相対ホモロジーと長完全列 | 位相幾何入門

1 相対鎖複体

定義 1.1. $A\subset X$ に対して

C_n(X,A):=C_n(X)/C_n(A)

と定める。 $\partial C_n(A)\subset C_{n-1}(A)$ なので、境界作用素は商へ降りる。相対鎖複体のホモロジー

H_n(X,A):=H_n(C_*(X,A))

を対 $(X,A)$ の第 $n$ 相対ホモロジー群 (relative homology group) という。

相対輪体は、 $c\in C_n(X)$ で $\partial c\in C_{n-1}(A)$ となるものの剰余類である。相対境界を加える操作は、 $c$ を $c+\partial b+a$ （ $b\in C_{n+1}(X)$ 、 $a\in C_n(A)$ ）へ変える操作に一致する。

2 対の長完全列

鎖複体の短完全列

0\longrightarrow C_*(A)\xrightarrow{i_\#}C_*(X) \xrightarrow{q_\#}C_*(X,A)\longrightarrow0

を用いる。

定理 2.1 (対の長完全列). 任意の対 $(X,A)$ について自然な長完全列

\cdots\longrightarrow H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X) \xrightarrow{q_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\delta}H_{n-1}(A) \xrightarrow{i_*}H_{n-1}(X)\longrightarrow\cdots

がある。相対輪体 $c+C_n(A)$ に対して連結準同型は

\delta[c+C_n(A)]=[\partial c]

で与えられる。

証明. 相対輪体という条件から $\partial c\in C_{n-1}(A)$ であり、 $\partial^2c=0$ なので $\partial c$ は $A$ の輪体である。代表を $c+a$ （ $a\in C_n(A)$ ）へ変えると境界は $\partial c+\partial a$ となり、 $H_{n-1}(A)$ で同じ類を与える。さらに相対境界 $\partial b+C_n(A)$ を加えても、 $\partial(c+\partial b)=\partial c$ である。したがって $\delta$ は代表元によらない。

完全性を順に確かめる。 $i_*[a]$ は相対群で零になるので $\operatorname{im}i_*\subset\ker q_*$ である。逆に、 $q_*[x]=0$ なら $x=\partial b+a$ と書くことができるため、 $[x]=i_*[a]$ である。次に、絶対輪体 $x$ は $\partial x=0$ なので $\delta q_*[x]=0$ である。逆に、相対輪体 $c$ について $\delta[c]=0$ なら $\partial c=\partial a$ となる $a\in C_n(A)$ がある。 $c-a$ は $X$ の輪体であり、 $q_*[c-a]=[c]$ である。最後に $i_*\delta[c]=[\partial c]=0$ である。逆に、 $A$ の輪体 $a$ が $X$ で境界、すなわち $a=\partial c$ なら、 $c$ は相対輪体で $\delta[c]=[a]$ となる。各次数で同じ議論を繰り返せば列全体が完全である。▨

対の写像 $f:(X,A)\to(Y,B)$ 、すなわち $f(A)\subset B$ を満たす連続写像は、短完全列の間の可換図式を与える。連結準同型の式から

f_*\delta[c]=[f_\#\partial c]=[\partial f_\#c]=\delta f_*[c]

であり、長完全列のすべての正方形が可換になる。

補題 2.2 (五項補題). アーベル群の可換図式

\begin{array}{ccccc} A_1&\to&A_2&\to&A_3\to A_4\to A_5\\ \downarrow f_1&&\downarrow f_2&&\downarrow f_3\quad\downarrow f_4\quad\downarrow f_5\\ B_1&\to&B_2&\to&B_3\to B_4\to B_5 \end{array}

で両行が完全であるとする。 $f_1$ が全射、 $f_2,f_4$ が同型、 $f_5$ が単射なら、 $f_3$ は同型である。

証明. $f_3(a_3)=0$ とする。 $a_3$ の $A_4$ での像は $f_4$ の単射性により零なので、完全性から $a_3$ はある $a_2$ の像である。 $f_2(a_2)$ の $B_3$ での像は零であるため、 $f_2(a_2)$ は $B_1$ から来る元を $B_2$ へ送ったものになる。 $f_1$ の全射性と可換性を用いて $a_2$ から $A_1$ 由来の元を引けば、 $f_2$ で零へ移る。 $f_2$ は単射なので、修正後の $a_2$ は零であり、 $a_3=0$ となる。

$b_3\in B_3$ を取る。その $B_4$ での像を $f_4^{-1}$ で $a_4$ へ戻す。 $a_4$ の $A_5$ での像は $f_5$ の単射性と可換性により零なので、 $a_4$ はある $a_3$ の像である。 $b_3-f_3(a_3)$ は $B_4$ で零へ移るため $B_2$ から来る。 $f_2$ の全射性でその元を持ち上げ、対応する $A_2$ の像を $a_3$ に加えれば $b_3$ の原像を得る。▨

3 三つ組と被約ホモロジー

$A\subset B\subset X$ に対して

0\longrightarrow C_*(B,A)\longrightarrow C_*(X,A) \longrightarrow C_*(X,B)\longrightarrow0

が短完全列になる。同じ構成から三つ組の長完全列

\cdots\to H_n(B,A)\to H_n(X,A)\to H_n(X,B) \xrightarrow{\delta}H_{n-1}(B,A)\to\cdots

を得る。

定義 3.1. 増大写像 $\varepsilon:C_0(X)\to\mathbb Z$ を、各特異零単体を $1$ へ送る準同型とする。鎖複体を次数 $-1$ まで

\cdots\to C_1(X)\xrightarrow{\partial}C_0(X) \xrightarrow{\varepsilon}\mathbb Z\to0

と延長した増大鎖複体のホモロジーを $\widetilde H_n(X)$ と書く。

$X$ が空でないとき、 $n>0$ では $\widetilde H_n(X)=H_n(X)$ であり、基点を一つ選べば

H_0(X)\cong\widetilde H_0(X)\oplus\mathbb Z

となる。弧状連結な空間では $\widetilde H_0(X)=0$ である。被約群を用いると、点が寄与する一個の $\mathbb Z$ を除いて完全列を書くことができる。

4 演習

問題 4.1.

$A=X$ のとき $H_n(X,A)=0$ であることを定義から示せ。
$A=\{x_0\}$ で $X$ が弧状連結なら、 $n>0$ について $H_n(X,\{x_0\})\cong H_n(X)$ を長完全列から示せ。

解答。 第一問では商鎖群 $C_n(X)/C_n(X)$ が零なので、すべての相対ホモロジー群が零である。第二問では $H_n(\{x_0\})=0$ （ $n>0$ ）であり、 $H_0(\{x_0\})\to H_0(X)$ は同型である。対の長完全列の該当部分へこれらを代入すると、 $n>0$ で $H_n(X)\to H_n(X,\{x_0\})$ が同型になる。

§E18.13相対ホモロジーと長完全列

1 相対鎖複体

2 対の長完全列

3 三つ組と被約ホモロジー

4 演習

参考文献

前提記事