§E2.43連結性

証明.$X$に分離$(U,V)$が存在すると、$V=X\setminus U$であるから$U$は開集合かつ閉集合である。さらに$U\ne\emptyset$かつ$V\ne\emptyset$であるから$U\ne X$であり、(2)は成り立たない。

逆に、開集合かつ閉集合である$W\subseteq X$が$W\ne\emptyset$かつ$W\ne X$を満たすとする。$X\setminus W$は開集合であり、$W\ne X$から空でない。したがって$(W,X\setminus W)$は$X$の分離であり、$X$は連結でない。▨

証明.$f(X)$に分離$(U,V)$が存在すると仮定する。終域を像へ制限した写像$f':X\to f(X)$は、§E2.12 定理 4.4 (3)により連続である。したがって$f'^{-1}(U)$と$f'^{-1}(V)$は$X$の開集合である。$f'$は全射であり、$U$と$V$はともに空でないから、二つの逆像もともに空でない。さらに、§E1.1 命題 4.4により

が成り立つ。よって$(f'^{-1}(U),f'^{-1}(V))$は$X$の分離であり、$X$の連結性に反する。▨

証明.命題 1.5を$C=\overline A$に適用する。▨

証明.$A=\bigcup_iA_i$とし、$(U,V)$が$A$の分離であると仮定する。$p\in A=U\cup V$であるから、$p$は$U$または$V$に属する。必要ならば$U$と$V$を入れ替え、$p\in U$とする。§E2.12 定義 4.1により、各$i$について$U\cap A_i$と$V\cap A_i$は$A_i$の相対開集合である。二集合は互いに素であり、その和は$A_i$である。前者は$p$を含むので空でない。したがって$A_i$の連結性から$V\cap A_i=\emptyset$である。よって$V=\bigcup_i(V\cap A_i)=\emptyset$であり、$V$が空でないという分離の仮定に反する。▨

証明.$A$が区間条件を満たさないとする。このとき、$a,b\in A$と$c\in\mathbb R\setminus A$で$a<c<b$を満たすものが存在する。

とおくと、$U$と$V$は$A$の開集合であり、それぞれ$a$と$b$を含む。さらに$U\cap V=\emptyset$であり、$c\notin A$から$U\cup V=A$である。したがって$(U,V)$は$A$の分離であり、$A$は連結でない。

逆に、$A$が区間条件を満たし、分離$(U,V)$が存在すると仮定する。$a\in U$と$b\in V$をとり、必要なら組$(a,U)$と$(b,V)$を入れ替えて$a<b$とする。区間条件から$[a,b]\subseteq A$である。

とおく。$a\in E$であり、$b$は$E$の上界であるから、§D1.4 定義 1.2により$s=\sup E$が存在する。$a\le s\le b$と$[a,b]\subseteq A$から$s\in A=U\cup V$である。

まず$s\in U$とする。$U$は$A$の開集合であるから、$s\in W\cap A\subseteq U$を満たす$\mathbb R$の開集合$W$が存在する。$b\in V$であるから$s<b$である。したがって、ある$\varepsilon>0$が存在して

が成り立つ。すると$s+\varepsilon/2\in U\cap[a,b]=E$となり、$s$が$E$の上界であることに反する。

次に$s\in V$とする。$V$の$A$における開性から、$s\in W\cap A\subseteq V$を満たす$\mathbb R$の開集合$W$が存在する。$a\in U$であるから$a<s$である。ある$\varepsilon>0$が存在して

が成り立つ。§D1.4 命題 1.6により、$s-\varepsilon<x\le s$を満たす$x\in E$が存在する。$s\notin E$であるから$x<s$であり、したがって$x\in W\cap A\subseteq V$である。一方で$x\in E\subseteq U$でもあるから、$U\cap V=\emptyset$に反する。二つの場合がともに矛盾するので、$A$に分離は存在しない。▨

