葉層と葉 | 多様体入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 葉層と板

定義 1.1. $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。 $D$ に対する平坦チャート（§E17.8 定義 2.2）の全体を $\mathcal{F}(D)$ と書き、 $D$ が定める $M$ の $k$ 次元葉層 ( $k$ -dimensional foliation) という。§E17.8 定理 5.1により $\mathcal{F}(D)$ に属するチャートの定義域は $M$ を覆う。 $\mathcal{F}(D)$ に属するチャートの板（§E17.8 定義 2.2）を、この葉層の板という。

補題 1.2. $N$ を境界を持たない連結な $C^\infty$ 多様体、 $h\in C^\infty(N)$ とし、すべての $q\in N$ で $dh_q=0$ であるとする。このとき $h$ は定数である。

証明. $q_0\in N$ を取り、 $A=\{q\in N:h(q)=h(q_0)\}$ と置く。 $h$ は連続であるから $A$ は閉集合である。 $A$ が開集合であることを示す。 $q\in A$ を取り、 $q$ の周りのチャート $(W,\alpha)$ で $\alpha(W)$ が開球であるものを取る。 $h\circ\alpha^{-1}$ の全微分は至るところ $0$ であり $\alpha(W)$ は凸であるから、§E4.3 系 2.3により $h\circ\alpha^{-1}$ は定数である。よって $W\subseteq A$ である。 $N$ は連結であり $A$ は空でない開かつ閉な部分集合であるから $A=N$ である。▨

補題 1.3. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。 $(U,\chi)$ と $(U',\chi')$ を $D$ に対する平坦チャートとし、それぞれの座標を $(t^1,\dots,t^k,u^{k+1},\dots,u^n)$ 、 $(t'^1,\dots,t'^k,u'^{k+1},\dots,u'^n)$ と書く。

$U\cap U'$ の上で $\frac{\partial u'^a}{\partial t^i}=0\qquad(1\le i\le k,\ k+1\le a\le n)$ が成り立つ。すなわち、座標変換 $\chi'\circ\chi^{-1}$ の後半 $n-k$ 個の成分は、前半 $k$ 個の変数に依存しない。
$P$ を $(U,\chi)$ の板とすると、 $P\cap U'$ の各連結成分の上で $u'^{k+1},\dots,u'^n$ は定数であり、その連結成分は $(U',\chi')$ のただ一枚の板に含まれる。

証明.(1)を示す。 $q\in U\cap U'$ とする。 $\partial/\partial t^i|_q\in D_q$ であり、 $(U',\chi')$ が平坦チャートであることから $D_q$ は $\partial/\partial t'^1|_q,\dots,\partial/\partial t'^k|_q$ が張る。したがって

\frac{\partial}{\partial t^i}\Big|_q=\sum_{j=1}^{k}c^j\,\frac{\partial}{\partial t'^j}\Big|_q

と書くことができる。関数 $u'^a$ （ $a>k$ ）へ作用させると、 $\partial u'^a/\partial t'^j=0$ であるから

\frac{\partial u'^a}{\partial t^i}(q)=\sum_{j=1}^{k}c^j\,\frac{\partial u'^a}{\partial t'^j}(q)=0

である。

(2)を示す。 $P$ は§E17.8 命題 2.3により $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、そのチャートは $\chi$ の最初の $k$ 座標である。 $C$ を $P\cap U'$ の連結成分とすると、 $C$ は $P$ の開集合であるから境界を持たない連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。 $a>k$ に対して $u'^a|_C$ の微分は、 $C$ の座標ベクトル場が $\partial/\partial t^i$ であることと(1)により $0$ である。よって補題 1.2により $u'^a$ は $C$ の上で定数である。したがって $C$ は $(U',\chi')$ の一枚の板に含まれる。板どうしは交わらないので、その板は一意である。▨

補題 1.4. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。 $(U,\chi)$ を $D$ に対する平坦チャート、 $\iota:N\to M$ を $D$ の連結な積分多様体（§E17.8 定義 2.1）で $\iota(N)\subseteq U$ を満たすものとする。このとき $\iota(N)$ は $(U,\chi)$ のただ一枚の板 $P$ に含まれる。さらに $\iota$ を $P$ への写像とみなしたものは単射なはめ込みであり、 $N$ から $P$ の開集合への微分同相を与える。

証明. $a>k$ を取り、 $h=u^a\circ\iota\in C^\infty(N)$ と置く。 $q\in N$ に対して $dh_q=d(u^a)_{\iota(q)}\circ d\iota_q$ であり、 $d\iota_q(T_qN)=D_{\iota(q)}$ は $\partial/\partial t^i$ が張るので $d(u^a)$ はその上で消える。よって $dh_q=0$ であり、補題 1.2により $h$ は定数である。 $a$ は任意であったから、 $\iota(N)$ は一枚の板 $P$ に含まれる。 $P$ が一意であることは、板どうしが交わらないことによる。

$P$ は§E17.8 命題 2.3により $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体であり、そのチャートは $\chi$ の最初の $k$ 座標である。 $\iota$ の $P$ への座標表示は $\chi\circ\iota$ の最初の $k$ 成分であるから $C^\infty$ である。その微分は、 $M$ への $\iota$ の微分が単射であることから単射である。 $\dim N=\dim P=k$ であるから微分は同型であり、§E4.7 定理 2.1と§E17.5 補題 1.1により $\iota:N\to P$ は局所微分同相である。 $\iota$ は単射であるから、 $N$ から開集合 $\iota(N)\subseteq P$ への微分同相である。▨

