§E18.25向きと閉曲面の基本類

証明.$x$を含む座標近傍$U$を取り、$U\cong\mathbb R^2$かつ$x$が原点へ対応するようにする。局所ホモロジーの近傍への切除と§E18.15 定理 1.1により

である。

$\mathbb R^2$は可縮であり、$\mathbb R^2\setminus\{0\}$は$S^1$へ変形収縮する。対$(\mathbb R^2,\mathbb R^2\setminus\{0\})$の長完全列から、$n\geq2$について

を得る。§E18.16 定理 2.1により右辺は$n=2$のとき$\mathbb Z$、それ以外では零である。零次と一次の部分も長完全列と、$\mathbb R^2\setminus\{0\}$が弧状連結であることから零になる。▨

証明.$f$は対$(M,M\setminus\{x\})$から対$(N,N\setminus\{f(x)\})$への同相写像なので、相対ホモロジーの同型を誘導する。$o_U$が近傍$U$上の整合性を与えるなら、$f_*(o_U)$は近傍$f(U)$上の整合性を与える。これは相対ホモロジーの関手性と包含写像の可換性から従う。逆写像$f^{-1}$にも同じ議論を適用することができるため、向きづけ可能性は同相不変である。▨

証明.条件 (a)$\Leftrightarrow$(b)を示す。三角形$\sigma$の内部の点$x$では、$\sigma$の向きが、$x$の周囲の小円周の向きを介して局所ホモロジーの生成元を一つ定める。二枚の三角形が辺$e$を共有するとする。二枚の局所生成元が$e$の内部の近傍で同じ生成元へ延長するための必要十分条件は、二枚が$e$へ誘導する境界の向きが反対になることである。これは、二つの半円板を$e$に沿って貼った座標円板で直接確認することができる。

整合的な局所向き$(o_x)$が与えられたなら、各三角形の内部で$o_x$に対応する向きを選ぶ。局所整合性により、共有辺に沿う二枚の向きは反対の境界向きを誘導する。よって条件 (b)を得る。

反対に、すべての三角形へ共有辺上で整合する向きを入れたとする。各三角形の内部で定めた局所生成元は、共有辺を越えて同じ座標円板の生成元へ延長する。頂点の閉星は円板であり、頂点を囲む三角形を順にたどると、隣接する各辺での整合性により最初の局所生成元へ戻る。したがって頂点の近傍でも局所生成元は一価に定まり、曲面全体で整合的な選択を得る。

三角形の双対隣接グラフは連結である。一つの三角形の向きを定めると、共有辺での条件が隣の三角形の向きを一意に定めるため、すべての三角形の向きは一意に決まる。▨

証明.(1)を示す。まず$M$が向きづけられているとする。各辺は二枚の三角形に接し、二枚の三角形がその辺へ誘導する向きは反対である。したがって$\partial c_M$では各辺が係数$+1$と$-1$で一度ずつ現れ、相殺する。よって$c_M$は二輪体である。

任意の単体的二輪体を

とする。共有辺における境界係数が零なので、整合する向きを入れた隣接二単体$\sigma,\tau$について$n_\sigma=n_\tau$である。双対隣接グラフは連結であるから、ある整数$m$が存在して、すべての$\sigma$について$n_\sigma=m$となる。三次鎖群は零なので

である。単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致により$H_2(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$を得る。

$x\in M$を一つ取る。必要なら$x$を含む単体を星状細分し、$x$を頂点とする。$x$の閉星は円板であり、その境界であるリンクは向きづけられた円周である。$c_M$を相対群$H_2(M,M\setminus\{x\})$へ送ると、$x$を含まない三角形は零になり、$x$の閉星を構成する向きづけられた三角形の和だけが残る。対の長完全列の連結準同型は、この相対類をリンクの正向きの生成元へ送る。したがって$[c_M]$の局所像は$o_x$である。$x$は任意なので、すべての局所向きが得られる。$H_2(M)\cong\mathbb Z$と各局所群が$\mathbb Z$であり、$[c_M]$が生成元を生成元へ送るため、局所写像は同型である。したがって、すべての$o_x$へ写る類は$[c_M]$に一意に定まる。

(2)を示す。次に$M$が向きづけ可能でないとする。任意の向きを各三角形へ個別に入れ、二輪体$z=\sum n_\sigma\sigma$を考える。共有辺で境界が相殺する条件は、隣接二単体の係数の絶対値が等しく、係数の符号によって二枚の向きが共有辺上で整合することを意味する。双対隣接グラフの連結性から、すべての$|n_\sigma|$は一つの非負整数$m$に等しい。$m>0$なら、$n_\sigma$の符号に従って各三角形の向きを反転することにより、全三角形へ整合する向きを入れることができる。これは向きづけ可能でないという仮定に反する。よって$m=0$であり、$z=0$である。したがって$H_2(M;\mathbb Z)=0$である。▨

証明.(1)を示す。ホモトピックな写像は§E18.11 定理 3.2により同じホモロジー準同型を誘導するため、(1)を得る。

(2)を示す。(2)は

から従う。

(3)を示す。恒等写像は基本類を同じ基本類へ送り、定値写像は一点空間を経由し、$H_2$上で零写像を誘導する。

(4)を示す。同相写像$f$には逆写像があるため、(2)から$(\deg f)(\deg f^{-1})=1$である。よって$\deg f=\pm1$である。命題 1.4により、$f_*[M]$の各点における局所像は、$f$が局所向きを保つ場合には$o_{f(x)}$、反転する場合には$-o_{f(x)}$である。基本類の一意性から、それぞれ$f_*[M]=[N]$、$f_*[M]=-[N]$となる。▨