二次元の Poincaré 双対と交叉形式 | 位相幾何入門

1 双対胞体分解

$M$ を向きづけられた連結閉曲面とする。§E18.24 定理 1.1により、 $M$ の有限三角形分割 $K$ を一つ固定する。必要なら重心細分を施し、各単体の重心を頂点とする。

定義 1.1. $K$ の単体 $\sigma$ に対し、 $\sigma$ から始まる包含鎖

\sigma=\sigma_0<\sigma_1<\cdots<\sigma_r

に対応する重心細分の単体

[b(\sigma_0),b(\sigma_1),\ldots,b(\sigma_r)]

をすべて合わせた閉集合を $D(\sigma)$ と書く。 $D(\sigma)$ を $\sigma$ の双対胞体 (dual cell) という。

二単体の双対胞体はその重心であり、辺の双対胞体はその辺の中点を通って両側の二単体の重心を結ぶ閉区間である。頂点の双対胞体は、その頂点を囲む多角形状の閉円板である。

命題 1.2. $p$ 単体 $\sigma$ の双対胞体 $D(\sigma)$ は閉 $(2-p)$ 次元胞体である。これらの内部は互いに交わらず、全体で $M$ を覆う。さらに、 $D(\tau)$ が $D(\sigma)$ の境界に現れることと、 $\sigma$ が $\tau$ の面であることは同値である。

証明. 二次元では局所的に三通りだけを確かめればよい。二単体の内部では双対胞体は重心一点である。内点をもつ辺には二枚の二単体が接するため、その辺の双対胞体は、辺の重心を中点として両二単体の重心を結ぶ二本の線分の和であり、閉区間になる。頂点 $v$ の閉星は円板であり、 $v<e<T$ という鎖に対応する小三角形をすべて合わせると、その円板の内部にある多角形状の閉円板 $D(v)$ を得る。

重心細分の各小二単体は、ただ一つの鎖 $v<e<T$ に対応するため、双対胞体の内部は重ならず、全小単体はどれかの双対胞体に属する。したがって双対胞体は $M$ を覆う。包含鎖の先頭から単体を一つ落とす操作が双対胞体の境界面を与えるので、最後の主張も従う。▨

$K$ の頂点に全順序を一つ入れ、辺と二単体には頂点の昇順による向きを入れる。二単体 $T=[v_0,v_1,v_2]$ に対し、この向きが $M$ の向きと一致するなら $\varepsilon_T=1$ 、反対なら $\varepsilon_T=-1$ とする。また、向きづけられた単体 $\rho$ が向きづけられた単体 $\tau$ の余次元一の面であるとき、接続係数を $[\tau:\rho]\in\{1,-1\}$ と書く。

$p$ 単体 $\sigma$ と $D(\sigma)$ は、 $b(\sigma)$ だけを共有する。 $\sigma$ の向きに続けて $D(\sigma)$ の向きを並べたときに $M$ の向きになるように、双対胞体へ向きを入れる。 $p=2$ では、この規約は点 $D(T)=\{b(T)\}$ に符号 $\varepsilon_T$ を入れることを意味する。単体 $\sigma$ の双対余鎖 $\sigma^*$ を、この向きづけられた双対胞体へ送る写像

\mathcal D_p:C^p(K;\mathbb Z)\longrightarrow C_{2-p}(K^*;\mathbb Z)

を定める。ここで $K^*$ は双対胞体分解である。

補題 1.3. 向きを上の規約で選ぶと、 $p=0,1$ について

\partial\mathcal D_p=(-1)^{p+1}\mathcal D_{p+1}\delta

となる。従って $\mathcal D_p$ は、余輪体を双対輪体へ送り、余境界を符号を除いて双対境界へ送る。

証明. まず $p=1$ を計算する。向きづけられた辺 $e$ の内点の局所円板で、 $e$ が左から右へ進み、円板の向きが紙面の反時計回りになる座標を取る。 $D(e)$ の向きは下から上である。一時的に二単体を $M$ の向きで向きづける。 $e$ の左側にある二単体 $T_+$ では、 $e$ の向きは $T_+$ の境界向きと一致し、 $D(e)$ は $b(e)$ から $b(T_+)$ へ進む。従って両方の係数は $1$ である。右側の二単体 $T_-$ では、境界向きは $e$ と反対であり、 $D(e)$ は $b(T_-)$ から $b(e)$ へ進む。従って両方の係数は $-1$ である。頂点順序による $T$ の向きが $M$ の向きと反対なら、 $[T:e]$ と点 $D(T)$ の向きが同時に反転するため、同じ式が成り立つ。よって

\partial D(e)=\sum_{T\supset e}[T:e]D(T).

