§E17.23離散群の固有不連続な作用と商多様体

証明.$\pi$が連続な全射であることは商位相の定義（§E2.12 定義 8.7）による。

$U\subseteq M$を開集合とする。

を示す。$p\in\pi^{-1}(\pi(U))$とすると$\pi(p)=\pi(q)$を満たす$q\in U$が存在し、これは$p=\gamma q$を満たす$\gamma\in\Gamma$が存在することを意味する。よって$p\in\gamma U$である。逆に$p=\gamma q$（$q\in U$）ならば$\pi(p)=\pi(q)\in\pi(U)$である。

各$\gamma U=\theta_\gamma(U)$は、$\theta_\gamma$が微分同相、とくに同相写像であるから$M$の開集合である。よって$\pi^{-1}(\pi(U))$は開集合の合併として開集合であり、§E2.12 定義 8.7により$\pi(U)$は$M/\Gamma$の開集合である。

$M$は第二可算であり（§E17.1 定義 2.2）、$\pi$は連続な開全射であるから、§E17.1 補題 3.1により$M/\Gamma$は第二可算である。▨

証明.§E17.2 補題 2.3 (4)を$O=M$に適用して、$p\in B$かつ$\overline{B}$がコンパクトである正則座標球$B$を取る（§E17.2 補題 2.1により$M$は局所コンパクトである）。$K=\overline{B}$と置く。$K$はコンパクトであり$p\in B\subseteq K$である。

定義 1.2により$\Gamma_K=\{\gamma\mid\gamma K\cap K\ne\varnothing\}$は有限集合である。$\epsilon\in\Gamma_K$である（$K\ne\varnothing$による）。

$\gamma\in\Gamma_K\setminus\{\epsilon\}$を取る。作用は自由であるから$\gamma p\ne p$である。$M$は Hausdorff であるから（§E17.1 定義 2.2、§E2.15 定義 1.2）、交わらない開集合$A_\gamma\ni p$と$C_\gamma\ni\gamma p$が存在する。

と置く。$\theta_\gamma$は連続であるから$\theta_\gamma^{-1}(C_\gamma)$は開集合であり、$\theta_\gamma(p)=\gamma p\in C_\gamma$であるから$p\in W_\gamma$である。$W_\gamma$は$p$の開近傍である。$q\in W_\gamma$に対して$\gamma q\in C_\gamma$であり、$W_\gamma\subseteq A_\gamma$かつ$A_\gamma\cap C_\gamma=\varnothing$であるから$\gamma q\notin W_\gamma$である。よって$\gamma W_\gamma\cap W_\gamma=\varnothing$である。

と置く。$\Gamma_K$は有限集合であるから右辺は有限個の開集合の交わりであり、$U$は$p$の開近傍である。

$\gamma\ne\epsilon$とする。$\gamma\in\Gamma_K$ならば$U\subseteq W_\gamma$であるから$\gamma U\cap U\subseteq\gamma W_\gamma\cap W_\gamma=\varnothing$である。$\gamma\notin\Gamma_K$ならば$\gamma K\cap K=\varnothing$であり、$U\subseteq B\subseteq K$であるから$\gamma U\cap U\subseteq\gamma K\cap K=\varnothing$である。

最後に$\pi|_U$の単射性を示す。$q_1,q_2\in U$が$\pi(q_1)=\pi(q_2)$を満たすとすると、$q_2=\gamma q_1$を満たす$\gamma\in\Gamma$が存在する。$q_2\in\gamma U\cap U$であるから、上の結論により$\gamma=\epsilon$でなければならない。よって$q_1=q_2$である。▨

証明.$\pi(p)\ne\pi(q)$とする。すなわち$q\notin\Gamma p$である。

§E17.2 補題 2.3 (4)により、$p\in B_p$、$q\in B_q$を満たす正則座標球で$\overline{B_p}$、$\overline{B_q}$がコンパクトであるものを取る。$K=\overline{B_p}\cup\overline{B_q}$と置くと、$K$は二つのコンパクト集合の合併としてコンパクトである（§E2.19 補題 2.8）。$\Gamma_K$は定義 1.2により有限集合である。

