§E12.6L^p 空間の双対性

証明.$x=0$の場合は両辺が$0$である。$x\neq0$とし、$y=x/\|x\|_p$と置くと、各$n$について$|y_n|\leq1$である。$q<\infty$なら$|y_n|^q\leq|y_n|^p$なので$\|y\|_q^q\leq\|y\|_p^p=1$である。$q=\infty$なら$\|y\|_\infty\leq1$である。斉次性により結論を得る。▨

証明.$A\subset E$なる可測集合は$\mu(A)\leq\mu(E)<\infty$を満たすので$\mathbf{1}_A\in L^p(\mu)$であり、

と置くことができる。$A_1,A_2,\ldots\subset E$が互いに交わらないとき、

最後の収束は$\mu(E)<\infty$と測度の下からの連続性による。$F$の連続性から$\nu(\bigcup_kA_k)=\sum_k\nu(A_k)$であり、$\nu$は有限値の複素測度である。また$\mu(A)=0$なら$\mathbf{1}_A$は$L^p$の零元なので、$\nu\ll\mu|_E$である。

$\operatorname{Re}\nu$と$\operatorname{Im}\nu$は有限符号付き測度である。Jordan 分解§E9.14 定理 4.2によって

と有限正測度の差に書く。$\mu(A)=0$なら$A$のすべての可測部分集合$B$について$\nu(B)=0$である。Jordan 分解の公式$\nu^+(A)=\sup_{B\subset A}\nu(B)$を実部と虚部に適用すると、各$\nu_j$も$\mu|_E$に関して絶対連続である。正測度版 Radon–Nikodym の定理§E9.15 定理 3.3により、非負可積分関数$h_j$が存在して

となる。したがって

と置けば、すべての可測集合$A\subset E$について$F(\mathbf{1}_A)=\int_Ah\,d\mu$が成り立つ。▨

証明. 各$m$に補題 1.3を適用し、$E_m$上の可積分関数$h_m$で、$E_m$に含まれるすべての可測集合$A$について

を満たすものを取る。

$m<n$なら$h_m$と$h_n|_{E_m}$は同じ複素測度を表す。可積分な複素関数$u$がすべての可測集合$A$について$\int_Au\,d\mu=0$を満たすなら、$\operatorname{Re}u$と$\operatorname{Im}u$の正の部分が正である集合および負である集合へ順に適用して$u=0$がほとんど至る所で成り立つ。したがって$h_n=h_m$が$E_m$上のほとんど至る所で成り立つ。可算個の零集合上で代表元を修正し、$h_{m+1}=h_m$が$E_m$上で成り立つとしてよい。$E_0=\emptyset$とし、

と置く。このとき$g=h_m$が$E_m$上のほとんど至る所で成り立ち、$g\mathbf{1}_{E_m}$は可積分である。

式 (1) の線形性により、$E_m$に台をもつ単関数$s$について

さらに、$E_m$に台をもつ有界可測関数は一様に単関数で近似することができる。$\mu(E_m)<\infty$なので近似は$L^p$でも収束し、$g|_{E_m}\in L^1$なので積分側も収束する。したがって (2) は$E_m$に台をもつ有界可測関数についても成り立つ。▨

証明. まず$1<p<\infty$とする。$g(x)\neq0$のとき$\operatorname{sgn}g(x)=g(x)/|g(x)|$とし、$g(x)=0$のとき$0$とする。各$m,k$に対して

は$E_m$に台をもつ有界関数である。仮定した表示と$(q-1)p=q$により、

$A_{m,k}=0$の場合も含めて$A_{m,k}^{1/q}\leq\|F\|$である。$k\to\infty$、次に$m\to\infty$とし、単調収束定理を用いると、$g\in L^q(\mu)$であり$\|g\|_q\leq\|F\|$である。

次に$p=1$とする。ある$\varepsilon>0$に対して$A=E_m\cap\{|g|>\|F\|+\varepsilon\}$が正の測度をもつと仮定する。$u=\mathbf{1}_A\overline{\operatorname{sgn}g}$を仮定した表示に代入すると

