§E2.28Baire の範疇定理

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$A$を$X$における第一類集合とし、$X$で疎である集合の列$(A_n)_{n\geq1}$で$A=\bigcup_{n\geq1}A_n$を満たすものをとる。$U_n=X\setminus\overline{A_n}$とおくと、$\overline{A_n}$は閉集合であるから$U_n$は$X$の開集合であり、$\tpint{\overline{A_n}}=\emptyset$と§E2.11 命題 2.9 (3)により$U_n$は$X$で稠密である。$X$の Baire 性により$\bigcap_{n\geq1}U_n$は$X$で稠密であるから、ふたたび§E2.11 命題 2.9 (3)により

である。§E1.2 定理 3.2により$X\setminus\bigcap_{n\geq1}U_n=\bigcup_{n\geq1}\overline{A_n}$であり、$A_n\subseteq\overline{A_n}$から$A\subseteq\bigcup_{n\geq1}\overline{A_n}$である。§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpint{A}$は$A$に含まれる開集合であるから$\bigcup_{n\geq1}\overline{A_n}$に含まれ、同じ項により$\tpint{A}\subseteq\tpint{\bigcup_{n\geq1}\overline{A_n}}=\emptyset$である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$(F_n)_{n\geq1}$を$X$の閉集合の列、$W$を$X$の空でない開集合とし、$W\subseteq\bigcup_{n\geq1}F_n$とする。すべての$n\geq1$について$\tpint{F_n}=\emptyset$であると仮定する。§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline{F_n}=F_n$であるから、各$F_n$は$X$で疎であり、$\bigcup_{n\geq1}F_n$は$X$における第一類集合である。(2)により$\tpint{\bigcup_{n\geq1}F_n}=\emptyset$である。一方、$W$は$\bigcup_{n\geq1}F_n$に含まれる開集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$W\subseteq\tpint{\bigcup_{n\geq1}F_n}$であり、$W=\emptyset$となる。これは$W\neq\emptyset$と両立しない。ゆえに$\tpint{F_n}\neq\emptyset$を満たす$n\geq1$が存在する。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$(U_n)_{n\geq1}$を$X$の稠密な開集合の列とし、$W$を$X$の空でない開集合とする。$W\cap\bigcap_{n\geq1}U_n=\emptyset$と仮定する。$F_n=X\setminus U_n$とおくと$F_n$は$X$の閉集合であり、§E2.11 命題 2.9 (3)により$\tpint{F_n}=\emptyset$である。仮定と§E1.2 定理 3.2により

であるから、(3)により$\tpint{F_n}\neq\emptyset$を満たす$n$が存在する。これは$\tpint{F_n}=\emptyset$と両立しない。ゆえに$W\cap\bigcap_{n\geq1}U_n\neq\emptyset$である。$W$は任意の空でない開集合であったから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$\bigcap_{n\geq1}U_n$は$X$で稠密であり、$X$は Baire 空間である。▨

証明.$U$を$\mathbb R$の空でない開集合とし、$x\in U$をとると、§E2.2 定義 1.1により$B(x,\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在する。§D1.4 系 2.2の有理数の稠密性により$x<q<x+\varepsilon$を満たす有理数$q$が存在し、§D1.4 補題 2.3により$x<r<x+\varepsilon$を満たす無理数$r$が存在する。いずれも$B(x,\varepsilon)\subseteq U$に属するから、$\mathbb R$の空でない開集合は有理数と無理数をともに含む。

(1)を示す。$y\neq a$を満たす$y\in\mathbb R$に対して$B(y,\lvert y-a\rvert)\subseteq\mathbb R\setminus\{a\}$であるから、§E2.2 定義 1.1により$\mathbb R\setminus\{a\}$は開集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline{\{a\}}=\{a\}$である。$\{a\}$に含まれる空でない開集合は有理数と無理数をともに含むことができないから存在せず、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpint{\overline{\{a\}}}=\emptyset$である。