$\gamma\in\Gamma_K$を取る。$q\notin\Gamma p$であるから$\gamma p\ne q$である。$M$は Hausdorff であるから、交わらない開集合$C_\gamma\ni\gamma p$と$D_\gamma\ni q$が存在する。

と置く。$\Gamma_K$は有限集合であるから$A$は$p$の開近傍、$D$は$q$の開近傍である。

$\Gamma A\cap D=\varnothing$を示す。ここで$\Gamma A=\bigcup_{\gamma}\gamma A$である。$\gamma a=d$（$a\in A$、$d\in D$、$\gamma\in\Gamma$）と仮定する。$a\in A\subseteq B_p\subseteq K$であり、$d\in D\subseteq B_q\subseteq K$であるから$\gamma K\cap K\ne\varnothing$、すなわち$\gamma\in\Gamma_K$である。すると$a\in\theta_\gamma^{-1}(C_\gamma)$より$\gamma a\in C_\gamma$であり、$d\in D_\gamma$である。$C_\gamma\cap D_\gamma=\varnothing$であるから$\gamma a\ne d$となり矛盾する。

補題 2.1により$\pi(A)$と$\pi(D)$は$M/\Gamma$の開集合であり、それぞれ$\pi(p)$、$\pi(q)$を含む。両者が交わると仮定すると、$a\in A$、$d\in D$で$\pi(a)=\pi(d)$、すなわち$d=\gamma a$を満たす$\gamma\in\Gamma$が存在する。これは$\Gamma A\cap D=\varnothing$に反する。よって$\pi(A)\cap\pi(D)=\varnothing$であり、$M/\Gamma$は Hausdorff である。▨

証明.(1)を示す。命題 2.3と補題 2.1による。

(2)を示す。$p\in M$を取る。命題 2.2により、$p$の開近傍$U_0$で$\gamma U_0\cap U_0=\varnothing$（$\gamma\ne\epsilon$）となるものが存在する。§E17.2 補題 2.3 (4)を$O=U_0$に適用して、$p\in U\subseteq U_0$を満たす正則座標球$U$を取る。$U\subseteq U_0$であるから、$\gamma\ne\epsilon$に対して$\gamma U\cap U\subseteq\gamma U_0\cap U_0=\varnothing$である。§E17.2 補題 2.3 (2)により$(U,\varphi)$は$M$の可微分構造に属するチャートである（$\varphi$は外側のチャートの制限である）。

補題 2.1により$\pi(U)$は開集合であり、命題 2.2により$\pi|_U$は単射である。$\pi|_U$は連続かつ開写像であるから、$U$から$\pi(U)$への同相写像である。逆写像を$\sigma_U\colon\pi(U)\to U$と書く。

と定めると、$\bar\varphi$は同相写像の合成として同相写像であり、像$\varphi(U)$は$\mathbb{R}^{n}$の開集合である。よって$(\pi(U),\bar\varphi)$は$M/\Gamma$の$n$次元チャートである。このようなチャートの全体を$\mathcal{A}$と書く。$p$は任意であったから、$\mathcal{A}$の定義域の合併は$M/\Gamma$に等しい。

座標変換を計算する。$(\pi(U_1),\bar\varphi_1)$、$(\pi(U_2),\bar\varphi_2)$を$\mathcal{A}$の二つのチャートとし、$\pi(U_1)\cap\pi(U_2)\ne\varnothing$とする。$\bar x\in\pi(U_1)\cap\pi(U_2)$を取り、$y_0=\sigma_{U_1}(\bar x)\in U_1$と置く。$\bar x\in\pi(U_2)$であるから、$\gamma_0 y_0\in U_2$を満たす$\gamma_0\in\Gamma$が存在する。

$N=U_1\cap\theta_{\gamma_0}^{-1}(U_2)$と置く。$\theta_{\gamma_0}$は連続であるから$N$は開集合であり、$y_0\in N$である。$y\in N$に対して$\gamma_0y\in U_2$であり$\pi(\gamma_0y)=\pi(y)$であるから、$\sigma_{U_2}$の定義（$U_2$の中で$\pi$の値が$\pi(y)$である唯一の点）により

