§E17.15向きと多様体上の積分

証明.$R\cap D$と$R\setminus K$はともに$R$の相対開集合であり、$K\subseteq D$から$R$を覆う。$R\cap D$の上で$\tilde f=f$は連続であり、$R\setminus K$の上で$\tilde f=0$は連続であり、共通部分では$f=0$であるから両者は一致する。よって$\tilde f$は$R$上で連続であり、§E4.10 定理 3.1により可積分である。

$R_1,R_2$をともに$K$を含む閉長方形とし、$S\supseteq R_1\cup R_2$となる閉長方形$S$を取る。$R_i$上の$\tilde f$を$S$の外側で$0$として延長すると、どちらも$S$上の同じ関数（$K$の外で$0$、$K$の上で$f$）を与える。§E4.11 補題 3.2により$\int_{R_i}\tilde f=\int_S(\text{その関数})$であるから二つは等しい。

線形性は§E4.10 命題 4.1 (1)による（共通の$R$を取ればよい）。最後の評価は、$K\subseteq S$を含む閉長方形$R$を取ると$|\tilde f|\le C\cdot\mathbf{1}_{S}$であり、$\mathbf{1}_S$が可積分で$\int_R\mathbf{1}_S=|S|$であることと§E4.10 命題 4.1 (2)、§E4.10 命題 4.1 (3)による。▨

証明.$Z\subseteq\partial\mathbb{H}^n$をコンパクトとすると有界であるから、$c>0$を取って$Z\subseteq[-c,c]^{n-1}\times\{0\}$とすることができる。$\delta>0$に対して開長方形

は$Z$を含み、体積は$(2c+2)^{n-1}\cdot 2\delta$である。$\delta$を小さく取ればこれは任意に小さくなる。▨

証明.$\eta>0$を取る。$C_0$は Jordan 零集合であるから、体積の総和が$\eta$未満である有限個の開長方形$Q_1,\dots,Q_s$で覆われる。$O=Q_1\cup\cdots\cup Q_s$と置く。

$\varepsilon_1=1$とし、$L_\varepsilon=C_\varepsilon\setminus O$（$0<\varepsilon\le 1$）と置く。$L_\varepsilon$は開集合の補集合とコンパクト集合の交わりであるからコンパクトであり、族は減少する。$\bigcap_{0<\varepsilon\le1}L_\varepsilon=C_0\setminus O=\varnothing$である。したがって開集合の族$\{\mathbb{R}^n\setminus L_\varepsilon\}_{0<\varepsilon\le1}$は$L_1$を覆う。$L_1$はコンパクトであるから（§E2.19 定義 2.1）有限個$\varepsilon^{(1)},\dots,\varepsilon^{(r)}$で覆われる。$\varepsilon_0=\min_j\varepsilon^{(j)}$と置くと、族が減少するので$L_{\varepsilon_0}\subseteq L_{\varepsilon^{(j)}}$であり、$L_1\subseteq\bigcup_j(\mathbb{R}^n\setminus L_{\varepsilon^{(j)}})\subseteq\mathbb{R}^n\setminus L_{\varepsilon_0}$である。$L_{\varepsilon_0}\subseteq L_1$であるから$L_{\varepsilon_0}=\varnothing$である。$0<\varepsilon\le\varepsilon_0$ならば$L_\varepsilon\subseteq L_{\varepsilon_0}=\varnothing$、すなわち$C_\varepsilon\subseteq O$である。▨

証明.$f=(g\circ\tau)|\det D\tau|$と置く。$|\det D\tau|$は至るところ正であるから（§E17.14 補題 1.3 (1)）、$\{f\ne0\}=\tau^{-1}(\{g\ne0\})$である。$\tau$は同相写像であるから、$D$における閉包は$\tau^{-1}(\operatorname{supp}g)$であり、これはコンパクトである。$K=\operatorname{supp}f$と置く。

