§E17.211パラメータ部分群と指数写像

証明.§E17.19 命題 3.1により$L_g$は$C^\infty$であるから、$L_g\circ\gamma$は$C^\infty$写像の合成として$C^\infty$である。$t\in J$に対して、速度ベクトルの定義（§E17.6 定義 1.1）と連鎖律（§E17.3 定理 5.3）により

である。$\gamma$は$X^{v}$の積分曲線であるから$\gamma'(t)=(X^{v})_{\gamma(t)}$であり、$X^{v}$は左不変である（§E17.20 定義 1.1）から

である。よって$L_g\circ\gamma$は$X^{v}$の積分曲線である。$t=0$における値は$L_g(\gamma(0))=g\gamma(0)$である。▨

証明.補題 1.1により$L_g\circ\gamma_h\colon J_h\to G$は$X^{v}$の積分曲線であり、$0\in J_h$でその値は$gh$である。§E17.6 定理 1.4の最大性により$J_h\subseteq J_{gh}$であり、$\gamma_{gh}|_{J_h}=L_g\circ\gamma_h$である。

この包含を、$g$を$g^{-1}$に、$h$を$gh$に取り替えて適用すると$J_{gh}\subseteq J_{g^{-1}(gh)}=J_h$である。よって$J_{gh}=J_h$であり、上の等式が$J_h$の全体で成り立つ。

$h=e$と取ると、$\gamma_e$の始点は$e$であり$ge=g$であるから$J_g=J_e$である。▨

証明.命題 1.2により、すべての$p\in G$で$J_p=J_e$である。したがって$J_e=\mathbb{R}$を示せば足りる。$J_e=(\alpha,\beta)$と書く（§E17.6 定理 7.1 (1)により$J_e$は$0$を含む開区間である）。

$\beta=\infty$を示す。$\beta<\infty$と仮定する。$J_e$は$0$を含む開区間であるから、$0<\varepsilon\le\beta$を満たす$\varepsilon$で$(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq J_e$となるものを取ることができる。

と置く。$\varepsilon\le\beta$であるから$t_0\ge\varepsilon/2>0$であり、$t_0<\beta$であるから$t_0\in J_e$である。$q=\gamma_e(t_0)$と置く。

$\gamma_q$の定義域を調べる。$\rho(s)=\gamma_e(t_0+s)$と定めると、$\rho$は$s\in J_e-t_0$で定義され、

を満たすから$X^{v}$の積分曲線であり、$\rho(0)=\gamma_e(t_0)=q$である。§E17.6 定理 1.4の最大性により

である。一方命題 1.2により$J_q=J_e$であるから、$(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq J_q$である。

$e$を始点とする積分曲線を延長する。$\sigma(t)=\gamma_q(t-t_0)$と定める。$\sigma$は$t\in t_0+J_q$で定義され、上と同じ計算により$X^{v}$の積分曲線である。$0\in J_e$であるから$-t_0\in J_e-t_0\subseteq J_q$であり、

である。よって$\sigma$は$e$を始点とする$X^{v}$の積分曲線である。§E17.6 定理 1.4の最大性により

である。

矛盾を導く。$(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq J_q$であるから

である。とくに$\beta+\varepsilon/4\in J_e$であるが、$\beta=\sup J_e$であるからこれは不可能である。よって$\beta=\infty$である。

$\alpha=-\infty$を示す。$X^{v}$の代わりに$X^{-v}=-X^{v}$を考える。$-v\in\mathfrak{g}$であり、$\gamma$が$X^{v}$の積分曲線であることと$t\mapsto\gamma(-t)$が$X^{-v}$の積分曲線であることは同値である。実際、$\tilde\gamma(t)=\gamma(-t)$と置くと$\tilde\gamma'(t)=-\gamma'(-t)=-(X^{v})_{\gamma(-t)}=(X^{-v})_{\tilde\gamma(t)}$である。したがって$X^{-v}$に対する$J_e$は$X^{v}$に対する$J_e$の符号を反転したものであり、いま示したことを$X^{-v}$へ適用すると$-\alpha=\infty$、すなわち$\alpha=-\infty$を得る。

よって$J_e=\mathbb{R}$であり、$X^{v}$は完備である。▨

証明. $\Delta$が全射であること。$v\in T_eG$を取る。§E17.20 定理 1.2により左不変ベクトル場$X^{v}$が定まり、定理 1.3によりそれは完備である。よって$e$を始点とする最大積分曲線$\gamma^{v}\colon\mathbb{R}\to G$が定まり、$\gamma^{v}(0)=e$、$(\gamma^{v})'(0)=(X^{v})_e=v$である。

