1 半空間の上の微分 半空間の相対開集合はR n \mathbb{R}^n R n
定義 1.1. D ⊆ H n D\subseteq\mathbb{H}^n D ⊆ H n H n \mathbb{H}^n H n f : D → R m f\colon D\to\mathbb{R}^m f : D → R m C ∞ C^\infty C ∞ smooth on a half-space )x ∈ D x\in D x ∈ D R n \mathbb{R}^n R n x x x W W W C ∞ C^\infty C ∞ f ~ : W → R m \tilde f\colon W\to\mathbb{R}^m f ~ : W → R m W ∩ D W\cap D W ∩ D f ~ = f \tilde f=f f ~ = f f ~ \tilde f f ~ x x x f f f 拡張 (smooth extension )
D D D R n \mathbb{R}^n R n f ~ = f \tilde f=f f ~ = f C ∞ C^\infty C ∞
補題 1.2. D ⊆ H n D\subseteq\mathbb{H}^n D ⊆ H n f : D → R m f\colon D\to\mathbb{R}^m f : D → R m C ∞ C^\infty C ∞ x ∈ D x\in D x ∈ D x x x f f f f ~ \tilde f f ~ f ^ \hat f f ^ D f ~ ( x ) = D f ^ ( x ) D\tilde f(x)=D\hat f(x) D f ~ ( x ) = D f ^ ( x ) D f ( x ) Df(x) D f ( x ) D f : D → M m , n ( R ) Df\colon D\to M_{m,n}(\mathbb{R}) D f : D → M m , n ( R ) C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ D D D D D D
証明. x n > 0 x^n>0 x n > 0 D D D x x x R n \mathbb{R}^n R n f ~ = f ^ = f \tilde f=\hat f=f f ~ = f ^ = f
x n = 0 x^n=0 x n = 0 1 ≤ j ≤ n − 1 1\le j\le n-1 1 ≤ j ≤ n − 1 h h h x + h e j x+he_j x + h e j n n n 0 0 0 x + h e j ∈ H n x+he_j\in\mathbb{H}^n x + h e j ∈ H n e j e_j e j j j j D D D H n \mathbb{H}^n H n ∣ h ∣ |h| ∣ h ∣ x + h e j ∈ D x+he_j\in D x + h e j ∈ D
∂ f ~ ∂ x j ( x ) = lim h → 0 f ~ ( x + h e j ) − f ~ ( x ) h = lim h → 0 f ( x + h e j ) − f ( x ) h \frac{\partial\tilde f}{\partial x^j}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\tilde f(x+he_j)-\tilde f(x)}{h}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+he_j)-f(x)}{h} ∂ x j ∂ f ~ ( x ) = h → 0 lim h f ~ ( x + h e j ) − f ~ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h e j ) − f ( x ) であり、右辺はf f f j = n j=n j = n f ~ \tilde f f ~ x x x R n \mathbb{R}^n R n lim h → 0 ( f ~ ( x + h e n ) − f ~ ( x ) ) / h \lim_{h\to 0}\bigl(\tilde f(x+he_n)-\tilde f(x)\bigr)/h lim h → 0 ( f ~ ( x + h e n ) − f ~ ( x ) ) / h
∂ f ~ ∂ x n ( x ) = lim h → 0 + f ( x + h e n ) − f ( x ) h \frac{\partial\tilde f}{\partial x^n}(x)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+he_n)-f(x)}{h} ∂ x n ∂ f ~ ( x ) = h → 0 + lim h f ( x + h e n ) − f ( x ) であり、h > 0 h>0 h > 0 x + h e n ∈ D x+he_n\in D x + h e n ∈ D f f f D f ~ ( x ) = D f ^ ( x ) D\tilde f(x)=D\hat f(x) D f ~ ( x ) = D f ^ ( x )
D f Df D f ∂ f ~ i / ∂ x j \partial\tilde f^{\,i}/\partial x^j ∂ f ~ i / ∂ x j D D D ∂ f ~ i / ∂ x j \partial\tilde f^{\,i}/\partial x^j ∂ f ~ i / ∂ x j C ∞ C^\infty C ∞ D f Df D f 定義 1.1 の意味でC ∞ C^\infty C ∞ D D D ▨
補題 1.3. D , D ′ ⊆ H n D,D'\subseteq\mathbb{H}^n D , D ′ ⊆ H n τ : D → D ′ \tau\colon D\to D' τ : D → D ′ τ \tau τ τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 C ∞ C^\infty C ∞
すべてのx ∈ D x\in D x ∈ D D τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) D ( τ − 1 ) ( τ ( x ) ) = D τ ( x ) − 1 D(\tau^{-1})(\tau(x))=D\tau(x)^{-1} D ( τ − 1 ) ( τ ( x )) = D τ ( x ) − 1
τ ( D ∩ Int H n ) = D ′ ∩ Int H n \tau\bigl(D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n\bigr)=D'\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n τ ( D ∩ Int H n ) = D ′ ∩ Int H n τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n \tau\bigl(D\cap\partial\mathbb{H}^n\bigr)=D'\cap\partial\mathbb{H}^n τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n x ∈ D ∩ ∂ H n x\in D\cap\partial\mathbb{H}^n x ∈ D ∩ ∂ H n 1 ≤ j ≤ n − 1 1\le j\le n-1 1 ≤ j ≤ n − 1 ∂ τ n ∂ x j ( x ) = 0 \dfrac{\partial\tau^n}{\partial x^j}(x)=0 ∂ x j ∂ τ n ( x ) = 0 ∂ τ n ∂ x n ( x ) > 0 \dfrac{\partial\tau^n}{\partial x^n}(x)>0 ∂ x n ∂ τ n ( x ) > 0 証明. (1) を示す。σ = τ − 1 \sigma=\tau^{-1} σ = τ − 1 x ∈ D x\in D x ∈ D x x x τ \tau τ τ ~ \tilde\tau τ ~ W W W τ ( x ) \tau(x) τ ( x ) σ \sigma σ σ ~ \tilde\sigma σ ~ W ′ W' W ′ τ ~ \tilde\tau τ ~ W W W τ ~ ( W ) ⊆ W ′ \tilde\tau(W)\subseteq W' τ ~ ( W ) ⊆ W ′ y ∈ W ∩ D y\in W\cap D y ∈ W ∩ D σ ~ ( τ ~ ( y ) ) = σ ( τ ( y ) ) = y \tilde\sigma(\tilde\tau(y))=\sigma(\tau(y))=y σ ~ ( τ ~ ( y )) = σ ( τ ( y )) = y C ∞ C^\infty C ∞ σ ~ ∘ τ ~ \tilde\sigma\circ\tilde\tau σ ~ ∘ τ ~ W ∩ D W\cap D W ∩ D W ∩ D W\cap D W ∩ D W ∩ H n W\cap\mathbb{H}^n W ∩ H n x x x 補題 1.2 の最後の主張により両者のx x x §E4.3 定理 1.1 ）から
D σ ~ ( τ ( x ) ) D τ ~ ( x ) = I D\tilde\sigma\bigl(\tau(x)\bigr)\,D\tilde\tau(x)=I D σ ~ ( τ ( x ) ) D τ ~ ( x ) = I である。τ \tau τ σ \sigma σ D τ ~ ( x ) D σ ~ ( τ ( x ) ) = I D\tilde\tau(x)\,D\tilde\sigma(\tau(x))=I D τ ~ ( x ) D σ ~ ( τ ( x )) = I D τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) D σ ( τ ( x ) ) D\sigma(\tau(x)) D σ ( τ ( x ))
(2) を示す。x ∈ D ∩ Int H n x\in D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n x ∈ D ∩ Int H n τ ( x ) ∈ ∂ H n \tau(x)\in\partial\mathbb{H}^n τ ( x ) ∈ ∂ H n D ∩ Int H n D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n D ∩ Int H n R n \mathbb{R}^n R n τ \tau τ C ∞ C^\infty C ∞ (1) によりD τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) §E4.7 定理 2.1 によりx x x O 0 ⊆ D ∩ Int H n O_0\subseteq D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n O 0 ⊆ D ∩ Int H n τ ( x ) \tau(x) τ ( x ) V 0 ⊆ R n V_0\subseteq\mathbb{R}^n V 0 ⊆ R n τ : O 0 → V 0 \tau\colon O_0\to V_0 τ : O 0 → V 0 V 0 ⊆ τ ( D ) = D ′ ⊆ H n V_0\subseteq\tau(D)=D'\subseteq\mathbb{H}^n V 0 ⊆ τ ( D ) = D ′ ⊆ H n V 0 V_0 V 0 R n \mathbb{R}^n R n τ ( x ) \tau(x) τ ( x ) n n n 0 0 0 V 0 V_0 V 0 n n n V 0 ⊆ H n V_0\subseteq\mathbb{H}^n V 0 ⊆ H n τ ( D ∩ Int H n ) ⊆ D ′ ∩ Int H n \tau\bigl(D\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n\bigr)\subseteq D'\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n τ ( D ∩ Int H n ) ⊆ D ′ ∩ Int H n σ \sigma σ τ \tau τ τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n \tau\bigl(D\cap\partial\mathbb{H}^n\bigr)=D'\cap\partial\mathbb{H}^n τ ( D ∩ ∂ H n ) = D ′ ∩ ∂ H n
(3) を示す。(2) により、( x ′ , 0 ) ∈ D (x',0)\in D ( x ′ , 0 ) ∈ D x ′ x' x ′ τ n ( x ′ , 0 ) = 0 \tau^n(x',0)=0 τ n ( x ′ , 0 ) = 0 1 ≤ j ≤ n − 1 1\le j\le n-1 1 ≤ j ≤ n − 1 x + h e j x+he_j x + h e j n n n 0 0 0 補題 1.2 の証明で見たとおり
∂ τ n ∂ x j ( x ) = lim h → 0 τ n ( x + h e j ) − τ n ( x ) h = 0 \frac{\partial\tau^n}{\partial x^j}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\tau^n(x+he_j)-\tau^n(x)}{h}=0 ∂ x j ∂ τ n ( x ) = h → 0 lim h τ n ( x + h e j ) − τ n ( x ) = 0 である。また
∂ τ n ∂ x n ( x ) = lim h → 0 + τ n ( x + h e n ) − 0 h \frac{\partial\tau^n}{\partial x^n}(x)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\tau^n(x+he_n)-0}{h} ∂ x n ∂ τ n ( x ) = h → 0 + lim h τ n ( x + h e n ) − 0 であり、τ n ≥ 0 \tau^n\ge 0 τ n ≥ 0 h > 0 h>0 h > 0 0 0 0 0 0 0 D τ ( x ) D\tau(x) D τ ( x ) n n n 0 0 0 ▨
2 境界を持つ多様体 補題 2.1. R n : R n → R n R_n\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n R n : R n → R n R n ( x 1 , … , x n − 1 , x n ) = ( x 1 , … , x n − 1 , − x n ) R_n(x^1,\dots,x^{n-1},x^n)=(x^1,\dots,x^{n-1},-x^n) R n ( x 1 , … , x n − 1 , x n ) = ( x 1 , … , x n − 1 , − x n ) R n R_n R n det R n = − 1 \det R_n=-1 det R n = − 1 R n ∘ R n = id R_n\circ R_n=\operatorname{id} R n ∘ R n = id R n ( H − n ) = H n R_n(\mathbb{H}^n_{-})=\mathbb{H}^n R n ( H − n ) = H n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n R_n(\partial\mathbb{H}^n)=\partial\mathbb{H}^n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n D ⊆ H − n D\subseteq\mathbb{H}^n_{-} D ⊆ H − n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n R n ( D ) R_n(D) R n ( D ) H n \mathbb{H}^n H n f : D → R m f\colon D\to\mathbb{R}^m f : D → R m f f f 定義 1.1 と同じ意味でC ∞ C^\infty C ∞ f ∘ R n f\circ R_n f ∘ R n R n ( D ) R_n(D) R n ( D ) C ∞ C^\infty C ∞ D f ( x ) = D ( f ∘ R n ) ( R n x ) R n Df(x)=D(f\circ R_n)(R_n x)\,R_n D f ( x ) = D ( f ∘ R n ) ( R n x ) R n