半空間の型を正の型へそろえる。$D$が$\mathbb{H}^n_{-}$の相対開集合であるときは、$D$を$R_n(D)$へ、$f$を$f\circ R_n$へ取り替える。$D'$についても同様に取り替え、$\tau$を$R_n\circ\tau\circ R_n$（必要な側だけ合成する）へ取り替える。§E17.14 補題 2.1により取り替えた写像は同じ性質を持ち、$|\det|$は$|\det R_n|=1$により変わらず、二つの積分の値も上で述べたとおり変わらない。よって以下、$D$と$D'$はそれぞれ$\mathbb{R}^n$の開集合であるか$\mathbb{H}^n$の相対開集合であるとしてよい。

$\tau$は$Z(D)$を$Z(D')$の上へ写す。実際、$D,D'$がともに$\mathbb{H}^n$の相対開集合であるときは§E17.14 補題 1.3 (2)による。$D$が$\mathbb{R}^n$の開集合であるときは$Z(D)=\varnothing$であり、§E4.7 定理 2.1により$\tau(D)=D'$は$\mathbb{R}^n$の開集合であるから$Z(D')=\varnothing$である（$D'$が$\mathbb{H}^n$の相対開集合でありかつ$\mathbb{R}^n$の開集合ならば$D'\subseteq\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$である）。$D'$が$\mathbb{R}^n$の開集合である場合も$\tau^{-1}$について同じ議論を行えばよい。

$Z(D)=\varnothing$の場合を先に片づける。このとき$D$と$D'$はともに$\mathbb{R}^n$の開集合である。$K$を含み閉包が$D$に含まれる有限個の開長方形の合併を$E$と取る（$K$の各点に対して閉包が$D$に含まれる開長方形を取り、コンパクト性から有限個を選ぶ）。$\partial E$は有限個の長方形の境界の合併に含まれ、それぞれ Jordan 零集合であるから$E$は Jordan 可測である（§E4.11 定義 2.1）。$\overline E\subseteq D$であり$g$は$\tau(\overline E)$の近傍で連続であるから、§E4.14 定理 2.1を適用して

を得る。$\operatorname{supp}g=\tau(K)\subseteq\tau(E)$と$K\subseteq E$から、両辺は定義 1.1の積分に一致する。すなわち$\int_{D'}g=\int_Df$である。

以下$Z(D)\ne\varnothing$、すなわち$D,D'$がともに$\mathbb{H}^n$の相対開集合である場合を扱う。$D_+=D\setminus Z(D)$、$D'_+=D'\setminus Z(D')$と置くと、これらは$\mathbb{R}^n$の開集合であり$\tau(D_+)=D'_+$である。

§E17.2 補題 1.2の関数を$\rho$と書く。すなわち、$\rho$は$\mathbb{R}$上の$C^\infty$関数であり、$t\le0$で$0$、$t\ge1$で$1$、値域は$[0,1]$である。$\varepsilon>0$に対して

と置く。$c_\varepsilon$は$\mathbb{R}^n$上の$C^\infty$関数であり、$x^n\le\varepsilon$で$0$、$x^n\ge2\varepsilon$で$1$である。また

と置く。$A_\varepsilon$はコンパクトであり、$\varepsilon$について増大し、$\bigcap_{\varepsilon>0}A_\varepsilon=K\cap\partial\mathbb{H}^n$である。

第一段（各$\varepsilon$での等式）。$c_\varepsilon f$の台は$K\cap\{x^n\ge\varepsilon\}$に含まれ、これはコンパクトで$D_+$に含まれる。$Z(D)=\varnothing$の場合と同じ手順で、$\operatorname{supp}(c_\varepsilon f)$を含み閉包が$D_+$に含まれる有限個の開長方形の合併$E$を取り、§E4.14 定理 2.1を$\tau|_{D_+}\colon D_+\to D'_+$へ適用すると

である。両辺の被積分関数の台はそれぞれ$\tau(E)$、$E$に含まれるコンパクト集合であるから、定義 1.1の積分として

が成り立つ。

第二段（左側の極限）。$C=\sup|f|$と置く。$|f-c_\varepsilon f|\le C$であり、$c_\varepsilon=1$となる範囲では差が$0$であるから、差の台は$A_\varepsilon$に含まれる。$K$を含む閉長方形$R=\prod_{i=1}^{n-1}[-c,c]\times[0,c]$を取ると$A_\varepsilon\subseteq S_\varepsilon=\prod_{i=1}^{n-1}[-c,c]\times[0,2\varepsilon]$であり、補題 1.2の評価から

