§E18.9被覆の分類とデック変換

証明.$D_0$と$D_1$は、写像$p:E\to X$の、被覆$p:E\to X$への二つの持ち上げである。定義域$E$は連結であり、二つの持ち上げは$e$で一致する。持ち上げの一意性（§E18.5 補題 1.4）により$D_0=D_1$である。

$D(e)=e$を満たすデック変換$D$に前半を$D_0=D$、$D_1=\operatorname{id}_E$として適用すると、$D=\operatorname{id}_E$を得る。▨

証明.$g$と$[\alpha]$の代表元を端点固定ホモトピックな道へ取り替えても、道の積の類は変わらない。したがって$T_g$は well-defined である。$\omega*\alpha$の終点は$\alpha$の終点であるから

である。

$U$を$q([\alpha])$の許容近傍とする。定義から

である。よって$T_g$は開基の元を開基の元へ写す連続な開写像である。$T_{g^{-1}}$が逆写像であるから、$T_g$は同相写像であり、デック変換である。

$g=[\omega]$、$h=[\nu]$とすると、道の積の結合律により

である。したがって$g\mapsto T_g$は群準同型である。

$T_g$が恒等写像なら、

であるから$g=1$である。よって準同型は単射である。

$D\in\operatorname{Deck}(q)$を取る。$D(\widetilde x_0)$は$x_0$上のファイバーに属するから、ある基点付きループ$\omega$が存在して

となる。$g=[\omega]$とおくと、$D$と$T_g$は一点$\widetilde x_0$で一致する。補題 1.3により$D=T_g$であるから、準同型は全射でもある。▨

証明.$H$の各元は$q$のデック変換として作用するため、$q$は各$H$-軌道上で一定である。したがって$q_H$は well-defined であり、$q_H\circ r_H=q$を満たす。

$U$を$X$の許容近傍とし、$B([\alpha],U)$を$q^{-1}(U)$の一つのシートとする。$r_H$が$B([\alpha],U)$の二点を同一視すると仮定する。ある$h\in H$が存在して、その二点を$T_h$が互いに写す。二点は同じシートに属し、$q|_{B([\alpha],U)}$は単射である一方、$q\circ T_h=q$であるから、二点は一致する。したがって$T_h$は一点を固定し、補題 1.3により$h=1$である。よって$r_H$は各シート上で単射である。

群が同相写像として作用する軌道空間への商写像は開写像である。実際、開集合$A\subseteq\widetilde X$に対して

は開である。したがって$r_H(B([\alpha],U))$は$E_H$の開集合である。写像$q_H$のこの開集合への制限は$U$への全単射であり、その逆写像は

であるから連続である。よって制限写像は同相写像である。

$H$は$q^{-1}(U)$のシートを置換する。二つのシートの$r_H$による像は、同じ$H$-軌道に属するなら一致し、異なる$H$-軌道に属するなら交わらない。したがって$q_H^{-1}(U)$は$U$へ同相に写る開集合の非交和であり、$q_H$は被覆写像である。$\widetilde X$は弧状連結であるから、その連続像$E_H$も弧状連結である。

最後に基本群の像を求める。$g=[\omega]\in G$とし、$\omega$の$\widetilde x_0$からの標準持ち上げを$\widehat\omega$とする。$r_H\circ\widehat\omega$は$\omega$の$e_H$からの持ち上げであり、その終点は

である。この終点が$e_H$に等しいことと$g\in H$であることは同値である。

被覆の基点付きループの像に属するループ類は、その基点からの持ち上げが閉じるループ類と一致する。実際、被覆内のループの射影なら持ち上げの一意性から閉じ、持ち上げが閉じるなら、その持ち上げ自体が被覆内の基点付きループを与える。したがって$(q_H)_*\pi_1(E_H,e_H)=H$である。▨

証明.$p:(E,e_0)\to(X,x_0)$を基点付き連結被覆とし、

とおく。被覆の局所座標と$X$の局所弧状連結性から$E$は局所弧状連結である。$E$は連結でもあるから弧状連結である。

普遍被覆$q:(\widetilde X,\widetilde x_0)\to(X,x_0)$の局所弧状連結性も確認する。各点$[\alpha]\in\widetilde X$と$q([\alpha])$の各許容近傍$U$に対し、被覆座標

は同相写像である。許容近傍$U$は弧状連結な開集合であり、この形のシートは$\widetilde X$の近傍基をなす。したがって$\widetilde X$は局所弧状連結である。さらに§E18.8 定理 4.2により$\widetilde X$は弧状連結である。ゆえに持ち上げ判定条件を$q$に適用するための定義域の仮定が満たされる。また、

である。持ち上げ判定条件（§E18.5 定理 4.2）により、基点を保つ連続写像

が一意に存在する。

$[\alpha]\in\widetilde X$に対し、$F([\alpha])$は$\alpha$の$e_0$からの持ち上げの終点である。実際、$F\circ\widehat\alpha$は$\alpha$の$e_0$からの持ち上げであり、その終点は$F([\alpha])$である。任意の$e\in E$を取る。$E$は弧状連結であるから、$e_0$から$e$への道$\delta$が存在する。$\alpha=p\circ\delta$とおけば、持ち上げの一意性により$\delta$は$\alpha$の$e_0$からの持ち上げであり、$F([\alpha])=e$である。よって$F$は全射である。

$F([\alpha])=F([\beta])$とする。二つの道の終点は$X$で一致する。$\alpha$と$\beta$の$e_0$からの持ち上げをそれぞれ$\widetilde\alpha_E$と$\widetilde\beta_E$と書く。両者の終点は一致するため、