証明. R n R_n R n R n R_n R n R n \mathbb{R}^n R n f ~ \tilde f f ~ x x x f f f f ~ ∘ R n \tilde f\circ R_n f ~ ∘ R n R n x R_nx R n x f ∘ R n f\circ R_n f ∘ R n §E4.3 定理 1.1 ）による。▨
以上により、H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n R n R_n R n H n \mathbb{H}^n H n 定義 1.1 、補題 1.2 、補題 1.3 を、H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n
R n \mathbb{R}^n R n H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n 許容領域 と呼ぶ。R n \mathbb{R}^n R n H n \mathbb{H}^n H n Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n 定義 1.1 は許容領域の上の写像に対してそのまま意味を持ち、R n \mathbb{R}^n R n C ∞ C^\infty C ∞
定義 2.2. M M M M M M 境界付きチャート (chart with boundary )M M M U U U U U U φ ( U ) ⊆ R n \varphi(U)\subseteq\mathbb{R}^n φ ( U ) ⊆ R n φ \varphi φ ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) 両立する (compatible charts with boundary )U ∩ V = ∅ U\cap V=\varnothing U ∩ V = ∅
ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) ⟶ ψ ( U ∩ V ) \psi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U\cap V)\longrightarrow\psi(U\cap V) ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) ⟶ ψ ( U ∩ V ) とその逆写像がともに定義 1.1 の意味でC ∞ C^\infty C ∞ M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ n n n §E17.1 命題 2.3 と同じ議論による。
境界付きチャート( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 正の型の境界チャート (positive-type boundary chart )φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n φ ( U ) ∩ ∂ H n ≠ ∅ \varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n\ne\varnothing φ ( U ) ∩ ∂ H n = ∅ H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n 負の型の境界チャート (negative-type boundary chart )境界チャート (boundary chart )内部チャート (interior chart )p ∈ M p\in M p ∈ M M M M boundary point ofM M M )p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) φ ( p ) ∈ ∂ H n \varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ ∂ H n ∂ M \partial M ∂ M M ∖ ∂ M M\setminus\partial M M ∖ ∂ M Int M \operatorname{Int}M Int M 内点 (interior point )
一つの境界チャートが正の型と負の型を兼ねることはない。実際、∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n H n \mathbb{H}^n H n n n n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n R n \mathbb{R}^n R n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n
命題 2.3. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) φ ( p ) ∈ ∂ H n \varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ ∂ H n
p p p ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) ψ ( p ) ∈ ∂ H n \psi(p)\in\partial\mathbb{H}^n ψ ( p ) ∈ ∂ H n p p p R n \mathbb{R}^n R n 証明. 条件 (a) を示す。負の型の境界チャートについては補題 2.1 のR n R_n R n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n R_n(\partial\mathbb{H}^n)=\partial\mathbb{H}^n R n ( ∂ H n ) = ∂ H n ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 φ ( U ∩ V ) \varphi(U\cap V) φ ( U ∩ V ) ψ ( U ∩ V ) \psi(U\cap V) ψ ( U ∩ V ) τ \tau τ τ − 1 \tau^{-1} τ − 1 C ∞ C^\infty C ∞ H n \mathbb{H}^n H n 補題 1.3 (2) を適用することができ、ψ ( p ) = τ ( φ ( p ) ) ∈ ∂ H n \psi(p)=\tau(\varphi(p))\in\partial\mathbb{H}^n ψ ( p ) = τ ( φ ( p )) ∈ ∂ H n
条件 (b) を示す。( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) R n \mathbb{R}^n R n 注意 2.4 の微分同相Θ \Theta Θ ( V , Θ ∘ ψ ) (V,\Theta\circ\psi) ( V , Θ ∘ ψ ) Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) 補題 1.3 の対象になる。同補題の補題 1.3 (2) によりΘ ( ψ ( p ) ) ∈ ∂ H n \Theta(\psi(p))\in\partial\mathbb{H}^n Θ ( ψ ( p )) ∈ ∂ H n Θ \Theta Θ Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n ▨
対偶として、p p p R n \mathbb{R}^n R n p p p
命題 2.5. Int M \operatorname{Int}M Int M M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
証明. p ∈ Int M p\in\operatorname{Int}M p ∈ Int M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 注意 2.4 により、φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n φ ( p ) ∈ ∂ H n \varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ ∂ H n ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) p p p φ ( p ) ∈ Int H n \varphi(p)\in\operatorname{Int}\mathbb{H}^n φ ( p ) ∈ Int H n U 0 = φ − 1 ( φ ( U ) ∩ Int H n ) U_0=\varphi^{-1}\bigl(\varphi(U)\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n\bigr) U 0 = φ − 1 ( φ ( U ) ∩ Int H n ) U 0 U_0 U 0 M M M p ∈ U 0 p\in U_0 p ∈ U 0 U 0 U_0 U 0 ( U 0 , φ ∣ U 0 ) (U_0,\varphi|_{U_0}) ( U 0 , φ ∣ U 0 ) Int H n \operatorname{Int}\mathbb{H}^n Int H n 命題 2.3 により内点である。よってInt M \operatorname{Int}M Int M ( U 0 , φ ∣ U 0 ) (U_0,\varphi|_{U_0}) ( U 0 , φ ∣ U 0 ) R n \mathbb{R}^n R n C ∞ C^\infty C ∞ Int M \operatorname{Int}M Int M C ∞ C^\infty C ∞ ▨
定理 2.6. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M ≠ ∅ \partial M\ne\varnothing ∂ M = ∅ ∂ M \partial M ∂ M M M M ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ))
U ∂ = U ∩ ∂ M , φ ∂ = ( x 1 , … , x n − 1 ) ∣ U ∂ U^\partial=U\cap\partial M,
\qquad
\varphi^\partial=(x^1,\dots,x^{n-1})\big|_{U^\partial} U ∂ = U ∩ ∂ M , φ ∂ = ( x 1 , … , x n − 1 ) U ∂ と定めると、これらの全体は∂ M \partial M ∂ M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M \partial M ∂ M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ ι : ∂ M → M \iota\colon\partial M\to M ι : ∂ M → M C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M \partial M ∂ M M M M 1 1 1
φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ( R n − 1 × { 0 } ) \varphi(U\cap\partial M)=\varphi(U)\cap\bigl(\mathbb{R}^{n-1}\times\{0\}\bigr) φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ( R n − 1 × { 0 } ) を満たす。
証明. ∂ M \partial M ∂ M
( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 命題 2.3 により、q ∈ U q\in U q ∈ U ∂ M \partial M ∂ M φ ( q ) ∈ ∂ H n \varphi(q)\in\partial\mathbb{H}^n φ ( q ) ∈ ∂ H n φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ∂ H n \varphi(U\cap\partial M)=\varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n φ ( U ∩ ∂ M ) = φ ( U ) ∩ ∂ H n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n R n − 1 × { 0 } \mathbb{R}^{n-1}\times\{0\} R n − 1 × { 0 } φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n φ ( U ) ∩ ∂ H n \varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n φ ( U ) ∩ ∂ H n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n n n n R n − 1 \mathbb{R}^{n-1} R n − 1 φ ∂ \varphi^\partial φ ∂ φ \varphi φ n n n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n R n − 1 \mathbb{R}^{n-1} R n − 1 ∂ M \partial M ∂ M
座標変換を確かめる。( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 補題 1.3 (2) によりτ \tau τ ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n x ′ ∈ R n − 1 x'\in\mathbb{R}^{n-1} x ′ ∈ R n − 1
ψ ∂ ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( τ 1 ( x ′ , 0 ) , … , τ n − 1 ( x ′ , 0 ) ) \psi^\partial\circ(\varphi^\partial)^{-1}(x')=\bigl(\tau^1(x',0),\dots,\tau^{n-1}(x',0)\bigr) ψ ∂ ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( τ 1 ( x ′ , 0 ) , … , τ n − 1 ( x ′ , 0 ) ) である。τ \tau τ C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ τ ~ \tilde\tau τ ~ x ′ ↦ τ ~ i ( x ′ , 0 ) x'\mapsto\tilde\tau^{i}(x',0) x ′ ↦ τ ~ i ( x ′ , 0 ) i ≤ n − 1 i\le n-1 i ≤ n − 1 C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ { ( U ∂ , φ ∂ ) } \{(U^\partial,\varphi^\partial)\} {( U ∂ , φ ∂ )} ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) C ∞ C^\infty C ∞ R n − 1 \mathbb{R}^{n-1} R n − 1 ∂ M \partial M ∂ M
包含写像の座標表示は
φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) \varphi\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1}(x')=(x',0) φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) であるから、ι \iota ι C ∞ C^\infty C ∞ a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) a'\mapsto(a',0) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) ι \iota ι ∂ M \partial M ∂ M M M M ι \iota ι ι \iota ι ∂ M \partial M ∂ M x n = 0 x^n=0 x n = 0 ∂ M \partial M ∂ M M M M 1 1 1 ▨
3 境界を持つ多様体の接空間と微分形式 境界点においても接空間はn n n C ∞ ( M ) C^\infty(M) C ∞ ( M ) §E17.4 定義 1.1 ）をそのまま用いる。この記述はH n \mathbb{H}^n H n
定義 3.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U α , φ α ) (U_\alpha,\varphi_\alpha) ( U α , φ α ) a ∈ R n a\in\mathbb{R}^n a ∈ R n ( α , a ) (\alpha,a) ( α , a )
( α , a ) ∼ ( β , b ) ⟺ b = D ( φ β ∘ φ α − 1 ) ( φ α ( p ) ) a (\alpha,a)\sim(\beta,b)
\iff
b=D\bigl(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\bigr)\bigl(\varphi_\alpha(p)\bigr)\,a ( α , a ) ∼ ( β , b ) ⟺ b = D ( φ β ∘ φ α − 1 ) ( φ α ( p ) ) a で同値関係を定める（右辺の Jacobi 行列は補題 1.2 により境界点でも定まる）。同値類の全体をT p M T_pM T p M M M M p p p 接空間 (tangent space of a manifold with boundary )( U α , φ α ) (U_\alpha,\varphi_\alpha) ( U α , φ α ) a ↦ [ ( α , a ) ] a\mapsto[(\alpha,a)] a ↦ [( α , a )] T p M T_pM T p M φ α \varphi_\alpha φ α x 1 , … , x n x^1,\dots,x^n x 1 , … , x n [ ( α , e i ) ] [(\alpha,e_i)] [( α , e i )] ∂ / ∂ x i ∣ p \partial/\partial x^i|_p ∂ / ∂ x i ∣ p
d ( φ α ) p : T p M → R n , [ ( α , a ) ] ↦ a d(\varphi_\alpha)_p\colon T_pM\to\mathbb{R}^n,\qquad [(\alpha,a)]\mapsto a d ( φ α ) p : T p M → R n , [( α , a )] ↦ a を、チャートによる座標表示 (coordinate representation )
推移律と、線形空間の構造がチャートのとり方に依らないことは、補題 1.3 (1) と連鎖律から従う。実際、三つのチャートに対する Jacobi 行列は合成の関係を満たし、各 Jacobi 行列は可逆である。
命題 3.2. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
すべてのp ∈ M p\in M p ∈ M dim T p M = n \dim T_pM=n dim T p M = n n n n n − 1 n-1 n − 1
p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ι : ∂ M → M \iota\colon\partial M\to M ι : ∂ M → M ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) d ι p ( T p ( ∂ M ) ) = { v ∈ T p M ∣ d φ p ( v ) の第 n 成分が 0 } d\iota_p\bigl(T_p(\partial M)\bigr)=\Bigl\{v\in T_pM\ \Bigm|\ d\varphi_p(v)\text{ の第 }n\text{ 成分が }0\Bigr\} d ι p ( T p ( ∂ M ) ) = { v ∈ T p M d φ p ( v ) の第 n 成分が 0 } T p M T_pM T p M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) d ι p d\iota_p d ι p φ ∂ \varphi^\partial φ ∂ φ \varphi φ a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) a'\mapsto(a',0) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) M M M T p M T_pM T p M 証明. (1) を示す。チャートを一つ固定するとT p M T_pM T p M R n \mathbb{R}^n R n H n \mathbb{H}^n H n a a a R n \mathbb{R}^n R n n n n M M M
(2) を示す。( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) p p p τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 a = d φ p ( v ) a=d\varphi_p(v) a = d φ p ( v ) b = d ψ p ( v ) = D τ ( φ ( p ) ) a b=d\psi_p(v)=D\tau(\varphi(p))a b = d ψ p ( v ) = D τ ( φ ( p )) a 補題 1.3 (3) により
b n = ∑ j = 1 n ∂ τ n ∂ x j ( φ ( p ) ) a j = ∂ τ n ∂ x n ( φ ( p ) ) a n b^n=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial\tau^n}{\partial x^j}\bigl(\varphi(p)\bigr)a^j
=\frac{\partial\tau^n}{\partial x^n}\bigl(\varphi(p)\bigr)\,a^n b n = j = 1 ∑ n ∂ x j ∂ τ n ( φ ( p ) ) a j = ∂ x n ∂ τ n ( φ ( p ) ) a n であり、係数は正である。よってa n = 0 a^n=0 a n = 0 b n = 0 b^n=0 b n = 0
ι \iota ι ψ ∂ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 \psi^\partial\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1} ψ ∂ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) \varphi\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1}(x')=(x',0) φ ∘ ι ∘ ( φ ∂ ) − 1 ( x ′ ) = ( x ′ , 0 ) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) a'\mapsto(a',0) a ′ ↦ ( a ′ , 0 ) d ι p d\iota_p d ι p a n = 0 a^n=0 a n = 0 ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 )
(3) を示す。§E17.4 命題 1.3 による。▨
以後、p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) d ι p d\iota_p d ι p T p M T_pM T p M
境界を持つ多様体の上の微分形式も、成分による判定（§E17.10 命題 2.2 ）をそのまま定義に採る。
証明. 挙げた主張はいずれも、各点で成り立つ等式か、または各境界付きチャートの上で成分について成り立つ等式である。したがって一つの境界付きチャート( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ )
D = φ ( U ) D=\varphi(U) D = φ ( U ) x 0 ∈ D x_0\in D x 0 ∈ D ω \omega ω ω I ∘ φ − 1 \omega_I\circ\varphi^{-1} ω I ∘ φ − 1 D D D C ∞ C^\infty C ∞ 定義 1.1 によりx 0 x_0 x 0 R n \mathbb{R}^n R n W W W C ∞ C^\infty C ∞ W W W ω ~ \tilde\omega ω ~ R n \mathbb{R}^n R n W W W §E17.1 命題 7.1 ）の上の微分形式であり、W ∩ D W\cap D W ∩ D ω \omega ω
外積と引き戻しは成分の和と積だけで書かれ、外微分は成分の偏導関数を係数とする（§E17.11 定理 2.4 ）。補題 1.2 により、D D D C ∞ C^\infty C ∞ W W W W ∩ D W\cap D W ∩ D D D D x 0 x_0 x 0 D D D C ∞ C^\infty C ∞ F F F C ∞ C^\infty C ∞ ▨
4 正則な劣位集合 境界を持つ多様体の具体例は、関数の劣位集合として得られる。
命題 4.1. N N N n n n C ∞ C^\infty C ∞ f ∈ C ∞ ( N ) f\in C^\infty(N) f ∈ C ∞ ( N ) c ∈ R c\in\mathbb{R} c ∈ R f − 1 ( c ) f^{-1}(c) f − 1 ( c ) p p p d f p ≠ 0 df_p\ne 0 d f p = 0 M = { p ∈ N ∣ f ( p ) ≤ c } M=\{p\in N\mid f(p)\le c\} M = { p ∈ N ∣ f ( p ) ≤ c } M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M = f − 1 ( c ) \partial M=f^{-1}(c) ∂ M = f − 1 ( c ) f − 1 ( c ) f^{-1}(c) f − 1 ( c ) p p p N N N ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n )) x n = c − f x^n=c-f x n = c − f ( U ∩ M , φ ∣ U ∩ M ) (U\cap M,\varphi|_{U\cap M}) ( U ∩ M , φ ∣ U ∩ M ) M M M
証明. M M M
f ( p ) < c f(p)<c f ( p ) < c { f < c } \{f<c\} { f < c } N N N N N N R n \mathbb{R}^n R n 定義 2.2 の意味の境界付きチャートである。
f ( p ) = c f(p)=c f ( p ) = c p p p N N N ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) (V,\psi=(y^1,\dots,y^n)) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n )) f ^ = f ∘ ψ − 1 \hat f=f\circ\psi^{-1} f ^ = f ∘ ψ − 1 d f p ≠ 0 df_p\ne 0 d f p = 0 k k k ∂ f ^ / ∂ y k ( ψ ( p ) ) ≠ 0 \partial\hat f/\partial y^k(\psi(p))\ne 0 ∂ f ^ / ∂ y k ( ψ ( p )) = 0 G : ψ ( V ) → R n G\colon\psi(V)\to\mathbb{R}^n G : ψ ( V ) → R n
G ( y ) = ( y 1 , … , y k ^ , … , y n , c − f ^ ( y ) ) G(y)=\bigl(y^1,\dots,\widehat{y^k},\dots,y^n,\ c-\hat f(y)\bigr) G ( y ) = ( y 1 , … , y k , … , y n , c − f ^ ( y ) ) で定める（y k ^ \widehat{y^k} y k G G G n − 1 n-1 n − 1 y k y^k y k − ∇ f ^ -\nabla\hat f − ∇ f ^ k k k ± ∂ f ^ / ∂ y k \pm\partial\hat f/\partial y^k ± ∂ f ^ / ∂ y k ψ ( p ) \psi(p) ψ ( p ) 0 0 0 §E4.7 定理 2.1 と§E17.5 補題 1.1 により、ψ ( p ) \psi(p) ψ ( p ) O O O G ∣ O G|_O G ∣ O C ∞ C^\infty C ∞
U = ψ − 1 ( O ) U=\psi^{-1}(O) U = ψ − 1 ( O ) φ = G ∘ ψ ∣ U \varphi=G\circ\psi|_U φ = G ∘ ψ ∣ U ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) N N N n n n c − f c-f c − f
U ∩ M = { q ∈ U ∣ φ n ( q ) ≥ 0 } , φ ( U ∩ M ) = φ ( U ) ∩ H n U\cap M=\{q\in U\mid \varphi^n(q)\ge 0\},
\qquad
\varphi(U\cap M)=\varphi(U)\cap\mathbb{H}^n U ∩ M = { q ∈ U ∣ φ n ( q ) ≥ 0 } , φ ( U ∩ M ) = φ ( U ) ∩ H n であり、右辺はH n \mathbb{H}^n H n φ ∣ U ∩ M \varphi|_{U\cap M} φ ∣ U ∩ M
以上で得た境界付きチャートどうしの座標変換は、N N N C ∞ C^\infty C ∞ M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ q ∈ U ∩ M q\in U\cap M q ∈ U ∩ M f ( q ) = c f(q)=c f ( q ) = c f < c f<c f < c ∂ M = f − 1 ( c ) \partial M=f^{-1}(c) ∂ M = f − 1 ( c ) ▨
例 4.2 (閉球体と球面). N = R n N=\mathbb{R}^n N = R n f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 f(x)=\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2 f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 c = 1 c=1 c = 1 f − 1 ( 1 ) = S n − 1 f^{-1}(1)=S^{n-1} f − 1 ( 1 ) = S n − 1 d f x = 2 ∑ i = 1 n x i d x i ≠ 0 df_x=2\sum_{i=1}^{n}x^i\,dx^i\ne 0 d f x = 2 ∑ i = 1 n x i d x i = 0 x ≠ 0 x\ne 0 x = 0 命題 4.1 により閉球体
B ‾ n = { x ∈ R n ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } \overline{B}^n=\{x\in\mathbb{R}^n\mid \lVert x\rVert\le 1\} B n = { x ∈ R n ∣ ∥ x ∥ ≤ 1 } はn n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ B ‾ n = S n − 1 \partial\overline{B}^n=S^{n-1} ∂ B n = S n − 1
