接線の条件から決まる曲線 | 受験微積分

1 接線・法線と、座標軸との交点

はじめに、条件を書き直すときに用いる式を並べます。

公式 1.1 (接線・法線と座標軸との交点). $f$ を微分可能な関数とし、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ （ $y=f(x)$ ）をとる。 $y'=f'(x)$ と書くと、 $\mathrm{P}$ における接線は、動点の座標を $(X,Y)$ として

Y - y = y'(X-x)

である。この接線と $y$ 軸の交点の $Y$ 座標は $y-xy'$ である。 $y'\ne0$ のとき、この接線と $x$ 軸の交点の $X$ 座標は $x-\dfrac{y}{y'}$ である。また、 $y'\ne0$ のとき $\mathrm{P}$ における法線は

Y-y = -\frac{1}{y'}(X-x)

である。

証明. 接線の方程式は、点 $\mathrm{P}$ を通り傾きが $f'(x)$ である直線の方程式です。 $X=0$ を代入すると $Y = y - xy'$ が得られます。 $y'\ne0$ のとき、 $Y=0$ を代入すると $-y = y'(X-x)$ から $X = x-\dfrac{y}{y'}$ が得られます。法線は $\mathrm{P}$ を通り接線に垂直な直線なので、 $y'\ne0$ のとき、その傾きは $-\dfrac{1}{y'}$ です。▨

$y'=0$ のとき、接線は $x$ 軸に平行なので、 $x$ 軸との交点はありません（接線が $x$ 軸そのものである場合を除きます）。このとき法線は $y$ 軸に平行な直線 $X=x$ です。

2 接線が座標軸から切り取る線分を接点が二等分する曲線

定理 2.1 (条件の書き直し). $f$ を微分可能な関数とし、 $x>0$ の範囲で $f(x)>0$ 、 $f'(x)\ne0$ とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $\mathrm{Q}$ 、 $y$ 軸と交わる点を $\mathrm{R}$ とする。 $x>0$ のすべての $x$ について $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{QR}$ の中点であることは、 $x>0$ のすべての $x$ について

y' = -\frac{y}{x}

が成り立つことと同値である。

証明.公式 1.1により $\mathrm{Q}\left(x-\dfrac{y}{y'},\ 0\right)$ 、 $\mathrm{R}(0,\ y-xy')$ です。線分 $\mathrm{QR}$ の中点は $\left(\dfrac12\left(x-\dfrac{y}{y'}\right),\ \dfrac12(y-xy')\right)$ なので、これが $\mathrm{P}(x,y)$ に等しいことは

x-\frac{y}{y'} = 2x \quad \text{かつ} \quad y-xy' = 2y

と同値です。第一の等式は $-\dfrac{y}{y'} = x$ 、すなわち $xy' = -y$ と同値であり、第二の等式は $-xy' = y$ 、すなわち $xy' = -y$ と同値です。二つは同じ条件です。 $x>0$ なので、これは $y' = -\dfrac{y}{x}$ と同値です。▨

定理 2.2 (条件を満たす曲線). $f$ を $x>0$ で微分可能とし、 $x>0$ で $f(x)>0$ とする。 $x>0$ のすべての $x$ について $f'(x) = -\dfrac{f(x)}{x}$ が成り立つことは、正の定数 $c$ が存在して $x>0$ のすべての $x$ について $xf(x)=c$ が成り立つことと同値である。

証明. $f'(x) = -\dfrac{f(x)}{x}$ とします。 $f(x)>0$ なので両辺を $f(x)$ で割ることができ、

\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac1x

です。 $x>0$ 、 $f(x)>0$ なので、両辺を $x$ について積分すると、ある定数 $C$ について $\log f(x) = -\log x + C$ です。両辺の指数をとると $f(x) = \dfrac{e^{C}}{x}$ であり、 $c = e^{C}>0$ と置くと $xf(x)=c$ です。

逆に $xf(x)=c$ （ $c>0$ ）とすると $f(x)=\dfrac{c}{x}$ であり、 $f'(x) = -\dfrac{c}{x^2} = -\dfrac{f(x)}{x}$ です。▨

