§E17.16Stokes の定理

証明. 延長した$f_i$が$\mathbb{R}^n$（または$\mathbb{H}^n$）の上で$C^\infty$であることを確かめる。$K=\operatorname{supp}\eta$はコンパクトで$D$に含まれる。$D$と（$\mathbb{H}^n$または$\mathbb{R}^n$の中での）$K$の補集合は開被覆をなし、共通部分の上で$f_i=0$であるから、延長は$C^\infty$である。

外微分を計算する。§E17.11 定理 2.4により

であり、$df_i=\sum_{j=1}^{n}\partial_jf_i\,dx^j$のうち$j\ne i$の項は同じ因子を二度含むので消える（§E17.10 系 3.6）。残る$j=i$の項では、$dx^i$を先頭から第$i$の位置へ移すのに$i-1$回の入れ替えを要するので

である。

(1)を示す。$c>0$を、$K\subseteq(-c,c)^n$となるように取り、$R=[-c,c]^n$と置く。§E17.15 定義 1.1により、求める積分は$\int_R\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\partial_if_i$である。§E4.12 定理 1により、$i$番目の項は$x^i$について先に積分することができ、微積分学の基本定理により

である（$\operatorname{supp}f_i\subseteq(-c,c)^n$による）。残る$(n-1)$重積分の被積分関数が$0$であるから、各項は$0$である。

(2)を示す。$c>0$を、$K\subseteq(-c,c)^{n-1}\times[0,c)$となるように取り、$R=[-c,c]^{n-1}\times[0,c]$、$R'=[-c,c]^{n-1}$と置く。$i<n$の項については、(1)と同じく$x^i$について先に積分すると$0$になる（$x^i$の範囲は$[-c,c]$であり、台は$|x^i|<c$に含まれる）。$i=n$の項については、$x^n$について先に積分すると

である（$\operatorname{supp}f_n\subseteq\{x^n<c\}$による）。したがって

である。

(3)を示す。$c>0$を、$K\subseteq(-c,c)^{n-1}\times(-c,0]$となるように取り、$R=[-c,c]^{n-1}\times[-c,0]$と置く。$i<n$の項が消えることは(2)と同じである。$i=n$の項については

であるから

である。▨

証明.$A_0$が有限であることと、$\alpha\notin A_0$に対して$\psi_\alpha\omega=0$であること、および各$\psi_\alpha\omega$の台がコンパクトかつ$U_\alpha$に含まれることは§E17.15 補題 2.3で示した。したがって$\omega=\sum_{\alpha\in A}\psi_\alpha\omega=\sum_{\alpha\in A_0}\psi_\alpha\omega$である。

$\psi$が$K$の開近傍の上で$1$であることを示す。$p\in K$を取る。族$\{\operatorname{supp}\psi_\alpha\}$は局所有限であるから、$p$を含む開集合$O_1$で、$O_1\cap\operatorname{supp}\psi_\alpha\ne\varnothing$となる$\alpha$が有限個$F=\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}$しかないものが存在する。$\alpha\in F\setminus A_0$に対しては$\operatorname{supp}\psi_\alpha\cap K=\varnothing$であるから、$M\setminus\operatorname{supp}\psi_\alpha$は$p$を含む開集合である。

と置くと、$O$は有限個の開集合の共通部分であるから開集合であり$p\in O$である。$O$の上では、$\alpha\notin F$ならば$\psi_\alpha=0$、$\alpha\in F\setminus A_0$ならば$\psi_\alpha=0$であるから

である（三番目の等号は、$\alpha\in A_0\setminus F$に対して$O$の上で$\psi_\alpha=0$であることによる）。$K$の各点についてこのような$O$を取り、その合併を取れば$K$の開近傍が得られる。

$d\psi$はこの近傍の上で$0$であり、$\omega$は$K$の外で$0$であるから、$d\psi\wedge\omega=0$が$M$の全体で成り立つ。最後に、$d$は線形であり和は有限であるから$d\omega=\sum_{\alpha\in A_0}d(\psi_\alpha\omega)$である。▨

証明.定理 1.1を示す。

第一段（線形性による帰着）。$M$の向きを保つ境界付きチャートからなるアトラス$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$と、従属する滑らかな1の分割$\{\psi_\alpha\}$を取る（§E17.14 定理 6.4、§E17.14 補題 5.1）。補題 3.1により、有限集合$A_0$が定まり

である。$\int_M$と$\int_{\partial M}$は線形であり（§E17.15 命題 2.6 (1)）、$\iota^*$も線形であるから、各$\psi_\alpha\omega$について定理を示せば十分である。したがって以下、$\operatorname{supp}\omega$が向きを保つ一つの境界付きチャート$(U,\varphi)$の定義域に含まれるとしてよい。

第二段（チャートへの引き戻し）。$D=\varphi(U)$は許容領域であり、$\eta=(\varphi^{-1})^*\omega\in\Omega^{n-1}(D)$の台はコンパクトかつ$D$に含まれる。$\operatorname{supp}d\omega\subseteq\operatorname{supp}\omega\subseteq U$であるから、§E17.15 命題 2.6 (3)により