証明.$[a,b]$は区間条件を満たすから、定理 2.2により連結である。定理 1.4により$f([a,b])$も連結であり、再び定理 2.2により区間条件を満たす。$f(a),f(b)\in f([a,b])$であり、$\gamma$は二つの値の間にあるから$\gamma\in f([a,b])$である。したがって$f(c)=\gamma$を満たす$c\in[a,b]$が存在する。▨

証明.$F=\emptyset$ならば$D_F=\{a\}$であるから、例 1.2により$D_F$は連結である。有限集合$F\subseteq\Lambda$に対して$D_F$が連結であると仮定し、$\mu\in\Lambda\setminus F$をとる。

$t\in X_\mu$に対して、$j_t:D_F\to X$を

で定める。$\pi_\mu\circ j_t$は値$t$をとる定値写像であるから、§E2.12 例 1.12により連続である。$\lambda\neq\mu$では$\pi_\lambda\circ j_t$は射影と包含写像$D_F\hookrightarrow X$の合成であり、§E2.14 命題 1.2 (1)、§E2.12 定理 4.4 (1)、および§E2.12 命題 1.10により連続である。各座標写像が連続であるから、§E2.14 定理 1.6により$j_t$は連続である。したがって$S_t=j_t(D_F)$は定理 1.4により連結である。

$i_\mu:X_\mu\to X$を

で定める。$\pi_\mu\circ i_\mu$は恒等写像であり、§E2.12 例 1.11により連続である。$\lambda\neq\mu$では$\pi_\lambda\circ i_\mu$は定値写像であるから、§E2.12 例 1.12により連続である。同じ連続性判定により$i_\mu$は連続であるから、$L=i_\mu(X_\mu)$は連結である。点$i_\mu(t)$は$S_t\cap L$に属するので、命題 1.7により$S_t\cup L$は連結である。さらに、すべての$S_t\cup L$は$a\in L$を含み、

である。再び命題 1.7を適用すると$D_{F\cup\{\mu\}}$は連結である。したがって有限集合の元の個数に関する帰納法により、すべての$D_F$は連結である。▨

証明.$X=\emptyset$ならば、例 1.2により$X$は連結である。$X\neq\emptyset$とし、$a\in X$を固定する。$\Lambda$の有限部分集合$F$に対する$D_F$は補題 3.1で定めたものとし、

とおく。各$D_F$は連結であり、すべての$D_F$が$a$を含むから、命題 1.7により$D$は連結である。

$W\subseteq X$を空でない開集合とし、$w\in W$をとる。§E2.14 命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、$w\in B\subseteq W$を満たす積位相の開基の元$B$が存在する。$B$の表示に現れる添字集合を$F$とすると$F$は有限であり、

と定めると、$x\in D_F\cap B\subseteq D\cap W$である。任意の空でない開集合が$D$と交わるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$\overline D=X$である。命題 1.6を$D$に適用すると、$X=\overline D$は連結である。▨

証明. 弧状連結な位相空間$X$に分離$(U,V)$が存在すると仮定する。$a\in U$と$b\in V$をとり、$a$から$b$への道$\gamma:[0,1]\to X$をとる。$\gamma^{-1}(U)$と$\gamma^{-1}(V)$は空でない開集合であり、§E1.1 命題 4.4により互いに素で、その和は$[0,1]$である。したがって$[0,1]$に分離が存在する。しかし$[0,1]$は区間条件を満たすから定理 2.2により連結であり、これは矛盾である。▨

証明.$y_0,y_1\in f(X)$をとり、$f(x_0)=y_0$と$f(x_1)=y_1$を満たす$x_0,x_1\in X$をとる。$X$の弧状連結性から、$x_0$から$x_1$への道$\gamma:[0,1]\to X$が存在する。§E2.12 命題 1.10により$f\circ\gamma:[0,1]\to Y$は連続である。終域を$f(X)$へ制限した写像$\delta:[0,1]\to f(X)$は、§E2.12 定理 4.4 (3)により連続であり、$\delta(0)=y_0$かつ$\delta(1)=y_1$を満たす。よって$\delta$は$y_0$から$y_1$への道である。▨

