§E17.13Frobenius の定理の微分形式による定式化

証明.(1)を示す。チャート$(V,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$を$U$の中に取り、$Y_b=\sum_{i=1}^{n}A^i_b\,\partial/\partial x^i$と書く。$A=(A^i_b)$の成分は$C^\infty$であり、各点で$A$は可逆である。$\varepsilon^a=\sum_{i=1}^{n}B^a_i\,dx^i$と置くと$\varepsilon^a(Y_b)=\sum_{i=1}^{n}B^a_iA^i_b$であるから、条件は$BA=I$、すなわち$B=A^{-1}$である。Cramer の公式により$A^{-1}$の成分は$A$の成分の多項式を$\det A$で割ったものであり、$\det A$は消えないので$B$の成分は$C^\infty$である。よって§E17.10 命題 2.2により$\varepsilon^a$は$C^\infty$である。$B$が可逆であるから$(\varepsilon^1|_q,\dots,\varepsilon^n|_q)$は$T^*_qM$の基底である。

(2)を示す。同じ計算を逆向きに行う。$\varepsilon^a=\sum_{i=1}^{n}B^a_i\,dx^i$の成分行列$B$は$C^\infty$で各点可逆であり、$A=B^{-1}$の成分が$C^\infty$であることから$Y_b=\sum_{i=1}^{n}A^i_b\,\partial/\partial x^i$は$C^\infty$ベクトル場である。

(3)を示す。各点で$\{\varepsilon^{b_1}|_q\wedge\cdots\wedge\varepsilon^{b_m}|_q\}$は$\bigwedge^m(T^*_qM)$の基底である（§E3.14 定理 2.1）。§E17.10 系 3.6により

であり、増加添字$B$、$C$に対してこれは$B=C$のとき$1$、そうでないとき$0$である（§E17.10 命題 4.1の証明と同じ議論）。よって展開は一意であり、係数は$\xi(Y_{b_1},\dots,Y_{b_m})$に等しい。これは$C^\infty$関数である。▨

証明.(1)を示す。§E17.8 定義 1.1により、$p$のある開近傍$U_0$の上で$D$を張る$C^\infty$ベクトル場の枠$X_1,\dots,X_k$が存在する。$U_0$をチャートの定義域に取り替え、座標基底を$\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^n$とする。$X_1|_p,\dots,X_k|_p$は一次独立であるから、座標基底のうち$n-k$個を選んで$T_pM$の基底を作ることができる。番号を付け替えて、それらを$\partial/\partial x^{k+1}|_p,\dots,\partial/\partial x^{n}|_p$とする。

$Y_1,\dots,Y_n$を$X_1,\dots,X_k,\partial/\partial x^{k+1},\dots,\partial/\partial x^{n}$と定め、これらを座標基底で表した行列を$A$とする。$A$の成分は$C^\infty$であり$\det A(p)\ne0$であるから、$\det A$の連続性により$\det A\ne0$となる$p$の開近傍$U\subseteq U_0$が存在する。$U$の上で$(Y_1,\dots,Y_n)$は各点で基底をなす$C^\infty$枠である。

補題 1.1 (1)により双対な$C^\infty$余枠$(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})$が定まる（$\omega^a=\varepsilon^{k+a}$と書いた）。$v=\sum_{b=1}^{n}c^bY_b|_q$に対して$\omega^a(v)=c^{k+a}$であるから、$\bigcap_a\ker\omega^a_q$は$Y_1|_q,\dots,Y_k|_q$が張る部分空間、すなわち$D_q$である。

(2)を示す。各点$q$で$\omega^1|_q,\dots,\omega^{n-k}|_q$は一次独立であるから、共通の核は$k$次元である。$q_0\in U$を取り、座標基底の双対基底$dx^1,\dots,dx^n$のうち$k$個を選んで$(\,\cdot\,,\omega^1|_{q_0},\dots,\omega^{n-k}|_{q_0})$が$T^*_{q_0}M$の基底になるようにする。番号を付け替えて$dx^1,\dots,dx^k$とする。行列式の連続性から、$q_0$のある近傍$U'$の上で$(dx^1,\dots,dx^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})$は各点で基底をなす。補題 1.1 (2)により、双対な$C^\infty$枠$(Z_1,\dots,Z_k,W_1,\dots,W_{n-k})$が定まる。$\omega^a(Z_i)=0$であるから$Z_1,\dots,Z_k$は$\bigcap_a\ker\omega^a$に属し、次元から各点でそれを張る。よって$\bigcap_a\ker\omega^a$は階数$k$の$C^\infty$分布である。▨

証明.$\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a$（$\eta_a\in\Omega^{m-1}(U)$）と書く。各$a$について、§E17.10 定理 3.5の結合性から

である。$\zeta\wedge\eta_a\in\Omega^{m+l-1}(U)$であるから、$a$について和を取ると$\zeta\wedge\xi\in\mathcal{I}^{m+l}$を得る。

つぎに各$a$について、$\eta_a$の次数は$m-1$、$\omega^a$の次数は$1$であるから、§E17.10 定理 3.5の次数付き交換性を二度用いて

