Mayer–Vietoris 完全列 | 位相幾何入門

1 完全列の構成

定理 1.1 (Mayer–Vietoris 完全列). $X=U\cup V$ を二つの開集合による被覆とする。包含写像を $i:U\cap V\to U$ 、 $j:U\cap V\to V$ 、 $k:U\to X$ 、 $\ell:V\to X$ と書く。このとき自然な長完全列

\cdots\to H_n(U\cap V) \xrightarrow{(i_*,-j_*)}H_n(U)\oplus H_n(V) \xrightarrow{k_*+\ell_*}H_n(X) \xrightarrow{\delta}H_{n-1}(U\cap V)\to\cdots

がある。

証明. 被覆 $\{U,V\}$ に従属する小鎖複体を $C_*^{\mathcal U}(X)=C_*(U)+C_*(V)$ とする。写像

\alpha(c)=(c,-c),\qquad \beta(a,b)=a+b

を用いると

0\to C_*(U\cap V)\xrightarrow{\alpha} C_*(U)\oplus C_*(V)\xrightarrow{\beta} C_*^{\mathcal U}(X)\to0

は短完全列である。実際、 $a+b=0$ なら $a=-b$ は $U$ と $V$ の双方に属する鎖なので $(a,b)=(c,-c)$ と書くことができる。小単体定理により $C_*^{\mathcal U}(X)\hookrightarrow C_*(X)$ はホモロジー同型である。短完全列の長完全列へこの同型を代入すれば表示した列を得る。

連結準同型も確認する。 $X$ の輪体 $z$ を小鎖へ細分し、 $z=a+b$ （ $a\in C_n(U)$ 、 $b\in C_n(V)$ ）と書く。 $\partial a=-\partial b$ は $U\cap V$ の鎖であり、

\delta[z]=[\partial a]

である。分解を変えた差は共通部分の鎖となるため、相対完全列と同じ代表元の議論によりこの類は一意である。▨

2 球面と楔和

定理 2.1. $n\geq1$ について

\widetilde H_k(S^n)\cong \begin{cases} \mathbb Z&k=n,\\ 0&k\neq n \end{cases}

である。

証明. $S^n$ を北極と南極を少し越える二つの開半球 $U,V$ で覆う。 $U,V$ は可縮であり、 $U\cap V\simeq S^{n-1}$ である。被約 Mayer–Vietoris 列では

\widetilde H_k(S^n)\cong\widetilde H_{k-1}(S^{n-1})

を得る。 $S^0$ は二点からなり $\widetilde H_0(S^0)\cong\mathbb Z$ なので、帰納法により結論が成り立つ。▨

命題 2.2. 基点付き空間 $(X,x_0)$ と $(Y,y_0)$ を取る。 $x_0$ の開近傍 $N_X\subset X$ と $y_0$ の開近傍 $N_Y\subset Y$ があり、それぞれが基点を固定したまま基点へ強変形収縮すると仮定する。このとき

\widetilde H_n(X\vee Y)\cong \widetilde H_n(X)\oplus\widetilde H_n(Y)

である。

証明. 商写像を $q:X\sqcup Y\to X\vee Y$ とし、

U:=q(X\sqcup N_Y),\qquad V:=q(N_X\sqcup Y)

と置く。これらは開集合であり、 $X\vee Y=U\cup V$ である。 $N_Y$ の強変形収縮を $X$ 上の恒等写像と貼り合わせると、 $U$ は埋め込まれた $X$ へ強変形収縮する。同様に $V$ は $Y$ へ強変形収縮する。また

U\cap V=q(N_X\sqcup N_Y)=N_X\vee N_Y

は、二つの強変形収縮が基点を固定するため楔点へ収縮する。被約 Mayer–Vietoris 列で共通部分の群が零になるため、中央の写像が同型となる。▨

したがって $r$ 個の円周の楔和 $G_r$ は

H_0(G_r)\cong\mathbb Z,\qquad H_1(G_r)\cong\mathbb Z^r,\qquad H_n(G_r)=0\ (n\geq2)

を満たす。

3 閉曲面

向きづけ可能な種数 $g$ の標準閉曲面を $\Sigma_g$ 、 $k$ 枚の実射影平面の連結和を $N_k$ と書く。いずれも一枚の標準多角形の内部に円板 $V$ を取り、その補集合を少し厚くした開集合を $U$ とすると、 $V$ は可縮、 $U\cap V\simeq S^1$ である。 $\Sigma_g$ では $U\simeq G_{2g}$ 、 $N_k$ では $U\simeq G_k$ となる。

$\Sigma_g$ の境界語は

[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]

である。一次鎖で各文字の正向きと逆向きが相殺するため、包含 $H_1(S^1)\to H_1(G_{2g})$ は零写像である。 $N_k$ の境界語は $a_1^2\cdots a_k^2$ なので、対応する写像は

\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Z^k,\qquad 1\longmapsto2(e_1+\cdots+e_k)

である。

定理 3.1.

H_n(\Sigma_g)\cong \begin{cases} \mathbb Z&n=0,2,\\ \mathbb Z^{2g}&n=1,\\ 0&\text{それ以外}, \end{cases}

また

H_n(N_k)\cong \begin{cases} \mathbb Z&n=0,\\ \mathbb Z^{k-1}\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z&n=1,\\ 0&\text{それ以外} \end{cases}

である。

証明. Mayer–Vietoris 列の非自明な部分は

0\to H_2(M)\to\mathbb Z\xrightarrow{\varphi}\mathbb Z^r \to H_1(M)\to0

である。 $\Sigma_g$ では $\varphi=0$ なので $H_2\cong\mathbb Z$ 、 $H_1\cong\mathbb Z^{2g}$ となる。 $N_k$ では $\varphi(1)=2(1,\ldots,1)$ であり、この写像は単射である。また $(1,\ldots,1)$ は $\mathbb Z^k$ の原始元なので、基底を取り替えると像は $2e_1$ が生成する部分群になる。したがって $H_2=0$ 、 $H_1\cong\mathbb Z^{k-1}\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z$ である。連結性から $H_0\cong\mathbb Z$ であり、二次元より上の鎖は不要なので高次群は零である。▨

系 3.2. 円環面 $T^2=\Sigma_1$ について

H_0(T^2)\cong\mathbb Z,\qquad H_1(T^2)\cong\mathbb Z^2,\qquad H_2(T^2)\cong\mathbb Z

であり、それ以外の次数では零である。

4 演習

問題 4.1.

$S^1\vee S^2$ の被約ホモロジー群を求めよ。
Klein の壺を $N_2$ とみなし、その一次および二次ホモロジー群を求めよ。

解答。 第一問では楔和公式から $\widetilde H_1\cong\mathbb Z$ 、 $\widetilde H_2\cong\mathbb Z$ となり、それ以外は零である。第二問では閉曲面の公式へ $k=2$ を代入し、 $H_1(N_2)\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z$ 、 $H_2(N_2)=0$ を得る。

§E18.16Mayer–Vietoris 完全列

1 完全列の構成

2 球面と楔和

3 閉曲面

4 演習

参考文献

前提記事