証明.$g(x)=\sin(1/x)$は$(0,1]$の上で連続である。したがって$h\colon(0,1]\to S$を$h(x)=(x,g(x))$で定めると、$h$は連続である。

$S$の二点$h(u_0),h(u_1)$に対して、$t\mapsto(1-t)u_0+tu_1$は連続であり、その像は$(0,1]$に含まれるから、§E2.12 定理 4.4 (3)により$[0,1]$から$(0,1]$への連続写像を定める。したがって§E2.12 命題 1.10により

は$S$の中で二点を結ぶ道である。$J$の二点$(0,v_0),(0,v_1)$に対して

とおくと、$\pi_1\circ\delta$は§E2.12 例 1.12により連続、$\pi_2\circ\delta$は連続であるから、§E2.14 定理 1.6と§E2.12 定理 4.4 (3)により$\delta$は$J$の中で二点を結ぶ道である。したがって$S$と$J$はそれぞれ弧状連結である。▨

証明.補題 5.2と命題 4.2により$S$は連結である。

$J\subseteq T$を示す。$y\in[-1,1]$をとる。§D1.24 定義 4.4により、$\sin t=y$を満たす$t\in[-\pi/2,\pi/2]$が存在する。十分大きい正整数$n$に対して

とおくと、$0<x_n\le1$であり、§D1.24 定理 4.5の周期性から$g(x_n)=y$である。$t\ge-\pi/2$から、十分大きい$n$について$t+2\pi n\ge\pi n$、したがって$0<x_n\le1/(\pi n)$である。§D1.4 系 2.2により$1/n\to0$であるから、$\varepsilon>0$に対して$1/n<\pi\varepsilon$を満たす十分大きい$n$をとると、$d_2((x_n,y),(0,y))=x_n\le1/(\pi n)<\varepsilon$である。§E2.2 命題 2.6により$(0,y)\in\overline S=T$である。

逆に、§D1.24 定理 4.5から正弦の値は$[-1,1]$に属するので、$S\subseteq[0,1]\times[-1,1]$である。$[0,1]$と$[-1,1]$はいずれも補集合が二つの開半直線の和集合であるから$\mathbb R$の閉集合であり、§E2.14 例 1.16により$\mathbb R^2$の位相は積位相であるから、$[0,1]\times[-1,1]=\pi_1^{-1}([0,1])\cap\pi_2^{-1}([-1,1])$は§E2.14 命題 1.2 (1)、§E2.12 命題 1.6、および§E2.11 定理 2.3により$\mathbb R^2$の閉集合である。したがって§E2.11 命題 2.5 (1)により$T\subseteq[0,1]\times[-1,1]$である。$p=(u,v)\in T$とする。$u=0$ならば$p\in J$である。$u>0$かつ$v\ne g(u)$とすると、$\eta=|v-g(u)|>0$である。$g$の$u$における連続性から、$|x-u|<\delta$ならば$|g(x)-g(u)|<\eta/3$となる$\delta>0$が存在する。$r=\min\{u/2,\delta,\eta/3\}$とおく。$(x,g(x))\in S\cap B_{d_2}(p,r)$ならば

となって矛盾する。よって$B_{d_2}(p,r)\cap S=\emptyset$であり、$p\notin\overline S=T$となる。したがって$u>0$の場合は$v=g(u)$、すなわち$p\in S$である。以上により$T=S\cup J$を得る。