$\gamma^{v}$が準同型であることを示す。$s\in\mathbb{R}$を固定し、

と定める。$c_1$は$\gamma^{v}$の時刻を平行移動したものであり、$c_1'(t)=(\gamma^{v})'(s+t)=(X^{v})_{\gamma^{v}(s+t)}=(X^{v})_{c_1(t)}$であるから$X^{v}$の積分曲線である。$c_2=L_{\gamma^{v}(s)}\circ\gamma^{v}$であるから、補題 1.1により$c_2$も$X^{v}$の積分曲線である。$c_1(0)=\gamma^{v}(s)=c_2(0)$であるから、二つは同じ点を始点とする積分曲線であり、いずれも$\mathbb{R}$の全体で定義される。§E17.6 定理 1.4の一意性により$c_1=c_2$である。$s$は任意であったから$\gamma^{v}$は準同型である。$\gamma^{v}$は$C^\infty$であるから（§E17.6 定理 1.4）、$\gamma^{v}\in\mathcal{P}(G)$であり$\Delta(\gamma^{v})=v$である。

$\Delta$が単射であること。$\gamma\in\mathcal{P}(G)$とし$v=\gamma'(0)$と置く。$\gamma$が$X^{v}$の積分曲線であることを示す。$t\in\mathbb{R}$を固定する。$\gamma(t+s)=\gamma(t)\gamma(s)=L_{\gamma(t)}\bigl(\gamma(s)\bigr)$であるから、$s$の関数として両辺は等しい。左辺の$s=0$における速度ベクトルは$\gamma'(t)$である。右辺は$L_{\gamma(t)}\circ\gamma$であり、その$s=0$における速度ベクトルは、§E17.3 定理 5.3により

である。最後の等号は§E17.20 定理 1.2による。よって$\gamma'(t)=(X^{v})_{\gamma(t)}$であり、$\gamma$は$X^{v}$の積分曲線である。$\gamma(0)=e$であり、定義域は$\mathbb{R}$の全体であるから、§E17.6 定理 1.4により$\gamma=\gamma^{v}$である。

したがって$\Delta(\gamma_1)=\Delta(\gamma_2)=v$ならば$\gamma_1=\gamma^{v}=\gamma_2$である。▨

証明.$c(t)=\gamma^{v}(st)$と置く。$c$は$C^\infty$であり、

であるから$c\in\mathcal{P}(G)$である。連鎖律により$c'(0)=s\,(\gamma^{v})'(0)=sv$である。定理 2.2の単射性により$c=\gamma^{sv}$である。▨

証明.(1)は系 2.3を$s$を$t$、$t$を$1$として適用すると$\gamma^{tv}(1)=\gamma^{v}(t)$となることによる。$\exp(0)=\gamma^{0}(1)$であり、$0\in\mathfrak{g}$に対応する左不変ベクトル場は恒等的に$0$であるから、その積分曲線は定数写像$t\mapsto e$である。よって$\exp(0)=e$である。

(2)は(1)と$\gamma^{v}$が準同型であることから従う。$\exp((s+t)v)=\gamma^{v}(s+t)=\gamma^{v}(s)\gamma^{v}(t)=\exp(sv)\exp(tv)$である。$s=1$、$t=-1$と取ると$\exp(v)\exp(-v)=\exp(0)=e$である。

(3)は(1)により$t\mapsto\exp(tv)$が$\gamma^{v}$に等しいことによる。$(\gamma^{v})'(0)=v$である。▨

証明.$\mathfrak{g}$の基底$v_1,\dots,v_n$を一つ固定し、$v=\sum_{a=1}^{n}v^{a}v_a$によって$\mathfrak{g}$の線形座標$(v^{1},\dots,v^{n})$を定める。

$G\times\mathfrak{g}$上のベクトル場を作る。$P=G\times\mathfrak{g}$と置く。§E17.1 命題 7.3により$P$は$2n$次元$C^\infty$多様体である。$(g,v)\in P$に対して

と定める。ここで$T_{(g,v)}P=T_gG\oplus T_v\mathfrak{g}$という分解は、積のチャートに関する座標基底を二つの因子の座標基底へ分けたものである。