(2)を示す。$x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z$とする。$x>0$の場合、§E2.5 補題 6.1により$k\leq x<k+1$を満たす非負整数$k$がただ一つ存在し、$x\notin\mathbb Z$から$k<x<k+1$である。$x<0$の場合、$-x>0$かつ$-x\notin\mathbb Z$であるから同じ補題により$k<-x<k+1$を満たす非負整数$k$が存在し、$-(k+1)<x<-k$である。いずれの場合も、$m<x<m+1$を満たす整数$m$が存在する。$m<j<m+1$を満たす整数$j$は存在しないから$(m,m+1)\cap\mathbb Z=\emptyset$であり、$\varepsilon=\min\{x-m,m+1-x\}>0$とおけば$B(x,\varepsilon)\subseteq(m,m+1)\subseteq\mathbb R\setminus\mathbb Z$である。ゆえに§E2.2 定義 1.1により$\mathbb R\setminus\mathbb Z$は開集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline{\mathbb Z}=\mathbb Z$である。$\mathbb Z$は無理数を含まないから、$\mathbb Z$に含まれる空でない開集合は存在せず、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpint{\overline{\mathbb Z}}=\emptyset$である。

(3)を示す。§E1.18 定理 4.1により$\mathbb Q=\{q_1,q_2,\ldots\}$と番号づけると$\mathbb Q=\bigcup_{n\geq1}\{q_n\}$であり、(1)により各$\{q_n\}$は$\mathbb R$で疎であるから、$\mathbb Q$は$\mathbb R$における第一類集合である。一方、$\mathbb R$の空でない開集合は有理数を含むから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$\mathbb Q$は$\mathbb R$で稠密であり、$\overline{\mathbb Q}=\mathbb R$である。ゆえに$\tpint{\overline{\mathbb Q}}=\mathbb R\neq\emptyset$であり、$\mathbb Q$は$\mathbb R$で疎でない。

(4)を示す。$q\in\mathbb Q$とする。(1)により$\{q\}$は$\mathbb R$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$\{q\}=\{q\}\cap\mathbb Q$は$\mathbb Q$の閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\mathbb Q$における閉包は$\{q\}$である。$\{q\}$に含まれる$\mathbb Q$の空でない開集合を$V$とすると$V=\{q\}$であり、§E2.12 定義 4.1により$V=\widetilde V\cap\mathbb Q$を満たす$\mathbb R$の開集合$\widetilde V$が存在するから、§E2.2 定義 1.1により$B(q,\varepsilon)\subseteq\widetilde V$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在する。§D1.4 系 2.2の有理数の稠密性により$q<q'<q+\varepsilon$を満たす有理数$q'$が存在し、$q'\in\widetilde V\cap\mathbb Q=\{q\}$かつ$q'\neq q$となって両立しない。ゆえに$\{q\}$の$\mathbb Q$における内部は空であり、$\{q\}$は$\mathbb Q$で疎である。したがって$\mathbb Q=\bigcup_{n\geq1}\{q_n\}$は$\mathbb Q$における第一類集合である。$\mathbb Q$は$\mathbb Q$の開集合であるから§E2.11 命題 2.5 (2)により$\mathbb Q$における内部は$\mathbb Q$自身であり、$\mathbb Q\neq\emptyset$である。ゆえに命題 1.3 (2)は成り立たず、$\mathbb Q$は Baire 空間でない。▨

証明.$(W_k)_{k\geq1}$を$U$の開集合からなる列とし、各$W_k$は$U$で稠密であるとする。$U$は$X$の開集合であるから、§E2.12 命題 5.16 (1)により包含写像$\iota_U$は開写像であり、各$W_k$は$X$の開集合でもある。

$V_k=W_k\cup(X\setminus\overline U)$とおく。$\overline U$は閉集合であるから$V_k$は$X$の開集合である。$O$を$X$の空でない開集合とする。$O\cap U\neq\emptyset$の場合、$O\cap U$は$U$の空でない開集合であるから、$W_k$の$U$における稠密性と§E2.11 命題 2.9 (2)により$O\cap U\cap W_k\neq\emptyset$であり、とくに$O\cap V_k\neq\emptyset$である。$O\cap U=\emptyset$の場合、$U\subseteq X\setminus O$であって$X\setminus O$は閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\overline U\subseteq X\setminus O$であり、$O\subseteq X\setminus\overline U\subseteq V_k$となって$O\cap V_k=O\neq\emptyset$である。いずれの場合も$O\cap V_k\neq\emptyset$であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$V_k$は$X$で稠密である。

