§E18.17球面の写像度

証明.(1)を示す。§E18.11 命題 1.5から$(\operatorname{id}_{S^n})_*$は恒等準同型であるため、第一の等式を得る。(2)を示す。§E18.11 定理 3.2からホモトピックな写像は同じホモロジー準同型を誘導するため、第二の等式を得る。

(3)を示す。$g_*[S^n]=(\deg g)[S^n]$と$f_*[S^n]=(\deg f)[S^n]$を用いると、関手性から

となる。したがって第三の等式が成り立つ。

(4)を示す。定値写像は$S^n\to *\to S^n$と一点空間を経由して分解される。$n\geq1$では$H_n(*)=0$なので、定値写像が誘導する準同型は零準同型であり、その写像度は$0$である。▨

証明.$R_i$は閉球体$D^{n+1}$の自己同相写像でもある。対$(D^{n+1},S^n)$の長完全列では、$D^{n+1}$が可縮であることから境界準同型

が同型になる。$D^{n+1}$の向きに対応する相対生成元を$u$とすると、境界の向きの定義から$\partial u=[S^n]$である。

閉球体を有限個の向きづけられた$(n+1)$次元単体で三角形分割し、それらの和で$u$を表すことができる。線形写像$R_i$は一つの座標だけを反転するため、各最高次元単体の順序づけられた辺ベクトルの向きを反転する。したがって相対基本鎖の像は反対向きの相対基本鎖であり、$(R_i)_*u=-u$となる。境界準同型の自然性から

を得る。ゆえに$\deg R_i=-1$である。▨

証明. 対蹠写像は$n+1$個の座標鏡映の合成

である。命題 2.1と命題 1.2の乗法性から

を得る。▨

証明.$F:=f^{-1}(y)$と置く。各$x_j$を含む、互いに交わらない開近傍$U_j$を取る。$F$は有限であり各点が$U_j$の内部にあるので、§E18.15 定理 1.1を用いると

を得る。第一の切除では、$S^n\setminus\bigcup_jU_j$を取り除く。その閉包はどの$x_j$も含まないため、$S^n\setminus F$の内部に含まれる。

自然な写像$H_n(S^n)\to H_n(S^n,S^n\setminus F)$は、上の直和分解のもとで

となる。実際、各成分への射影は$H_n(S^n)\to H_n(S^n,S^n\setminus\{x_j\})$と切除同型の合成であり、$\mu_{x_j}$の定義に一致する。

$f$は対の写像

を与える。直和の第$j$成分で誘導される写像は局所次数の定義に用いた写像であるから、$(\mu_{x_1},\ldots,\mu_{x_r})$の像は

である。一方、自然性から同じ像は

でもある。$\mu_y$は無限位数の生成元なので、二つの係数を比較すれば結論を得る。$F=\varnothing$の場合、対の写像は$S^n\to S^n\setminus\{y\}$を経由し、最高次ホモロジー上で零になるため、同じ式が成り立つ。▨

証明. まず$d>0$とする。$S^n$の中に、内部が互いに交わらない$d$個の閉$n$次元球体$B_1,\ldots,B_d$を取る。各$j$について、境界を一点へ潰す商写像と向きを保つ同相写像を合成して

を作る。同相写像は、潰した境界点を共通の点$b\in S^n$へ送るように選ぶ。

$f_d$を、$B_j$上では$q_j$、$S^n\setminus\bigcup_j\tpint{B_j}$上では定値$b$と定める。各$q_j$は$\partial B_j$全体を$b$へ送るため、有限閉被覆に対する貼り合わせ補題から$f_d$は連続である。

$y\in S^n\setminus\{b\}$を取る。$q_j$は$\tpint{B_j}$から$S^n\setminus\{b\}$への向きを保つ同相写像なので、$y$は各$B_j$の内部にちょうど一つの原像$x_j$をもち、$\deg_{x_j}(f_d;y)=1$である。定理 3.2から

を得る。

$d=0$では定値写像を取る。$d<0$では、上で構成した$f_{|d|}$と座標鏡映$R_1$を用いて$f_d:=R_1\circ f_{|d|}$と置く。命題 2.1と写像度の乗法性から

となる。▨