$V$が$C^\infty$ベクトル場であることを示す。$G$のチャート$(U,\varphi)$、$\varphi=(x^{1},\dots,x^{n})$を取り、$P$のチャートとして$(U\times\mathfrak{g},\varphi\times\operatorname{id})$を取る。§E17.20 定理 1.2により$(X^{v})_g=d(L_g)_e(v)$であり、$v\mapsto d(L_g)_e(v)$は線形であるから

である。したがって$V$の$G$側の成分は

であり、$\mathfrak{g}$側の成分はすべて$0$である。§E17.20 定理 1.2により各$X^{v_a}$は$C^\infty$ベクトル場であるから、§E17.4 命題 5.2により$(X^{v_a})^{i}$は$U$上で$C^\infty$である。$v^{a}$は線形座標であるから$C^\infty$である。よって$V^{i}$は$U\times\mathfrak{g}$の上で$C^\infty$であり、ふたたび§E17.4 命題 5.2により$V\in\mathfrak{X}(P)$である。

$V$の流れを求める。$(g,v)\in P$を取り、

と定める。定理 1.3により$\gamma^{v}$は$\mathbb{R}$の全体で定義され、補題 1.1により$t\mapsto g\gamma^{v}(t)$は$X^{v}$の積分曲線である。第二成分は定数であるからその速度ベクトルは$0$である。よって$c'(t)=V_{c(t)}$であり、$c$は$V$の積分曲線で$c(0)=(g,v)$である。定義域は$\mathbb{R}$の全体であるから、§E17.6 定理 1.4により$V$は完備であり、その流れは

である。

結論。§E17.6 定理 7.1 (2)により$\Theta\colon\mathbb{R}\times P\to P$は$C^\infty$である。$\pi_G\colon P\to G$を第一成分への射影とすると、$\pi_G$は§E17.1 命題 7.3の積のチャートに関する座標表示が線形な射影であるから$C^\infty$である。$j\colon\mathfrak{g}\to\mathbb{R}\times P$を$j(v)=(1,(e,v))$で定めると、$j$の座標表示は定数と恒等写像を並べたものであるから$C^\infty$である。したがって

は$C^\infty$写像の合成であり、§E17.1 系 4.3により$C^\infty$である。▨

証明. 微分を計算する。$v\in\mathfrak{g}=T_0\mathfrak{g}$とする（§E17.3 例 3.4の同一視による）。曲線$t\mapsto tv$は$0$を通り、その$t=0$における速度ベクトルは$v$である。§E17.3 命題 4.3と§E17.3 定理 5.3により

である。命題 3.2 (3)により右辺は$(\gamma^{v})'(0)=v$である。$T_eG$を$\mathfrak{g}$と同一視しているので$d(\exp)_0(v)=v$、すなわち$d(\exp)_0=\operatorname{id}_{\mathfrak{g}}$である。

局所微分同相であることを導く。$e$を含む$G$のチャート$(U,\psi)$を取り、$\psi(e)=0$としてよい。$\mathfrak{g}$には基底が定める線形座標を与え、これを大域的なチャート$\chi\colon\mathfrak{g}\to\mathbb{R}^{n}$とする。$\exp$は補題 3.3により$C^\infty$であり連続であるから、$0\in\mathfrak{g}$の開近傍$\mathcal{U}_0$を$\exp(\mathcal{U}_0)\subseteq U$となるように取ることができる。

と置く。$f$は$C^\infty$級であり$f(0)=0$である。§E17.3 命題 5.5により、$Df(0)$は$d(\exp)_0$を二つのチャートの座標基底で表した行列である。$d(\exp)_0$は上で示したとおり同型であるから$Df(0)$は可逆である。

§E4.7 定理 2.1により、$0$の開近傍$\Omega_0\subseteq\chi(\mathcal{U}_0)$と$0$の開近傍$\Omega_1\subseteq\mathbb{R}^{n}$が存在して、$f\colon\Omega_0\to\Omega_1$は全単射であり逆写像$f^{-1}$は$C^{1}$級である。§E17.5 補題 1.1により$f^{-1}$は$C^\infty$級である。