2 葉の定義と可算性

定義 2.1. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とする。葉層 $\mathcal{F}(D)$ の板の有限列 $P_1,\dots,P_m$ が

P_r\cap P_{r+1}\ne\varnothing\qquad(1\le r\le m-1)

を満たすとき、この列を板の鎖 (chain of plaques) という。 $p,q\in M$ に対して、 $p\sim q$ であるとは、板の鎖 $P_1,\dots,P_m$ であって $p\in P_1$ かつ $q\in P_m$ を満たすものが存在することをいう。

命題 2.2.定義 2.1の関係 $\sim$ は $M$ 上の同値関係である。

証明. 反射律は、各点が少なくとも一枚の板に属することによる（定義 1.1のとおり平坦チャートの定義域が $M$ を覆い、各点はその点を含む板に属する）。対称律は列を逆順にすることによる。推移律は二つの鎖を連結することによる。▨

定義 2.3. $M$ 、 $D$ を定義 2.1のとおりとする。命題 2.2の同値関係 $\sim$ による $M$ の同値類を、葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉 (leaf) という。

補題 2.4. $M$ 、 $D$ を定義 2.1のとおりとし、 $L$ を葉、 $P$ を板とする。 $P\cap L\ne\varnothing$ ならば $P\subseteq L$ である。

証明. $q\in P\cap L$ とする。 $P$ の任意の点 $r$ に対して、長さ $1$ の鎖 $(P)$ が $q$ と $r$ を結ぶので $r\sim q$ であり、 $r\in L$ である。▨

定理 2.5. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。

$L$ は高々可算個の板の和集合である。
任意の平坦チャート $(U',\chi')$ に対して、 $L$ と交わる $(U',\chi')$ の板は高々可算個である。

証明. 可算な平坦チャートの族を取る。 $M$ は第二可算（§E2.13 定義 5.1）であるから Lindelöf である（§E2.21 命題 1.6）。平坦チャートの定義域からなる開被覆にこれを適用して、可算な部分族 $\mathcal{C}=\{(U_m,\chi_m)\}_{m\ge1}$ であって $\{U_m\}$ が $M$ を覆うものを取る。

第一段。任意の板の中の二点は、 $\mathcal{C}$ の板の鎖で結ばれる。 $P$ を平坦チャート $(U,\chi)$ の板、 $p,q\in P$ とする。 $P$ は $\chi$ によって $\mathbb{R}^k$ の開直方体と同相であるから弧状連結であり、 $P$ の中の連続な道 $c:[0,1]\to P$ で $c(0)=p$ 、 $c(1)=q$ となるものが存在する。

A=\{s\in[0,1]:\ p\ \text{と}\ c(s)\ \text{が}\ \mathcal{C}\ \text{の板の鎖で結ばれる}\}

と置く。 $0\in A$ である。

$s\in[0,1]$ を取り、 $c(s)\in U_m$ となる $m$ を選ぶ。 $P\cap U_m$ は $P$ の開集合であり、 $P$ は局所連結であるから、 $c(s)$ を含む $P\cap U_m$ の連結成分 $C$ は $P$ の開集合である。補題 1.3 (2)により、 $C$ は $(U_m,\chi_m)$ のただ一枚の板 $Q$ に含まれる。 $c$ は連続であるから、 $s$ を含む $[0,1]$ の相対開集合 $I$ が存在して $c(I)\subseteq C\subseteq Q$ である。 $s'\in I$ に対して、 $c(s)$ と $c(s')$ はともに $Q$ に属するので長さ $1$ の鎖で結ばれる。したがって $s\in A$ ならば $I\subseteq A$ であり、 $s\notin A$ ならば $I\cap A=\varnothing$ である。よって $A$ は $[0,1]$ の開かつ閉な部分集合であり、 $[0,1]$ は連結である（§E2.43 定義 1.1）から $A=[0,1]$ である。とくに $1\in A$ 、すなわち $p$ と $q$ は $\mathcal{C}$ の板の鎖で結ばれる。

したがって、 $p\sim q$ であることと、 $\mathcal{C}$ の板だけを用いた鎖で $p$ と $q$ が結ばれることは同値である。任意の鎖の各板の中で、両端の点を $\mathcal{C}$ の板の鎖に置き換えればよい。

第二段。一枚の板は高々可算個の板としか交わらない。 $P$ を平坦チャート $(U,\chi)$ の板、 $(U',\chi')$ を平坦チャートとする。 $P\cap U'$ は $P$ の開集合である。 $P$ は $\mathbb{R}^k$ の開直方体と微分同相であるから第二可算であり、局所連結である。よって $P\cap U'$ の連結成分は開集合であり、その個数は高々可算である（各成分は $P$ の可算基の元を少なくとも一つ含み、成分どうしは交わらない）。補題 1.3 (2)により、各連結成分は $(U',\chi')$ のただ一枚の板に含まれる。 $P$ と交わる $(U',\chi')$ の板は、 $P\cap U'$ のある連結成分と交わるから、その個数は連結成分の個数以下であり高々可算である。

第三段。(1)を示す。 $p\in L$ を取り、 $p$ を含む $\mathcal{C}$ の板を一つ選んで $P^0$ とする。 $\mathcal{S}_1=\{P^0\}$ とし、 $\mathcal{S}_{r+1}$ を、 $\mathcal{S}_r$ のいずれかの板と交わる $\mathcal{C}$ の板の全体とする。第二段と $\mathcal{C}$ が可算であることから、 $\mathcal{S}_r$ が可算であれば $\mathcal{S}_{r+1}$ も可算である（可算個の可算集合の和集合である）。よって帰納法により各 $\mathcal{S}_r$ は可算であり、 $\mathcal{S}=\bigcup_{r\ge1}\mathcal{S}_r$ も可算である。