この境界に定理 2.6 が与える可微分構造は、§E17.1 命題 5.1 の立体射影のアトラスが定めるものと一致する。実際、p ∈ S n − 1 p\in S^{n-1} p ∈ S n − 1 p k ≠ 0 p^k\ne 0 p k = 0 命題 4.1 の構成が与える境界チャートの座標は( x 1 , … , x k ^ , … , x n ) (x^1,\dots,\widehat{x^k},\dots,x^n) ( x 1 , … , x k , … , x n ) x k x^k x k
x k = ± 1 − ∑ 1 ≤ i ≤ n i ≠ k ( x i ) 2 x^k=\pm\sqrt{1-\sum_{\substack{1\le i\le n\\ i\ne k}}(x^i)^2} x k = ± 1 − 1 ≤ i ≤ n i = k ∑ ( x i ) 2 は根号の中が正である範囲でC ∞ C^\infty C ∞ φ N ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 − x n ) \varphi_N(x)=(x^1,\dots,x^{n-1})/(1-x^n) φ N ( x ) = ( x 1 , … , x n − 1 ) / ( 1 − x n ) x 1 , … , x k ^ , … , x n x^1,\dots,\widehat{x^k},\dots,x^n x 1 , … , x k , … , x n C ∞ C^\infty C ∞ φ N − 1 \varphi_N^{-1} φ N − 1 u u u C ∞ C^\infty C ∞
5 境界を持つ多様体の上の1の分割 向きの二つの定義を結ぶために、1の分割を境界を持つ場合へ広げておく。
補題 5.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
M M M p ∈ M p\in M p ∈ M p p p V V V C ∞ C^\infty C ∞ χ : M → [ 0 , 1 ] \chi\colon M\to[0,1] χ : M → [ 0 , 1 ] p p p χ ≡ 1 \chi\equiv 1 χ ≡ 1 supp χ \operatorname{supp}\chi supp χ supp χ ⊆ V \operatorname{supp}\chi\subseteq V supp χ ⊆ V M M M { U α } α ∈ A \{U_\alpha\}_{\alpha\in A} { U α } α ∈ A §E17.2 定義 4.1 の三条件を満たす族{ ψ α } α ∈ A \{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A} { ψ α } α ∈ A 証明. (1) を示す。p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 注意 2.4 によりφ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n R n \mathbb{R}^n R n W ^ \hat W W ^ φ ( U ) = W ^ ∩ H n \varphi(U)=\hat W\cap\mathbb{H}^n φ ( U ) = W ^ ∩ H n B r ( φ ( p ) ) ‾ ⊆ W ^ \overline{B_r(\varphi(p))}\subseteq\hat W B r ( φ ( p )) ⊆ W ^ r > 0 r>0 r > 0 C = B r ( φ ( p ) ) ‾ ∩ H n C=\overline{B_r(\varphi(p))}\cap\mathbb{H}^n C = B r ( φ ( p )) ∩ H n R n \mathbb{R}^n R n C ⊆ φ ( U ) C\subseteq\varphi(U) C ⊆ φ ( U ) φ − 1 ( C ) \varphi^{-1}(C) φ − 1 ( C ) φ − 1 ( B r ( φ ( p ) ) ∩ H n ) \varphi^{-1}\bigl(B_r(\varphi(p))\cap\mathbb{H}^n\bigr) φ − 1 ( B r ( φ ( p )) ∩ H n )
(2) を示す。最初にチャートの定義域をU ∩ V U\cap V U ∩ V r r r C C C φ − 1 ( C ) ⊆ V \varphi^{-1}(C)\subseteq V φ − 1 ( C ) ⊆ V §E17.2 補題 1.3 によりC ∞ C^\infty C ∞ χ 0 : R n → [ 0 , 1 ] \chi_0\colon\mathbb{R}^n\to[0,1] χ 0 : R n → [ 0 , 1 ] B r / 2 ( φ ( p ) ) B_{r/2}(\varphi(p)) B r /2 ( φ ( p )) 1 1 1 B r ( φ ( p ) ) B_r(\varphi(p)) B r ( φ ( p )) 0 0 0
χ ( q ) = { χ 0 ( φ ( q ) ) ( q ∈ U ) , 0 ( q ∈ M ∖ φ − 1 ( C ) ) \chi(q)=
\begin{cases}
\chi_0(\varphi(q))&(q\in U),\\
0&(q\in M\setminus\varphi^{-1}(C))
\end{cases} χ ( q ) = { χ 0 ( φ ( q )) 0 ( q ∈ U ) , ( q ∈ M ∖ φ − 1 ( C )) と定める。二つの開集合U U U M ∖ φ − 1 ( C ) M\setminus\varphi^{-1}(C) M ∖ φ − 1 ( C ) M M M φ − 1 ( C ) \varphi^{-1}(C) φ − 1 ( C ) M M M φ ( q ) ∉ C \varphi(q)\notin C φ ( q ) ∈ / C ∥ φ ( q ) − φ ( p ) ∥ > r \lVert\varphi(q)-\varphi(p)\rVert>r ∥ φ ( q ) − φ ( p )∥ > r 0 0 0 χ \chi χ C ∞ C^\infty C ∞ { χ ≠ 0 } ⊆ φ − 1 ( C ) \{\chi\ne0\}\subseteq\varphi^{-1}(C) { χ = 0 } ⊆ φ − 1 ( C ) supp χ ⊆ φ − 1 ( C ) ⊆ V \operatorname{supp}\chi\subseteq\varphi^{-1}(C)\subseteq V supp χ ⊆ φ − 1 ( C ) ⊆ V φ − 1 ( B r / 2 ( φ ( p ) ) ∩ H n ) \varphi^{-1}\bigl(B_{r/2}(\varphi(p))\cap\mathbb{H}^n\bigr) φ − 1 ( B r /2 ( φ ( p )) ∩ H n ) χ ≡ 1 \chi\equiv 1 χ ≡ 1
(3) を示す。§E17.2 定理 4.2 の証明がM M M M M M §E17.2 命題 2.4 のコンパクト集合の増大列が得られること（同命題は第二可算・局所コンパクト Hausdorff 空間についての主張であり、多様体であることを用いない）。第二に、山型関数（§E17.2 命題 1.5 ）。第三に、§E2.19 定義 2.1 の有限部分被覆。第四に、局所有限な閉集合族の閉包についての§E17.2 補題 3.2 （純粋に位相的である）。第五に、局所有限な族の和の滑らかさ（§E17.2 補題 3.3 。その証明は、関数がC ∞ C^\infty C ∞ 定義 1.1 による定義からも成り立つ）。
境界を持つ多様体は、定義により Hausdorff かつ第二可算であり、(1) により局所コンパクトであり、(2) により山型関数を持つ。よって同じ証明がそのまま通用する。▨
以後、境界を持つ多様体に対しても§E17.2 定理 4.2 を引用する。
6 向き 向きは、最高次外冪の消えない切断によって定める。この定め方は内積を用いない。
定義 6.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ μ ∈ Ω n ( M ) \mu\in\Omega^n(M) μ ∈ Ω n ( M ) 向き形式 (orientation form )p ∈ M p\in M p ∈ M μ p ≠ 0 \mu_p\ne 0 μ p = 0 μ \mu μ μ ′ \mu' μ ′ 同値 (equivalent orientation forms )C ∞ C^\infty C ∞ h : M → R h\colon M\to\mathbb{R} h : M → R μ ′ = h μ \mu'=h\mu μ ′ = h μ
M M M 向きづけ可能 (orientable )M M M 向き (orientation )向きづけられた多様体 (oriented manifold )
dim Alt n ( T p M ) = 1 \dim\operatorname{Alt}^n(T_pM)=1 dim Alt n ( T p M ) = 1 §E17.10 定理 1.4 と§E3.15 定理 1.2 ）、二つの向き形式μ , μ ′ \mu,\mu' μ , μ ′ μ p ′ = h ( p ) μ p \mu'_p=h(p)\mu_p μ p ′ = h ( p ) μ p h ( p ) ≠ 0 h(p)\ne 0 h ( p ) = 0 h = μ 1 ⋯ n ′ / μ 1 ⋯ n h=\mu'_{1\cdots n}/\mu_{1\cdots n} h = μ 1 ⋯ n ′ / μ 1 ⋯ n h h h C ∞ C^\infty C ∞
定義 6.2. M M M [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n C ∞ C^\infty C ∞ ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n )) 向きを保つ (positively oriented chart )U U U
μ ∣ U = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n , h > 0 \mu|_U=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n,\qquad h>0 μ ∣ U = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n , h > 0 と表されることをいう。h h h
命題 6.3. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M μ \mu μ − μ -\mu − μ
証明. μ \mu μ μ ′ \mu' μ ′ μ ′ = h μ \mu'=h\mu μ ′ = h μ C ∞ C^\infty C ∞ h h h h h h 0 0 0 h − 1 ( ( 0 , ∞ ) ) h^{-1}\bigl((0,\infty)\bigr) h − 1 ( ( 0 , ∞ ) ) h − 1 ( ( − ∞ , 0 ) ) h^{-1}\bigl((-\infty,0)\bigr) h − 1 ( ( − ∞ , 0 ) ) M M M M M M M M M §E2.43 定義 1.1 ）。h > 0 h>0 h > 0 μ ′ \mu' μ ′ μ \mu μ h < 0 h<0 h < 0 μ ′ = ( − h ) ( − μ ) \mu'=(-h)(-\mu) μ ′ = ( − h ) ( − μ ) − μ -\mu − μ μ \mu μ − μ -\mu − μ h ≡ − 1 h\equiv-1 h ≡ − 1 ▨
定理 6.4. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞
M M M 定義 6.1 の意味で向きづけ可能である。M M M { ( U α , φ α ) } \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\} {( U α , φ α )} α , β \alpha,\beta α , β φ β ∘ φ α − 1 \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} φ β ∘ φ α − 1 φ α ( U α ∩ U β ) \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) φ α ( U α ∩ U β ) 条件 (b) を満たすアトラスを向きづけアトラス という。さらに、向き[ μ ] [\mu] [ μ ] M M M
証明. 条件 (a) ⇒ \Rightarrow ⇒ (b) μ \mu μ p ∈ M p\in M p ∈ M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) U U U φ ( p ) \varphi(p) φ ( p ) H n \mathbb{H}^n H n U U U μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n h h h 0 0 0 U U U
h < 0 h<0 h < 0 R ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( − x 1 , x 2 , … , x n ) R(x^1,x^2,\dots,x^n)=(-x^1,x^2,\dots,x^n) R ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( − x 1 , x 2 , … , x n ) φ ˉ = R ∘ φ \bar\varphi=R\circ\varphi φ ˉ = R ∘ φ R R R det R = − 1 \det R=-1 det R = − 1 §E17.10 系 4.3 によりφ ˉ \bar\varphi φ ˉ μ \mu μ − h > 0 -h>0 − h > 0
φ ˉ \bar\varphi φ ˉ n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2 R R R n n n φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) R n \mathbb{R}^n R n φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H n \mathbb{H}^n H n H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) n = 1 n=1 n = 1 R ( x ) = − x R(x)=-x R ( x ) = − x φ ( U ) \varphi(U) φ ( U ) R \mathbb{R} R φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H − 1 \mathbb{H}^1_{-} H − 1 H − 1 \mathbb{H}^1_{-} H − 1 φ ˉ ( U ) \bar\varphi(U) φ ˉ ( U ) H 1 \mathbb{H}^1 H 1 φ ˉ \bar\varphi φ ˉ M M M
局所モデルとして二つの半空間を許したことにより、n = 1 n=1 n = 1 H 1 \mathbb{H}^1 H 1 補題 1.3 (3) ）、n = 1 n=1 n = 1 H 1 \mathbb{H}^1 H 1 注意 6.5 を見よ。
以上により、向きを保つ境界付きチャートの定義域はM M M
向きを保つ二つのチャート( U , φ = ( x i ) ) (U,\varphi=(x^i)) ( U , φ = ( x i )) ( V , ψ = ( y a ) ) (V,\psi=(y^a)) ( V , ψ = ( y a )) U ∩ V U\cap V U ∩ V μ \mu μ h φ h_\varphi h φ h ψ h_\psi h ψ §E17.10 系 4.3 により
