§E18.7van Kampen の定理

証明.$\alpha^{-1}(U)$と$\alpha^{-1}(V)$は$[0,1]$の開被覆である。Lebesgue 数$\delta>0$をとり、長さが$\delta$より小さい有限個の区間へ$[0,1]$を分割する。各小区間の像は$U$または$V$の一方に含まれる。線形な再パラメータ化によって、それぞれを道$\alpha_i$とみなせば最初の主張を得る。

隣り合う二つの小片が同じ集合に含まれる限り、それらを一つの小片へまとめる。残った隣接する小片は、一方が$U$、他方が$V$に含まれる。共有する端点は両方の集合に属するため$A$に属する。両端については仮定から$A$に属する。▨

証明. 最初に選択の独立性を示す。同じ小片が$A$に含まれる場合、そのループの類を$\pi_1(U)$と$\pi_1(V)$のどちらで読んでも、$N$の定義から$G$では同じ元になる。

内部の道$\lambda_i$を$\lambda_i'$に取り替えると、$i$番目と$i+1$番目の因子の間に、$A$内のループ$\lambda_i*\bar\lambda_i'$を一方の群で読み、その逆を他方の群で読む積が挿入される。二つの像は$G$で等しいため、この積は単位元である。したがって$W(\alpha)$は$\lambda_i$に依存しない。細分点を追加した場合、同じ集合内の二つの因子の間に$\lambda*\bar\lambda$が現れて消える。細分点を除く操作はこの逆である。異なる二つの細分には共通細分があるため、細分にも依存しない。

次にホモトピー不変性を示す。$H:[0,1]^2\to X$を端点固定ホモトピーとする。$H^{-1}(U)$と$H^{-1}(V)$は正方形の開被覆である。Lebesgue 数を用いて正方形を有限格子へ分割し、各小長方形の像が$U$または$V$の一方に含まれるようにする。各小長方形に、その像を含む集合の記号$U$または$V$を一つ割り当てる。

格子頂点$v$に対し$y_v=H(v)$とおく。$v$が記号$S\in\{U,V\}$の小長方形に接しているとき、$x_0$から$y_v$への$S$内の補助道$\mu_v^S$を選ぶ。$v$が異なる記号の小長方形に接しているなら$y_v\in A$であるから、$A$内の一つの道を選んで$\mu_v^U=\mu_v^V$とする。正方形の左右の辺では$H$が定値であるから、各辺上のすべての格子頂点に同じ$A$内の補助道を用いる。

記号$S$の小長方形の辺を格子頂点$v$から$w$へ向きづけたものを$e$とし、$H|_e$をその向きにたどる道とする。辺に対応する元を

と定め、その$G$における像も同じ記号で表す。異なる記号の小長方形が辺$e$を共有するなら、$H(e)\subseteq A$であり、両端の補助道も$A$内にある。したがって$G$の定義関係から$g_U(e)=g_V(e)$である。

一つの小長方形$R$に記号$S$が付いているとする。下辺と上辺を左から右へ向きづけて$b,t$、左辺と右辺を下から上へ向きづけて$l,r$と書く。$H|_R$は$R$全体を$S$へ写すため、その境界ループは$S$内でヌルホモトピックである。四頂点の補助道を挿入すると、$\pi_1(S,x_0)$において

したがって

を得る。この等式は、格子道の「下辺を進んで右辺を上る」という部分を、「左辺を上って上辺を進む」という部分へ置き換えても、$G$における積が変わらないことを示す。

最下段の右端から左端へ小長方形を順に処理し、次いで一段上へ移る操作を繰り返す。最初の格子道は正方形の下辺を左から右へ進んだ後に右辺を上り、最後の格子道は左辺を上った後に上辺を左から右へ進む。各処理は直前の群等式を一回だけ用いる。左右の辺は定値道であり、同じ補助道を両端に用いたので、それらの各辺に対応する元は単位元である。したがって下辺の積と上辺の積は$G$で等しい。選択の独立性により、これらはそれぞれ$W(H(-,0))$と$W(H(-,1))$に等しい。よって$W$は端点固定ホモトピーに対して不変である。▨

証明. 分母に現れる正規部分群を$N$とし、右辺の商群を$G$と書く。

包含が誘導する二つの準同型から、自由積の普遍性により準同型

を得る。$A$のループを$U$と$V$のどちらから$X$へ入れても同じループになるため、$N\subseteq\ker\Phi$である。よって$\Phi$は準同型$\bar\Phi:G\to\pi_1(X,x_0)$を誘導する。