$L=\bigcup_{Q\in\mathcal{S}}Q$ を示す。第一段により、 $q\in L$ に対して $p$ と $q$ を結ぶ $\mathcal{C}$ の板の鎖 $Q_1,\dots,Q_N$ が存在する。 $p\in Q_1\cap P^0$ であるから $Q_1\in\mathcal{S}_2$ であり、以下順に $Q_l\in\mathcal{S}_{l+1}$ である。よって $q\in Q_N\subseteq\bigcup_{Q\in\mathcal{S}}Q$ である。逆に $\mathcal{S}$ の各板は $P^0$ から鎖で到達することができるので $L$ に含まれる。

第四段。(2)を示す。 $(U',\chi')$ を平坦チャートとする。(1)により $L=\bigcup_{Q\in\mathcal{S}}Q$ であり、 $L$ と交わる $(U',\chi')$ の板は、ある $Q\in\mathcal{S}$ と交わる。第二段により各 $Q$ と交わる $(U',\chi')$ の板は高々可算であり、 $\mathcal{S}$ は可算であるから、全体としても高々可算である。▨

3 葉の多様体構造

定理 3.1. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。 $L$ に含まれる板の全体を基底とする位相を $L$ に入れ、各板 $P$ に§E17.8 命題 2.3の $C^\infty$ 構造を与えると、 $L$ は連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体になり、包含写像 $\iota_L:L\to M$ は単射なはめ込みである。この構造によって $L$ は $D$ の連結な積分多様体であり、 $L$ の点を通る $D$ の任意の連結な積分多様体の像は $L$ に含まれる。

証明. 板が基底をなすこと。補題 2.4により、 $L$ と交わる板は $L$ に含まれる。各点 $q\in L$ はある板に属する。 $q\in P_1\cap P_2$ （ $P_i$ は $L$ に含まれる板、 $(U_i,\chi_i)$ の板）とする。 $q$ の周りの平坦チャート $(U_3,\chi_3)$ を $U_3\subseteq U_1\cap U_2$ となるように取る（§E17.8 定理 5.1のチャートを縮めればよい）。 $q$ を通る $(U_3,\chi_3)$ の板 $P_3$ は連結な積分多様体（§E17.8 命題 2.3）であり $U_1$ に含まれるから、補題 1.4により $(U_1,\chi_1)$ の一枚の板に含まれる。 $q\in P_3$ かつ $q\in P_1$ であるから、その板は $P_1$ である。同様に $P_3\subseteq P_2$ である。よって板の全体は基底の条件を満たす。

Hausdorff 性。 $q\ne q'$ を $L$ の二点とする。 $M$ は Hausdorff（§E2.15 定義 1.2）であるから、交わらない開集合 $V\ni q$ 、 $V'\ni q'$ が $M$ に存在する。 $V$ に含まれる平坦チャートを取り、その $q$ を通る板を $P$ 、同様に $V'$ に含まれる平坦チャートの $q'$ を通る板を $P'$ とすると、 $P\cap P'=\varnothing$ であり、両者は $L$ の開集合である。

第二可算性。定理 2.5 (1)により $L$ は高々可算個の板の和集合である。各板は $L$ の開集合であり、 $\mathbb{R}^k$ の開直方体と同相であるから第二可算である。可算個の第二可算な開部分空間の和集合は第二可算であるから、 $L$ は第二可算である。

チャートの両立。 $P$ を $(U,\chi)$ の板、 $P'$ を $(U',\chi')$ の板とし、 $P\cap P'\ne\varnothing$ とする。板のチャートは $\chi$ と $\chi'$ の最初の $k$ 座標であるから、座標変換は $\chi'\circ\chi^{-1}$ の最初の $k$ 成分を、後半の座標を定数に固定して制限したものである。 $\chi'\circ\chi^{-1}$ は $C^\infty$ であるから、この制限も $C^\infty$ である。逆向きも同様であるから、二つのチャートは両立する。

以上により $L$ は $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。連結性は、 $L$ の任意の二点が板の鎖で結ばれ、各板が連結であることから従う。

包含写像。 $\iota_L$ の板 $P$ 上での座標表示は $(t^1,\dots,t^k)\mapsto(t^1,\dots,t^k,c)$ であるから $C^\infty$ であり、微分は単射である。 $\iota_L$ は包含写像であるから単射である。よって $\iota_L$ は単射なはめ込みであり、§E17.5 定義 4.4の意味で $L$ ははめ込み部分多様体である。 $T_qL$ の像は $\partial/\partial t^i$ が張る空間、すなわち $D_q$ であるから、 $L$ は $D$ の積分多様体である。

極大性。 $\iota:N\to M$ を $D$ の連結な積分多様体とし、 $\iota(N)\cap L\ne\varnothing$ とする。 $q_0\in N$ を $\iota(q_0)\in L$ となるように取り、 $q\in N$ を任意に取る。 $N$ は連結な多様体であるから弧状連結であり、 $q_0$ から $q$ への連続な道 $c:[0,1]\to N$ が存在する。

