1 道の連結を表す二次鎖 道α : [ 0 , 1 ] → X \alpha:[0,1]\to X α : [ 0 , 1 ] → X α ˉ ( t ) : = α ( 1 − t ) \bar\alpha(t):=\alpha(1-t) α ˉ ( t ) := α ( 1 − t ) α ( 1 ) = β ( 0 ) \alpha(1)=\beta(0) α ( 1 ) = β ( 0 ) α \alpha α β \beta β α ∗ β \alpha*\beta α ∗ β
任意の道は一次鎖ではあるが、端点が異なる道は一次輪体ではない。そこで
C ‾ 1 ( X ) : = C 1 ( X ) / B 1 ( X ) \overline C_1(X):=C_1(X)/B_1(X) C 1 ( X ) := C 1 ( X ) / B 1 ( X ) と置き、一次鎖c c c ⟨ c ⟩ \langle c\rangle ⟨ c ⟩ B 1 ( X ) ⊂ Z 1 ( X ) B_1(X)\subset Z_1(X) B 1 ( X ) ⊂ Z 1 ( X )
∂ ‾ 1 : C ‾ 1 ( X ) ⟶ C 0 ( X ) \overline\partial_1:\overline C_1(X)\longrightarrow C_0(X) ∂ 1 : C 1 ( X ) ⟶ C 0 ( X ) を誘導し、その核はH 1 ( X ; Z ) = Z 1 ( X ) / B 1 ( X ) H_1(X;\mathbb Z)=Z_1(X)/B_1(X) H 1 ( X ; Z ) = Z 1 ( X ) / B 1 ( X ) C ‾ 1 ( X ) \overline C_1(X) C 1 ( X ) H 1 ( X ; Z ) H_1(X;\mathbb Z) H 1 ( X ; Z )
補題 1.1. 連結することができる二つの道α , β \alpha,\beta α , β
⟨ α ∗ β ⟩ = ⟨ α ⟩ + ⟨ β ⟩ \langle\alpha*\beta\rangle=\langle\alpha\rangle+\langle\beta\rangle ⟨ α ∗ β ⟩ = ⟨ α ⟩ + ⟨ β ⟩ がC ‾ 1 ( X ) \overline C_1(X) C 1 ( X ) α \alpha α
⟨ α ˉ ⟩ = − ⟨ α ⟩ \langle\bar\alpha\rangle=-\langle\alpha\rangle ⟨ α ˉ ⟩ = − ⟨ α ⟩ である。とくに、現れる鎖が一次輪体である場合には、同じ等式がH 1 ( X ; Z ) H_1(X;\mathbb Z) H 1 ( X ; Z )
証明. Δ 2 \Delta^2 Δ 2 v 0 , v 1 , v 2 v_0,v_1,v_2 v 0 , v 1 , v 2 [ v 0 , v 1 ] [v_0,v_1] [ v 0 , v 1 ] α \alpha α [ v 1 , v 2 ] [v_1,v_2] [ v 1 , v 2 ] β \beta β [ v 0 , v 2 ] [v_0,v_2] [ v 0 , v 2 ] α ∗ β \alpha*\beta α ∗ β ∂ Δ 2 \partial\Delta^2 ∂ Δ 2
( α ∗ β ) ∗ ( α ∗ β ) ‾ (\alpha*\beta)*\overline{(\alpha*\beta)} ( α ∗ β ) ∗ ( α ∗ β ) の道のパラメータを変更したものであり、道と逆道の連結は定値ループへホモトピックである。したがって境界写像はΔ 2 \Delta^2 Δ 2 s : Δ 2 → X s:\Delta^2\to X s : Δ 2 → X
∂ s = β − ( α ∗ β ) + α \partial s=\beta-(\alpha*\beta)+\alpha ∂ s = β − ( α ∗ β ) + α である。よってC ‾ 1 ( X ) \overline C_1(X) C 1 ( X )
点x x x c x 1 c_x^1 c x 1 c x 2 c_x^2 c x 2
∂ c x 2 = c x 1 − c x 1 + c x 1 = c x 1 \partial c_x^2=c_x^1-c_x^1+c_x^1=c_x^1 ∂ c x 2 = c x 1 − c x 1 + c x 1 = c x 1 である。したがって定値一次単体は境界である。β = α ˉ \beta=\bar\alpha β = α ˉ α ∗ α ˉ \alpha*\bar\alpha α ∗ α ˉ ⟨ α ˉ ⟩ = − ⟨ α ⟩ \langle\bar\alpha\rangle=-\langle\alpha\rangle ⟨ α ˉ ⟩ = − ⟨ α ⟩ ▨
