 $a^{**}=a$ から

h^*=\left(\frac{a+a^*}2\right)^*=\frac{a^*+a}2=h, \qquad k^*=\left(\frac1{2i}(a-a^*)\right)^*=-\frac1{2i}(a^*-a)=\frac1{2i}(a-a^*)=k

であるから、 $h,k$ はいずれも自己共役元である。また $h+ik=\dfrac{a+a^*}2+\dfrac{a-a^*}2=a$ であり、 $h-ik=\dfrac{a+a^*}2-\dfrac{a-a^*}2=a^*$ である。

$A$ は単位的可換 C* 環であるから、定理 4.1により $\sigma(h)\subseteq\mathbb R$ かつ $\sigma(k)\subseteq\mathbb R$ である。§E12.14 系 4.7 (2)により $\varphi(h)\in\sigma(h)$ かつ $\varphi(k)\in\sigma(k)$ であるから、 $\varphi(h),\varphi(k)\in\mathbb R$ である。

$\varphi$ の線形性から $\varphi(a)=\varphi(h)+i\varphi(k)$ であり、

\varphi(a^*)=\varphi(h-ik)=\varphi(h)-i\varphi(k)=\overline{\varphi(h)+i\varphi(k)}=\overline{\varphi(a)}

である。ここで最後から二番目の等号は $\varphi(h),\varphi(k)\in\mathbb R$ による。▨

注意 4.3. 本節までの主張はすべて単位元をもつ場合について述べた。単位元をもたない C* 環には、このままではスペクトル自体が定義されない。

5 演習

問題 5.1. $A$ を単位的 C* 環とし、 $u\in A$ をユニタリ元とする。 $\sigma(u)\subseteq\{\lambda\in\mathbb C:|\lambda|=1\}$ であることを証明せよ。

解答.

$u^*u=1$ であるから、C* 恒等式より $\|u\|^2=\|u^*u\|=\|1\|=1$ であり $\|u\|=1$ である。 $u^*u=uu^*=1$ より $u$ は正規元であるから、定理 3.1により $r(u)=\|u\|=1$ である。したがって任意の $\lambda\in\sigma(u)$ について $|\lambda|\leq1$ である。

$u^*u=uu^*=1$ より $u^*=u^{-1}$ であり、 $u^{-1}$ もユニタリ元であるから同じ議論により $r(u^{-1})=1$ である。 $\lambda\in\sigma(u)$ とする。 $u$ は可逆であるから $\lambda\neq0$ である。等式

u^{-1}(\lambda1-u)=\lambda u^{-1}-1=-\lambda(\lambda^{-1}1-u^{-1})

において、 $\lambda^{-1}1-u^{-1}$ が可逆であると仮定すると、右辺は可逆なスカラー $-\lambda$ と可逆元 $\lambda^{-1}1-u^{-1}$ の積として可逆であり、左辺 $u^{-1}(\lambda1-u)$ も可逆である。 $u^{-1}$ が可逆であることから $\lambda1-u=u\cdot u^{-1}(\lambda1-u)$ も可逆元の積として可逆になり、 $\lambda\in\sigma(u)$ に反する。したがって $\lambda^{-1}1-u^{-1}$ は可逆でなく、 $\lambda^{-1}\in\sigma(u^{-1})$ である。よって $|\lambda^{-1}|\leq r(u^{-1})=1$ 、すなわち $|\lambda|\geq1$ である。

問題 5.2. $A$ を単位的可換 C* 環とし、 $\theta:A\to A$ を *-同型（定義 1.5）、すなわち全単射であって線形、乗法的、対合を保つ写像とする。任意の $a\in A$ について $\|\theta(a)\|=\|a\|$ であること、すなわち $\theta$ が等長であることを証明せよ。

解答.

\|ab\|'=\|\theta(a)\theta(b)\|\leq\|\theta(a)\|\,\|\theta(b)\|=\|a\|'\|b\|'

であり、対合を保つことから

\|a^*a\|'=\|\theta(a^*a)\|=\|\theta(a)^*\theta(a)\|=\|\theta(a)\|^2=\|a\|'^2

であるから $\|\cdot\|'$ は C* 恒等式を満たす。 $\theta$ は環の自己同型であるから、任意の $a\in A$ について $\theta(1)\theta(a)=\theta(1\cdot a)=\theta(a)$ であり、 $\theta$ の全射性から $\theta(1)$ は $A$ の単位元として作用し、単位元の一意性から $\theta(1)=1$ である。したがって $\|1\|'=\|\theta(1)\|=\|1\|=1$ である。

$(A,\|\cdot\|')$ の Cauchy 列 $(a_n)$ をとる。 $\|a_n-a_m\|'=\|\theta(a_n)-\theta(a_m)\|\to0$ であるから $(\theta(a_n))$ は $(A,\|\cdot\|)$ の Cauchy 列であり、その極限を $b$ とする。 $\theta$ の全単射性から $a:=\theta^{-1}(b)$ が定まり、 $\|a_n-a\|'=\|\theta(a_n)-b\|\to0$ である。したがって $(A,\|\cdot\|')$ は完備であり、 $\|\cdot\|'$ は $A$ を単位的可換 C* 環にするノルムである。

系 3.2により $\|\cdot\|'=\|\cdot\|$ であるから、任意の $a\in A$ について $\|\theta(a)\|=\|a\|'=\|a\|$ である。▨

問題 5.3. $K$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間とし、 $C(K)$ を例 1.3の可換 C* 環とする。 $f\in C(K)$ について、次を証明せよ。

$f$ が自己共役元であることと、 $f$ が実数値であることは同値である。
$C(K)$ の元はすべて正規元である。
$f$ がユニタリ元であることと、 $f$ が $K$ の各点で絶対値 $1$ の値をとることは同値である。

解答.

(1)を示す。 $f$ が自己共役であるとは $f^*=f$ であること、すなわち任意の $x\in K$ について $\overline{f(x)}=f(x)$ であることであり、これは任意の $x\in K$ について $f(x)\in\mathbb R$ であることと同値である。

(2)を示す。 $C(K)$ の積は各点ごとの積であり、 $\mathbb C$ の乗法は可換であるから、任意の $f,g\in C(K)$ について $fg=gf$ である。とくに任意の $f\in C(K)$ について $f^*f=ff^*$ が成り立ち、 $f$ は正規元である。

(3)を示す。 $f$ がユニタリ元であるとは $f^*f=ff^*=1$ （ $1$ は定数関数 $1$ ）であることであり、各点で評価すると任意の $x\in K$ について $\overline{f(x)}f(x)=1$ 、すなわち $|f(x)|^2=1$ となる。これは任意の $x\in K$ について $|f(x)|=1$ であることと同値である。▨

§E12.15可換 C* 環

1 対合と C* 環

2 元の分類

3 正規元のスペクトル半径

4 可換 C* 環の指標

5 演習

参考文献

前提記事