h φ = h ψ ⋅ det ( ∂ y a ∂ x i ) h_\varphi=h_\psi\cdot\det\Bigl(\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\Bigr) h φ = h ψ ⋅ det ( ∂ x i ∂ y a ) である。h φ > 0 h_\varphi>0 h φ > 0 h ψ > 0 h_\psi>0 h ψ > 0
条件 (b) ⇒ \Rightarrow ⇒ (a) { ( U α , φ α ) } α ∈ A \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A} {( U α , φ α ) } α ∈ A { ψ α } α ∈ A \{\psi_\alpha\}_{\alpha\in A} { ψ α } α ∈ A 補題 5.1 (3) ）。φ α \varphi_\alpha φ α x α 1 , … , x α n x_\alpha^1,\dots,x_\alpha^n x α 1 , … , x α n U α U_\alpha U α n n n ψ α d x α 1 ∧ ⋯ ∧ d x α n \psi_\alpha\,dx_\alpha^1\wedge\cdots\wedge dx_\alpha^n ψ α d x α 1 ∧ ⋯ ∧ d x α n M ∖ supp ψ α M\setminus\operatorname{supp}\psi_\alpha M ∖ supp ψ α 0 0 0 M M M U α U_\alpha U α M ∖ supp ψ α M\setminus\operatorname{supp}\psi_\alpha M ∖ supp ψ α M M M ψ α \psi_\alpha ψ α 0 0 0 M M M C ∞ C^\infty C ∞ n n n η α \eta_\alpha η α
μ = ∑ α ∈ A η α \mu=\sum_{\alpha\in A}\eta_\alpha μ = α ∈ A ∑ η α と置く。{ supp ψ α } \{\operatorname{supp}\psi_\alpha\} { supp ψ α } §E17.2 補題 3.3 と同じ議論によりμ ∈ Ω n ( M ) \mu\in\Omega^n(M) μ ∈ Ω n ( M )
p ∈ M p\in M p ∈ M p ∈ U β p\in U_\beta p ∈ U β β \beta β U β U_\beta U β μ \mu μ φ β \varphi_\beta φ β η α \eta_\alpha η α φ β \varphi_\beta φ β p ∈ U α p\in U_\alpha p ∈ U α §E17.10 系 4.3 により
ψ α ( p ) det ( ∂ x α a ∂ x β i ) ( p ) \psi_\alpha(p)\,\det\Bigl(\frac{\partial x_\alpha^a}{\partial x_\beta^i}\Bigr)(p) ψ α ( p ) det ( ∂ x β i ∂ x α a ) ( p ) であり、p ∉ supp ψ α p\notin\operatorname{supp}\psi_\alpha p ∈ / supp ψ α 0 0 0 ψ α ( p ) ≥ 0 \psi_\alpha(p)\ge 0 ψ α ( p ) ≥ 0 ∑ α ψ α ( p ) = 1 \sum_\alpha\psi_\alpha(p)=1 ∑ α ψ α ( p ) = 1 ψ α ( p ) > 0 \psi_\alpha(p)>0 ψ α ( p ) > 0 α \alpha α μ p ≠ 0 \mu_p\ne 0 μ p = 0 μ \mu μ μ \mu μ φ β \varphi_\beta φ β ▨
命題 6.7. M M M N N N M × N M\times N M × N
証明. 定理 6.4 によりM M M { ( U α , φ α ) } \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\} {( U α , φ α )} N N N { ( V λ , ψ λ ) } \{(V_\lambda,\psi_\lambda)\} {( V λ , ψ λ )} §E17.1 命題 7.3 により{ ( U α × V λ , φ α × ψ λ ) } \{(U_\alpha\times V_\lambda,\varphi_\alpha\times\psi_\lambda)\} {( U α × V λ , φ α × ψ λ )} M × N M\times N M × N
( φ β × ψ ν ) ∘ ( φ α × ψ λ ) − 1 = ( φ β ∘ φ α − 1 ) × ( ψ ν ∘ ψ λ − 1 ) (\varphi_\beta\times\psi_\nu)\circ(\varphi_\alpha\times\psi_\lambda)^{-1}
=(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})\times(\psi_\nu\circ\psi_\lambda^{-1}) ( φ β × ψ ν ) ∘ ( φ α × ψ λ ) − 1 = ( φ β ∘ φ α − 1 ) × ( ψ ν ∘ ψ λ − 1 ) であり、その Jacobi 行列は二つの Jacobi 行列を対角に並べた区分行列である。行列式は二つの行列式の積であるから正である。ふたたび定理 6.4 によりM × N M\times N M × N ▨
例 6.8 (球面の向きと立体射影のアトラス). ι : S n − 1 → R n \iota\colon S^{n-1}\to\mathbb{R}^n ι : S n − 1 → R n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \Omega=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i P=\sum_{i=1}^{n}x^i\,\partial/\partial x^i P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i
μ = ι ∗ ( ι P Ω ) ∈ Ω n − 1 ( S n − 1 ) \mu=\iota^*\bigl(\iota_P\Omega\bigr)\in\Omega^{n-1}(S^{n-1}) μ = ι ∗ ( ι P Ω ) ∈ Ω n − 1 ( S n − 1 ) と置く。ここでι P \iota_P ι P §E17.12 定義 1.1 ）である。この構成はR n \mathbb{R}^n R n Ω \Omega Ω P P P S n − 1 S^{n-1} S n − 1
μ \mu μ f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 f(x)=\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2 f ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 S n − 1 = f − 1 ( 1 ) S^{n-1}=f^{-1}(1) S n − 1 = f − 1 ( 1 ) p ∈ S n − 1 p\in S^{n-1} p ∈ S n − 1 d f p ( P p ) = ∑ i = 1 n x i ⋅ 2 x i = 2 ≠ 0 df_p(P_p)=\sum_{i=1}^{n}x^i\cdot 2x^i=2\ne 0 d f p ( P p ) = ∑ i = 1 n x i ⋅ 2 x i = 2 = 0 P p ∉ ker d f p = T p S n − 1 P_p\notin\ker df_p=T_pS^{n-1} P p ∈ / ker d f p = T p S n − 1 §E17.5 定理 4.3 ）。dim T p R n = n \dim T_p\mathbb{R}^n=n dim T p R n = n dim T p S n − 1 = n − 1 \dim T_pS^{n-1}=n-1 dim T p S n − 1 = n − 1
T p R n = R P p ⊕ T p S n − 1 T_p\mathbb{R}^n=\mathbb{R}P_p\oplus T_pS^{n-1} T p R n = R P p ⊕ T p S n − 1 である。( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) T p S n − 1 T_pS^{n-1} T p S n − 1 ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) (P_p,v_1,\dots,v_{n-1}) ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) T p R n T_p\mathbb{R}^n T p R n Ω p \Omega_p Ω p 0 0 0
μ p ( v 1 , … , v n − 1 ) = Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) ≠ 0 \mu_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\Omega_p(P_p,v_1,\dots,v_{n-1})\ne 0 μ p ( v 1 , … , v n − 1 ) = Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) = 0 である。よってS n − 1 S^{n-1} S n − 1
一方、§E17.1 命題 5.1 の二枚の立体射影を並べたアトラスは向きづけアトラスではない。座標変換はφ S ∘ φ N − 1 ( u ) = u / ∥ u ∥ 2 \varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u)=u/\lVert u\rVert^2 φ S ∘ φ N − 1 ( u ) = u / ∥ u ∥ 2
D ( u ∥ u ∥ 2 ) = 1 ∥ u ∥ 2 ( I − 2 u u T ∥ u ∥ 2 ) D\Bigl(\frac{u}{\lVert u\rVert^2}\Bigr)
=\frac{1}{\lVert u\rVert^{2}}\Bigl(I-2\,\frac{u\,u^{\mathsf T}}{\lVert u\rVert^{2}}\Bigr) D ( ∥ u ∥ 2 u ) = ∥ u ∥ 2 1 ( I − 2 ∥ u ∥ 2 u u T ) である（成分ごとに∂ j ( u i ∥ u ∥ − 2 ) = δ j i ∥ u ∥ − 2 − 2 u i u j ∥ u ∥ − 4 \partial_j(u^i\lVert u\rVert^{-2})=\delta^i_j\lVert u\rVert^{-2}-2u^iu^j\lVert u\rVert^{-4} ∂ j ( u i ∥ u ∥ − 2 ) = δ j i ∥ u ∥ − 2 − 2 u i u j ∥ u ∥ − 4 u u u − 1 -1 − 1 n − 2 n-2 n − 2 1 1 1 − 1 -1 − 1
det D ( φ S ∘ φ N − 1 ) ( u ) = − 1 ∥ u ∥ 2 ( n − 1 ) < 0 \det D\bigl(\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}\bigr)(u)=-\frac{1}{\lVert u\rVert^{2(n-1)}}<0 det D ( φ S ∘ φ N − 1 ) ( u ) = − ∥ u ∥ 2 ( n − 1 ) 1 < 0 である。n − 1 = 2 n-1=2 n − 1 = 2 φ S ∘ φ N − 1 ( u , v ) = ( u / ( u 2 + v 2 ) , v / ( u 2 + v 2 ) ) \varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u,v)=\bigl(u/(u^2+v^2),\,v/(u^2+v^2)\bigr) φ S ∘ φ N − 1 ( u , v ) = ( u / ( u 2 + v 2 ) , v / ( u 2 + v 2 ) ) − 1 / ( u 2 + v 2 ) 2 -1/(u^2+v^2)^2 − 1/ ( u 2 + v 2 ) 2
これはS n − 1 S^{n-1} S n − 1 φ S \varphi_S φ S
φ ~ S = r ∘ φ S , r ( u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) = ( − u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) \widetilde\varphi_S=r\circ\varphi_S,\qquad r(u^1,u^2,\dots,u^{n-1})=(-u^1,u^2,\dots,u^{n-1}) φ S = r ∘ φ S , r ( u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) = ( − u 1 , u 2 , … , u n − 1 ) を用いると、φ ~ S ∘ φ N − 1 = r ∘ ( φ S ∘ φ N − 1 ) \widetilde\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}=r\circ(\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}) φ S ∘ φ N − 1 = r ∘ ( φ S ∘ φ N − 1 ) ( − 1 ) ⋅ ( − ∥ u ∥ − 2 ( n − 1 ) ) > 0 (-1)\cdot(-\lVert u\rVert^{-2(n-1)})>0 ( − 1 ) ⋅ ( − ∥ u ∥ − 2 ( n − 1 ) ) > 0 { ( U N , φ N ) , ( U S , φ ~ S ) } \{(U_N,\varphi_N),(U_S,\widetilde\varphi_S)\} {( U N , φ N ) , ( U S , φ S )}
例 6.9 (円環面は向きづけ可能である). S 1 S^1 S 1 例 6.8 により向きづけ可能である。命題 6.7 を繰り返し用いると、円環面T n = ( S 1 ) n T^n=(S^1)^n T n = ( S 1 ) n §E17.1 例 7.4 ）は向きづけ可能である。とくにT 2 T^2 T 2
7 向きづけ可能でない例 命題 7.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M ( U 1 , φ 1 ) (U_1,\varphi_1) ( U 1 , φ 1 ) ( U 2 , φ 2 ) (U_2,\varphi_2) ( U 2 , φ 2 ) U 1 U_1 U 1 U 2 U_2 U 2 U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ U_1\cap U_2\ne\varnothing U 1 ∩ U 2 = ∅
J = det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) J=\det D\bigl(\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}\bigr) J = det D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) がφ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) \varphi_1(U_1\cap U_2) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) M M M
証明. M M M μ \mu μ U i U_i U i μ \mu μ φ i \varphi_i φ i h i h_i h i h i h_i h i U i U_i U i 0 0 0 U i U_i U i ε i ∈ { + 1 , − 1 } \varepsilon_i\in\{+1,-1\} ε i ∈ { + 1 , − 1 }