$(0,0)\in J\setminus S$であるから$S\ne T$である。さらに命題 1.6により$T=\overline S$は連結である。▨

証明.補題 5.3により$T=S\cup J$である。$p=(0,c_0)\in J$と$q=(a,g(a))\in S$を任意にとり、$p$から$q$への道$\gamma:[0,1]\to T$が存在すると仮定する。$\gamma(t)=(x(t),y(t))$と書く。$x$と$y$は連続である。$A=x^{-1}(\{0\})$は$[0,1]$の閉集合であり、$0\in A$であるから空でない。§E2.19 命題 4.1と§E2.9 定理 4.3により$A$はコンパクトであり、§E2.19 定理 4.4により$A$の最大元$t_0$が存在する。$x(1)=a>0$であるから$t_0<1$であり、$t_0<t\le1$ならば$x(t)>0$である。したがって$\gamma(t_0)=(0,c)$を満たす$c\in[-1,1]$があり、$t_0<t\le1$では$\gamma(t)\in S$である。

$\gamma$の$t_0$における連続性から、$t_0\le t\le t_0+\delta$ならば

となる$0<\delta\le1-t_0$が存在する。$b=x(t_0+\delta)>0$とおく。§D1.4 系 2.2により、正整数$k$を十分大きくとれば

となる。$x(t_0)=0$と$x(t_0+\delta)=b$に系 2.3を適用すると、$x(s)=u_k$と$x(s')=v_k$を満たす$s,s'\in(t_0,t_0+\delta]$が存在する。§D1.24 補題 4.1により$\sin\tau=1$であり、§D1.24 定義 4.2により$\pi=2\tau$であるから、$\sin(\pi/2)=1$である。さらに、§D1.24 系 2.2の奇関数性と§D1.24 定理 4.5の周期性により$\sin(3\pi/2)=\sin(-\pi/2)=-1$である。$\gamma(s),\gamma(s')\in S$であるから

である。一方、$\gamma(t_0)=(0,c)$と$s,s'\in[t_0,t_0+\delta]$から

である。したがって

となって矛盾する。よって$J$の点と$S$の点を結ぶ道は存在しない。▨

証明.補題 5.3により$T$は連結である。補題 5.2により$T$は弧状連結な二つの部分$S,J$の和であるが、補題 5.4により一方の部分の点と他方の部分の点を結ぶ道は存在しない。したがって$T$は弧状連結でない。▨

証明.(1)を示す。例 1.2により$\{x\}$は連結であるから、定義 6.1で定めた和は空でない族の和であり、その各項は$x$を含む。したがって命題 1.7により$C(x)$は連結であり、$x\in C(x)$である。$x$を含む$X$の連結部分集合は、この和の一項であるから$C(x)$に含まれる。

(2)を示す。$y\in C(x)$とする。$C(x)$は$y$を含む連結部分集合であるから、(1)を点$y$について適用すると$C(x)\subseteq C(y)$である。この包含と$x\in C(x)$から$x\in C(y)$であり、$x$と$y$を入れ替えて同じ議論を行うと$C(y)\subseteq C(x)$である。よって$C(y)=C(x)$である。

(3)を示す。各点$x\in X$は$x\in C(x)$を満たすから、連結成分の全体は$X$を覆う。$C(x)\cap C(y)\ne\emptyset$とし、$z\in C(x)\cap C(y)$をとる。(2)により$C(z)=C(x)$かつ$C(z)=C(y)$であるから$C(x)=C(y)$である。したがって相異なる二つの連結成分は互いに素であり、連結成分の全体は$X$の分割をなす。▨

証明.$C$を位相空間$X$の連結成分とし、$C=C(x)$を満たす$x\in X$をとる。命題 1.6により$\overline C$は連結であり、$x\in C\subseteq\overline C$である。定理 6.2 (1)により$\overline C\subseteq C(x)=C$である。§E2.11 命題 2.5 (1)により$C\subseteq\overline C$であるから$C=\overline C$であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$C$は閉集合である。▨