A=\{s\in[0,1]:\ \iota(c(s))\sim\iota(q_0)\}

と置く。 $0\in A$ である。

$s\in[0,1]$ を取り、 $\iota(c(s))$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取る。 $\iota^{-1}(U)$ は $N$ の開集合であり、 $N$ は局所連結であるから、 $c(s)$ を含む連結成分 $C$ は開集合である。 $\iota|_C$ は連結な積分多様体であり像が $U$ に含まれるから、補題 1.4により $\iota(C)$ は一枚の板 $P$ に含まれる。 $c$ は連続であるから、 $s$ を含む $[0,1]$ の相対開集合 $I$ で $c(I)\subseteq C$ となるものが存在する。 $s'\in I$ に対して $\iota(c(s))$ と $\iota(c(s'))$ はともに $P$ に属するので $\iota(c(s))\sim\iota(c(s'))$ である。したがって $s\in A$ ならば $I\subseteq A$ であり、 $s\notin A$ ならば $I\cap A=\varnothing$ である。よって $A$ は $[0,1]$ の開かつ閉な部分集合であり、 $[0,1]$ は連結であるから $A=[0,1]$ である。とくに $\iota(q)=\iota(c(1))\sim\iota(q_0)$ であり $\iota(q)\in L$ である。よって $\iota(N)\subseteq L$ である。▨

系 3.2. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。 $\iota:N\to M$ を $D$ の連結な積分多様体で $\iota(N)\subseteq L$ を満たすものとする。このとき $\iota(N)$ は $L$ の開集合であり、 $\iota:N\to L$ は $N$ から $\iota(N)$ への微分同相である。

証明. $q\in N$ を取り、 $\iota(q)$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取る。 $\iota^{-1}(U)$ は $N$ の開集合であり、 $N$ は局所連結であるから、 $q$ を含む連結成分 $C$ は開集合である。 $\iota|_C$ は連結な積分多様体であり像が $U$ に含まれるから、補題 1.4により一枚の板 $P$ の開集合への微分同相を与える。 $P$ は $L$ と交わるので補題 2.4により $L$ に含まれ、 $L$ の開集合である。したがって $\iota(C)$ は $L$ の開集合であり、 $\iota(N)$ はこれらの和集合として $L$ の開集合である。また $\iota|_C$ は $L$ のチャートに関して $C$ からの微分同相であるから、 $\iota:N\to L$ は局所微分同相であり、単射であるから $\iota(N)$ への微分同相である。▨

定理 3.3. $M$ を境界を持たない $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $D$ を $M$ 上の階数 $k$ の対合的な $C^\infty$ 分布とし、 $L$ を葉層 $\mathcal{F}(D)$ の葉とする。 $L$ の上の位相 $\mathcal{T}$ と $C^\infty$ 構造 $\mathcal{A}$ が、 $(L,\mathcal{T},\mathcal{A})$ を連結な $k$ 次元 $C^\infty$ 多様体にし、包含写像を単射なはめ込みかつ $D$ の積分多様体にするならば、 $\mathcal{T}$ と $\mathcal{A}$ は定理 3.1で構成したものに一致する。

証明. $N=(L,\mathcal{T},\mathcal{A})$ と書き、 $\iota:N\to M$ を包含写像とする。

$L$ に含まれる各板は $N$ の開集合であり、 $N$ から誘導される $C^\infty$ 構造は板の構造に一致する。 $P$ を $L$ に含まれる板、 $(U,\chi)$ をその平坦チャートとする。 $\iota^{-1}(U)$ は $N$ の開集合であり、 $N$ は局所連結であるから、その連結成分は開集合である。各連結成分 $C$ は連結な積分多様体であり像が $U$ に含まれるから、補題 1.4により一枚の板 $P_C$ の開集合への微分同相を与える。 $P_C=P$ となる成分 $C$ を集めると、対応する $\iota(C)$ は互いに交わらず（成分が交わらず $\iota$ が単射である）、いずれも $P$ の開集合であり、和集合は $P$ に等しい。実際、 $P\subseteq L$ の各点は $\iota$ の像であり、その原像が属する連結成分 $C$ について $P_C$ はその点を含む板、すなわち $P$ である。 $P$ は連結であるから、そのような成分はちょうど一つであり、 $\iota|_C:C\to P$ は微分同相である。とくに $P=\iota(C)$ は $N$ の開集合である。

板は $\mathcal{T}$ の基底をなす。 $W\in\mathcal{T}$ 、 $q\in W$ とする。 $\iota(q)$ の周りの平坦チャート $(U,\chi)$ を取り、 $q$ を含む $\iota^{-1}(U)$ の連結成分を $C$ 、対応する板を $P$ とすると、上により $\iota|_C:C\to P$ は微分同相である。 $C\cap W$ は $C$ の開集合であるから $\iota(C\cap W)$ は $P$ の開集合であり、 $P$ の位相は $M$ からの相対位相であるから、 $M$ の開集合 $V\ni\iota(q)$ が存在して $P\cap V\subseteq\iota(C\cap W)$ である。 $\iota(q)$ の周りの平坦チャート $(U',\chi')$ を $U'\subseteq U\cap V$ となるように取り、 $\iota(q)$ を通るその板を $P'$ とする。 $P'$ は連結な積分多様体であり $U$ に含まれるから、補題 1.4により $(U,\chi)$ の一枚の板に含まれ、 $\iota(q)$ を含むことからその板は $P$ である。よって $P'\subseteq P\cap U'\subseteq P\cap V\subseteq\iota(C\cap W)\subseteq\iota(W)$ である。 $P'$ は $L$ と交わるので $L$ に含まれ、前段により $N$ の開集合である。したがって $W$ は板の和集合である。