全射性を示す。$X$の任意の基点付きループ$\alpha$を補題 1.2によって分解する。定義から$W(\alpha)$を$X$の基本群へ送ると、内部に挿入した$\bar\lambda_i*\lambda_i$が相次いで消え、$[\alpha]$を得る。したがって$\bar\Phi$は全射である。

単射性を示す。$g\in G$をとる。自由積の語を各因子の基点付きループで表し、それらを道の積でつなぐと、$X$の基点付きループ$\alpha$で$g=W(\alpha)$を満たすものを得る。$\bar\Phi(g)=1$と仮定すると、$\alpha$は$X$内で定値ループに端点固定ホモトピックである。補題 1.3のホモトピー不変性により

である。よって$\bar\Phi$は単射であり、同型である。▨

証明.$m$に関する帰納法を用いる。$m=1$では円周の基本群の計算から主張が成り立つ。$m-1$個の場合を仮定し、$m$個の円周の楔和を、最初の$m-1$個の円周の楔和の小さい開近傍$U$と、最後の円周の小さい開近傍$V$で覆う。$U,V$は弧状連結な開集合であり、楔点$x_0$を含む交わり$U\cap V$は弧状連結かつ可縮になるように取ることができる。また、$U$は最初の$m-1$個の円周の楔和へ、$V$は最後の円周へ変位レトラクトする。したがって定理 2.1と帰納法の仮定から

を得る。有限回の帰納により主張が従う。▨

証明. 北極と南極をそれぞれ除いた開集合を$U,V$とする。両者は$\mathbb R^n$と同相であるため単連結である。交わりは$S^{n-1}\times(-1,1)$に同相であり、$n\ge2$なら弧状連結である。van Kampen の定理の右辺は自明群二つの自由積の商であるから自明である。▨

証明. まず$J$が一元集合である場合を考える。接着した円板の中心を$c$とする。$U=Y\setminus\{c\}$とし、接着円板の中心を含む小さい開円板の像を$V$とする。$U,V$は弧状連結な開集合であり、$U\cap V$は開円環であるから弧状連結である。基点を$U\cap V$に取り、接着円板内の道による基点変更を介して$x_0$を基点とする群と同一視する。

接着円板から中心を除いた部分を半径方向に境界へ押し出すと、$U$は$X$へ変位レトラクトする。$V$は可縮であり、$U\cap V$は円周へ変位レトラクトする。$\pi_1(U\cap V)$の生成元は、$U$では接着写像$\varphi$の類へ写り、$V$では自明な類へ写る。開性、弧状連結性および基点の仮定を満たした定理 2.1を適用すると

を得る。

$J$が有限なら二胞体を一つずつ接着する。各段階の空間は弧状連結であり、各段階で新しい接着語の正規閉包による商を取る。有限回の帰納により、全関係語で生成される正規閉包による表示を得る。▨

証明. 正方形の対辺を同一視する胞体分解では、一骨格は$S^1\vee S^1$であり、二胞体の接着語は$aba^{-1}b^{-1}$である。定理 4.1から最初の表示を得る。関係式は$ab=ba$と同値であるため、この群は二つの生成元をもつ自由アーベル群$\mathbb Z^2$である。▨

証明. Klein の壺の正方形表示の一骨格は$S^1\vee S^1$であり、境界を一周して得る接着語は$abab^{-1}$である。定理 4.1を適用すれば結論を得る。▨

証明. 標準的な$4g$角形表示では、すべての頂点が一つの点へ同一視され、一骨格は$2g$個の円周の楔和になる。境界を一周した接着語は表示された交換子の積である。定理 4.1を適用する。▨

証明. 標準的な$2k$角形表示の一骨格は$k$個の円周の楔和であり、二胞体の接着語は$c_1c_1\cdots c_kc_k$である。定理 4.1を適用する。▨

証明.$K$が無限個の開二胞体の内部と交わると仮定し、相異なる二胞体の内部から一点ずつ選んで集合$A$を作る。$A$の任意の部分集合$B$について、商写像による逆像は各円板で一元集合または空集合であり、$W_S$では空集合である。したがって逆像は位相的直和で閉であり、$B$は$Y_{S,R}$で閉である。特に$A$は閉な離散部分空間である。$A\subseteq K$であるから$A$はコンパクトでなければならないが、無限離散空間を一元集合で覆う開被覆には有限部分被覆がない。これは矛盾である。よって$K$が交わる開二胞体は有限個である。