ここで各 $D(T)$ は点の符号 $\varepsilon_T$ を含む。この式は

\partial\mathcal D_1(e^*)=\mathcal D_2(\delta e^*)

を与える。

次に $p=0$ を計算する。向きづけられた辺 $e$ が頂点 $v$ から出る場合は $[e:v]=-1$ である。 $D(v)$ の境界は、 $v$ の左側を保って $D(e)$ と同じ向きに進むため、 $\partial D(v)$ における $D(e)$ の係数は $1=-[e:v]$ である。 $e$ が $v$ へ入る場合は両方の向きが反転し、その係数は $-1=-[e:v]$ になる。従って

\partial D(v)=-\sum_{e\ni v}[e:v]D(e),

すなわち

\partial\mathcal D_0(v^*)=-\mathcal D_1(\delta v^*)

である。

同じ計算を順序付き旗ごとに書くと、符号をさらに検算することができる。旗 $F=(v<e<T)$ に対応する重心細分の二単体を

\Delta_F=[b(v),b(e),b(T)]

とすると、向きづけられた双対胞体は

\begin{aligned} D(T)&=\varepsilon_T[b(T)],\\ D(e)&=\sum_{T\supset e}\varepsilon_T[T:e][b(e),b(T)],\\ D(v)&=\sum_{v<e<T}-\varepsilon_T[e:v][T:e]\Delta_F. \end{aligned}

第一式は点の向き、第二式は直前の左右の計算、第三式は $D(v)$ の境界向きの計算である。第三式の境界を取ると、 $[b(v),b(T)]$ と $[b(v),b(e)]$ は隣接する旗どうしで相殺し、残る $[b(e),b(T)]$ の係数は $-\varepsilon_T[e:v][T:e]$ になる。従って上の二つの境界公式が旗ごとにも成立する。基底余鎖を線形に延長すれば主張を得る。▨

2 二次元の Poincaré 双対

定理 2.1 (二次元の Poincaré 双対). $M$ を向きづけられた連結閉曲面とする。各 $p=0,1,2$ について、双対胞体分解は同型

\operatorname{PD}_M:H^p(M;\mathbb Z)\xrightarrow{\cong}H_{2-p}(M;\mathbb Z)

を与える。

証明.補題 1.3により、 $p$ 次余輪体は双対 $(2-p)$ 次輪体へ写り、余境界は双対境界へ写る。各 $p$ 単体とその双対 $(2-p)$ 胞体は一対一に対応するため、 $\mathcal D_p$ は各次数で自由アーベル群の同型である。したがって $\mathcal D_p$ は

H^p_{\mathrm{cell}}(K;\mathbb Z)\xrightarrow{\cong} H_{2-p}^{\mathrm{cell}}(K^*;\mathbb Z)

を誘導する。§E18.27 定理 2.4と§E18.21 定理 2.1によって両辺を特異コホモロジーと特異ホモロジーへ移せば、表示した同型を得る。

$p=0$ で定数余鎖 $1$ を双対化すると、向きづけられた双対二胞体の総和になる。この輪体は各点で指定された局所向きを表すため、§E18.25 定義 3.2の基本類 $[M]$ である。従って、この双対同型は選んだ三角形分割ではなく $M$ の向きによって定まり、 $\operatorname{PD}_M(1)=[M]$ を満たす。▨

次の等式が、双対胞体による同型とカップ積を結ぶ。

命題 2.2. $u\in H^p(M;\mathbb Z)$ 、 $v\in H^{2-p}(M;\mathbb Z)$ に対して

\langle u\smile v,[M]\rangle =\langle v,\operatorname{PD}_M(u)\rangle

である。右辺はコホモロジー類とホモロジー類の評価である。

証明. $K$ の重心細分から $K$ への最終頂点写像

\lambda:\operatorname{sd}K\longrightarrow K, \qquad \lambda(b(\sigma))=\max\sigma