基点を保つループのホモトピーF : [ 0 , 1 ] 2 → X F:[0,1]^2\to X F : [ 0 , 1 ] 2 → X F F F
定義 1.2. 基点付き空間( X , x 0 ) (X,x_0) ( X , x 0 )
h X : π 1 ( X , x 0 ) ⟶ H 1 ( X ; Z ) , h X ( [ α ] ) : = [ α ] H 1 h_X:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow H_1(X;\mathbb Z),
\qquad
h_X([\alpha]):=[\alpha]_{H_1} h X : π 1 ( X , x 0 ) ⟶ H 1 ( X ; Z ) , h X ([ α ]) := [ α ] H 1 と定める。
前段落によりh X h_X h X 補題 1.1 により
h X ( [ α ] [ β ] ) = h X ( [ α ] ) + h X ( [ β ] ) h_X([\alpha][\beta])
=h_X([\alpha])+h_X([\beta]) h X ([ α ] [ β ]) = h X ([ α ]) + h X ([ β ]) であるから、h X h_X h X h X h_X h X
h ˉ X : π 1 ( X , x 0 ) a b ⟶ H 1 ( X ; Z ) \bar h_X:\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}\longrightarrow H_1(X;\mathbb Z) h ˉ X : π 1 ( X , x 0 ) ab ⟶ H 1 ( X ; Z ) を一意に誘導する。
2 特異辺から基点付きループを作る 逆写像を作るため、X X X x ∈ X x\in X x ∈ X x 0 x_0 x 0 x x x λ x \lambda_x λ x λ x 0 \lambda_{x_0} λ x 0
特異一次単体σ : [ 0 , 1 ] → X \sigma:[0,1]\to X σ : [ 0 , 1 ] → X x x x y y y
L σ : = λ x ∗ σ ∗ λ ˉ y L_\sigma:=\lambda_x*\sigma*\bar\lambda_y L σ := λ x ∗ σ ∗ λ ˉ y を作り、π 1 ( X , x 0 ) a b \pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}} π 1 ( X , x 0 ) ab
Φ ( σ ) : = [ L σ ] a b \Phi(\sigma):=[L_\sigma]_{\mathrm{ab}} Φ ( σ ) := [ L σ ] ab と置く。Φ \Phi Φ C 1 ( X ) C_1(X) C 1 ( X )
補題 2.1. 任意の特異二単体τ : Δ 2 → X \tau:\Delta^2\to X τ : Δ 2 → X
Φ ( ∂ τ ) = 0 \Phi(\partial\tau)=0 Φ ( ∂ τ ) = 0 である。したがってΦ \Phi Φ
ϕ X : H 1 ( X ; Z ) ⟶ π 1 ( X , x 0 ) a b \phi_X:H_1(X;\mathbb Z)\longrightarrow\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}} ϕ X : H 1 ( X ; Z ) ⟶ π 1 ( X , x 0 ) ab を誘導する。
証明. p i : = τ ( v i ) p_i:=\tau(v_i) p i := τ ( v i ) v i v_i v i v j v_j v j τ i j \tau_{ij} τ ij
∂ τ = τ 12 − τ 02 + τ 01 \partial\tau=\tau_{12}-\tau_{02}+\tau_{01} ∂ τ = τ 12 − τ 02 + τ 01 である。可換化では積の順序を変えることができるため、Φ ( ∂ τ ) \Phi(\partial\tau) Φ ( ∂ τ )
L τ 01 , L τ 12 , L τ 02 − 1 L_{\tau_{01}},\qquad L_{\tau_{12}},\qquad L_{\tau_{02}}^{-1} L τ 01 , L τ 12 , L τ 02 − 1 の積の類である。隣り合うλ p 1 − 1 ∗ λ p 1 \lambda_{p_1}^{-1}*\lambda_{p_1} λ p 1 − 1 ∗ λ p 1 λ p 2 − 1 ∗ λ p 2 \lambda_{p_2}^{-1}*\lambda_{p_2} λ p 2 − 1 ∗ λ p 2