以上により $\mathcal{T}$ は $L$ に含まれる板が生成する位相であり、定理 3.1の位相に一致する。さらに各板の上で $\mathcal{A}$ から誘導される $C^\infty$ 構造は板の構造に一致するので、 $\mathcal{A}$ も定理 3.1の構造に一致する。▨

4 円環面上の線形葉層

以下の二つの例では、円周 $S^1=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ を $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$ の部分多様体として扱う。 $|z|=1$ という条件は $\mathbb{R}^2$ に固定した多項式の条件であって、円周そのものに計量を与えたものではない。

補題 4.1.§E17.5 補題 2.3の写像を $E:\mathbb{R}\to S^1$ 、 $E(u)=(\cos2\pi u,\ \sin2\pi u)$ と書く。このとき $E$ は全射であり、 $E(u)=E(u')$ であることと $u-u'\in\mathbb{Z}$ であることは同値である。

証明. $S^1$ の各点はある $\theta\in\mathbb{R}$ によって $(\cos\theta,\sin\theta)$ と表すことができるので、その点は $E(\theta/(2\pi))$ に等しい。よって $E$ は全射である。また、三角関数の周期性により、 $E(u)=E(u')$ であることと $2\pi(u-u')\in2\pi\mathbb{Z}$ であることは同値である。これは $u-u'\in\mathbb{Z}$ と同値である。▨

例 4.2 (円環面上の無理数傾きの線形葉層). $T^2=S^1\times S^1$ を積多様体（§E17.1 命題 7.3）とし、 $\alpha$ を無理数とする。 $\Pi:\mathbb{R}^2\to T^2$ を $\Pi(u,v)=(E(u),E(v))$ とすると、§E17.5 補題 2.3により $\Pi$ は局所微分同相である。 $\Pi$ の局所逆写像が定めるチャートを取ると、二つのチャートの座標変換は整数ベクトルによる平行移動である。したがって $\mathbb{R}^2$ 上の定数ベクトル場 $\partial/\partial u+\alpha\,\partial/\partial v$ は $T^2$ 上の $C^\infty$ ベクトル場 $X$ を定める。 $X$ は至るところ消えないので、 $D_q=\operatorname{span}\{X_q\}$ は階数 $1$ の $C^\infty$ 分布であり、§E17.8 例 6.1により対合的である。これが定める葉層を考える。

$X$ の流れ。局所座標で $\varphi_t(u,v)=(u+t,v+\alpha t)$ であるから、 $T^2$ の上では

\varphi_t\bigl(E(u),E(v)\bigr)=\bigl(E(u+t),\ E(v+\alpha t)\bigr)

である。右辺は $\mathbb{R}$ 全体で定義されるので $X$ は完備である。

各軌道は単射なはめ込みの像である。 $q_0=(E(u_0),E(v_0))\in T^2$ を取る。 $t\mapsto\varphi_t(q_0)$ が単射であることを示す。 $\varphi_t(q_0)=\varphi_s(q_0)$ とすると、補題 4.1により $t-s\in\mathbb{Z}$ かつ $\alpha(t-s)\in\mathbb{Z}$ である。 $t-s=m$ （ $m$ は整数）と置くと $\alpha m\in\mathbb{Z}$ であり、 $\alpha$ は無理数であるから $m=0$ 、すなわち $t=s$ である。この事実は初期点 $q_0$ に依らない。速度ベクトルは $X_{\varphi_t(q_0)}\ne0$ であるから、 $t\mapsto\varphi_t(q_0)$ は単射なはめ込みであり、その像は $D$ の連結な積分多様体である。

葉は流れの軌道である。軌道 $\{\varphi_t(q):t\in\mathbb{R}\}$ は上により連結な積分多様体の像であり、軌道は $T^2$ を分割する。系 3.2により各軌道は、それを含む葉の開集合である。一つの葉は、それに含まれる軌道たちの交わらない開集合による和集合であり、葉は連結であるから、葉はちょうど一つの軌道である。

点 $(E(0),E(0))$ を通る葉。この葉は

\gamma(t)=\bigl(E(t),\ E(\alpha t)\bigr)\qquad(t\in\mathbb{R})

の像である（前段の $q_0=(E(0),E(0))$ の場合である）。§E17.5 例 2.4により、 $\gamma$ は単射なはめ込みであるが像への同相写像ではなく、像は $T^2$ で稠密である。

葉は埋め込み部分多様体でない。定理 3.1と系 3.2により、 $\gamma$ は $\mathbb{R}$ から葉 $L$ への微分同相である。仮に $L$ が $T^2$ の埋め込み部分多様体であれば、 $L$ の多様体としての位相は $T^2$ からの相対位相であり、包含写像は像への同相写像である。すると $\gamma$ も像への同相写像になり、§E17.5 例 2.4に反する。したがって $L$ は埋め込み部分多様体でなく、はめ込み部分多様体にとどまる。

板との関係。 $L$ は $T^2$ で稠密であるから、どの平坦チャートの定義域とも交わり、その中で無限個の板と交わる。定理 2.5により、その個数は高々可算である。これを具体的に確かめる。 $\Pi$ の局所逆写像が定めるチャートの座標を $(u,v)$ とすると、 $D$ は $\partial/\partial u+\alpha\,\partial/\partial v$ が張るので、座標を $(t,w)=(u,\ v-\alpha u)$ へ取り替えると $D$ は $\partial/\partial t$ が張る。この座標変換は線形同型であるが、もとのチャートの像が開直方体であっても新しい座標での像は平行四辺形になるので、そのままでは§E17.8 定義 2.2が要求する開直方体の条件を満たさない。そこで、新しい座標での像に含まれる開直方体を一つ取り、その逆像へ定義域を縮める。こうして得た平坦チャートを $(U,\chi)$ とすると、 $L\cap U$ の板は $w=v-\alpha u$ の値が $\{m-\alpha l:l,m\in\mathbb{Z}\}$ の元であるものに対応し、この集合は可算無限である。