である。右辺は$\varepsilon\to0^{+}$で$0$へ収束する。

第三段（右側の極限）。$C'=\sup|g|$と置く。$g-(c_\varepsilon\circ\tau^{-1})g$の台は$\tau(A_\varepsilon)$に含まれる。$\tau$は同相写像であるから$\{\tau(A_\varepsilon)\}_{\varepsilon>0}$はコンパクト集合の増大族であり、

である。右辺は$\tau(Z(D))\subseteq\partial\mathbb{H}^n$に含まれるコンパクト集合であるから、補題 1.3により Jordan 零集合である。補題 1.4により、任意の$\eta>0$に対して$\varepsilon_0>0$が存在して、$0<\varepsilon\le\varepsilon_0$ならば$\tau(A_\varepsilon)$は体積の総和が$\eta$未満である有限個の開長方形$Q_1,\dots,Q_s$で覆われる。このとき差の絶対値は$C'\sum_{j=1}^{s}\mathbf{1}_{\overline{Q_j}}$で上から押さえられるので、§E4.10 命題 4.1により

である。$\eta$は任意であるから、左辺は$\varepsilon\to0^{+}$で$0$へ収束する。

第二段と第三段の極限を (1) へ適用すると$\int_{D'}g=\int_Df$を得る。▨

証明. 族$\{\operatorname{supp}\psi_\alpha\}$は局所有限であるから（§E17.2 定義 4.1）、各$p\in K$に対して$p$を含む開集合$O_p$で、$O_p$と交わる$\operatorname{supp}\psi_\alpha$が有限個であるものが存在する。$K$はコンパクトであるから有限個の$O_{p_1},\dots,O_{p_m}$で覆われる（§E2.19 定義 2.1）。$\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K\ne\varnothing$ならば、ある$i$について$\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap O_{p_i}\ne\varnothing$であるから、そのような$\alpha$は有限個である。

$\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K=\varnothing$ならば、$\psi_\alpha\omega$は$M$の全体で$0$である。実際、$\psi_\alpha(p)\ne0$ならば$p\in\operatorname{supp}\psi_\alpha$であるから$p\notin K$であり$\omega_p=0$である。

$\psi_\alpha\omega$の台は$\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K$の閉部分集合であるからコンパクトであり、$U_\alpha$に含まれる。$\varphi_\alpha$は同相写像であるから、$f_\alpha$の台はその像であり、コンパクトかつ$\varphi_\alpha(U_\alpha)$に含まれる。$f_\alpha$が連続（実際$C^\infty$）であることは§E17.14 定義 3.3による。▨

証明.$W=U\cap V$と置く。$\operatorname{supp}f\subseteq\varphi(W)$、$\operatorname{supp}g\subseteq\phi(W)$であるから、補題 1.2により、積分を$\varphi(W)$と$\phi(W)$の上のものとして計算してよい。

$\tau=\phi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(W)\to\phi(W)$と置く。$\varphi^{-1}=\phi^{-1}\circ\tau$であるから§E17.10 命題 5.2により

である。§E17.10 命題 5.4と§E17.10 系 3.6により

であるから$f=(g\circ\tau)\,\det D\tau$である。

$(U,\varphi)$と$(V,\phi)$はともに向きを保つので、§E17.14 定理 6.4により$\det D\tau>0$である。したがって$\det D\tau=|\det D\tau|$であり、定理 1.5により

である。▨

証明.命題 2.4を示す。向きを保つアトラス$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$と従属する1の分割$\{\psi_\alpha\}$、および向きを保つアトラス$\{(V_\beta,\phi_\beta)\}_{\beta\in B}$と従属する1の分割$\{\sigma_\beta\}$を取る。$K=\operatorname{supp}\omega$と置き、