λ p 0 ∗ τ 01 ∗ τ 12 ∗ τ ˉ 02 ∗ λ ˉ p 0 \lambda_{p_0}*
\tau_{01}*\tau_{12}*\bar\tau_{02}*
\bar\lambda_{p_0} λ p 0 ∗ τ 01 ∗ τ 12 ∗ τ ˉ 02 ∗ λ ˉ p 0 にホモトピックである。中央のループτ 01 ∗ τ 12 ∗ τ ˉ 02 \tau_{01}*\tau_{12}*\bar\tau_{02} τ 01 ∗ τ 12 ∗ τ ˉ 02 τ \tau τ τ \tau τ Φ ( ∂ τ ) = 0 \Phi(\partial\tau)=0 Φ ( ∂ τ ) = 0
B 1 ( X ) B_1(X) B 1 ( X ) Φ \Phi Φ B 1 ( X ) B_1(X) B 1 ( X ) Φ \Phi Φ Z 1 ( X ) Z_1(X) Z 1 ( X ) H 1 ( X ) = Z 1 ( X ) / B 1 ( X ) H_1(X)=Z_1(X)/B_1(X) H 1 ( X ) = Z 1 ( X ) / B 1 ( X ) ϕ X \phi_X ϕ X ▨
3 一次 Hurewicz 同型 主定理の証明では、h ˉ X \bar h_X h ˉ X ϕ X \phi_X ϕ X
定理 3.1 (一次 Hurewicz 同型). X X X x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X
h ˉ X : π 1 ( X , x 0 ) a b → ≅ H 1 ( X ; Z ) \bar h_X:
\pi_1(X,x_0)^{\mathrm{ab}}
\xrightarrow{\cong}
H_1(X;\mathbb Z) h ˉ X : π 1 ( X , x 0 ) ab ≅ H 1 ( X ; Z ) を与える。
証明. 基点付きループα \alpha α x 0 x_0 x 0 λ x 0 \lambda_{x_0} λ x 0
ϕ X ( h ˉ X ( [ α ] a b ) ) = [ α ] a b \phi_X\bigl(\bar h_X([\alpha]_{\mathrm{ab}})\bigr)
=[\alpha]_{\mathrm{ab}} ϕ X ( h ˉ X ([ α ] ab ) ) = [ α ] ab である。よってϕ X ∘ h ˉ X \phi_X\circ\bar h_X ϕ X ∘ h ˉ X
反対の合成を調べる。一次輪体を
z = ∑ i = 1 m n i σ i , x i : = σ i ( 0 ) , y i : = σ i ( 1 ) z=\sum_{i=1}^m n_i\sigma_i,
\qquad
x_i:=\sigma_i(0),\quad y_i:=\sigma_i(1) z = i = 1 ∑ m n i σ i , x i := σ i ( 0 ) , y i := σ i ( 1 ) と書く。補題 1.1 から
h ˉ X ( ϕ X ( [ z ] ) ) = [ ∑ i = 1 m n i ( λ x i + σ i − λ y i ) ] H 1 . \bar h_X\bigl(\phi_X([z])\bigr)
=\left[
\sum_{i=1}^m n_i
\bigl(\lambda_{x_i}+\sigma_i-\lambda_{y_i}\bigr)
\right]_{H_1}. h ˉ X ( ϕ X ([ z ]) ) = [ i = 1 ∑ m n i ( λ x i + σ i − λ y i ) ] H 1 . 角括弧の内部全体は基点付きループの和なので一次輪体である。この式では、個々のλ x \lambda_x λ x x ∈ X x\in X x ∈ X λ x \lambda_x λ x x x x x x x
∂ z = ∑ i n i ( y i − x i ) = 0 \partial z=\sum_i n_i(y_i-x_i)=0 ∂ z = i ∑ n i ( y i − x i ) = 0 なので、この整数はすべてのx x x λ x \lambda_x λ x
h ˉ X ( ϕ X ( [ z ] ) ) = [ ∑ i n i σ i ] H 1 = [ z ] \bar h_X\bigl(\phi_X([z])\bigr)
=\left[\sum_i n_i\sigma_i\right]_{H_1}=[z] h ˉ X ( ϕ X ([ z ]) ) = [ i ∑ n i σ i ] H 1 = [ z ] を得る。ゆえにh ˉ X ∘ ϕ X \bar h_X\circ\phi_X h ˉ X ∘ ϕ X h ˉ X \bar h_X h ˉ X