5 充実トーラス上の Reeb 成分

充実トーラス $\mathbb{T}=D^2\times S^1$ （ $D^2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le1\}$ ）は境界を持つ対象であり、本記事のここまでの枠組み（境界を持たない多様体）の外にある。境界を持つ多様体の一般論、すなわち半空間へのチャートによる定義と境界の一般的な性質は「境界を持つ多様体と境界の向き」が扱う。以下では $\mathbb{T}$ を具体的な対象として扱い、内部 $\mathring{\mathbb{T}}=\mathring{D^2}\times S^1$ （ $\mathring{D^2}=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ ）における葉層を本記事の枠組みで構成する。さらに、分布を境界まで滑らかに延長し、境界点の半空間型の平坦チャートを直接構成して、境界 $\partial D^2\times S^1=S^1\times S^1$ が一枚の極大なコンパクト葉になることを示す。

例 5.1 (Reeb 成分). $f:\mathring{D^2}\to\mathbb{R}$ を

f(x,y)=\exp\left(\frac{1}{1-x^2-y^2}\right)

で定める。 $1-x^2-y^2>0$ であるから $f$ は $\mathring{D^2}$ 上で $C^\infty$ であり、 $x^2+y^2\to1$ のとき $f\to+\infty$ である。

分布を定める。 $\mathring{\mathbb{T}}=\mathring{D^2}\times S^1$ は境界を持たない $3$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。§E17.5 補題 2.3の $E$ の局所逆写像を $s$ と書くと、 $\partial/\partial s$ は局所座標のとり方に依らず定まる $S^1$ 上の $C^\infty$ ベクトル場である（二つの局所逆写像は定数だけ異なる）。これを $\mathring{\mathbb{T}}$ 上のベクトル場と見て $T$ と書く。

Z_1=\frac{\partial}{\partial x}+f_x\,T,\qquad Z_2=\frac{\partial}{\partial y}+f_y\,T

と定める（ $f_x=\partial f/\partial x$ 、 $f_y=\partial f/\partial y$ ）。 $Z_1$ と $Z_2$ は $C^\infty$ であり、 $\mathring{D^2}$ 方向の成分がそれぞれ $\partial/\partial x$ 、 $\partial/\partial y$ であるから各点で一次独立である。 $D=\operatorname{span}\{Z_1,Z_2\}$ は階数 $2$ の $C^\infty$ 分布である。

対合性。局所座標 $(x,y,s)$ では $T=\partial/\partial s$ であり、 $Z_1$ の成分は $(1,0,f_x)$ 、 $Z_2$ の成分は $(0,1,f_y)$ である。§E17.7 命題 1.3により、 $[Z_1,Z_2]$ の第一成分と第二成分は、 $Z_1$ と $Z_2$ の第一・第二成分が定数であることから $0$ である。第三成分は

\left(1\cdot\frac{\partial f_y}{\partial x}+0\cdot\frac{\partial f_y}{\partial y}+f_x\frac{\partial f_y}{\partial s}\right) -\left(0\cdot\frac{\partial f_x}{\partial x}+1\cdot\frac{\partial f_x}{\partial y}+f_y\frac{\partial f_x}{\partial s}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}-\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}=0

である（ $f$ は $s$ に依らないので $\partial f_x/\partial s=\partial f_y/\partial s=0$ であり、二階偏導関数の対称性は§E4.4 定理 2.1による）。よって $[Z_1,Z_2]=0$ であり $D$ は対合的である。§E17.8 定理 5.1により $D$ は葉層を定める。

葉を同定する。 $\lambda\in S^1$ を取り、 $\lambda=E(\mu)$ とする。写像

\Lambda_\mu:\mathring{D^2}\to\mathring{\mathbb{T}},\qquad \Lambda_\mu(x,y)=\bigl((x,y),\ E(f(x,y)+\mu)\bigr)

は $C^\infty$ 写像の合成であるから $C^\infty$ であり、第一成分を見れば単射である。局所座標 $(x,y,s)$ での表示は $(x,y)\mapsto(x,y,f(x,y)+\mu)$ であるから、微分は単射であり、像の接空間は $(1,0,f_x)$ と $(0,1,f_y)$ が張る空間、すなわち $D$ である。よって $\Lambda_\mu$ の像は連結な積分多様体である。

$\mu$ を $[0,1)$ の範囲で動かすと、これらの像は $\mathring{\mathbb{T}}$ を分割する。実際、 $((x,y),w)\in\mathring{\mathbb{T}}$ に対して $w=E(\nu)$ となる $\nu$ を取ると、 $\mu\equiv\nu-f(x,y)$ （ $\bmod\ 1$ ）がただ一つ定まる。系 3.2により各像はそれを含む葉の開集合であり、葉は連結であるから、葉はちょうど一つの像に一致する。すなわち $\mathring{\mathbb{T}}$ の葉は $L_\mu=\Lambda_\mu(\mathring{D^2})$ （ $\mu\in[0,1)$ ）である。

葉の微分同相型。 $\Lambda_\mu$ は $\mathring{D^2}$ から $L_\mu$ への微分同相である（系 3.2）。さらに

\Psi:\mathring{D^2}\to\mathbb{R}^2,\qquad \Psi(x,y)=\frac{(x,y)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}