である（第一の等号では$\omega^a\wedge\zeta=(-1)^{1\cdot l}\zeta\wedge\omega^a$、第二の等号では$\eta_a\wedge\zeta=(-1)^{(m-1)l}\zeta\wedge\eta_a$を用いた）。右辺は$\mathcal{I}^{m+l}$の元の定数倍であるから、$a$について和を取ると$\xi\wedge\zeta\in\mathcal{I}^{m+l}$を得る。▨

証明.条件 (a)$\Rightarrow$(b)を示す。$\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a$（$\eta_a\in\Omega^{m-1}(U)$）とし、$v_1,\dots,v_m\in D_q$とする。各$a$について$\xi_a=\eta_a\wedge\omega^a$と置く。$\omega^a$は$1$形式であるから、§E17.10 命題 3.3を$(m-1,1)$シャッフルに適用すると、各$a$について

となる。$v_j\in D_q$から$\omega^a_q(v_j)=0$であり、すべての項が消える。したがって$\xi_q(v_1,\dots,v_m)=\sum_{a=1}^{n-k}(\xi_a)_q(v_1,\dots,v_m)=0$である。

条件 (b)$\Rightarrow$(a)を示す。補題 1.1 (3)を余枠$(\theta^1,\dots,\theta^n)=(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^k,\omega^1,\dots,\omega^{n-k})$に適用して

と展開する（$B=(b_1<\cdots<b_m)$）。$B$が$\{1,\dots,k\}$に含まれない項、すなわち$b_r\ge k+1$となる$r$を持つ項は、§E17.10 系 3.6により因子を並べ替えて$\pm(\text{形式})\wedge\omega^{b_r-k}$の形に書くことができ、$\mathcal{I}^m$に属する。それらの和を$\xi''$と置き、$B\subseteq\{1,\dots,k\}$の項の和を$\xi'$と置くと$\xi=\xi'+\xi''$である。

$\xi''\in\mathcal{I}^m$であるから、すでに示した含意により$\xi''$は$D$を消す。仮定から$\xi$も$D$を消すので、$\xi'$も$D$を消す。$D_q$は$Y_1|_q,\dots,Y_k|_q$が張るので、増加添字$B\subseteq\{1,\dots,k\}$に対して

である（補題 1.1 (3)）。よって$\xi'=0$であり$\xi=\xi''\in\mathcal{I}^m$である。

最後の主張は、2 の条件が$D$だけで書かれていることによる。▨

証明.条件 (b)$\Rightarrow$(c)を示す。条件 (b)を仮定する。$\omega^a$は$\eta_b=\delta^a_b$（定数関数）を取ると$\mathcal{I}^1$に属するので$d\omega^a\in\mathcal{I}^2$である。$\mathcal{I}^2$の元は$\sum_{b=1}^{n-k}\eta_b\wedge\omega^b$（$\eta_b\in\Omega^1(U)$）の形であるから、$\theta^a_b=\eta_b$と置けば条件 (c)を得る。

条件 (c)$\Rightarrow$(b)を示す。条件 (c)を仮定する。$\xi=\sum_{a=1}^{n-k}\eta_a\wedge\omega^a\in\mathcal{I}^m$（$\eta_a\in\Omega^{m-1}(U)$）とする。§E17.11 定義 2.1 条件 (c)により

である。第一の和は$\mathcal{I}^{m+1}$に属する。第二の和は 3 と§E17.10 定理 3.5の結合性により

と書き直され（命題 2.2の証明と同じ計算である）、これも$\mathcal{I}^{m+1}$に属する。よって$d\xi\in\mathcal{I}^{m+1}$である。

条件 (a)$\Leftrightarrow$(c)を示す。§E17.8 定理 5.1を開部分多様体$U$（§E17.1 命題 7.1）へ適用すると、条件 (a)は$D$が対合的であること、すなわち$D$に属する任意の二つの$C^\infty$ベクトル場$X,Y$に対して$[X,Y]$もまた$D$に属することと同値である。積分多様体の存在は各点の近傍だけで述べられる条件であるから、$U$の上で調べれば足りる。

$X,Y$を$U$上の$C^\infty$ベクトル場で、各点で$D$に属するものとする。$\omega^a(X)=\omega^a(Y)=0$であるから、§E17.11 定理 4.2により

である。$[X,Y]$が各点で$D$に属することは、すべての$a$について$\omega^a([X,Y])=0$となることと同値である。したがって

• $D$が対合的であること

と

• すべての$a$と、$D$に属するすべての$C^\infty$ベクトル場$X,Y$に対して$d\omega^a(X,Y)=0$となること

は同値である。後者は、$d\omega^a$が各点で$D_q$を消すことと同値である。実際、$v,w\in D_q$に対しては、定数係数の一次結合$\sum_{i=1}^{k}c^iY_i$と$\sum_{i=1}^{k}c'^iY_i$を取ると$D$に属する$C^\infty$ベクトル場であって$q$でそれぞれ$v$、$w$に等しいものが得られ、$d\omega^a$は各点で決まる形式であるから$d\omega^a_q(v,w)=d\omega^a(X,Y)(q)$である。