連続な基点付き写像f : ( X , x 0 ) → ( Y , y 0 ) f:(X,x_0)\to(Y,y_0) f : ( X , x 0 ) → ( Y , y 0 ) α \alpha α f ∘ α f\circ\alpha f ∘ α h Y ∘ f ∗ = f ∗ ∘ h X h_Y\circ f_*=f_*\circ h_X h Y ∘ f ∗ = f ∗ ∘ h X h ˉ X \bar h_X h ˉ X ▨
この証明は、特異一次輪体をループへ分解することができると述べるだけではなく、分解に用いた基点への道λ x \lambda_x λ x 補題 2.1 がすべての二次境界を一度に処理している。
4 基本群の表示から一次ホモロジーを計算する 例 4.1 (円周と円周の楔和). §E18.6 系 1.5 と主定理から
H 1 ( S 1 ; Z ) ≅ Z H_1(S^1;\mathbb Z)\cong\mathbb Z H 1 ( S 1 ; Z ) ≅ Z を得る。r r r ⋁ i = 1 r S 1 \bigvee_{i=1}^rS^1 ⋁ i = 1 r S 1 F r F_r F r Z r \mathbb Z^r Z r
H 1 ( ⋁ i = 1 r S 1 ; Z ) ≅ Z r H_1\left(\bigvee_{i=1}^rS^1;\mathbb Z\right)\cong\mathbb Z^r H 1 ( i = 1 ⋁ r S 1 ; Z ) ≅ Z r である。基本群がr ≥ 2 r\geq2 r ≥ 2
例 4.2 (閉曲面). §E18.7 命題 4.4 の表示を可換化すると、すべての交換子が零になるため
H 1 ( Σ g ; Z ) ≅ Z 2 g H_1(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{2g} H 1 ( Σ g ; Z ) ≅ Z 2 g を得る。§E18.7 命題 4.5 の表示
⟨ c 1 , … , c k ∣ c 1 2 ⋯ c k 2 ⟩ \left\langle c_1,\ldots,c_k
\mathrel{\Bigm|}c_1^2\cdots c_k^2\right\rangle ⟨ c 1 , … , c k c 1 2 ⋯ c k 2 ⟩ を可換化すると、唯一の関係は2 ( e 1 + ⋯ + e k ) = 0 2(e_1+\cdots+e_k)=0 2 ( e 1 + ⋯ + e k ) = 0 e 1 + ⋯ + e k e_1+\cdots+e_k e 1 + ⋯ + e k Z k \mathbb Z^k Z k
H 1 ( N k ; Z ) ≅ Z k / ⟨ 2 ( e 1 + ⋯ + e k ) ⟩ ≅ Z k − 1 ⊕ Z / 2 Z H_1(N_k;\mathbb Z)
\cong\mathbb Z^k/\langle2(e_1+\cdots+e_k)\rangle
\cong\mathbb Z^{k-1}\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z H 1 ( N k ; Z ) ≅ Z k / ⟨ 2 ( e 1 + ⋯ + e k )⟩ ≅ Z k − 1 ⊕ Z /2 Z である。
高次の Hurewicz の定理は、高次ホモトピー群と連結性の仮定を必要とする。本記事の証明は一次特異鎖と二次特異鎖だけを用いており、高次の主張を含まない。
5 演習 問題 5.1.
点x x x H 1 ( X ; Z ) H_1(X;\mathbb Z) H 1 ( X ; Z )
補題 2.1 の証明で可換化が必要な箇所を特定せよ。 Klein の壺の基本群の表示
⟨ a , b ∣ a b a − 1 b ⟩ \langle a,b\mid aba^{-1}b\rangle ⟨ a , b ∣ ab a − 1 b ⟩ H 1 H_1 H 1
解答. (1) では、点x x x c x 2 c_x^2 c x 2 ∂ c x 2 = c x 1 \partial c_x^2=c_x^1 ∂ c x 2 = c x 1 (2) では、∂ τ \partial\tau ∂ τ L τ 01 L τ 12 L τ 02 − 1 L_{\tau_{01}}L_{\tau_{12}}L_{\tau_{02}}^{-1} L τ 01 L τ 12 L τ 02 − 1 (3) では関係語の指数和がa a a b b b 2 2 2 Z 2 / ⟨ ( 0 , 2 ) ⟩ ≅ Z ⊕ Z / 2 Z \mathbb Z^2/\langle(0,2)\rangle\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z Z 2 / ⟨( 0 , 2 )⟩ ≅ Z ⊕ Z /2 Z ▨