は$E$内の$e_0$を基点とするループであり、その射影は$\alpha*\bar\beta$である。したがって

である。道の結合律と往復する道の縮約から

を得る。

逆に、$h\in H$なら、$h$を表すループの$e_0$からの持ち上げは閉じる。その持ち上げの後に$\alpha$の持ち上げを連結することにより

となる。よって$F$の各ファイバーは正確に一つの$H$-軌道である。

以上から$F$は連続全単射

を誘導し、$p\circ\overline F=q_H$を満たす。$q_H$と$p$の均等被覆近傍を共通に細分すると、$\overline F$は各シート上で底空間の同じ開集合への二つの同相写像を合成した写像になる。したがって$\overline F$は局所同相写像であり、全単射でもあるから同相写像である。さらに$\overline F(e_H)=e_0$である。よって$(E,e_0)$は$(E_H,e_H)$と基点付き被覆として同型である。

命題 3.2により$(E_H,e_H)$が誘導する部分群は$H$そのものである。したがって二つの対応は互いに逆である。▨

証明.$p:(E,e_0)\to(X,x_0)$を基点付き連結被覆とし、$H=p_*\pi_1(E,e_0)$とおく。別の点$e_1\in p^{-1}(x_0)$を取り、$E$内の$e_0$から$e_1$への道$\delta$を取る。$g=[p\circ\delta]\in G$とおく。

$e_0$から$e_1$への基点変更は、$e_0$を基点とするループ$\lambda$を

へ送る。射影すると、$h\in H$は$g^{-1}hg$へ送られる。したがって

である。よって同じ被覆で基点を変えると、対応する部分群は共役される。

被覆の同型が基点を保たない場合、指定した基点の像を新しい基点とみなせば、前段の議論により二つの部分群は共役である。逆に$K=g^{-1}Hg$なら、$E_H$の基点を、$g$を表すループの持ち上げの終点へ移した基点付き被覆は部分群$K$に対応する。定理 4.1により、その基点付き被覆は$(E_K,e_K)$と同型である。基点を忘れれば$E_H$と$E_K$は同型である。したがって、基点を忘れた同型類は部分群の共役類と一対一に対応する。▨

証明.定理 4.1により、$p$を$q_H:E_H\to X$と同一視してよい。$n\in N_G(H)$に対し、

と定める。$\widetilde x'=T_h(\widetilde x)$、$h\in H$とすると

である。$n\in N_G(H)$から$nhn^{-1}\in H$であるため、$\overline T_n$は well-defined である。$\overline T_{n^{-1}}$が逆写像であり、$q_H\circ\overline T_n=q_H$であるから、$\overline T_n$はデック変換である。

対応$n\mapsto\overline T_n$は群準同型である。$\overline T_n$が恒等写像なら

であるから$n\in H$である。逆に$n\in H$なら$T_n$は各$H$-軌道を保つため$\overline T_n$は恒等写像である。よって準同型の核は$H$である。

全射性を示す。$D\in\operatorname{Deck}(q_H)$を取る。$D(e_H)$は$x_0$上のファイバーに属するから、ある$g\in G$が存在して

となる。二つの写像

は、どちらも$q:\widetilde X\to X$の$q_H$への持ち上げであり、$\widetilde x_0$で同じ値を取る。持ち上げの一意性から

である。

$h\in H$に対して$r_H\circ T_h=r_H$である。したがって

$\widetilde x_0$で値を比較すると$H\cdot[gh]=H\cdot[g]$であり、$ghg^{-1}\in H$を得る。よって$gHg^{-1}\subseteq H$である。

等式$D\circ r_H=r_H\circ T_g$と$D$の可逆性から

を得る。同じ議論を$D^{-1}$に適用すると$g^{-1}Hg\subseteq H$である。したがって$gHg^{-1}=H$であり、$g\in N_G(H)$である。さらに$D\circ r_H=r_H\circ T_g$と$r_H$の全射性から$D=\overline T_g$である。よって準同型は全射である。

群の第一同型定理により

を得る。▨

証明.条件 (a)$\Leftrightarrow$(b)を示す。最初に、可移性を一つのファイバーから他のファイバーへ移すことができることを示す。$x,y\in X$を結ぶ道$\gamma$に沿って持ち上げの終点を取る写像

を考える。$\tau_{\bar\gamma}$は$\tau_\gamma$の逆写像であるから、$\tau_\gamma$は全単射である。任意のデック変換$D$と$e\in p^{-1}(x)$に対し、$D$を$e$からの$\gamma$の持ち上げに合成した道は、$D(e)$からの$\gamma$の持ち上げである。持ち上げの一意性により

である。したがってデック変換群の作用が一つのファイバーで可移なら、任意のファイバーでも可移である。よって条件 (a)と条件 (b)は同値である。

条件 (a)$\Leftrightarrow$(c)を示す。定理 4.1により$p$を$q_H:E_H\to X$と同一視する。$x_0$上のファイバーは

である。定理 5.2の記述により、$n\in N_G(H)$に対応するデック変換は

と作用する。基点$H\cdot[1]$の軌道は$\{H\cdot[n]\mid n\in N_G(H)\}$である。この軌道がファイバー全体に一致することと$N_G(H)=G$であることは同値である。また、$N_G(H)=G$であることと$H\trianglelefteq G$であることは同値である。したがって条件 (a)と条件 (c)は同値である。

$H\trianglelefteq G$なら$N_G(H)=G$であるから、定理 5.2により

となる。▨