得られた曲線をもとの図形的な条件へ戻して確かめます。

例 2.3 (双曲線がもとの条件を満たすこと). $c>0$ とし、 $x>0$ で $y=\dfrac{c}{x}$ とします。 $y'=-\dfrac{c}{x^2}$ であり、 $x>0$ では $y>0$ 、 $y'\ne0$ なので定理 2.1の仮定が満たされます。公式 1.1により、接線と $x$ 軸の交点の $X$ 座標は

x - \frac{y}{y'} = x - \frac{c/x}{-c/x^2} = x + x = 2x

であり、接線と $y$ 軸の交点の $Y$ 座標は

y - xy' = \frac{c}{x} + \frac{c}{x} = 2y

です。 $\mathrm{Q}(2x,0)$ 、 $\mathrm{R}(0,2y)$ の中点は $(x,y)$ であり、接点に一致します。

注意 2.4 (微分方程式の解のうち、条件を満たさないもの).定理 2.2の証明では、両辺を $f(x)$ で割った。この操作は $f(x)=0$ となる $x$ を除外している。実際、恒等的に $0$ である関数は $f'(x) = -\dfrac{f(x)}{x}$ を満たすので、微分方程式の解である。しかし、この関数のグラフは $x$ 軸そのものであり、各点における接線も $x$ 軸である。この接線は $x$ 軸と交わる1点をもたず、 $y$ 軸とは原点で交わるだけなので、線分 $\mathrm{QR}$ が定まらない。したがって、この解はもとの図形的な条件を満たさない。

微分方程式の解であることと、もとの図形的な条件を満たすことは、同じではない。書き直しの段階で $f(x)>0$ と $f'(x)\ne0$ を仮定しているので、その仮定を満たさない解については、もとの条件に戻って判定する。

3 法線が原点を通る曲線

定理 3.1 (条件の書き直し). $f$ を区間 $I$ で微分可能とし、 $I$ のすべての $x$ について $f'(x)\ne0$ とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ における法線が原点を通ることが $I$ のすべての $x$ について成り立つことは、 $I$ のすべての $x$ について

y\,y' = -x

が成り立つことと同値である。

証明.公式 1.1により、 $\mathrm{P}$ における法線は $Y-y = -\dfrac{1}{y'}(X-x)$ です。 $(X,Y)=(0,0)$ を代入すると

-y = -\frac{1}{y'}(-x) = \frac{x}{y'}

です。 $y'\ne0$ なので両辺に $y'$ を掛けて $-yy' = x$ 、すなわち $yy'=-x$ を得ます。逆に $yy'=-x$ が成り立てば、この計算を逆にたどって、原点が法線上にあることが分かります。▨

定理 3.2 (条件を満たす曲線). $f$ を区間 $I$ で微分可能とする。 $I$ のすべての $x$ について $f(x)f'(x) = -x$ が成り立つことは、定数 $c$ が存在して $I$ のすべての $x$ について $x^2+\{f(x)\}^2 = c$ が成り立つことと同値である。

証明. $g(x) = x^2+\{f(x)\}^2$ と置くと、 $g$ は微分可能で

g'(x) = 2x + 2f(x)f'(x)

です。したがって、 $I$ のすべての $x$ について $f(x)f'(x)=-x$ であることは、 $I$ のすべての $x$ について $g'(x)=0$ であることと同値です。 $I$ は区間なので、これは $g$ が $I$ で定数関数であることと同値です。▨

この計算では両辺を割っていないので、割り算によって解が失われることはありません。代わりに、得られた式が曲線を表す条件を確かめる必要があります。

例 3.3 (原点を中心とする円). $c>0$ とし、 $y = \sqrt{c-x^2}$ （ $-\sqrt c < x < \sqrt c$ ）とします。この範囲で $y>0$ であり、

y' = \frac{-x}{\sqrt{c-x^2}} = -\frac{x}{y}

なので $yy'=-x$ が成り立ちます。 $x\ne0$ のとき $y'\ne0$ であり、法線の方程式 $Y-y = -\dfrac{1}{y'}(X-x) = \dfrac{y}{x}(X-x)$ に $(X,Y)=(0,0)$ を代入すると $-y = -y$ となるので、法線は原点を通ります。