である。したがって$\varphi_1(N)$の上で

が成り立つ。ここで$\sigma_{U_1}\circ\bar\varphi_1^{-1}=\varphi_1^{-1}$を用いた。右辺は、$\theta_{\gamma_0}$が$M$の微分同相であることと§E17.1 系 7.2により、$C^\infty$写像の合成であって$C^\infty$である。$\varphi_1(N)$は$\bar\varphi_1(\bar x)=\varphi_1(y_0)$を含む開集合である。

$\bar x$は$\pi(U_1)\cap\pi(U_2)$の任意の点であったから、$\bar\varphi_2\circ\bar\varphi_1^{-1}$は定義域の各点の近傍で$C^\infty$であり、したがって定義域全体で$C^\infty$である。添字$1$と$2$を入れ替えれば逆向きの座標変換の$C^\infty$性も従う。よって$\mathcal{A}$は$n$次元$C^\infty$アトラスである。

(2)の証明を完成させる。(1)と合わせて、$M/\Gamma$は§E17.1 定義 2.2の意味で$n$次元$C^\infty$多様体である（可微分構造は§E17.1 命題 2.3により$\mathcal{A}$から一意に定まる）。$\pi$が局所微分同相であることを示す。上で取った$U$に対して、チャート$(U,\varphi)$と$(\pi(U),\bar\varphi)$に関する$\pi|_U$の座標表示は

であり、恒等写像は$C^\infty$である。逆写像$\sigma_U$の座標表示も恒等写像である。§E17.1 命題 4.2により$\pi|_U$と$\sigma_U$はともに$C^\infty$であり、$\pi|_U\colon U\to\pi(U)$は微分同相である。

(3)を示す。$\mathcal{B}$を、$M/\Gamma$の同じ位相の上の$C^\infty$構造であって$\pi$を局所微分同相にするものとする。$\mathcal{A}^{*}$を(2)で得た可微分構造とし、恒等写像

が微分同相であることを示せば、二つの極大アトラスが一致することが従う（微分同相であれば、一方のチャートは他方のチャートと両立する）。

$\bar p\in M/\Gamma$を取り、$p\in\pi^{-1}(\bar p)$を取る。$\mathcal{A}^{*}$について$\pi$が局所微分同相であることから、$p$の開近傍$U_1$で$\pi|_{U_1}\colon U_1\to\pi(U_1)$が$\mathcal{A}^{*}$に関する微分同相であるものが存在する。同様に$\mathcal{B}$について$p$の開近傍$U_2$が存在する。$U=U_1\cap U_2$と置くと、$\pi|_U$は$\pi(U)$への微分同相である（$\mathcal{A}^{*}$についても$\mathcal{B}$についても、微分同相の開集合への制限であり、補題 2.1により像は開集合である）。$\pi(U)$の上で

であり、右辺は$C^\infty$写像の合成である。ここで下付きの記号は、写像の終域にどちらの構造を与えるかを表す。よって$\operatorname{id}$は$\bar p$の近傍で$C^\infty$である。$\bar p$は任意であるから§E17.1 命題 4.2により$\operatorname{id}$は$C^\infty$である。$\mathcal{A}^{*}$と$\mathcal{B}$の役割を入れ替えると逆写像も$C^\infty$であるから、$\operatorname{id}$は微分同相である。したがって$\mathcal{B}=\mathcal{A}^{*}$である。

(4)を示す。$\bar p\in M/\Gamma$を取り、$p\in\pi^{-1}(\bar p)$と、(2)で取った$U$（$\gamma U\cap U=\varnothing$（$\gamma\ne\epsilon$）を満たす$p$の開近傍）を取る。$\bar U=\pi(U)$と置く。補題 2.1の証明で示したとおり

である。各$\gamma U$は開集合である。

互いに交わらないことを示す。$\gamma U\cap\delta U\ne\varnothing$とすると、$\theta_{\delta^{-1}}$を施して$(\delta^{-1}\gamma)U\cap U\ne\varnothing$を得る。$U$のとり方により$\delta^{-1}\gamma=\epsilon$、すなわち$\gamma=\delta$である。

$\pi|_{\gamma U}$が微分同相であることを示す。$\pi\circ\theta_\gamma=\pi$であるから$\pi|_{\gamma U}=\pi|_U\circ\theta_{\gamma^{-1}}|_{\gamma U}$である。$\theta_{\gamma^{-1}}$は$\gamma U$から$U$への微分同相であり、$\pi|_U$は$U$から$\bar U$への微分同相であるから、合成は$\gamma U$から$\bar U$への微分同相である。▨