は $C^\infty$ であり、逆写像 $\Psi^{-1}(a,b)=\dfrac{(a,b)}{\sqrt{1+a^2+b^2}}$ も $C^\infty$ であるから微分同相である。よってすべての葉 $L_\mu$ は $\mathbb{R}^2$ と微分同相であり、コンパクトでない。

葉の閉包は境界の円環面を含む。 $(q,w)\in\partial D^2\times S^1$ を取り、 $q\in\partial D^2$ 、 $w=E(\nu)$ とする。 $\mu$ を固定する。 $t\in[0,1)$ に対して $p_t=tq\in\mathring{D^2}$ と置くと

f(p_t)=\exp\left(\frac{1}{1-t^2}\right)

であり、 $t$ について連続かつ狭義単調増加で、 $t\to1^-$ のとき $+\infty$ へ発散する。したがって十分大きいすべての整数 $m$ に対して、中間値の定理により $f(p_{t_m})+\mu-\nu=m$ を満たす $t_m\in[0,1)$ が存在し、 $m\to\infty$ のとき $t_m\to1$ である。このとき

\Lambda_\mu(p_{t_m})=\bigl(p_{t_m},\ E(f(p_{t_m})+\mu)\bigr)=\bigl(t_mq,\ E(\nu+m)\bigr)=(t_mq,\ w)

であり、 $m\to\infty$ で $(q,w)$ へ収束する。よって $(q,w)\in\overline{L_\mu}$ である。 $(q,w)$ は任意であったから、各葉の閉包は境界の円環面 $\partial D^2\times S^1$ を含む。

分布を境界まで延長する。境界の近傍では極座標 $(r,\theta)$ を用いる。 $1/2<r<1$ とすると

\frac{\partial f}{\partial r} =\frac{2r}{(1-r^2)^2}\exp\left(\frac{1}{1-r^2}\right)>0

である。この近傍で

h(r)=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1} =\frac{(1-r^2)^2}{2r}\exp\left(-\frac{1}{1-r^2}\right)

と置き、 $h(1)=0$ と定める。 $u=1-r^2$ と置く。関数 $\eta(u)=e^{-1/u}$ （ $u>0$ ）、 $\eta(u)=0$ （ $u\le0$ ）は、§E17.2 補題 1.1により原点で平坦である。したがって、 $r=1$ の近傍で

\widetilde h(r)=\frac{(1-r^2)^2}{2r}\,\eta(1-r^2)

と置くと、 $\widetilde h$ は $C^\infty$ であり、 $r<1$ では $h$ に一致し、 $r\ge1$ では $0$ である。よって、以下では $h$ をこの $C^\infty$ 延長の意味で用いる。とくに、 $h$ のすべての導関数は $r=1$ で $0$ になる。

$A=\partial/\partial\theta$ とし、 $1/2<r\le1$ の範囲で

B=T+h(r)\frac{\partial}{\partial r}

と置く。内部では

\operatorname{span}\left\{\frac{\partial}{\partial\theta}, \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial r}T\right\} =\operatorname{span}\{A,B\}=D

である。 $A$ と $B$ は境界まで $C^\infty$ であり、 $r=1$ でも $A=\partial/\partial\theta$ 、 $B=T$ は一次独立である。したがって、内部の $D$ は境界まで階数 $2$ の $C^\infty$ 分布 $\widetilde D$ に延長し、境界では

\widetilde D_{(q,w)}=T_{(q,w)}(\partial D^2\times S^1)

となる。また、 $h$ は $\theta$ と $s$ に依らないので $[A,B]=0$ であり、延長した分布は境界を含む近傍でも対合的である。

境界点の半空間型の平坦チャートを構成する。 $V=h(r)\,\partial/\partial r$ とし、その局所流を $\phi_\sigma(r)$ と書く。上で構成した $h$ を $1$ の両側で用いる。通常の常微分方程式の滑らかな依存性により、 $\phi_\sigma(r)$ は $(\sigma,r)$ の $C^\infty$ 関数であり、 $\phi_\sigma(1)=1$ である。また変分方程式から

\frac{\partial\phi_\sigma}{\partial r}(r) =\exp\left(\int_0^\sigma h'\bigl(\phi_t(r)\bigr)\,dt\right)>0

を得る。

境界点 $((\cos\theta_0,\sin\theta_0),E(s_0))$ を固定する。 $a$ 、 $\sigma$ 、 $\tau$ を十分小さく取り、 $\tau\ge0$ として

Q(a,\sigma,\tau)= \left( \phi_\sigma(1-\tau)(\cos(\theta_0+a),\sin(\theta_0+a)), E(s_0+\sigma) \right)

と定める。 $Q$ の三つの座標方向の微分は、それぞれ $A$ 、 $B$ 、および $A$ と $B$ の張る平面に属さない零でない動径方向のベクトルである。したがって、 $Q$ を $\tau\ge0$ に制限した写像は、十分小さい半直方体から境界点の相対開近傍への $C^\infty$ 微分同相になる。その逆写像を $(a,\sigma,\tau)$ と書くと

\widetilde D=\operatorname{span}\left\{\frac{\partial}{\partial a}, \frac{\partial}{\partial\sigma}\right\}, \qquad \partial D^2\times S^1=\{\tau=0\}