となり矛盾する。したがって、すべての$m$について$|g|\leq\|F\|$が$E_m$上のほとんど至る所で成り立ち、$g\in L^\infty(\mu)$であり$\|g\|_\infty\leq\|F\|$である。$p=1$の共役指数は$q=\infty$なので、いずれの場合も$g\in L^q(\mu)$と$\|g\|_q\leq\|F\|$を得る。▨

証明.$g\in L^q(\mu)$とする。定理 1.1により

なので、$\Phi_g\in(L^p)^*$かつ$\|\Phi_g\|\leq\|g\|_q$である。

$F\in(L^p)^*$を固定する。σ-有限性により、$E_m\uparrow X$、$\mu(E_m)<\infty$を満たす可測集合の増大列を選ぶことができる。補題 1.4により、いずれかの$E_m$に台をもつ有界可測関数$u$について

を満たす可測関数$g$を取ることができる。この$g$に補題 1.5を適用すると、$g\in L^q(\mu)$であり$\|g\|_q\leq\|F\|$である。

$f\in L^p$を任意に取る。§E9.13 定理 2.2と切断$f\mathbf{1}_{E_m}$により、有限測度集合に台をもつ$L^p$単関数列$s_n$で$s_n\to f$が$L^p$ノルムについて成り立つものを取ることができる。補題 1.4の表示、$F$の連続性、および Hölder の不等式から

よって$F=\Phi_g$であり、全射性が示された。補題 1.5の評価と最初の有界性を組み合わせると

である。特に$\Phi_g=0$なら$g$は$L^q$の零元なので単射でもある。線形性は積分の線形性から従う。▨

証明.$q=p/(p-1)$とする。定理 1.6の等長全単射を$D_p:L^q\to(L^p)^*$、$D_pg=\Phi_g$と書く。$\Lambda\in(L^p)^{**}$に対し

と置くと、$H\in(L^q)^*$である。同じ双対定理を指数$q$に適用すると、ある$h\in L^p$が存在して

となる。したがって、すべての$g\in L^q$について$\Lambda(D_pg)=(J_{L^p}h)(D_pg)$である。$D_p$は全射なので$\Lambda=J_{L^p}h$であり、標準埋め込みは全射である。▨

証明.$x\in\ell^\infty(\mathbb R)$に対して

と置く。上極限の性質により、$P(x+y)\leq P(x)+P(y)$かつ$t\geq0$に対して$P(tx)=tP(x)$なので、$P$は実線形空間上の劣線形汎関数である。収束数列の部分空間$c$上で$L_0(x)=\lim_nx_n$と置くと、$L_0(x)=P(x)$である。劣線形汎関数による Hahn–Banach の定理§E12.3 定理 1.2により、$L_0$は$L:\ell^\infty(\mathbb R)\to\mathbb R$へ延長され、$L(x)\leq P(x)$を満たす。

(3)を示す。$P(Sx-x)=P(x-Sx)=0$である。実際、最初の$N$項の平均はそれぞれ$(x_{N+1}-x_1)/N$と$(x_1-x_{N+1})/N$であり、$0$に収束する。したがって$L(Sx-x)\leq0$と$L(x-Sx)\leq0$から$L(Sx)=L(x)$を得る。

(1)を示す。$x\geq0$なら$P(-x)\leq0$なので$-L(x)=L(-x)\leq0$、すなわち$L(x)\geq0$である。

(4)を示す。$L$は$L_0$を延長するので、収束数列上では通常の極限に一致する。

(2)を示す。$L(\mathbf{1})=1$である。

任意の実数列$x$について$-\|x\|_\infty\mathbf{1}\leq x\leq\|x\|_\infty\mathbf{1}$である。正値性と線形性から$|L(x)|\leq\|x\|_\infty$なので$\|L\|\leq1$であり、$L(\mathbf{1})=1$から$\|L\|=1$である。▨

証明.$L_{\mathbb C}=I(a)$となる$a\in\ell^1$が存在したと仮定する。標準基底$e_n$に対し、左シフトは$Se_1=0$、$Se_{n+1}=e_n$を満たす。シフト不変性から$L_{\mathbb C}(e_1)=0$であり、帰納的にすべての$n$について$L_{\mathbb C}(e_n)=0$である。一方、$I(a)(e_n)=a_n$なので$a=0$となる。しかし$I(0)(\mathbf{1})=0$は$L_{\mathbb C}(\mathbf{1})=1$に矛盾する。▨