を用いる。 $b(\sigma)$ と $\max\sigma$ は同じ単体 $\sigma$ に属するため、単体内の線分で結ぶと $\lambda$ は恒等写像とホモトピックである。従って、双対胞体鎖を $K$ の単体鎖として評価するときは $\lambda_*$ を用いることができる。

二単体 $T$ の頂点を $v_0<v_1<v_2$ と書く。順序付き旗に対する直前の三式を $\lambda_*$ で送る。 $p=0$ では旗

v_0<[v_0,v_1]<T

だけが非退化な二単体 $[v_0,v_1,v_2]$ へ写り、その係数は

-\varepsilon_T[[v_0,v_1]:v_0][T:[v_0,v_1]] =\varepsilon_T

である。 $p=1$ では $[v_0,v_1]<T$ だけが非退化な辺 $[v_1,v_2]$ へ写り、その係数は $\varepsilon_T[T:[v_0,v_1]]=\varepsilon_T$ である。 $p=2$ では $D(T)=\varepsilon_T[b(T)]$ が $\varepsilon_T[v_2]$ へ写る。これ以外の旗では二つの最終頂点が一致するため、像は退化して零になる。

従って、 $u\in C^p(K;\mathbb Z)$ と $v\in C^{2-p}(K;\mathbb Z)$ について、三つの次数のいずれでも

\begin{aligned} \langle v,\lambda_*\mathcal D_pu\rangle &=\sum_{T=[v_0,v_1,v_2]} \varepsilon_T u([v_0,\ldots,v_p]) v([v_p,\ldots,v_2])\\ &=\langle u\smile v,c_M\rangle \end{aligned}

となる。第二の等号は§E18.29 定義 1.1の Alexander–Whitney 公式そのものである。 $u,v$ が余輪体なら、補題 1.3により $\mathcal D_pu$ は $\operatorname{PD}_M(u)$ を表し、 $c_M$ は $[M]$ を表す。従って表示した等式がコホモロジー類について成り立つ。▨

3 交叉形式

定義 3.1. $M$ の交叉形式 (intersection form) を

Q_M:H^1(M;\mathbb Z)\times H^1(M;\mathbb Z)\longrightarrow\mathbb Z, \qquad Q_M(u,v)=\langle u\smile v,[M]\rangle

によって定める。

定理 3.2. $Q_M$ はユニモジュラーな交代双線形形式である。すなわち、準同型

H^1(M;\mathbb Z)\longrightarrow \operatorname{Hom}(H^1(M;\mathbb Z),\mathbb Z), \qquad u\longmapsto Q_M(u,-)

は同型であり、すべての $u$ について $Q_M(u,u)=0$ である。

証明. まずユニモジュラー性を示す。命題 2.2により、上の準同型は Poincaré 双対

H^1(M;\mathbb Z)\xrightarrow{\operatorname{PD}_M}H_1(M;\mathbb Z)

の後に評価写像 $z\mapsto(v\mapsto\langle v,z\rangle)$ を続けたものである。

§E18.24 定理 4.2により $M$ はある $\Sigma_g$ と同相である。標準胞体分解では一頂点、 $2g$ 本の一胞体、一枚の二胞体をもち、二胞体の接着語は交換子の積である。従って胞体境界 $\partial_2$ は可換化すると零であり、 $\partial_1$ も零である。このため

H_1(M;\mathbb Z)=\mathbb Z^{2g}, \qquad H^1(M;\mathbb Z)=\operatorname{Hom}(\mathbb Z^{2g},\mathbb Z),

となり、評価写像は標準双対基底を通じた同型である。Poincaré 双対も同型なので、両者の合成は同型である。従って $Q_M$ はユニモジュラーである。

次に交代性を示す。カップ積の次数付き交換律により、 $u\in H^1(M;\mathbb Z)$ について

u\smile u=-u\smile u,

従って $2(u\smile u)=0$ である。Poincaré 双対から

H^2(M;\mathbb Z)\cong H_0(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z

であり、この群には捩れがない。よって $u\smile u=0$ 、すなわち $Q_M(u,u)=0$ である。双線形性から

0=Q_M(u+v,u+v)=Q_M(u,v)+Q_M(v,u)