である。これは境界点における半空間型の平坦チャートである。

境界の円環面が極大な葉であることを示す。 $N=\partial D^2\times S^1$ は連結であり、各点で $T_qN=\widetilde D_q$ であるから、 $N$ は連結な積分多様体である。 $P$ を $\widetilde D$ の連結な積分多様体とし、 $P$ が $N$ と交わるとする。上の半空間型の平坦チャートでは、 $d\tau$ は $\widetilde D$ 上で消える。したがって、 $P$ 上の関数 $\tau|_P$ は $P\cap N$ の各点の近傍で定数 $0$ であり、 $P\cap N$ は $P$ の開集合である。一方、 $N$ は $\mathbb{T}$ の閉集合であるから $P\cap N$ は $P$ の閉集合でもある。 $P$ の連結性から $P\subseteq N$ を得る。よって $N$ はそれより大きい連結な積分多様体に含まれず、 $\widetilde D$ の一枚の極大な葉である。 $N\cong S^1\times S^1$ はコンパクトである。

Reeb 成分。以上により、 $\mathbb{T}=D^2\times S^1$ の分割

\mathcal{R}=\{L_\mu:\mu\in[0,1)\}\cup\{\partial D^2\times S^1\}

が得られる。内部の成分はいずれも $\mathbb{R}^2$ と微分同相な非コンパクトな葉である。境界の成分は $S^1\times S^1$ と微分同相な一枚のコンパクト葉である。内部では既に $L_\mu$ が極大な葉であり、境界と交わる連結な積分多様体は境界に含まれるので、延長によって異なる $L_\mu$ が結合することもない。したがって $\mathcal{R}$ は $\widetilde D$ の葉全体である。この葉層を充実トーラス上の Reeb 成分という。

注意 5.2 (進まない範囲). Reeb 成分は、葉層に非コンパクトな葉とコンパクトな葉が同居する典型的な例である。三次元球面上の Reeb 葉層は、球面を二つの充実トーラスへ分ける分解を用いて二つの Reeb 成分を貼り合わせて作るが、その分解は本単元が扱わないので構成しない。葉層の分類、Reeb の安定性定理、葉層のホロノミー、およびコンパクトな葉の存在に関する Novikov の定理は「微分位相幾何」が扱う。

6 演習

問題 6.1.

補題 1.3の証明では、 $\partial/\partial t^i$ を $\partial/\partial t'^j$ の一次結合で書いた。この展開ができる理由を、二つのチャートがどちらも同じ分布 $D$ に対する平坦チャートであることに即して述べよ。
定理 2.5の第一段では、板の中の二点を可算族の板の鎖で結んだ。この段を省略して第三段の議論を可算族に限らない板について行おうとすると、どこで可算性が失われるかを説明せよ。
定理 2.5の第二段は、 $P$ が第二可算であることだけを使っている。 $M$ が第二可算でない場合に、葉が一つの平坦チャートの中で非可算個の板と交わる例を作る方針を述べよ。
定理 3.1の Hausdorff 性の証明では、 $M$ の Hausdorff 性から取った開集合の中に板を取った。 $L$ の位相は $M$ からの相対位相ではないので、 $V\cap L$ をそのまま用いることができない。その理由を述べよ。
定理 3.3の証明の第一段では、 $P=\iota(C)$ となる連結成分 $C$ がちょうど一つであることを $P$ の連結性から導いた。二つ以上あると仮定した場合に $P$ の連結性のどこに矛盾が生じるかを書き下せ。
例 4.2で $\alpha$ を有理数 $p/q$ （既約分数）に取り替えると、葉はどのような対象になるかを決定し、そのとき葉が埋め込み部分多様体になることを示せ。
例 5.1の $f$ を $f(x,y)=\dfrac{1}{1-x^2-y^2}$ に取り替えたとき、 $h=(\partial f/\partial r)^{-1}$ が $r=1$ まで滑らかに延長することを確かめよ。さらに、内部葉の閉包と境界葉に関する結論が同じように成立することを示せ。逆に $f$ を有界な関数に取り替えると、内部葉の閉包が境界の円環面を含むという結論がどこで壊れるかを述べよ。

7 境界と次

葉の位相。葉は $M$ のはめ込み部分多様体であり、その位相は一般に $M$ からの相対位相より真に細かい。例 4.2の葉は $M$ で稠密であり、相対位相では $1$ 次元多様体にならない。定理 3.3は、葉に入れることのできる多様体構造が一つしかないことを保証するので、「葉の位相」という言い方が曖昧さを持たない。

境界を持つ場合。例 5.1は境界を持つ対象を扱う唯一の箇所である。境界を持つ多様体の定義、境界点と内点の区別、および境界が余次元 $1$ の多様体になることの一般論は「境界を持つ多様体と境界の向き」が扱う。本記事は、その一般論を先取りせず、Reeb 成分に必要な半空間型の平坦チャートだけを具体的に構成した。

微分形式による定式化。分布を一次独立な $1$ 形式の共通の零点集合として与える定式化と、可積分条件を外積イデアルの言葉で書く形は「Frobenius の定理の微分形式による定式化」が扱う。例 5.1の分布は、内部では局所的に $ds-df$ の零点集合である。境界を含む極座標の近傍では、滑らかに延長した $1$ 形式 $dr-h(r)\,ds$ の零点集合として同じ分布を表すことができる。

扱わない事項。葉層の分類、Reeb の安定性定理、葉層のホロノミー、Novikov の定理、および葉空間の構造は「微分位相幾何」が扱う。本単元は葉層と葉を定義し、線形葉層と充実トーラス上の Reeb 成分を例として構成するところまでを扱う。

§E17.9葉層と葉