次に、$K$が無限個の円周の開一胞体と交わると仮定し、相異なる円周の基点以外の部分から一点ずつ選んで$A$を作る。$A$の任意の部分集合$B$の$W_S$における逆像は、各円周で一元集合または空集合であり、全基点を含まないため閉である。したがって$B$は$W_S$で閉である。各接着写像$\varphi_r$は連続であるから、$\varphi_r^{-1}(B)$は$\partial D_r^2$で閉であり、円板でも閉である。よって$B$の$Y_{S,R}$への商写像による逆像は閉であり、$B$は$Y_{S,R}$で閉である。先ほどと同じ無限離散部分空間の議論により矛盾を得る。したがって$K$が交わる開一胞体も有限個である。

$K$が交わる開二胞体の添字全体を$R_0$とし、$K$が交わる開一胞体の添字と、$R_0$の語に現れる文字を合わせた有限集合を$S_0$とする。零胞体$*$は常に$Y_{S_0,R_0}$に属するため、$K\subseteq Y_{S_0,R_0}$である。

最後に位相の一致を確認する。有限貼り合わせ空間$Y_{S_0,R_0}$の開集合$O$を取る。$O\cap W_{S_0}$を$W_S$へ延長するとき、$*\in O$なら省略した各円周を全体として加え、$*\notin O$なら省略した各円周からは何も加えない。このように得る$W_S$の開集合を$\widehat O$と書く。

各$r\in R_0$については、$O$の商写像による逆像の$D_r^2$内の部分を用いる。各$r\in R\setminus R_0$については、境界上の開集合

と共通部分が一致する開集合$O_r\subseteq D_r^2$を選ぶことができる。実際、$\partial D_r^2$は$D_r^2$の部分空間であるから、境界上の任意の開集合は$D_r^2$の開集合との共通部分として表される。$W_S$上では$\widehat O$を取り、各円板上では以上の開集合を取って位相的直和内の開集合$\Omega$を作る。各境界点が$\Omega$に属することと、その接着先が$\widehat O$に属することは同値であるから、$\Omega$は商写像のファイバーの和、すなわち飽和集合である。したがって商写像の像は$Y_{S,R}$の開集合であり、$Y_{S_0,R_0}$との共通部分は$O$である。逆向きは部分空間位相の定義から従う。よって二つの位相は一致する。▨

証明.$S$として$G$の元全体を取り、各文字$s\in S$を同じ元$s\in G$へ送る全射$F(S)\to G$を考える。その核に属する語全体を$R$とすれば

である。定義 4.6の空間$X=Y_{S,R}$を作る。

各生成円周を一周するループから準同型

を得る。各$r\in R$は接着した円板の境界であるから$\Psi(r)=1$であり、$\Psi$は準同型

を誘導する。

全射性を示す。$X$の基点付きループの像はコンパクトであるから、補題 4.7により有限表示空間$Y_{S_0,R_0}$に含まれる。有限個の円周の楔和の基本群は$F(S_0)$である。実際、円周を一つずつ加え、各段階で二つの弧状連結な開集合を、交わりが可縮になるように取って定理 2.1を適用すれば、基本群に自由因子$\mathbb Z$が一つずつ加わる。さらに定理 4.1により、$Y_{S_0,R_0}$の任意のループは$S_0$の有限語で表される。よって$\overline\Psi$は全射である。

単射性を示す。有限語$w\in F(S)$の像が$X$で自明であるとする。$w$を表すループのヌルホモトピーの像はコンパクトである。再び補題 4.7を適用すると、このヌルホモトピーは、$w$に現れる文字を含む有限集合$S_0$と有限集合$R_0\subseteq R$から作る$Y_{S_0,R_0}$内に入る。有限の場合の定理 4.1により、$w$は$F(S_0)$において$R_0$の正規閉包に属する。したがって$w\in\langle\!\langle R\rangle\!\rangle$である。よって$\overline\Psi$は単射でもあり、$\pi_1(X,*)\cong G$を得る。$X$は円周の楔点を基点とし、接着した各円板も境界と道で結ばれるため弧状連結である。▨