も従う。▨

4 交代形式の標準形

補題 4.1. $L$ を有限階数自由アーベル群とし、 $Q:L\times L\to\mathbb Z$ をユニモジュラーな交代形式とする。このとき $L$ の階数は偶数であり、ある基底

x_1,y_1,\ldots,x_g,y_g

に関する $Q$ の行列は

J_g=\bigoplus_{i=1}^g \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}

である。

証明. $L=0$ なら明らかである。 $L\ne0$ とし、原始元 $x_1$ を一つ取る。ユニモジュラー性により $Q(x_1,-)$ は $L$ の原始な整数値準同型であるから、 $Q(x_1,y_1)=1$ を満たす $y_1\in L$ が存在する。

任意の $z\in L$ に対し

z'=z-Q(z,y_1)x_1+Q(z,x_1)y_1

とおくと、 $Q(z',x_1)=Q(z',y_1)=0$ である。従って

L=\mathbb Zx_1\oplus\mathbb Zy_1\oplus \langle x_1,y_1\rangle^\perp

である。直交補空間への制限もユニモジュラーな交代形式である。同じ操作を有限回繰り返せば、表示した基底を得る。各段階で二つずつ基底元を取り出すので、階数は偶数である。▨

定理 4.2. 種数 $g$ の向きづけられた閉曲面 $\Sigma_g$ では

H^1(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{2g}

であり、交叉形式の行列を $J_g$ にする基底が存在する。標準多角形の生成元に双対な基底 $\alpha_i,\beta_i$ は

Q_{\Sigma_g}(\alpha_i,\beta_j)=\delta_{ij}, \qquad Q_{\Sigma_g}(\beta_i,\alpha_j)=-\delta_{ij}

を満たし、同種の二基底元の組では値が零になる。

証明.§E18.24 定理 5.1により $H_1(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{2g}$ であり、直前の定理と補題 4.1から、交叉形式は $g$ 個の標準ブロックへ変形される。

標準多角形を三角形分割し、各ハンドルに向きづけられた PL 一輪体 $A_i$ を一骨格上に、 $B_i$ を双対一骨格上に取る。 $A_i$ と $B_i$ は一つの辺の重心だけを共有し、その局所円板における端点順が正になるように向きを選ぶ。異なるハンドルに属する一輪体の台は交わらない。これらに対応する単体的余輪体を $\alpha_i,\beta_i$ とすると、§E18.29 命題 2.1の明示的な Alexander–Whitney 計算は

\alpha_i\smile\beta_j=\delta_{ij}\omega, \qquad \beta_i\smile\alpha_j=-\delta_{ij}\omega

を与える。ここで $\langle\omega,[\Sigma_g]\rangle=1$ である。同じ種類の PL 一輪体は台を共有しないため、その積は零である。基本類へ評価すれば表示した行列を得る。▨

5 PL 一輪体の交点と形式の値

以下では対象を、固定した重心細分上の組合せ論的な位置にある PL 一輪体へ限定する。 $K$ の向きづけられた一辺の整数係数和

C=\sum_e m_e e\in Z_1(K;\mathbb Z)

と、双対一骨格の向きづけられた双対辺の整数係数和

D=\sum_e n_eD(e)\in Z_1(K^*;\mathbb Z)

を取る。両者の台は、係数がともに非零である辺 $e$ の重心 $b(e)$ だけで交わる。

定義 5.1. $x=b(e)$ の周りに、他の辺または双対辺の頂点を含まない小さい向きづけられた閉円板 $B_x$ を取る。 $e\cap B_x$ と $D(e)\cap B_x$ は、 $x$ だけを共有する二本の多角形線分である。 $e$ の向きに従って円板へ入る端点と円板から出る端点を $C_-,C_+$ 、 $D(e)$ について同様に $D_-,D_+$ と書く。 $\partial B_x$ の正向きの巡回順序が