§E17.10 系 4.3 をx = φ 1 x=\varphi_1 x = φ 1 y = φ 2 y=\varphi_2 y = φ 2 U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2
h 1 = h 2 ⋅ ( J ∘ φ 1 ) h_1=h_2\cdot\bigl(J\circ\varphi_1\bigr) h 1 = h 2 ⋅ ( J ∘ φ 1 ) が成り立つ。両辺の符号を比べると、U 1 ∩ U 2 U_1\cap U_2 U 1 ∩ U 2 ε 1 = ε 2 ⋅ sign ( J ∘ φ 1 ) \varepsilon_1=\varepsilon_2\cdot\operatorname{sign}\bigl(J\circ\varphi_1\bigr) ε 1 = ε 2 ⋅ sign ( J ∘ φ 1 ) ε 2 \varepsilon_2 ε 2 J J J φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) \varphi_1(U_1\cap U_2) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) ▨
Möbius の帯を、チャートの族から直接構成する。
例 7.2 (Möbius の帯の構成). M ~ = R × ( − 1 , 1 ) \widetilde M=\mathbb{R}\times(-1,1) M = R × ( − 1 , 1 )
( s , t ) ∼ ( s + m , ( − 1 ) m t ) ( m ∈ Z ) (s,t)\sim(s+m,(-1)^{m}t)\qquad(m\in\mathbb{Z}) ( s , t ) ∼ ( s + m , ( − 1 ) m t ) ( m ∈ Z ) で同値関係を定め、商集合をM M M ( s , t ) (s,t) ( s , t ) [ s , t ] [s,t] [ s , t ] M M M Möbius の帯 という。
各有理数c c c R c = ( c , c + 1 ) × ( − 1 , 1 ) R_c=(c,c+1)\times(-1,1) R c = ( c , c + 1 ) × ( − 1 , 1 ) V c = { [ s , t ] ∣ ( s , t ) ∈ R c } V_c=\{[s,t]\mid (s,t)\in R_c\} V c = {[ s , t ] ∣ ( s , t ) ∈ R c } η c : V c → R c \eta_c\colon V_c\to R_c η c : V c → R c [ s , t ] ↦ ( s , t ) [s,t]\mapsto(s,t) [ s , t ] ↦ ( s , t ) ( s , t ) ∈ R c (s,t)\in R_c ( s , t ) ∈ R c η c \eta_c η c ( s , t ) , ( s ′ , t ′ ) ∈ R c (s,t),(s',t')\in R_c ( s , t ) , ( s ′ , t ′ ) ∈ R c s ′ = s + m s'=s+m s ′ = s + m ∣ s ′ − s ∣ < 1 |s'-s|<1 ∣ s ′ − s ∣ < 1 m = 0 m=0 m = 0 ( s , t ) = ( s ′ , t ′ ) (s,t)=(s',t') ( s , t ) = ( s ′ , t ′ )
§E17.4 補題 2.1 の五条件を確かめる。添字集合Q \mathbb{Q} Q η c ( V c ) = R c \eta_c(V_c)=R_c η c ( V c ) = R c [ s , t ] [s,t] [ s , t ] s s s ( c , c + 1 ) (c,c+1) ( c , c + 1 ) c c c η c ( V c ∩ V c ′ ) \eta_c(V_c\cap V_{c'}) η c ( V c ∩ V c ′ )
⋃ m ∈ Z ( R c ∩ ( ( c ′ − m , c ′ + 1 − m ) × ( − 1 , 1 ) ) ) \bigcup_{m\in\mathbb{Z}}\bigl(R_c\cap\bigl((c'-m,c'+1-m)\times(-1,1)\bigr)\bigr) m ∈ Z ⋃ ( R c ∩ ( ( c ′ − m , c ′ + 1 − m ) × ( − 1 , 1 ) ) ) であり、開集合の合併であるから開集合である。座標変換は、この合併の各成分の上で( s , t ) ↦ ( s + m , ( − 1 ) m t ) (s,t)\mapsto(s+m,(-1)^mt) ( s , t ) ↦ ( s + m , ( − 1 ) m t ) C ∞ C^\infty C ∞ [ s 0 , t 0 ] [s_0,t_0] [ s 0 , t 0 ] [ s 1 , t 1 ] [s_1,t_1] [ s 1 , t 1 ] s 0 , s 1 ∈ [ 0 , 1 ) s_0,s_1\in[0,1) s 0 , s 1 ∈ [ 0 , 1 ) c c c max ( s 0 , s 1 ) − 1 < c < min ( s 0 , s 1 ) \max(s_0,s_1)-1<c<\min(s_0,s_1) max ( s 0 , s 1 ) − 1 < c < min ( s 0 , s 1 ) V c V_c V c §E17.4 補題 2.1 によりM M M 2 2 2 C ∞ C^\infty C ∞ V c V_c V c R c R_c R c
命題 7.3. 例 7.2 の Möbius の帯M M M R P 2 \mathbb{RP}^2 RP 2 T 2 T^2 T 2
証明. Möbius の帯 。c = 0 c=0 c = 0 c = 1 / 2 c=1/2 c = 1/2 ( V 0 , η 0 ) (V_0,\eta_0) ( V 0 , η 0 ) ( V 1 / 2 , η 1 / 2 ) (V_{1/2},\eta_{1/2}) ( V 1/2 , η 1/2 ) η 0 ( V 0 ∩ V 1 / 2 ) \eta_0(V_0\cap V_{1/2}) η 0 ( V 0 ∩ V 1/2 ) ( s , t ) ∈ R 0 = ( 0 , 1 ) × ( − 1 , 1 ) (s,t)\in R_0=(0,1)\times(-1,1) ( s , t ) ∈ R 0 = ( 0 , 1 ) × ( − 1 , 1 ) V 1 / 2 V_{1/2} V 1/2 s + m ∈ ( 1 / 2 , 3 / 2 ) s+m\in(1/2,3/2) s + m ∈ ( 1/2 , 3/2 ) m m m m = 0 m=0 m = 0 s ∈ ( 1 / 2 , 1 ) s\in(1/2,1) s ∈ ( 1/2 , 1 ) m = 1 m=1 m = 1 s ∈ ( 0 , 1 / 2 ) s\in(0,1/2) s ∈ ( 0 , 1/2 ) m m m
η 0 ( V 0 ∩ V 1 / 2 ) = ( ( 0 , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ) ) × ( − 1 , 1 ) \eta_0(V_0\cap V_{1/2})=\Bigl(\bigl(0,\tfrac12\bigr)\cup\bigl(\tfrac12,1\bigr)\Bigr)\times(-1,1) η 0 ( V 0 ∩ V 1/2 ) = ( ( 0 , 2 1 ) ∪ ( 2 1 , 1 ) ) × ( − 1 , 1 ) である。座標変換η 1 / 2 ∘ η 0 − 1 \eta_{1/2}\circ\eta_0^{-1} η 1/2 ∘ η 0 − 1 s ∈ ( 1 / 2 , 1 ) s\in(1/2,1) s ∈ ( 1/2 , 1 ) ( s , t ) ↦ ( s , t ) (s,t)\mapsto(s,t) ( s , t ) ↦ ( s , t ) 1 1 1 s ∈ ( 0 , 1 / 2 ) s\in(0,1/2) s ∈ ( 0 , 1/2 ) ( s , t ) ↦ ( s + 1 , − t ) (s,t)\mapsto(s+1,-t) ( s , t ) ↦ ( s + 1 , − t ) ( 1 0 0 − 1 ) \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} ( 1 0 0 − 1 ) − 1 -1 − 1 命題 7.1 によりM M M
実射影平面 。§E17.1 命題 6.1 のチャート( U 1 , φ 1 ) (U_1,\varphi_1) ( U 1 , φ 1 ) ( U 2 , φ 2 ) (U_2,\varphi_2) ( U 2 , φ 2 ) R 2 \mathbb{R}^2 R 2 φ 1 − 1 ( u , v ) = [ 1 : u : v ] \varphi_1^{-1}(u,v)=[1:u:v] φ 1 − 1 ( u , v ) = [ 1 : u : v ] φ 2 ( [ 1 : u : v ] ) = ( 1 / u , v / u ) \varphi_2([1:u:v])=(1/u,\ v/u) φ 2 ([ 1 : u : v ]) = ( 1/ u , v / u ) φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { ( u , v ) ∣ u ≠ 0 } \varphi_1(U_1\cap U_2)=\{(u,v)\mid u\ne 0\} φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = {( u , v ) ∣ u = 0 }
D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u , v ) = ( − u − 2 0 − v u − 2 u − 1 ) , det = − 1 u 3 D\bigl(\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}\bigr)(u,v)
=\begin{pmatrix}-u^{-2}&0\\ -vu^{-2}&u^{-1}\end{pmatrix},
\qquad
\det=-\frac{1}{u^{3}} D ( φ 2 ∘ φ 1 − 1 ) ( u , v ) = ( − u − 2 − v u − 2 0 u − 1 ) , det = − u 3 1 である。u > 0 u>0 u > 0 u < 0 u<0 u < 0 命題 7.1 によりR P 2 \mathbb{RP}^2 RP 2
円環面 。例 6.9 による。▨
命題 7.4. n n n R P n \mathbb{RP}^n RP n §E17.1 命題 6.1 のアトラス{ ( U i , φ i ) } i = 1 n + 1 \{(U_i,\varphi_i)\}_{i=1}^{n+1} {( U i , φ i ) } i = 1 n + 1 i ≠ j i\ne j i = j φ i ( U i ∩ U j ) \varphi_i(U_i\cap U_j) φ i ( U i ∩ U j )
det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ( u ) = ( − 1 ) j − i ( t i j ( u ) ) n + 1 \det D\bigl(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\bigr)(u)=\frac{(-1)^{j-i}}{\bigl(t_{ij}(u)\bigr)^{\,n+1}} det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ( u ) = ( t ij ( u ) ) n + 1 ( − 1 ) j − i が成り立つ。ここでt i j ( u ) t_{ij}(u) t ij ( u ) φ i − 1 ( u ) \varphi_i^{-1}(u) φ i − 1 ( u ) j j j u u u j > i j>i j > i u j − 1 u^{j-1} u j − 1 j < i j<i j < i u j u^{j} u j
n n n R P n \mathbb{RP}^n RP n n n n R P n \mathbb{RP}^n RP n 証明. 行列式の計算 。φ i − 1 ( u ) = [ u 1 : ⋯ : u i − 1 : 1 : u i : ⋯ : u n ] \varphi_i^{-1}(u)=[u^1:\cdots:u^{i-1}:1:u^{i}:\cdots:u^{n}] φ i − 1 ( u ) = [ u 1 : ⋯ : u i − 1 : 1 : u i : ⋯ : u n ] i i i 1 1 1 k k k x k x^k x k t = x j = t i j ( u ) t=x^j=t_{ij}(u) t = x j = t ij ( u ) φ j \varphi_j φ j x j x^j x j j j j φ j ∘ φ i − 1 ( u ) \varphi_j\circ\varphi_i^{-1}(u) φ j ∘ φ i − 1 ( u ) 1 / t 1/t 1/ t u m / t u^m/t u m / t m ≠ s m\ne s m = s s s s t = u s t=u^s t = u s n − 1 n-1 n − 1
補助写像Ψ ( u ) \Psi(u) Ψ ( u ) s s s 1 / u s 1/u^s 1/ u s m m m m ≠ s m\ne s m = s u m / u s u^m/u^s u m / u s Ψ \Psi Ψ s s s 1 / u s 1/u^s 1/ u s s s s ( 0 , … , − 1 / ( u s ) 2 , … , 0 ) (0,\dots,-1/(u^s)^2,\dots,0) ( 0 , … , − 1/ ( u s ) 2 , … , 0 )
det D Ψ ( u ) = ( − 1 ( u s ) 2 ) ( 1 u s ) n − 1 = − 1 ( u s ) n + 1 \det D\Psi(u)=\Bigl(-\frac{1}{(u^s)^2}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{u^s}\Bigr)^{n-1}=-\frac{1}{(u^s)^{n+1}} det D Ψ ( u ) = ( − ( u s ) 2 1 ) ( u s 1 ) n − 1 = − ( u s ) n + 1 1 である。φ j ∘ φ i − 1 \varphi_j\circ\varphi_i^{-1} φ j ∘ φ i − 1 Ψ \Psi Ψ φ j \varphi_j φ j r r r k k k k ≠ j k\ne j k = j r = k r=k r = k k < j k<j k < j r = k − 1 r=k-1 r = k − 1 k > j k>j k > j 1 / u s 1/u^s 1/ u s i i i Ψ \Psi Ψ s s s i < j i<j i < j i i i i > j i>j i > j i − 1 i-1 i − 1 s s s ∣ j − i ∣ |j-i| ∣ j − i ∣ ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1 (-1)^{|j-i|-1} ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1
det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) = ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1 ⋅ ( − 1 t n + 1 ) = ( − 1 ) j − i t n + 1 \det D\bigl(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\bigr)=(-1)^{|j-i|-1}\cdot\Bigl(-\frac{1}{t^{n+1}}\Bigr)=\frac{(-1)^{j-i}}{t^{n+1}} det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) = ( − 1 ) ∣ j − i ∣ − 1 ⋅ ( − t n + 1 1 ) = t n + 1 ( − 1 ) j − i である（( − 1 ) ∣ j − i ∣ = ( − 1 ) j − i (-1)^{|j-i|}=(-1)^{j-i} ( − 1 ) ∣ j − i ∣ = ( − 1 ) j − i
