特異ホモロジー | 位相幾何入門

1 特異鎖複体

定義 1.1. 位相空間 $X$ の特異 $n$ 単体 (singular n-simplex) とは、連続写像

\sigma:\Delta^n\longrightarrow X

をいう。像が埋め込まれた単体であることは要求しない。

定義 1.2. $C_n(X)$ を、 $X$ の特異 $n$ 単体すべてを基底とする自由アーベル群とする。標準単体の第 $i$ 面への包含を $\delta_i:\Delta^{n-1}\to\Delta^n$ と書き、

\partial_n\sigma=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma\circ\delta_i

と定め、線形に $C_n(X)$ 全体へ延長する。

定理 1.3. 任意の位相空間 $X$ について $\partial_{n-1}\partial_n=0$ である。

証明. $i<j$ に対して面写像は

\delta_j\delta_i=\delta_i\delta_{j-1}

を満たす。すなわち、頂点 $i$ と頂点 $j$ を除いた面は、除く順序によらず同じ写像になる。一方、二通りの出現の符号はそれぞれ $(-1)^{i+j}$ と $(-1)^{i+j-1}$ であり、互いに打ち消し合う。二頂点のすべての組について相殺するため、 $\partial^2\sigma=0$ である。線形性により任意の特異鎖について結論が成り立つ。▨

定義 1.4. $Z_n(X):=\ker\partial_n$ を $n$ 次輪体群 (group of n-cycles)、 $B_n(X):=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ を $n$ 次境界群 (group of n-boundaries) とする。定理 1.3により $B_n(X)\subset Z_n(X)$ であるから、

H_n(X):=Z_n(X)/B_n(X)

を $X$ の第 $n$ 特異ホモロジー群 (singular homology group) と定める。

連続写像 $f:X\to Y$ に対して $f_\#(\sigma):=f\circ\sigma$ と置くと、 $f_\#\partial=\partial f_\#$ である。したがって $f_\#$ はホモロジー準同型 $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ を誘導する。

命題 1.5. 連続写像 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ について

(g\circ f)_*=g_*\circ f_*,\qquad (\operatorname{id}_X)_*=\operatorname{id}_{H_n(X)}

が成り立つ。

証明. 特異単体ごとに $(g\circ f)_\#\sigma=g_\#(f_\#\sigma)$ および $(\operatorname{id}_X)_\#\sigma=\sigma$ が成り立つ。鎖写像の等式を輪体の同値類へ移せば結論を得る。▨

2 零次ホモロジー

補題 2.1. 集合 $S$ 上の同値関係を $\sim$ とする。 $S$ を基底とする自由アーベル群を、 $s-t$ （ $s\sim t$ ）が生成する部分群で割った商は、同値類の集合 $S/{\sim}$ を基底とする自由アーベル群である。

証明. $s$ をその同値類 $[s]$ へ送る準同型は全射であり、すべての $s-t$ を零へ送る。各同値類から代表元を一つ選ぶと、任意の元は代表元の線形結合と差 $s-t$ の線形結合へ一意に分けられる。したがって核はこれらの差が生成する部分群に一致する。▨

定理 2.2. $\pi_0^{\mathrm{path}}(X)$ を $X$ の弧状連結成分の集合とすると、自然な同型

H_0(X)\cong\bigoplus_{P\in\pi_0^{\mathrm{path}}(X)}\mathbb Z

がある。

証明. 特異零単体は点 $x\in X$ と同じであり、 $\partial_0=0$ である。特異一次単体 $\gamma:[0,1]\to X$ の境界は $\gamma(1)-\gamma(0)$ であるため、境界群は同じ弧状連結成分に属する二点の差を含む。逆に一次鎖の各境界はこの形の差の和なので、異なる弧状連結成分の点を同一視しない。補題 2.1を適用すれば結論を得る。▨

一点空間 $*$ には各次数で特異単体が一つあり、 $C_n(*)\cong\mathbb Z$ である。その境界は $n$ が偶数なら恒等写像、 $n$ が奇数なら零写像になる。したがって

H_0(*)\cong\mathbb Z,\qquad H_n(*)=0\quad(n>0)

である。

3 角柱作用素とホモトピー不変性

$f,g:X\to Y$ の間のホモトピーを $F:X\times I\to Y$ とする。 $\Delta^n\times I$ を、各 $0\leq i\leq n$ に対して頂点列

(v_0,0),\ldots,(v_i,0),(v_i,1),\ldots,(v_n,1)

をもつ $(n+1)$ 単体へ分割する。この単体の標準写像を $\lambda_i:\Delta^{n+1}\to\Delta^n\times I$ と書く。

定義 3.1. 特異 $n$ 単体 $\sigma:\Delta^n\to X$ に対して

P_n(\sigma):=\sum_{i=0}^n(-1)^iF\circ(\sigma\times\operatorname{id}_I)\circ\lambda_i \in C_{n+1}(Y)

と定める。これを線形に延長した $P_n:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$ を $F$ の角柱作用素 (prism operator) という。

定理 3.2. 角柱作用素は

\partial P+P\partial=g_\#-f_\#

を満たす。したがって、ホモトピックな写像は同じホモロジー準同型を誘導する。

証明. $P_n(\sigma)$ の各単体の境界を展開する。隣接する二つの角柱単体が共有する斜めの面は、 $i$ 番目の単体と $(i+1)$ 番目の単体から反対符号で現れて相殺する。 $\Delta^n\times\{1\}$ は $g\circ\sigma$ として正符号で残り、 $\Delta^n\times\{0\}$ は $f\circ\sigma$ として負符号で残る。側面 $\partial\Delta^n\times I$ に属する項は、面の番号による符号を含めると $-P_{n-1}(\partial\sigma)$ に一致する。ゆえに

\partial P_n(\sigma)=g_\#\sigma-f_\#\sigma-P_{n-1}(\partial\sigma)

である。

$z\in Z_n(X)$ なら $\partial z=0$ なので、 $g_\#z-f_\#z=\partial P_n(z)$ は境界である。したがって $g_*[z]=f_*[z]$ である。▨

ホモトピー同値 $f:X\to Y$ にホモトピー逆写像 $h:Y\to X$ があるとき、関手性とホモトピー不変性から $h_*f_*=\operatorname{id}$ および $f_*h_*=\operatorname{id}$ となる。したがって $f_*$ は各次数で同型である。

4 演習

問題 4.1.

弧状連結な空間 $X$ について、包含 $\{x_0\}\hookrightarrow X$ が $H_0$ 上の同型を誘導することを示せ。
恒等写像が定値写像にホモトピックな空間 $X$ について、 $H_n(X)=0$ がすべての $n>0$ で成り立つことを示せ。

解答。 第一問は、両群が一つの弧状連結成分を基底とする $\mathbb Z$ であり、包含がその基底を基底へ送ることから従う。第二問では、恒等写像と定値写像が $H_n$ 上で同じ写像を誘導する。 $n>0$ では定値写像が $X\to *\to X$ と分解し、 $H_n(*)=0$ なので零写像を誘導する。ゆえに $\operatorname{id}_{H_n(X)}=0$ であり、 $H_n(X)=0$ である。

§E18.11特異ホモロジー

1 特異鎖複体

2 零次ホモロジー

3 角柱作用素とホモトピー不変性

4 演習

参考文献

前提記事