C_-,D_-,C_+,D_+

なら局所交点符号 (local intersection sign) を $\iota_x(e,D(e))=1$ とし、

C_-,D_+,C_+,D_-

なら $\iota_x(e,D(e))=-1$ とする。代数的交点数 (algebraic intersection number) を

I_K(C,D) =\sum_e m_en_e\,\iota_{b(e)}(e,D(e))

によって定める。

双対辺の向きは、 $e$ の向きに続けて $D(e)$ の向きを並べると局所円板の向きになるように定めた。従って、上の端点順の定義では、すべての向きづけられた基底辺について

\iota_{b(e)}(e,D(e))=1

である。向きの一方を反転すると、対応する二つの端点が交換されるため、局所交点符号も反転する。この定義は局所円板上の端点順だけを用い、微分構造を必要としない。

命題 5.2. $u_C,u_D\in H^1(M;\mathbb Z)$ とする。 $\operatorname{PD}_M(u_C)$ を $K$ の一骨格上の PL 一輪体 $C$ で表し、 $u_D$ の単体的余輪体代表 $\widetilde u_D=\sum_en_e e^*$ に対して

D=\mathcal D_1\widetilde u_D=\sum_en_eD(e)

とする。このとき

Q_M(u_C,u_D)=I_K(C,D)

である。右辺は $C,D$ のホモロジー類だけに依存する。

証明. $C=\sum_em_ee$ と書く。局所交点符号の計算から

I_K(C,\mathcal D_1\widetilde u_D) =\sum_em_en_e =\widetilde u_D(C) =\langle u_D,[C]\rangle.

命題 2.2と $[C]=\operatorname{PD}_M(u_C)$ により、右辺は

\langle u_C\smile u_D,[M]\rangle =Q_M(u_C,u_D)

に等しい。

$C$ を境界だけ変えると、余輪体 $u_D$ による評価は変わらない。また、補題 1.3により、双対一輪体 $D$ を双対境界だけ変えることは $u_D$ を余境界だけ変えることに対応し、一輪体 $C$ への評価は変わらない。従って $I_K(C,D)$ は二つのホモロジー類だけに依存する。▨

例 5.3 (円環面の経線と緯線). 向きづけられた円環面の重心細分上で、経線を表す一輪体 $A$ を一骨格に、緯線を表す一輪体 $B$ を双対一骨格に取り、共有点の端点順が正になるように向きを選ぶ。このとき $I_K(A,B)=1$ である。同じ局所円板で $B$ を第一の弧、 $A$ を第二の弧として端点順を読むと符号は $-1$ になる。対応する一次コホモロジー基底に関する交叉形式の行列は

\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}

となる。

例 5.4 (球面と種数二の曲面). $S^2$ では $H^1(S^2;\mathbb Z)=0$ なので、交叉形式は階数零の形式である。 $\Sigma_2$ では二つのハンドルに標準 PL 一輪体の対を一組ずつ取り、交叉形式の行列は $J_2$ になる。異なるハンドルにある一輪体の代数的交点数は零である。

6 演習

問題 6.1.

双対胞体の次元が元の単体の次元と合わせて $2$ になる理由を、頂点・辺・二単体について説明せよ。
次数付き交換律だけでは直ちに $u\smile u=0$ と結論できず、 $H^2(M;\mathbb Z)$ に捩れがないことが必要になる理由を述べよ。
種数 $g$ の標準 PL 一輪体 $A_i,B_i$ について、代数的交点数の表を書け。

解答 (解答).

二単体の双対は重心一点、辺の双対はその辺を横切る閉区間、頂点の双対は頂点を囲む閉円板である。それぞれの次元は $0,1,2$ であり、元の単体の次元との和は $2$ になる。
次数付き交換律から得られるのは $2(u\smile u)=0$ だけである。Poincaré 双対により $H^2(M;\mathbb Z)\cong H_0(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ となり二捩れがないため、初めて $u\smile u=0$ と結論することができる。
同じ種類の一輪体どうしは台を共有しないため、局所交点和は零である。 $I_K(A_i,B_j)=\delta_{ij}$ であり、順序を逆にした局所端点規約では値が $-\delta_{ij}$ になる。従って行列は $J_g$ になる。

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§E18.30二次元の Poincaré 双対と交叉形式