と置く。補題 2.3により$A_0$と$B_0$は有限集合であり、$\alpha\notin A_0$または$\beta\notin B_0$の項は$0$である。したがって

である（$g_\beta$は$(\phi_\beta^{-1})^*(\sigma_\beta\omega)$の成分）。

$\alpha\in A_0$を固定する。$K_\alpha=\operatorname{supp}(\psi_\alpha\omega)$はコンパクトであり$K_\alpha\subseteq K$である。$\beta\notin B_0$ならば$\operatorname{supp}\sigma_\beta\cap K_\alpha=\varnothing$であるから、$K_\alpha$の上で$\sigma_\beta=0$である。よって$M$の全体で

が成り立つ。実際、$p\in K_\alpha$では$\sum_{\beta\in B_0}\sigma_\beta(p)=\sum_{\beta\in B}\sigma_\beta(p)=1$であり、$p\notin K_\alpha$では両辺が$0$である。この式は有限和であるから、引き戻しと補題 1.2の線形性により

である。同様に$\beta\in B_0$を固定すると

である。

$\alpha\in A_0$、$\beta\in B_0$に対して$\psi_\alpha\sigma_\beta\omega$の台は$\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap\operatorname{supp}\sigma_\beta\cap K$に含まれ、コンパクトかつ$U_\alpha\cap V_\beta$に含まれる。$(U_\alpha,\varphi_\alpha)$と$(V_\beta,\phi_\beta)$はともに向きを保つので、補題 2.5により

である。$A_0\times B_0$は有限集合であるから和の順序を入れ替えることができ、

を得る。よって二つの定め方は同じ値を与える。▨

証明.(1)を示す。二つの形式に対して共通のアトラスと1の分割を取ることができ、補題 1.2の線形性と引き戻しの線形性から従う。

(2)を示す。$R(x^1,x^2,\dots,x^n)=(-x^1,x^2,\dots,x^n)$と置く。$R$は$\det R=-1$を満たす線形同型であり、$R\circ R=\operatorname{id}$である。$(U,\varphi)$が$M$について向きを保つとき、$\bar\varphi=R\circ\varphi$は境界付きチャートであり（§E17.14 定理 6.4の証明で確かめた。$n=1$では半空間の型が入れ替わる）、$M^{-}$について向きを保つ。

$\eta=(\varphi^{-1})^*(\psi_\alpha\omega)=f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$と置く。$\bar\varphi^{-1}=\varphi^{-1}\circ R$であるから、§E17.10 命題 5.2と§E17.10 命題 5.4により

である。$|\det R|=1$であるから§E4.14 定理 2.1（あるいは定理 1.5）により$\int_{R(\varphi(U))}(f\circ R)=\int_{\varphi(U)}f$であり、対応する項の値は符号だけが変わる。同じ1の分割を用いると総和も符号だけが変わる。

(3)を示す。$\{(U,\varphi)\}$に$M\setminus\operatorname{supp}\omega$の上の向きを保つチャートを加えたアトラスと、それに従属する1の分割を取る。$\operatorname{supp}\omega\subseteq U$であるから、$U$以外のチャートに属する項は$0$であり、$U$に属する項の総和は補題 1.2の線形性により$\int_{\varphi(U)}f$に等しい。

(4)を示す。$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$を$M$の向きを保つアトラス、$\{\psi_\alpha\}$を従属する1の分割とすると、$\{(F^{-1}(U_\alpha),\varphi_\alpha\circ F)\}$は$N$のアトラスであり、各チャートは向きを保つ。実際、$F^*\mu_M$の$\varphi_\alpha\circ F$に関する成分は$\mu_M$の$\varphi_\alpha$に関する成分と$F$で対応する。$\{\psi_\alpha\circ F\}$は従属する1の分割である。対応する項は同じ許容領域の上の同じ関数の積分であるから、総和は等しい。