補題 2.3により、$d\omega^a$が$D$を消すことと$d\omega^a\in\mathcal{I}^2$であることは同値であり、後者は条件 (c)と同じ主張である。▨

証明.条件 (a)$\Rightarrow$(b)を示す。§E17.8 定理 5.1により、$q_0$の周りに平坦チャート$(V,\psi=(y^1,\dots,y^n))$が存在して、$D|_V$は$\partial/\partial y^1,\dots,\partial/\partial y^k$が張る。$u^a=y^{k+a}$（$a=1,\dots,n-k$）と置く。$du^1,\dots,du^{n-k}$は座標の双対基底の一部であるから各点で一次独立である。

$\omega^a$は$D$を消すので、補題 1.1 (3)を余枠$(dy^1,\dots,dy^n)$に適用して$\omega^a=\sum_{i=1}^{n}\omega^a_i\,dy^i$と書くと、$i\le k$に対して$\omega^a_i=\omega^a(\partial/\partial y^i)=0$である。よって$\omega^a=\sum_{b=1}^{n-k}c^a_b\,du^b$（$c^a_b=\omega^a_{k+b}$）である。行列$(c^a_b)$は、$\omega^1,\dots,\omega^{n-k}$が各点で一次独立であることから可逆である。

条件 (b)$\Rightarrow$(a)を示す。§E17.11 定義 2.1 条件 (c)と§E17.11 定義 2.1 条件 (d)により

である。$(c^a_b)$の逆行列を$(\tilde c^a_b)$と書くと$du^b=\sum_{e=1}^{n-k}\tilde c^b_e\,\omega^e$であるから

となり、定理 3.1 条件 (c)が成り立つ。よって$D$は可積分である。

積分多様体の記述。$du^1,\dots,du^{n-k}$は各点で一次独立であるから、$u=(u^1,\dots,u^{n-k})$は沈め込みである。したがって、$u^{-1}(t)$が空でなければ、§E17.5 定理 4.3により$u^{-1}(t)$は$V$の$k$次元埋め込み部分多様体であり、各$q\in u^{-1}(t)$における接空間は$\ker du_q$である。行列$(c^a_b)$が可逆であることから

となるので、$u^{-1}(t)$の各連結成分は$D$の積分多様体である。多様体の各点には連結な座標近傍があるため、各連結成分は$u^{-1}(t)$の開部分多様体であり、次元と接空間は変わらない。

逆に、$(N,\iota)$を$\iota(N)\subseteq V$を満たす連結な積分多様体とする。各$a$について

である。したがって$u^a\circ\iota$は局所定数である。$N$は連結であるから、局所定数関数$u^a\circ\iota$は$N$上で定数である。よって、ある$t\in\mathbb{R}^{n-k}$に対して$\iota(N)\subseteq u^{-1}(t)$であり、$\iota(N)$は連結なので$u^{-1}(t)$の一つの連結成分に含まれる。その連結成分自身が積分多様体であるため、連結成分は像の包含関係に関して$V$内で極大である。▨

証明. 四つの主張はいずれも各点の近傍で確かめれば足りる（可積分性は各点を通る積分多様体の存在であり、条件 (c)は各点での等式である）。そこで補題 1.2 (2)の議論により、各点の近傍を、$(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^{n-1},\omega)$が各点で$T^*_qM$の基底をなす開集合に取り替える。この組は$n-k=1$の場合の適合余枠であり、$D=\ker\omega$がそれに対応する階数$n-1$の分布である。

条件 (a)$\Leftrightarrow$(b)は定理 3.1である。条件 (a)$\Leftrightarrow$(d)は定理 4.1であり、$f=c^1_1$、$u=u^1$と読み替えればよい。

条件 (b)$\Rightarrow$(c)を示す。$d\omega=\theta\wedge\omega$ならば、§E17.10 定理 3.5により

である（$1$形式どうしは反交換し、$\omega\wedge\omega=0$である）。この主張は各点で成り立つので、局所的な条件 (b)から大域的な条件 (c)が従う。

条件 (c)$\Rightarrow$(b)を示す。$q_0\in U$を取る。$\omega|_{q_0}\ne0$であるから、補題 1.2 (2)の議論により、$q_0$の近傍$V$と$C^\infty$$1$形式$\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^{n-1}$であって$(\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^{n-1},\omega)$が各点で$T^*_qM$の基底をなすものを取ることができる。補題 1.1 (3)により

と一意に表される。$\omega\wedge\omega=0$から

であり、$\{\omega\wedge\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j\}_{i<j}$は$3$次外冪の基底の一部（符号を除く）であるから一次独立である。したがって$\omega\wedge d\omega=0$は、すべての$i<j$で$A_{ij}=0$であることと同値である。そのとき

であり、$\theta=\sum_{i=1}^{n-1}B_i\varepsilon^i$と置けば 2 を得る。▨