証明.(1)を示す。$(x,y)\ne(0,0)$ならば$(2^{n}x,2^{-n}y)\ne(0,0)$であるから、値は$M$に属する。$0\cdot(x,y)=(x,y)$であり、

であるから群作用である。$\theta_n(x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$は$\mathbb{R}^{2}$の線形同型の$M$への制限であり、$M$を$M$へ写す。線形写像は$C^\infty$であり、逆写像$\theta_{-n}$も$C^\infty$であるから$\theta_n$は$M$の微分同相である。

自由性を示す。$n\cdot(x,y)=(x,y)$とする。$x\ne0$ならば$2^{n}x=x$から$2^{n}=1$、すなわち$n=0$である。$x=0$ならば$(x,y)\in M$より$y\ne0$であり、$2^{-n}y=y$から$2^{-n}=1$、すなわち$n=0$である。

(2)を示す。$p=(x_0,y_0)\in M$とする。$x_0\ne0$の場合、

と置く。$(x,y)\mapsto\lvert x\rvert$は連続であるから$U$は開集合であり、$p\in U$である。$(x,y)\in U$かつ$n\cdot(x,y)\in U$とすると$\lvert x\rvert$と$2^{n}\lvert x\rvert$がともに区間$(\lvert x_0\rvert/\sqrt2,\ \sqrt2\lvert x_0\rvert)$に属する。この区間の右端と左端の比は$2$であるから

であり、$n=0$である。よって$n\ne0$ならば$(n\cdot U)\cap U=\varnothing$である。

$x_0=0$の場合は$y_0\ne0$であり、$U=\{(x,y)\in M\mid\lvert y_0\rvert/\sqrt2<\lvert y\rvert<\sqrt2\lvert y_0\rvert\}$と置くと、同じ議論で$2^{-n}\in(1/2,2)$、すなわち$n=0$を得る。

(3)を示す。$K$は$\mathbb{R}^{2}$の有界閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、$0\notin K$であるから$K\subseteq M$である。$M$の部分集合としてもコンパクトである。

$n$を正の整数とし、$q_n=(2^{-n},1)$と置く。$q_n$のノルムの平方は$4^{-n}+1$であり、$1\le 4^{-n}+1\le2\le4$であるから$q_n\in K$である。また

であり、ノルムの平方は$1+4^{-n}$であるから同じ理由で$n\cdot q_n\in K$である。よって$(n\cdot K)\cap K\ne\varnothing$であり、$n\in\Gamma_K$である。$n$はすべての正の整数を動くので$\Gamma_K$は無限集合である。したがってこの作用は真性不連続でない。

(4)を示す。$p=(1,0)$、$q=(0,1)$と置く。軌道は

である。$\Gamma p$の元はすべて第二成分が$0$、$\Gamma q$の元はすべて第一成分が$0$であり、$M$の点は$(0,0)$でないから、二つの軌道は交わらない。よって$\pi(p)\ne\pi(q)$である。

$\bar A$を$\pi(p)$を含む$M/\Gamma$の開集合、$\bar D$を$\pi(q)$を含む$M/\Gamma$の開集合とする。$A=\pi^{-1}(\bar A)$、$D=\pi^{-1}(\bar D)$と置くと、$A$は$p$を含む$M$の開集合、$D$は$q$を含む$M$の開集合である。

$u_m=(1,2^{-m})$（$m$は正の整数）と置く。$m\to\infty$のとき$u_m\to(1,0)=p$であるから、$A$が$p$の開近傍であることにより、ある正の整数$m_1$が存在して$m\ge m_1$ならば$u_m\in A$である。一方

であり、$m\to\infty$のとき$(2^{-m},1)\to(0,1)=q$であるから、ある正の整数$m_2$が存在して$m\ge m_2$ならば$(-m)\cdot u_m\in D$である。

$m=\max\{m_1,m_2\}$と取ると、$u_m\in A$かつ$(-m)\cdot u_m\in D$である。$\pi(u_m)=\pi((-m)\cdot u_m)$であるから、この点は$\bar A\cap\bar D$に属する。よって$\bar A\cap\bar D\ne\varnothing$である。