である。§E17.11 命題 3.1により$(\varphi^{-1})^*(d\omega)=d\eta$であるから、右辺は補題 2.1の左辺である。

第三段（内部チャートの場合）。$(U,\varphi)$が内部チャートであるとする。このとき$D=\varphi(U)$は$\mathbb{R}^n$の開集合である。実際、内部チャートの像は、$\mathbb{R}^n$の開集合であるか、または$\mathbb{H}^n$の相対開集合で$\partial\mathbb{H}^n$と交わらないものであり、後者は$\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$に含まれるので$\mathbb{R}^n$の開集合である。補題 2.1 (1)により$\int_Md\omega=0$である。一方$U\cap\partial M=\varnothing$であり$\operatorname{supp}\omega\subseteq U$であるから、$\partial M$の各点で$\omega=0$であり$\iota^*\omega=0$である。よって$\int_{\partial M}\iota^*\omega=0$であり、両辺は一致する。$\partial M=\varnothing$の場合もこの場合に含まれる。

第四段（境界チャートの場合）。$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$が境界チャートであるとし、その型の符号を$\epsilon=\epsilon_\varphi\in\{+1,-1\}$と書く（§E17.14 定義 8.1）。補題 2.1 (2)と 3 をまとめると

である（$\epsilon=+1$が 2、$\epsilon=-1$が 3 である。$(-1)^{n}\cdot(-1)=(-1)^{n-1}$）。ここで$f_n$は$\eta$の$dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}$に付く成分であり、$R'=[-c,c]^{n-1}$は$\operatorname{supp}f_n(\cdot,0)$を含む十分大きい閉長方形である。$n=1$のときは$R'$は一点であり、右辺は$-\epsilon f_1(0)$と読む。

右辺を計算する。以下$n\ge 2$とし、$n=1$の場合は第五段で別に扱う。§E17.14 定理 2.6により$(U^\partial,\varphi^\partial)=(U\cap\partial M,(x^1,\dots,x^{n-1}))$は$\partial M$のチャートであり、$\varphi^\partial(U^\partial)$は$\mathbb{R}^{n-1}$の開集合である。$j\colon\varphi^\partial(U^\partial)\to D$を$j(x')=(x',0)$とすると$\varphi\circ\iota\circ(\varphi^\partial)^{-1}=j$である。したがって§E17.10 命題 5.2により

である。$j$の成分は$x^1,\dots,x^{n-1},0$であるから§E17.10 命題 5.4により$j^*(dx^i)=dx^i$（$i\le n-1$）、$j^*(dx^n)=0$である。よって$\eta$の表示のうち$dx^n$を因子に含む項、すなわち$i\ne n$の項はすべて$0$へ写り、

である。

$(U^\partial,\varphi^\partial)$が誘導向きについて向きを保つかどうかを調べる。$M$の向き形式を$\mu$とし、$U$の上で$\mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$（$h>0$）と書く。$\nu=-\epsilon\,\partial/\partial x^n$は$U\cap\partial M$の各点で外向きであり（§E17.14 定義 8.1。座標表示の第$n$成分は$-\epsilon$であり$\epsilon\cdot(-\epsilon)=-1<0$である）、§E17.14 命題 8.5の計算に$a^n=-\epsilon$を代入すると、この$\nu$を用いた誘導向き形式は

である。$h>0$であるから、$\varphi^\partial$に関する$\mu_\partial$の成分の符号は$(-1)^n\epsilon$である。

$(-1)^n\epsilon=+1$のとき、$(U^\partial,\varphi^\partial)$は向きを保つので§E17.15 命題 2.6 (3)により

である。$(-1)^n\epsilon=-1$のとき、$(U^\partial,\varphi^\partial)$は向きを反転するので§E17.15 命題 2.6 (5)により

である。いずれの場合も

であり、(2) と一致する。

第五段（$n=1$の境界チャートの場合）。$\partial\mathbb{H}^1=\{0\}$は一点であるから$U\cap\partial M$は高々一点であり、境界チャートの場合はちょうど一点$p$である。$\eta=f_1$は$D$の上の関数であり、$\iota^*\omega$は$\partial M$の上の関数として$p$で値$f_1(0)$を取り、$\partial M\setminus\{p\}$では$\operatorname{supp}\omega\subseteq U$により$0$である。§E17.15 定義 2.2の$0$次元の約束により

である。

$\varepsilon_p$を求める。$U$の上で$\mu=h\,dx^1$（$h>0$）と書き、外向きベクトルを$\nu=-\epsilon\,\partial/\partial x^1$と取ると$\mu_p(\nu_p)=-\epsilon h$である。$h>0$であるから、§E17.14 定義 8.4の$n=1$の規約により$\varepsilon_p=-\epsilon=(-1)^1\epsilon$である。これは第四段で$n\ge2$について得た符号$(-1)^n\epsilon$の$n=1$の場合にほかならない。よって

であり、(2) の$n=1$の読み方と一致する。▨

証明.§E17.11 定理 2.4により

である。$\omega$を$D$の外で$0$とする必要はなく、$D$はコンパクトであるから$\omega|_D\in\Omega^1_c(D)$である。定理 1.1により$\int_Dd\omega=\int_{\partial D}\iota^*\omega$であり、§E17.15 定理 4.2により左辺は表示した Riemann 積分に等しい。▨

証明.注意 5.1により$d\omega=(\operatorname{div}\vec F)\,\Omega$である。定理 1.1と§E17.15 定理 4.2から主張を得る。▨

証明.$\omega=G^*(\vec F^{\flat})\in\Omega^1(S)$と置く。$S$はコンパクトであるから$\omega\in\Omega^1_c(S)$である。§E17.11 命題 3.1と注意 5.1により

である。定理 1.1を$S$と$\omega$へ適用し、$\iota^*\bigl(G^*(\vec F^\flat)\bigr)=(G\circ\iota)^*(\vec F^\flat)$（§E17.10 命題 5.2）を用いると主張を得る。▨