$X$は Baire 空間であるから$\bigcap_{k\geq1}V_k$は$X$で稠密である。$W_k\subseteq U$かつ$U\cap(X\setminus\overline U)=\emptyset$であるから$V_k\cap U=W_k$であり、したがって

である。$O'$を$U$の空でない開集合とすると、$\iota_U$が開写像であることから$O'$は$X$の開集合でもあるから$O'\cap\bigcap_{k\geq1}V_k\neq\emptyset$であり、$O'\subseteq U$とあわせて$O'\cap\bigcap_{k\geq1}W_k\neq\emptyset$である。ゆえに§E2.11 命題 2.9 (2)により$\bigcap_{k\geq1}W_k$は$U$で稠密であり、$U$は Baire 空間である。▨

証明. 各$n\geq1$について$A\subseteq G_n$であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$X=\overline A\subseteq\overline{G_n}$であり、$G_n$は$X$で稠密な開集合である。

$(U_k)_{k\geq1}$を$A$の開集合からなる列とし、各$U_k$は$A$で稠密であるとする。§E2.12 定義 4.1により、$U_k=V_k\cap A$を満たす$X$の開集合$V_k$が存在する。§E2.12 命題 4.7 (1)により$\tpcl[A]{U_k}=\tpcl[X]{U_k}\cap A$であり、$U_k$の$A$における稠密性から$\tpcl[A]{U_k}=A$であるから$A\subseteq\tpcl[X]{U_k}$である。$\tpcl[X]{U_k}$は閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$X=\tpcl[X]{A}\subseteq\tpcl[X]{U_k}$となり、$U_k$は$X$で稠密である。$U_k\subseteq V_k$であるから、同じ議論により$V_k$も$X$で稠密である。

$X$の開集合からなる列$(H_m)_{m\geq1}$を$H_{2k-1}=V_k$、$H_{2k}=G_k$によって定めると、各$H_m$は$X$で稠密であり、

である。$X$は Baire 空間であるから$\bigcap_{k\geq1}U_k$は$X$で稠密であり、$\tpcl[X]{\bigcap_{k\geq1}U_k}=X$である。ふたたび§E2.12 命題 4.7 (1)により

であるから、$\bigcap_{k\geq1}U_k$は$A$で稠密である。ゆえに$A$は Baire 空間である。▨

証明.$(W_m)_{m\geq1}$を$X$の開集合からなる列とし、各$W_m$は$X$で稠密であるとする。§E2.12 定義 4.1により$W_m\cap D$は$D$の開集合である。$O$を$D$の空でない開集合とすると、$D$は$X$の開集合であるから§E2.12 命題 5.16 (1)により$O$は$X$の開集合でもあり、$W_m$の稠密性と§E2.11 命題 2.9 (2)により$O\cap W_m\neq\emptyset$である。$O\subseteq D$であるから$O\cap(W_m\cap D)\neq\emptyset$であり、§E2.11 命題 2.9 (2)により$W_m\cap D$は$D$で稠密である。$D$は Baire 空間であるから

は$D$で稠密である。$O'$を$X$の空でない開集合とすると、$D$の$X$における稠密性と§E2.11 命題 2.9 (2)により$O'\cap D\neq\emptyset$であり、$O'\cap D$は$D$の空でない開集合であるから、いま示した稠密性と§E2.11 命題 2.9 (2)により$O'\cap D\cap\bigcap_{m\geq1}W_m\neq\emptyset$である。とくに$O'\cap\bigcap_{m\geq1}W_m\neq\emptyset$であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$\bigcap_{m\geq1}W_m$は$X$で稠密であり、$X$は Baire 空間である。▨

証明.$\mathcal O^{*}$を$X$の空でない開集合の全体とし、$S=\mathbb Z_{\geq0}\times\mathcal O^{*}$とおく。$S$上の関係$R$を

によって定める。$(n,V)\in S$をとる。$U_{n+1}$は$X$で稠密であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$V\cap U_{n+1}\neq\emptyset$であり、これは開集合である。$x\in V\cap U_{n+1}$をとると、§E2.15 補題 2.6により$x\in V'$かつ$\overline{V'}\subseteq V\cap U_{n+1}$を満たす開集合$V'$が存在する。$x\in V'$であるから$V'\in\mathcal O^{*}$であり、$((n,V),(n+1,V'))\in R$である。ゆえに$S$の任意の元は$R$に関する後続元をもつ。