(1) を示す。n n n n + 1 n+1 n + 1 t n + 1 t^{n+1} t n + 1 t t t i = 1 i=1 i = 1 j = 2 j=2 j = 2 t = u 1 t=u^1 t = u 1 φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { u ∣ u 1 ≠ 0 } \varphi_1(U_1\cap U_2)=\{u\mid u^1\ne 0\} φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = { u ∣ u 1 = 0 } det \det det u 1 > 0 u^1>0 u 1 > 0 u 1 < 0 u^1<0 u 1 < 0 U 1 U_1 U 1 U 2 U_2 U 2 R n \mathbb{R}^n R n 命題 7.1 によりR P n \mathbb{RP}^n RP n
(2) を示す。n n n n + 1 n+1 n + 1 t n + 1 > 0 t^{n+1}>0 t n + 1 > 0 det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) \det D(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}) det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ( − 1 ) j − i = ( − 1 ) i + j (-1)^{j-i}=(-1)^{i+j} ( − 1 ) j − i = ( − 1 ) i + j ρ i \rho_i ρ i i i i i i i ( u 1 , u 2 , … , u n ) ↦ ( − u 1 , u 2 , … , u n ) (u^1,u^2,\dots,u^n)\mapsto(-u^1,u^2,\dots,u^n) ( u 1 , u 2 , … , u n ) ↦ ( − u 1 , u 2 , … , u n ) det ρ i = ( − 1 ) i \det\rho_i=(-1)^i det ρ i = ( − 1 ) i φ ~ i = ρ i ∘ φ i \widetilde\varphi_i=\rho_i\circ\varphi_i φ i = ρ i ∘ φ i
det D ( φ ~ j ∘ φ ~ i − 1 ) = det ρ j ⋅ det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ⋅ det ρ i − 1 = ( − 1 ) j ( − 1 ) i + j ( − 1 ) i = ( − 1 ) 2 i + 2 j = 1 > 0 \det D\bigl(\widetilde\varphi_j\circ\widetilde\varphi_i^{-1}\bigr)
=\det\rho_j\cdot\det D\bigl(\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}\bigr)\cdot\det\rho_i^{-1}
=(-1)^{j}(-1)^{i+j}(-1)^{i}=(-1)^{2i+2j}=1>0 det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) = det ρ j ⋅ det D ( φ j ∘ φ i − 1 ) ⋅ det ρ i − 1 = ( − 1 ) j ( − 1 ) i + j ( − 1 ) i = ( − 1 ) 2 i + 2 j = 1 > 0 である。よって{ ( U i , φ ~ i ) } \{(U_i,\widetilde\varphi_i)\} {( U i , φ i )} 定理 6.4 によりR P n \mathbb{RP}^n RP n ▨
8 外向きのベクトルと境界の誘導向き 定義 8.1. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ν ∈ T p M \nu\in T_pM ν ∈ T p M p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 型の符号 (sign of boundary-chart type )ϵ φ \epsilon_\varphi ϵ φ ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 ν \nu ν p p p outward-pointing atp p p )p p p ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) d φ p ( ν ) ∈ R n d\varphi_p(\nu)\in\mathbb{R}^n d φ p ( ν ) ∈ R n n n n a n a^n a n
ϵ φ a n < 0 \epsilon_\varphi\,a^n<0 ϵ φ a n < 0 を満たすことをいう。正の型のチャートではa n < 0 a^n<0 a n < 0 a n > 0 a^n>0 a n > 0 d φ p ( ν ) d\varphi_p(\nu) d φ p ( ν ) φ ( U ) \varphi(U) φ ( U )
命題 8.2. 定義 8.1 の条件は、p p p p p p T p M T_pM T p M T p M T_pM T p M T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) ν \nu ν
証明. ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) p p p a = d φ p ( ν ) a=d\varphi_p(\nu) a = d φ p ( ν ) b = d ψ p ( ν ) b=d\psi_p(\nu) b = d ψ p ( ν )
まず両方が正の型である場合を考える。τ = ψ ∘ φ − 1 \tau=\psi\circ\varphi^{-1} τ = ψ ∘ φ − 1 命題 3.2 (2) の証明で計算したとおり
b n = ∂ τ n ∂ x n ( φ ( p ) ) a n b^n=\frac{\partial\tau^n}{\partial x^n}\bigl(\varphi(p)\bigr)\,a^n b n = ∂ x n ∂ τ n ( φ ( p ) ) a n であり、係数は補題 1.3 (3) により正である。よってa n < 0 a^n<0 a n < 0 b n < 0 b^n<0 b n < 0
一般の場合は補題 2.1 のR n R_n R n ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) ( V , R n ∘ ψ ) (V,R_n\circ\psi) ( V , R n ∘ ψ ) d ( R n ∘ ψ ) p ( ν ) d(R_n\circ\psi)_p(\nu) d ( R n ∘ ψ ) p ( ν ) n n n − b n -b^n − b n ϵ R n ∘ ψ = + 1 \epsilon_{R_n\circ\psi}=+1 ϵ R n ∘ ψ = + 1 ϵ ψ = − 1 \epsilon_\psi=-1 ϵ ψ = − 1 ϵ ψ b n < 0 \epsilon_\psi b^n<0 ϵ ψ b n < 0 ( − b n ) < 0 (-b^n)<0 ( − b n ) < 0 ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ )
一つの境界チャートを固定すると、外向きベクトルの全体は{ v ∣ ϵ φ d φ p ( v ) n < 0 } \{v\mid \epsilon_\varphi\,d\varphi_p(v)^n<0\} { v ∣ ϵ φ d φ p ( v ) n < 0 } v ↦ ϵ φ d φ p ( v ) n v\mapsto\epsilon_\varphi\,d\varphi_p(v)^n v ↦ ϵ φ d φ p ( v ) n T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) 命題 3.2 (2) ）、ν \nu ν T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν T_pM=T_p(\partial M)\oplus\mathbb{R}\nu T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν ▨
境界に直交するという条件を定義に採らない 。直交性は接空間に内積を選んで初めて定まるので、計量を導入しない本単元では用いることができない。上の定義はチャートの第n n n
補題 8.3. M M M n n n C ∞ C^\infty C ∞ M M M C ∞ C^\infty C ∞ ν \nu ν p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ν p \nu_p ν p
証明. ∂ M \partial M ∂ M p p p p p p ( U p , φ p ) (U_p,\varphi_p) ( U p , φ p ) U 0 = Int M U_0=\operatorname{Int}M U 0 = Int M { U 0 } ∪ { U p } p ∈ ∂ M \{U_0\}\cup\{U_p\}_{p\in\partial M} { U 0 } ∪ { U p } p ∈ ∂ M M M M { ψ 0 } ∪ { ψ p } \{\psi_0\}\cup\{\psi_p\} { ψ 0 } ∪ { ψ p } §E17.2 定理 4.2 ）。ϵ p = ϵ φ p \epsilon_p=\epsilon_{\varphi_p} ϵ p = ϵ φ p U p U_p U p − ϵ p ∂ / ∂ x p n -\epsilon_p\,\partial/\partial x_p^n − ϵ p ∂ / ∂ x p n ψ p \psi_p ψ p M ∖ supp ψ p M\setminus\operatorname{supp}\psi_p M ∖ supp ψ p 0 0 0
ν = ∑ p ∈ ∂ M ψ p ⋅ ( − ϵ p ∂ ∂ x p n ) \nu=\sum_{p\in\partial M}\psi_p\cdot\Bigl(-\epsilon_p\frac{\partial}{\partial x_p^n}\Bigr) ν = p ∈ ∂ M ∑ ψ p ⋅ ( − ϵ p ∂ x p n ∂ ) と置く。局所有限性から右辺は各点の近傍で有限和であり、ν \nu ν M M M C ∞ C^\infty C ∞
q ∈ ∂ M q\in\partial M q ∈ ∂ M supp ψ 0 ⊆ U 0 = Int M \operatorname{supp}\psi_0\subseteq U_0=\operatorname{Int}M supp ψ 0 ⊆ U 0 = Int M ψ 0 ( q ) = 0 \psi_0(q)=0 ψ 0 ( q ) = 0 ∑ p ψ p ( q ) = 1 \sum_p\psi_p(q)=1 ∑ p ψ p ( q ) = 1 ψ p ( q ) > 0 \psi_p(q)>0 ψ p ( q ) > 0 p p p − ϵ p ∂ / ∂ x p n ∣ q -\epsilon_p\,\partial/\partial x_p^n|_q − ϵ p ∂ / ∂ x p n ∣ q n n n − ϵ p -\epsilon_p − ϵ p ϵ p ⋅ ( − ϵ p ) = − 1 < 0 \epsilon_p\cdot(-\epsilon_p)=-1<0 ϵ p ⋅ ( − ϵ p ) = − 1 < 0 命題 8.2 により外向きベクトルの全体は凸錐であるから、正の係数による有限個の外向きベクトルの和であるν q \nu_q ν q ▨
定義 8.4. M M M [ μ ] [\mu] [ μ ] n n n C ∞ C^\infty C ∞ ∂ M ≠ ∅ \partial M\ne\varnothing ∂ M = ∅ n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2 補題 8.3 の外向きベクトル場ν \nu ν ∂ M \partial M ∂ M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) μ ∂ \mu_\partial μ ∂
( μ ∂ ) p ( v 1 , … , v n − 1 ) = μ p ( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) ( p ∈ ∂ M , v 1 , … , v n − 1 ∈ T p ( ∂ M ) ) (\mu_\partial)_p(v_1,\dots,v_{n-1})=\mu_p\bigl(\nu_p,v_1,\dots,v_{n-1}\bigr)
\qquad(p\in\partial M,\ v_1,\dots,v_{n-1}\in T_p(\partial M)) ( μ ∂ ) p ( v 1 , … , v n − 1 ) = μ p ( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) ( p ∈ ∂ M , v 1 , … , v n − 1 ∈ T p ( ∂ M )) で定める。[ μ ∂ ] [\mu_\partial] [ μ ∂ ] ∂ M \partial M ∂ M 誘導向き (induced boundary orientation )( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) ν \nu ν ( ν , v 1 , … , v n − 1 ) (\nu,v_1,\dots,v_{n-1}) ( ν , v 1 , … , v n − 1 ) T p M T_pM T p M
n = 1 n=1 n = 1 注意 6.6 の約束のもとで、p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M
ε p = { + 1 ( μ p ( ν p ) > 0 ) , − 1 ( μ p ( ν p ) < 0 ) \varepsilon_p=
\begin{cases}
+1&(\mu_p(\nu_p)>0),\\
-1&(\mu_p(\nu_p)<0)
\end{cases} ε p = { + 1 − 1 ( μ p ( ν p ) > 0 ) , ( μ p ( ν p ) < 0 ) を与えることを誘導向きという。これは上の言い換えで( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 )
境界の誘導向きは、外向きのベクトルを先に置く 規約によって定める（定義 8.4 ）。
命題 8.5. 定義 8.4 のμ ∂ \mu_\partial μ ∂ ∂ M \partial M ∂ M ν \nu ν M M M μ \mu μ
証明. 向き形式であること 。p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M ( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) 命題 8.2 により( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) (\nu_p,v_1,\dots,v_{n-1}) ( ν p , v 1 , … , v n − 1 ) T p M T_pM T p M μ p \mu_p μ p 0 0 0 0 0 0 ( μ ∂ ) p ≠ 0 (\mu_\partial)_p\ne 0 ( μ ∂ ) p = 0