証明.$x\in X$に対して定値写像$\gamma(t)=x$は§E2.12 例 1.12により連続であり、$x$から$x$への道であるから、$x\sim_{\mathrm p}x$が成り立つ。したがって$\sim_{\mathrm p}$は反射的である。

$x$から$y$への道$\gamma$に対して$\bar\gamma(t)=\gamma(1-t)$とおく。$t\mapsto1-t$は連続であり、その像は$[0,1]$に含まれるから、§E2.12 定理 4.4 (3)により$[0,1]$から$[0,1]$への連続写像を定める。したがって§E2.12 命題 1.10により$\bar\gamma$は連続であり、$\bar\gamma(0)=y$かつ$\bar\gamma(1)=x$を満たす。したがって$\sim_{\mathrm p}$は対称的である。

$x$から$y$への道$\gamma$と$y$から$z$への道$\eta$に対して

とおく。$t\mapsto2t$と$t\mapsto2t-1$はいずれも連続であり、その像は$[0,1]$に含まれるから、§E2.12 定理 4.4 (1)と§E2.12 定理 4.4 (3)、および§E2.12 命題 1.10により、$[0,1/2]$の上の$t\mapsto\gamma(2t)$と$[1/2,1]$の上の$t\mapsto\eta(2t-1)$はともに連続である。二式は$t=1/2$でともに値$y$をとり、$[0,1/2]$と$[1/2,1]$は$[0,1]$の閉集合でその和は$[0,1]$である。したがって§E2.12 系 4.11により$\delta$は連続であり、$\delta(0)=x$かつ$\delta(1)=z$を満たす。したがって$\sim_{\mathrm p}$は推移的である。

反射律、対称律、推移律が成り立つから、$\sim_{\mathrm p}$は$X$上の同値関係である。▨

証明.(1)を示す。命題 6.5により$\sim_{\mathrm p}$は$X$上の同値関係であり、定義 6.4で定めた$P(x)$はその同値類である。したがって§E1.3 定理 3.3により、弧状連結成分の全体は$X$の分割をなす。

(2)を示す。$\sim_{\mathrm p}$の反射性から$x\in P(x)$である。$y,z\in P(x)$をとる。$\sim_{\mathrm p}$の対称性と推移性により$y\sim_{\mathrm p}z$であるから、$y$から$z$への道$\gamma:[0,1]\to X$が存在する。$t\in[0,1]$を固定すると、写像$s\mapsto ts$は$[0,1]$から$[0,1]$への連続写像であるから、§E2.12 命題 1.10により写像$s\mapsto\gamma(ts)$は連続であり、$y$から$\gamma(t)$への道を与える。したがって$y\sim_{\mathrm p}\gamma(t)$であり、$x\sim_{\mathrm p}y$と推移性から$\gamma(t)\in P(x)$である。$t$は任意であるから$\gamma([0,1])\subseteq P(x)$である。終域を$P(x)$へ制限した写像$[0,1]\to P(x)$は§E2.12 定理 4.4 (3)により連続であり、$P(x)$の中で$y$と$z$を結ぶ道を与える。よって$P(x)$は弧状連結である。

$A$を$x$を含む$X$の弧状連結部分集合とし、$w\in A$をとる。$A$の中に$x$から$w$への道$\eta:[0,1]\to A$が存在し、§E2.12 定理 4.4 (1)と§E2.12 命題 1.10により包含写像との合成$[0,1]\to X$は連続であるから、$x\sim_{\mathrm p}w$である。よって$A\subseteq P(x)$である。

(3)を示す。(2)により$P(x)$は$x$を含む弧状連結部分集合であり、命題 4.2により連結である。したがって定理 6.2 (1)により$P(x)\subseteq C(x)$である。

(4)を示す。$y\in P(x)$とする。$\sim_{\mathrm p}$の反射性から$y\in P(y)$であり、$P(x)\cap P(y)\ne\emptyset$である。(1)により弧状連結成分の全体は$X$の分割をなすから、$P(y)=P(x)$である。▨