$x=0$ のときは $y'=0$ なので、法線は $y$ 軸に平行な直線 $X=0$ 、すなわち $y$ 軸そのものであり、やはり原点を通ります。したがって、この曲線は $-\sqrt c<x<\sqrt c$ のすべての点で条件を満たします。

注意 3.4 (曲線がグラフで表されない点).定理 3.1と定理 3.2は、曲線が $y=f(x)$ の形で表され、 $f$ が微分可能であることを仮定している。円 $x^2+y^2=c$ の全体はこの形ではなく、上半分 $y=\sqrt{c-x^2}$ と下半分 $y=-\sqrt{c-x^2}$ に分けて扱っている。

$x=\pm\sqrt c$ の2点では、この二つがつながっており、接線は $y$ 軸に平行で $y'$ が定まらない。この2点については、条件をもとの図形の形で確かめる。接線が $y$ 軸に平行なので法線は $x$ 軸であり、原点を通る。したがって、円 $x^2+y^2=c$ はすべての点で条件を満たす。

なお、定理 3.2の $c$ については $c>0$ が要る。 $c=0$ のとき $x^2+y^2=0$ を満たす点は原点だけであり、 $c<0$ のときは満たす点がないので、いずれの場合も曲線を与えない。

4 手順の整理

注意 4.1 (三つの段と、それぞれが除外するもの). 本記事の二つの例に共通する手順は、次の三段である。

図形的な条件を $x$ 、 $y$ 、 $y'$ の関係式へ書き直す。このとき、接線や法線の式を用いるために $y'\ne0$ などの条件を使うことがある。使った条件を記録しておく。
関係式を解く。変数分離で両辺を割る操作は、割った式が $0$ になる場合、すなわち定数解を除外する。除外した解を別に確かめる。
得られた曲線をもとの図形的な条件へ戻して確かめる。段1で除外した点と、段2で除外した解について、条件を満たすかどうかを判定する。

段3を省くと、二種類の誤りが残る。一つは、微分方程式の解でありながら図形的な条件を満たさない曲線を答えに含める誤り（注意 2.4）である。もう一つは、条件を満たすのに書き直しの仮定から外れた点を落とす誤り（注意 3.4）である。

注意 4.2 (本記事が扱う範囲). 本記事は、図形的な条件が変数分離形の微分方程式へ書き直される場合を扱う。書き直した結果が変数分離形にならない場合の解法と、初期条件に対する解の一意性は「常微分方程式」が扱う。本単元で変数分離を用いるもう一つの記事は「ロジスティック方程式」である。

5 つまずいたら

接線の $x$ 軸との交点は $x-\dfrac{y}{y'}$ 、 $y$ 軸との交点は $y-xy'$ です。二つの式で $y'$ が分母に来るか分子に来るかが異なります。取り違えると、条件がまったく別の関係式になります。
接線の $x$ 軸との交点は、 $y'=0$ のときには存在しません。条件を書き直すときに $y'\ne0$ を使ったなら、その仮定を書き残し、段3で $y'=0$ の点を別に確かめてください。
法線の傾きは $-\dfrac{1}{y'}$ であり、 $-y'$ ではありません。二つの直線が垂直であることは、傾きの積が $-1$ であることです。
変数分離で両辺を割る前に、割る式が $0$ になる場合を確かめてください（注意 2.4）。
得られた曲線を、もとの図形的な条件へ代入して確かめてください（注意 4.1）。微分方程式を解いた時点では、まだ答えではありません。
$x^2+y^2=c$ のように陰の形で得られた式については、それが曲線を与える $c$ の範囲を確かめてください（注意 3.4）。

§C4.21接線の条件から決まる曲線

1 接線・法線と、座標軸との交点

2 接線が座標軸から切り取る線分を接点が二等分する曲線

3 法線が原点を通る曲線

4 手順の整理

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