$\bar A$、$\bar D$は任意であったから、$\pi(p)$と$\pi(q)$を交わらない開集合で分離することはできない。したがって$M/\Gamma$は Hausdorff でない。▨

証明.(1)を示す。$\lambda\cdot(\mu\cdot z)=z+\mu+\lambda=(\lambda+\mu)\cdot z$であり$0\cdot z=z$であるから群作用である。$\theta_\lambda(z)=z+\lambda$は$\mathbb{R}^{2}$の平行移動であり、$C^\infty$で逆写像$\theta_{-\lambda}$も$C^\infty$であるから微分同相である。$z+\lambda=z$から$\lambda=0$であるから自由である。

真性不連続性を示す。$T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$を$T(m,l)=mv_1+lv_2$で定めると、$v_1,v_2$が一次独立であるから$T$は線形同型であり、$\Lambda=T(\mathbb{Z}^{2})$である。$T^{-1}$は線形写像であるから、定数$C>0$が存在して$\lVert T^{-1}w\rVert\le C\lVert w\rVert$がすべての$w$で成り立つ（成分で書くと右辺は有限個の項の和である）。

$K\subseteq\mathbb{R}^{2}$をコンパクト集合とする。$K$は有界である（§E2.9 系 4.1）から、$R>0$を$K\subseteq\overline{B}(0,R)$となるように取る。$\lambda\in\Lambda$が$(\lambda+K)\cap K\ne\varnothing$を満たすとすると、$z_1,z_2\in K$で$z_1+\lambda=z_2$となるものが存在し、$\lVert\lambda\rVert=\lVert z_2-z_1\rVert\le 2R$である。$\lambda=T(m,l)$と書くと$\lVert(m,l)\rVert=\lVert T^{-1}\lambda\rVert\le 2CR$である。$\lvert m\rvert\le 2CR$かつ$\lvert l\rvert\le 2CR$を満たす整数の組は有限個であるから、$\Lambda_K$は有限集合である。

(2)を示す。$E\colon\mathbb{R}\to S^{1}$を$E(u)=(\cos2\pi u,\sin2\pi u)$で定め、$\Pi\colon\mathbb{R}^{2}\to T^{2}$を$\Pi(u,v)=(E(u),E(v))$で定める。§E17.5 補題 2.3により、$E$は$C^\infty$であり、至るところ局所微分同相である。積のチャートに関する$\Pi$の座標表示は二つの局所微分同相を並べたものであるから、$\Pi$も$C^\infty$であり局所微分同相である。

$\Pi$は全射であり、$\Pi(u,v)=\Pi(u',v')$であることと$(u-u',v-v')\in\mathbb{Z}^{2}$であることは同値である（§E17.9 補題 4.1による）。したがって$\Pi$は軌道の上で一定であり、全単射

を誘導する。$\overline{\Pi}\circ\pi=\Pi$が連続であるから、§E2.12 定理 8.10により$\overline{\Pi}$は連続である。

$\overline{\Pi}$が$C^\infty$であることを示す。$\bar z\in\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$を取り、$z\in\pi^{-1}(\bar z)$を取る。定理 3.1 (2)により、$z$の開近傍$U$で$\pi|_U$が$\pi(U)$への微分同相であるものが存在する。$\pi(U)$の上で$\overline{\Pi}=\Pi\circ(\pi|_U)^{-1}$であり、右辺は$C^\infty$写像の合成である。よって$\overline{\Pi}$は$\bar z$の近傍で$C^\infty$であり、§E17.1 命題 4.2により$C^\infty$である。

$\overline{\Pi}^{-1}$が$C^\infty$であることを示す。$w\in T^{2}$を取り、$z\in\Pi^{-1}(w)$を取る。$\Pi$は局所微分同相であるから、$z$の開近傍$O_1$で$\Pi|_{O_1}$が開集合$\Pi(O_1)$への微分同相であるものが存在する。定理 3.1 (2)により$z$の開近傍$O_2$で$\pi|_{O_2}$が微分同相であるものが存在する。$O=O_1\cap O_2$と置くと、$\Pi|_{O}$と$\pi|_{O}$はいずれも像への微分同相であり、像は開集合である。$\Pi(O)$の上で