$\mathcal{U}=\chi^{-1}(\Omega_0)$、$W=\psi^{-1}(\Omega_1)$と置く。§E17.1 系 7.2により$\chi$と$\psi$は微分同相であるから、$\exp|_{\mathcal{U}}=\psi^{-1}\circ f\circ\chi|_{\mathcal{U}}$は$\mathcal{U}$から$W$への全単射であり、$\exp|_{\mathcal{U}}$とその逆写像$\chi^{-1}\circ f^{-1}\circ\psi|_{W}$はいずれも$C^\infty$写像の合成として$C^\infty$である（§E17.1 系 4.3）。$\mathcal{U}$は$0$の開近傍、$W$は$e=\exp(0)$の開近傍である。よって$\exp\colon\mathcal{U}\to W$は微分同相である。▨

証明.(1)を示す。$A\in M_n(\mathbb{R})$とし、$c(t)=e^{tA}$と置く。§E10.10 定理 2.2により$c(0)=e^{0A}=I$、$(e^{tA})^{-1}=e^{-tA}$であるから$c(t)\in GL_n(\mathbb{R})$であり、

である。§E17.20 命題 3.2により$(X^{A})_g=gA$であるから、上の等式は$c'(t)=(X^{A})_{c(t)}$を意味する。ここで速度ベクトルの同一視は§E17.19 注意 2.2による。$c$は$\mathbb{R}$の全体で定義された$X^{A}$の積分曲線であり$c(0)=I$であるから、§E17.6 定理 1.4により$c=\gamma^{A}$である。よって

である。

(2)を示す。$\iota\colon G\to GL_n(\mathbb{R})$を包含写像とする。§E17.20 定理 3.3の証明で示したとおり、$G$上の左不変ベクトル場$Y^{A}$と$GL_n(\mathbb{R})$上の左不変ベクトル場$X^{A}$は$\iota$に関して関連する。$\gamma^{A}_{G}\colon\mathbb{R}\to G$を$Y^{A}$の$I$を始点とする最大積分曲線とすると（定理 1.3により$\mathbb{R}$の全体で定義される）、$\iota\circ\gamma^{A}_{G}$は$GL_n(\mathbb{R})$の曲線であり、§E17.3 定理 5.3と関連性により

である。よって$\iota\circ\gamma^{A}_{G}$は$X^{A}$の積分曲線であり、$t=0$で$I$を取る。(1)と§E17.6 定理 1.4の一意性により$\iota\circ\gamma^{A}_{G}(t)=e^{tA}$である。$t=1$と取ると、$G$の指数写像について$\exp(A)=\gamma^{A}_{G}(1)$であり、その$GL_n(\mathbb{R})$における像が$e^{A}$である。$\gamma^{A}_{G}(1)\in G$であるから$e^{A}\in G$である。

複素の場合。$GL_n(\mathbb{C})$を$M_n(\mathbb{C})\cong\mathbb{R}^{2n^{2}}$の開部分多様体と見ると、§E17.20 命題 3.2と同じ計算により左不変ベクトル場は$(X^{A})_g=gA$である。§E10.10 定理 2.2は複素行列について述べられているので、上と同じ議論がそのまま成り立つ。▨

証明.(1)を示す。$A\in M_n(\mathbb{R})$を固定し、$\varrho\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$を$\varrho(t)=\det\bigl(e^{tA}\bigr)$で定める。

$\varrho$が連続であることを示す。§E10.10 命題 1.2により、$t$が有界な実区間を動くとき級数$e^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}A^{k}/k!$は一様収束するので、写像$t\mapsto e^{tA}$は連続である。$\det$は成分の多項式であるから連続である。よって$\varrho$は連続である。

$\varrho$が値$0$を取らないことを示す。§E10.10 定理 2.2により$e^{tA}e^{-tA}=I$であるから、行列式の乗法性（§E3.15 命題 2.2）により$\varrho(t)\det\bigl(e^{-tA}\bigr)=\det I=1$であり、$\varrho(t)\ne0$である。

$\varrho(0)=\det I=1>0$である。$\varrho$が連続であって$\mathbb{R}$上で値$0$を取らないので、ある$t_1$で$\varrho(t_1)<0$となると仮定すると、中間値の定理により$0$と$t_1$のあいだのある$t_2$で$\varrho(t_2)=0$となり矛盾する。よってすべての$t$で$\varrho(t)>0$である。$t=1$と取ると$\det\bigl(e^{A}\bigr)>0$である。

(2)を示す。$\det B_0=-1$である。定理 4.1により$\exp(A)=e^{A}$であるから、$\exp(A)=B_0$となる$A\in M_n(\mathbb{R})$が存在すると$\det\bigl(e^{A}\bigr)=-1<0$となり、(1)に反する。よって$B_0$は像に属さず、$\exp$は全射でない。▨