$W\in\mathcal O^{*}$であるから$S\neq\emptyset$であり、初期項を$(0,W)$として、$S$の元の列$((n,V_n))_{n\geq0}$で$V_0=W$かつ、すべての$n\geq0$について$\overline{V_{n+1}}\subseteq V_n\cap U_{n+1}$を満たすものが得られる。各$V_n$は$X$の空でない開集合であり$V_0=W$であるから、列$(V_n)_{n\geq0}$が求めるものである。▨

証明.$X$をコンパクト Hausdorff 空間、$(U_n)_{n\geq1}$を$X$の稠密な開集合の列とし、$W$を$X$の空でない開集合とする。§E2.19 命題 6.10により$X$は正則であるから、補題 3.1により、$X$の空でない開集合の列$(V_n)_{n\geq0}$で$V_0\subseteq W$かつ$\overline{V_{n+1}}\subseteq V_n\cap U_{n+1}$を満たすものが存在する。

§E2.11 命題 2.5 (1)により$V_n\subseteq\overline{V_n}$であるから、$\overline{V_{n+1}}\subseteq V_n\subseteq\overline{V_n}$であり、閉集合の族$(\overline{V_n})_{n\geq0}$は包含関係について減少する。各$\overline{V_n}$は空でない集合$V_n$を含むから空でなく、有限個の添字$n_1,\ldots,n_k$に対して$\overline{V_{n_1}}\cap\cdots\cap\overline{V_{n_k}}=\overline{V_{N}}\neq\emptyset$（$N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}$）である。ゆえにこの族は§E2.19 定義 3.1に従って有限交差性をもち、$X$のコンパクト性と§E2.19 定理 3.2 (2)により$\bigcap_{n\geq0}\overline{V_n}\neq\emptyset$である。

$y\in\bigcap_{n\geq0}\overline{V_n}$をとる。$\overline{V_1}\subseteq V_0\subseteq W$であるから$y\in W$である。また$n\geq1$について$\overline{V_n}\subseteq V_{n-1}\cap U_n\subseteq U_n$であるから$y\in\bigcap_{n\geq1}U_n$である。ゆえに$W\cap\bigcap_{n\geq1}U_n\neq\emptyset$であり、$W$は任意の空でない開集合であったから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$\bigcap_{n\geq1}U_n$は$X$で稠密である。したがって$X$は Baire 空間である。▨

証明.$X$を Čech 完備とし、§E2.26 定義 2.1により、$X$のコンパクト化$cX$と$cX$の開集合からなる列$(U_n)_{n\geq1}$で$X=\bigcap_{n\geq1}U_n$を満たすものをとる。$cX$はコンパクト Hausdorff 空間であるから、定理 3.2により Baire 空間である。$X$は$cX$の稠密な$G_\delta$部分空間であるから、定理 2.2により Baire 空間である。▨

証明.$(X,d)$は完備距離化可能であるから、§E2.26 系 3.3により$X$は Čech 完備であり、定理 4.1により$X$は Baire 空間である。▨

証明.$X$が$X$における第一類集合であると仮定する。定理 4.2により$X$は Baire 空間であるから、命題 1.3 (2)により$\tpint{X}=\emptyset$である。一方、$X$は$X$の開集合であるから§E2.11 命題 2.5 (2)により$\tpint{X}=X$であり、$X\neq\emptyset$である。この二つは両立しない。ゆえに$X$は$X$における第二類集合である。▨

証明.$X$を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。§E2.26 補題 2.2 (3)により$X$は Čech 完備であるから、定理 4.1により$X$は Baire 空間である。▨

証明.§E2.27 系 1.3と定理 4.1により、ポーランド空間は Baire 空間である。▨

証明.§E2.26 系 4.3により$cX\setminus X$は Čech 完備であり、定理 4.1により Baire 空間である。▨

証明.$\Q$の制限距離と同じ位相を定める完備な距離が存在すると仮定する。定理 4.2により$\Q$は Baire 空間となり、例 1.4 (4)に反する。したがって$\Q$は完備距離化可能でない。▨

証明.系 5.1により$\mathbb Q$は完備距離化可能でない。ゆえに§E2.26 系 3.3により$\mathbb Q$は Čech 完備でない。▨