滑らかさ 。p p p ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) (U,\varphi=(x^1,\dots,x^n)) ( U , φ = ( x 1 , … , x n )) U U U μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n μ = h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ν = ∑ i = 1 n a i ∂ / ∂ x i \nu=\sum_{i=1}^{n}a^i\,\partial/\partial x^i ν = ∑ i = 1 n a i ∂ / ∂ x i T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) ∂ / ∂ x 1 , … , ∂ / ∂ x n − 1 \partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^{n-1} ∂ / ∂ x 1 , … , ∂ / ∂ x n − 1
( μ ∂ ) ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n − 1 ) = ∑ i = 1 n a i μ ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n − 1 ) (\mu_\partial)\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\Bigr)
=\sum_{i=1}^{n}a^i\,\mu\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\Bigr) ( μ ∂ ) ( ∂ x 1 ∂ , … , ∂ x n − 1 ∂ ) = i = 1 ∑ n a i μ ( ∂ x i ∂ , ∂ x 1 ∂ , … , ∂ x n − 1 ∂ ) であり、i ≤ n − 1 i\le n-1 i ≤ n − 1 0 0 0 i = n i=n i = n ∂ / ∂ x n \partial/\partial x^n ∂ / ∂ x n n n n n − 1 n-1 n − 1
a n ( − 1 ) n − 1 μ ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) = ( − 1 ) n − 1 a n h a^n\,(-1)^{n-1}\,\mu\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^n}\Bigr)=(-1)^{n-1}a^nh a n ( − 1 ) n − 1 μ ( ∂ x 1 ∂ , … , ∂ x n ∂ ) = ( − 1 ) n − 1 a n h である。よってU ∩ ∂ M U\cap\partial M U ∩ ∂ M
μ ∂ = ( − 1 ) n − 1 a n h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \mu_\partial=(-1)^{n-1}\,a^n\,h\ dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} μ ∂ = ( − 1 ) n − 1 a n h d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 であり、成分はC ∞ C^\infty C ∞ ϵ φ a n < 0 \epsilon_\varphi a^n<0 ϵ φ a n < 0 h > 0 h>0 h > 0 ( − 1 ) n − 1 a n h (-1)^{n-1}a^nh ( − 1 ) n − 1 a n h
( − 1 ) n − 1 ⋅ sign ( a n ) = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − ϵ φ ) = ( − 1 ) n ϵ φ (-1)^{n-1}\cdot\operatorname{sign}(a^n)=(-1)^{n-1}\cdot(-\epsilon_\varphi)=(-1)^{n}\epsilon_\varphi ( − 1 ) n − 1 ⋅ sign ( a n ) = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − ϵ φ ) = ( − 1 ) n ϵ φ である。すなわち、正の型の境界チャートでは( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 この符号が「Stokes の定理」の両辺に現れて相殺する。
ν \nu ν ν ′ \nu' ν ′ p ∈ ∂ M p\in\partial M p ∈ ∂ M T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν p T_pM=T_p(\partial M)\oplus\mathbb{R}\nu_p T p M = T p ( ∂ M ) ⊕ R ν p ν p ′ = c ( p ) ν p + w p \nu'_p=c(p)\nu_p+w_p ν p ′ = c ( p ) ν p + w p w p ∈ T p ( ∂ M ) w_p\in T_p(\partial M) w p ∈ T p ( ∂ M ) c = ( a ′ ) n / a n > 0 c=(a')^n/a^n>0 c = ( a ′ ) n / a n > 0 c c c C ∞ C^\infty C ∞ C ∞ C^\infty C ∞ v 1 , … , v n − 1 v_1,\dots,v_{n-1} v 1 , … , v n − 1 T p ( ∂ M ) T_p(\partial M) T p ( ∂ M ) w p w_p w p μ p ( w p , v 1 , … , v n − 1 ) = 0 \mu_p(w_p,v_1,\dots,v_{n-1})=0 μ p ( w p , v 1 , … , v n − 1 ) = 0 μ ∂ ′ = c μ ∂ \mu'_\partial=c\,\mu_\partial μ ∂ ′ = c μ ∂ c > 0 c>0 c > 0
μ \mu μ μ ′ = h 0 μ \mu'=h_0\mu μ ′ = h 0 μ h 0 > 0 h_0>0 h 0 > 0 μ ∂ ′ = ( h 0 ∣ ∂ M ) μ ∂ \mu'_\partial=(h_0|_{\partial M})\,\mu_\partial μ ∂ ′ = ( h 0 ∣ ∂ M ) μ ∂ h 0 ∣ ∂ M > 0 h_0|_{\partial M}>0 h 0 ∣ ∂ M > 0 ▨
例 8.6 (半空間と閉球体の誘導向き). H n \mathbb{H}^n H n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n \Omega=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n Ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ν = − ∂ / ∂ x n \nu=-\partial/\partial x^n ν = − ∂ / ∂ x n 命題 8.5 の計算でa n = − 1 a^n=-1 a n = − 1 h = 1 h=1 h = 1
Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 = ( − 1 ) n d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \Omega_\partial=(-1)^{n-1}\cdot(-1)\cdot 1\cdot dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}
=(-1)^{n}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 = ( − 1 ) n d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 である。すなわち、∂ H n \partial\mathbb{H}^n ∂ H n ( x 1 , … , x n − 1 ) (x^1,\dots,x^{n-1}) ( x 1 , … , x n − 1 ) n n n ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n
H − n \mathbb{H}^n_{-} H − n Ω \Omega Ω ν = + ∂ / ∂ x n \nu=+\partial/\partial x^n ν = + ∂ / ∂ x n a n = + 1 a^n=+1 a n = + 1 h = 1 h=1 h = 1 Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 \Omega_\partial=(-1)^{n-1}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} Ω ∂ = ( − 1 ) n − 1 d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1
n = 1 n=1 n = 1 M = [ 0 , 1 ] M=[0,1] M = [ 0 , 1 ] 注意 6.5 の局所モデルを用いる）。μ = d t \mu=dt μ = d t t = 0 t=0 t = 0 φ ( t ) = t \varphi(t)=t φ ( t ) = t ν = − ∂ / ∂ t \nu=-\partial/\partial t ν = − ∂ / ∂ t μ ( ν ) = − 1 < 0 \mu(\nu)=-1<0 μ ( ν ) = − 1 < 0 ε 0 = − 1 \varepsilon_0=-1 ε 0 = − 1 t = 1 t=1 t = 1 φ ( t ) = t − 1 \varphi(t)=t-1 φ ( t ) = t − 1 ν = + ∂ / ∂ t \nu=+\partial/\partial t ν = + ∂ / ∂ t μ ( ν ) = + 1 > 0 \mu(\nu)=+1>0 μ ( ν ) = + 1 > 0 ε 1 = + 1 \varepsilon_1=+1 ε 1 = + 1 ∂ M = { 0 , 1 } \partial M=\{0,1\} ∂ M = { 0 , 1 } ε 0 = − 1 \varepsilon_0=-1 ε 0 = − 1 ε 1 = + 1 \varepsilon_1=+1 ε 1 = + 1 0 0 0 f f f ε 1 f ( 1 ) + ε 0 f ( 0 ) = f ( 1 ) − f ( 0 ) \varepsilon_1f(1)+\varepsilon_0f(0)=f(1)-f(0) ε 1 f ( 1 ) + ε 0 f ( 0 ) = f ( 1 ) − f ( 0 )
B ‾ n \overline{B}^n B n 例 4.2 ）にΩ \Omega Ω p ∈ S n − 1 p\in S^{n-1} p ∈ S n − 1 P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i P=\sum_{i=1}^{n}x^i\,\partial/\partial x^i P = ∑ i = 1 n x i ∂ / ∂ x i 命題 4.1 が与える境界チャートの第n n n c − f = 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 c-f=1-\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2 c − f = 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 P ( 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 ) = − 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 = − 2 < 0 P\bigl(1-\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2\bigr)=-2\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2=-2<0 P ( 1 − ∑ i = 1 n ( x i ) 2 ) = − 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 = − 2 < 0 ( v 1 , … , v n − 1 ) (v_1,\dots,v_{n-1}) ( v 1 , … , v n − 1 ) S n − 1 S^{n-1} S n − 1 Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) > 0 \Omega_p(P_p,v_1,\dots,v_{n-1})>0 Ω p ( P p , v 1 , … , v n − 1 ) > 0 例 6.8 のμ = ι ∗ ( ι P Ω ) \mu=\iota^*(\iota_P\Omega) μ = ι ∗ ( ι P Ω ) ∂ B ‾ n = S n − 1 \partial\overline{B}^n=S^{n-1} ∂ B n = S n − 1 [ μ ] [\mu] [ μ ]
9 演習 問題 9.1.
補題 1.2 の証明では、j < n j<n j < n j = n j=n j = n j = n j=n j = n 補題 1.3 (2) の証明で、§E4.7 定理 2.1 が与える像の開集合性を用いた。τ \tau τ 命題 3.2 (1) は、境界点でも接空間がn n n T p M T_pM T p M M M M n = 1 n=1 n = 1 定理 6.4 条件 (b) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (a) ψ α ( p ) ≥ 0 \psi_\alpha(p)\ge 0 ψ α ( p ) ≥ 0 μ p ≠ 0 \mu_p\ne 0 μ p = 0 定理 6.4 条件 (a) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (b) 命題 7.1 の証明を、U 1 U_1 U 1 命題 7.3 の Möbius の帯において、V 0 ∩ V 1 / 2 V_0\cap V_{1/2} V 0 ∩ V 1/2 例 6.8 でS n − 1 S^{n-1} S n − 1 ι ∗ ( ι P Ω ) \iota^*(\iota_P\Omega) ι ∗ ( ι P Ω ) 定義 8.4 の規約を「外向きのベクトルを最後に置く」に変えると、例 8.6 の符号がどう変わるかを計算する。補題 8.3 の証明で、U 0 = Int M U_0=\operatorname{Int}M U 0 = Int M §E17.2 定理 4.2 を適用することができない箇所を特定する。注意 6.5 のM = [ 0 , 1 ] M=[0,1] M = [ 0 , 1 ] H 1 \mathbb{H}^1 H 1 n = 2 n=2 n = 2 命題 7.4 (2) で符号をϵ i = ( − 1 ) i \epsilon_i=(-1)^i ϵ i = ( − 1 ) i n n n i = 1 i=1 i = 1 j = 2 j=2 j = 2 10 境界と次 本記事は角を持つ多様体を扱わない。閉立方体[ 0 , 1 ] n [0,1]^n [ 0 , 1 ] n n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2 定義 2.2 の意味の境界付き多様体ではない。角を持つ対象の上で積分定理を述べるには、角の近傍での局所モデルを別に用意する必要がある。本単元はこれを扱わず、境界が滑らかな場合に限る。
向きの二つの定義が同値であること（定理 6.4 ）は、以後の記事で使い分けるために必要である。積分の定義では向きを保つチャートによる被覆を用い、向き形式そのものは境界の誘導向きを定めるときに用いる。
R P n \mathbb{RP}^n RP n 命題 7.4 で次元の偶奇によって決定した。向きづけ可能でない多様体の向きづけ二重被覆は、対蹠写像による球面の商と同じ形の構成を要するので、本記事では扱わない。
外向きのベクトルをチャートの符号で定めたのは、計量を導入しないという単元全体の設計による。三次元空間の曲面について、標準内積から定まる外向きの単位ベクトルとd A dA d A R 3 \mathbb{R}^3 R 3