(5)を示す。$\mu$の$\phi$に関する成分が負であることは、$-\mu$の成分が正であること、すなわち$(V,\phi)$が$M^{-}$について向きを保つことと同じである。(3)を$M^{-}$へ適用すると$\int_{M^{-}}\omega=\int_{\phi(V)}g$であり、(2)により$\int_M\omega=-\int_{M^{-}}\omega=-\int_{\phi(V)}g$である。▨

証明.$L=\sup_{x\in\overline B}\lVert DT(x)\rVert$と置く。$DT$は連続であり$\overline B$はコンパクトであるから$L<\infty$である。$x,y\in\overline B$に対して線分$x+t(y-x)$（$t\in[0,1]$）は凸性により$\overline B$に含まれる。§E4.3 定理 1.1と微積分学の基本定理により

であるから$\lVert T(y)-T(x)\rVert\le L\lVert y-x\rVert$である。▨

証明.(1)を示す。$\{f<c\}$は開集合であるから$D$の内部に含まれる。$p\in f^{-1}(c)$を取り、§E17.14 命題 4.1が与える$N$のチャート$(U,\varphi)$（$\varphi^n=c-f$、$\varphi(U)$は$\mathbb{R}^n$の開集合）を取る。$\varphi(p)$の任意の近傍は第$n$成分が負である点を含み、その点は$f>c$を満たすので$D$に属さない。よって$p$は$D$の内点でなく、$D$の位相的な境界は$f^{-1}(c)$である。

$f^{-1}(c)$は$D$の閉部分集合であるからコンパクトである。各$q\in f^{-1}(c)$に対して、上の形のチャート$(U_q,\varphi_q)$と、$\varphi_q(q)$を中心とする閉球$\overline{B_q}\subseteq\varphi_q(U_q)$を取る。$\{\varphi_q^{-1}(B_q)\}_{q}$は$f^{-1}(c)$の開被覆であるから、コンパクト性により有限個$q_1,\dots,q_r$で覆われる（§E2.19 定義 2.1）。以下$\varphi_l=\varphi_{q_l}$、$B_l=B_{q_l}$と略す。

$\varphi_l$の第$n$成分は$c-f$であるから$\varphi_l\bigl(U_{q_l}\cap f^{-1}(c)\bigr)=\varphi_l(U_{q_l})\cap\partial\mathbb{H}^n$である。

と置くと、$N_l$はコンパクト集合$\overline{B_l}$の閉部分集合であるからコンパクトであり、$\partial\mathbb{H}^n$に含まれるので補題 1.3により Jordan 零集合である。$\varphi_l^{-1}$は$\varphi_l(U_{q_l})$の上で$C^\infty$であり、補題 4.1により$\overline{B_l}$の上で Lipschitz 連続であるから、§E4.14 補題 1.1により$\varphi_l^{-1}(N_l)$は Jordan 零集合である。

$p\in f^{-1}(c)$を取ると、ある$l$について$\varphi_l(p)\in B_l$であり、$p\in f^{-1}(c)$から$\varphi_l(p)\in N_l$である。したがって$f^{-1}(c)\subseteq\bigcup_{l=1}^{r}\varphi_l^{-1}(N_l)$であり、有限個の Jordan 零集合の合併は Jordan 零集合であるから$f^{-1}(c)$は Jordan 零集合である。$D$は有界で境界が Jordan 零集合であるから Jordan 可測である（§E4.11 定義 2.1）。

(2)を示す。$u$が$C^\infty$である$D$の開近傍を$N_0\subseteq N$と置く。$N_0$の開被覆を次のように取る。内点$p\in\{f<c\}$に対しては$p$を含む開球$W\subseteq\{f<c\}$を取り、チャートとして恒等写像を用いる。境界点$p\in f^{-1}(c)$に対しては§E17.14 命題 4.1の$N$のチャート$(U,\varphi)$（$\varphi^n=c-f$、$\varphi(U)$は$\mathbb{R}^n$の開集合）を取り、必要ならば§E17.14 定理 6.4の証明の操作（第一成分の符号の反転。$n=1$では半空間の型が入れ替わる）を施して、$D$の側のチャート$\varphi|_{U\cap D}$が向きを保つようにする。さらに$N_0\setminus D$を被覆へ加える。