切除定理と良い対 | 位相幾何入門

1 切除

定理 1.1 (切除定理). $Z\subset A\subset X$ が

\overline Z\subset\tpint[X]{A}

を満たすとする。このとき包含

(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)

はすべての次数で同型

H_n(X\setminus Z,A\setminus Z)\xrightarrow{\cong}H_n(X,A)

を誘導する。

証明. $B:=X\setminus Z$ と置く。仮定から

X=\tpint[X]{A}\cup\tpint[X]{B}

である。実際、 $x\notin\tpint{B}=X\setminus\overline Z$ なら $x\in\overline Z\subset\tpint{A}$ である。この箇所で閉包を含む仮定を用いる。

部分空間族 $\{A,B\}$ に従属する小鎖複体を

C_n^{A,B}(X) :=\left\langle\sigma:\Delta^n\to X\mathrel{\middle|} \operatorname{im}\sigma\subset A\ \text{または} \operatorname{im}\sigma\subset B\right\rangle

で定める。特異単体を基底とする定義から

C_*^{A,B}(X)=C_*(A)+C_*(B)

である。これは開被覆 $\{\tpint[X]{A},\tpint[X]{B}\}$ に従属する小鎖複体とは異なる。

小単体定理の細分と鎖ホモトピーの議論を、内部が $X$ を覆う部分空間族 $\{A,B\}$ に適用する。任意の鎖を十分細分すると、各単体の像は $\tpint[X]{A}$ または $\tpint[X]{B}$ に含まれるため、包含

C_*^{A,B}(X)\hookrightarrow C_*(X)

はホモロジー同型である。実際、輪体 $z\in C_n(X)$ に対して十分大きい $r$ を取ると $S^rz\in C_n^{A,B}(X)$ となり、 $\operatorname{id}-S^r=\partial T_r+T_r\partial$ から $z-S^rz=\partial T_rz$ を得るため、ホモロジー準同型は全射である。次に、輪体 $c\in C_n^{A,B}(X)$ が $c=\partial d$ と $C_*(X)$ で書かれるとする。 $S^rd\in C_{n+1}^{A,B}(X)$ となる $r$ を取る。鎖ホモトピー $T_r$ は各特異単体の像の内部に台をもつので $T_rc\in C_{n+1}^{A,B}(X)$ であり、

c=\partial T_rc+S^rc=\partial(T_rc+S^rd)

が $C_*^{A,B}(X)$ で成り立つ。したがってホモロジー準同型は単射でもある。

二つの短完全列

0\to C_*(A)\to C_*^{A,B}(X) \to C_*^{A,B}(X)/C_*(A)\to0,

0\to C_*(A)\to C_*(X)\to C_*(X,A)\to0

を包含で比較する。左の縦写像は恒等写像であり、中央の縦写像は上で得たホモロジー同型である。長完全列と五項補題により、右の縦写像もホモロジー同型である。

他方、標準的な写像は鎖複体の同型

\frac{C_*^{A,B}(X)}{C_*(A)} =\frac{C_*(A)+C_*(B)}{C_*(A)} \cong\frac{C_*(B)}{C_*(A)\cap C_*(B)} =\frac{C_*(B)}{C_*(A\cap B)} =C_*(B,A\cap B)

を与える。ここで $C_*(A)\cap C_*(B)=C_*(A\cap B)$ は、特異単体を基底とすることから従う。 $B=X\setminus Z$ および $A\cap B=A\setminus Z$ なので、この鎖複体同型と右の縦写像の合成は切除の包含が誘導する写像である。したがって切除写像はホモロジー同型である。▨

条件を $Z\subset\tpint{A}$ だけへ弱めることはできない。 $Z$ が $A$ の境界へ集積すると、 $\tpint{A}$ と $\tpint{X\setminus Z}$ が $X$ を覆わず、小単体定理を適用する二開集合が得られない。

2 良い対と商空間

定義 2.1. 対 $(X,A)$ が良い対 (good pair) であるとは、 $A$ が閉部分空間であり、 $A$ のある開近傍が $A$ へ強変形収縮することをいう。

$x\in X$ における第 $n$ 局所ホモロジー群 (local homology group) を

H_n(X,X\setminus\{x\})

と定める。

CW 複体とその部分複体、ならびに多様体と閉円板状の部分空間は良い対の基本例である。

定理 2.2. $(X,A)$ が良い対で $A\neq\varnothing$ なら、商写像 $q:X\to X/A$ は自然な同型

H_n(X,A)\xrightarrow{\cong}\widetilde H_n(X/A)

を誘導する。

証明. $A$ へ強変形収縮する開近傍 $U$ を取る。包含 $A\hookrightarrow U$ はホモロジー同型なので、対 $(X,A)\to(X,U)$ の長完全列の比較と五項補題から

H_n(X,A)\cong H_n(X,U)

を得る。商 $U/A$ は一点へ収縮するため、同じ議論で

H_n(X/A,U/A)\cong H_n(X/A,*)=\widetilde H_n(X/A)

である。

残る比較では、 $U$ の内部に含まれる小鎖を相対群で零とする。 $q$ は $X\setminus A$ から $(X/A)\setminus\{*\}$ への同相写像であり、 $U$ または $X\setminus A$ に含まれる小単体を用いると、 $q$ は相対小鎖複体

C_*^{\mathcal U}(X,U)\longrightarrow C_*^{q\mathcal U}(X/A,U/A)

の同型を与える。両側で小単体定理を適用すれば $H_n(X,U)\cong H_n(X/A,U/A)$ となる。三つの同型を合成して結論を得る。▨

局所ホモロジーは近傍だけで計算することができる。 $x$ の近傍 $U$ で $x$ が $U$ の内部にあり、 $X\setminus U$ の閉包が $X\setminus\{x\}$ の内部に含まれるものを取る。切除定理から

H_n(U,U\setminus\{x\})\cong H_n(X,X\setminus\{x\})

となる。したがって局所ホモロジーは、空間の遠方の形ではなく $x$ の近傍の位相型を測る。

3 演習

問題 3.1.

$X=\mathbb R^m$ 、 $x=0$ とし、小円板へ切除して $H_n(X,X\setminus\{0\})$ を $H_n(D^m,D^m\setminus\{0\})$ へ帰着せよ。
切除定理の証明で $C_*(A)+C_*(B)$ の商が $C_*(B)/C_*(A\cap B)$ と同型になる写像と核を書け。

解答。 第一問では $U$ を原点中心の開球として、 $X\setminus U$ を切除する。閉包は原点を含まないので条件を満たし、局所ホモロジーは球または閉円板の対で計算することができる。第二問の写像は $C_*(B)\to(C_*(A)+C_*(B))/C_*(A)$ である。全射であり、核は $C_*(A)\cap C_*(B)=C_*(A\cap B)$ なので、第一同型定理から所要の同型を得る。

§E18.15切除定理と良い対

1 切除

2 良い対と商空間

3 演習

参考文献

前提記事