ホモトピーとホモトピー同値 | 位相幾何入門

1 写像のホモトピー

定義 1.1. 位相空間 $X,Y$ と連続写像 $f,g:X\to Y$ に対し、連続写像

H:X\times[0,1]\longrightarrow Y

が $H(x,0)=f(x)$ および $H(x,1)=g(x)$ をすべての $x\in X$ について満たすとき、 $H$ を $f$ から $g$ へのホモトピー (homotopy) といい、 $f\simeq g$ と書く。

命題 1.2. 位相空間 $X,Y$ を固定する。連続写像 $X\to Y$ の間のホモトピー関係は同値関係である。

証明. 反射律は $H(x,t)=f(x)$ によって得られる。 $H$ が $f$ から $g$ へのホモトピーなら、 $H'(x,t)=H(x,1-t)$ は $g$ から $f$ へのホモトピーであるから、対称律が成り立つ。

$H_0$ が $f$ から $g$ へのホモトピーで、 $H_1$ が $g$ から $k$ へのホモトピーであるとする。写像 $H:X\times[0,1]\to Y$ を

H(x,t)= \begin{cases} H_0(x,2t),&0\le t\le \frac12,\\ H_1(x,2t-1),&\frac12\le t\le1 \end{cases}

と定める。二つの式は $t=1/2$ でともに $g(x)$ となるため、閉集合による貼り合わせ補題から $H$ は連続である。したがって $f\simeq k$ であり、推移律も成り立つ。▨

ホモトピーは写像の前後から連続写像を合成しても保たれる。この性質はホモトピー同値を合成するときに用いる。

補題 1.3. $f_0,f_1:X\to Y$ がホモトピックであり、 $a:W\to X$ と $b:Y\to Z$ が連続なら、

b\circ f_0\circ a\simeq b\circ f_1\circ a

である。

証明. $H:X\times[0,1]\to Y$ を $f_0$ から $f_1$ へのホモトピーとする。 $K(w,t)=b(H(a(w),t))$ とおけば、 $K$ は連続であり、両端でそれぞれ $b\circ f_0\circ a$ と $b\circ f_1\circ a$ に一致する。▨

2 ホモトピー同値と可縮性

定義 2.1. 連続写像 $f:X\to Y$ がホモトピー同値写像 (homotopy equivalence) であるとは、連続写像 $g:Y\to X$ が存在して

g\circ f\simeq\operatorname{id}_X, \qquad f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y

となることをいう。このとき $g$ を $f$ のホモトピー逆写像 (homotopy inverse) といい、 $X$ と $Y$ はホモトピー同値 (homotopy equivalent) であるという。

空でない位相空間 $X$ が可縮 (contractible) であるとは、ある点 $x_0\in X$ について、恒等写像 $\operatorname{id}_X$ が定値写像 $c_{x_0}:X\to X$ とホモトピックであることをいう。

命題 2.2. 空でない位相空間 $X$ が可縮であることと、 $X$ が一点空間とホモトピー同値であることは同値である。

証明. $X$ が $x_0\in X$ へ可縮であるとする。一点空間を $\{*\}$ とし、 $p:X\to\{*\}$ を唯一の写像、 $i:\{*\}\to X$ を $i(*)=x_0$ とする。 $p\circ i=\operatorname{id}_{\{*\}}$ であり、 $i\circ p=c_{x_0}\simeq\operatorname{id}_X$ であるから、 $p$ はホモトピー同値写像である。

逆に、 $f:X\to\{*\}$ と $g:\{*\}\to X$ がホモトピー逆写像であるとする。 $g\circ f$ は $g(*)$ への定値写像であり、 $g\circ f\simeq\operatorname{id}_X$ であるから、 $X$ は可縮である。▨

3 レトラクトと変位レトラクト

定義 3.1. 部分空間 $A\subseteq X$ に対し、連続写像 $r:X\to A$ が $r|_A=\operatorname{id}_A$ を満たすとき、 $r$ をレトラクション (retraction) といい、 $A$ を $X$ のレトラクト (retract) という。

定義 3.2. 部分空間 $A\subseteq X$ が $X$ の変位レトラクト (deformation retract) であるとは、レトラクション $r:X\to A$ とホモトピー $H:X\times[0,1]\to X$ が存在し、

H(x,0)=x, \qquad H(x,1)=r(x), \qquad H(a,t)=a

をすべての $x\in X$ 、 $a\in A$ 、 $t\in[0,1]$ について満たすことをいう。

定理 3.3. $A\subseteq X$ が変位レトラクトであるなら、包含写像 $i:A\hookrightarrow X$ はホモトピー同値写像である。

証明. 変位レトラクションを $r:X\to A$ とする。レトラクションの定義から $r\circ i=\operatorname{id}_A$ である。また、変位を与えるホモトピーは $\operatorname{id}_X\simeq i\circ r$ を示す。したがって $r$ は $i$ のホモトピー逆写像である。▨

例 3.4 (円環から円周への変位レトラクション). $A=\{x\in\mathbb R^2:\lVert x\rVert=1\}$ と $X=\{x\in\mathbb R^2:1\le\lVert x\rVert\le2\}$ を考える。

r(x)=\frac{x}{\lVert x\rVert}, \qquad H(x,t)=\left((1-t)+\frac{t}{\lVert x\rVert}\right)x

と定めると、 $H(x,t)$ は常に $X$ に属し、 $H(-,0)=\operatorname{id}_X$ 、 $H(-,1)=i\circ r$ 、 $H(a,t)=a$ を満たす。したがって $A$ は $X$ の変位レトラクトである。

レトラクトであることだけからホモトピー同値性は従わない。実際、 $X=\{0\}\cup[1,2]\subset\mathbb R$ と $A=\{0\}$ に対する定値写像 $r:X\to A$ はレトラクションである。しかし、 $[1,2]$ の点から $0$ へ至る道は $X$ に存在しないため、 $A$ は $X$ の変位レトラクトではない。この例は、変位レトラクトがレトラクトより強い条件であることを示す。

同相で保たれる性質を位相不変量といい、ホモトピー同値で保たれる性質をホモトピー不変量という。ホモトピー不変量は位相不変量でもあるが、逆は成り立たない。たとえば一点空間と $\mathbb R$ はともに可縮であるためホモトピー同値であるが、両者は同相ではない。また、コンパクト性は同相で保たれる一方、一点空間はコンパクトで $\mathbb R$ はコンパクトでないため、コンパクト性はホモトピー不変量ではない。

4 演習

問題 4.1.

$X$ が可縮であることを、 $X$ から一点空間への写像と一点空間から $X$ への写像を用いて言い換えよ。
$A\subseteq X$ がレトラクトであるという条件だけでは、包含 $A\hookrightarrow X$ がホモトピー同値になると結論することができない理由を述べよ。
$\mathbb R$ と一点空間を用いて、位相不変量とホモトピー不変量の違いを説明せよ。

解答.

$X$ が一点空間とホモトピー同値であることと同値である。ホモトピー逆写像の合成の一方は一点空間の恒等写像であり、他方は $X$ の恒等写像とホモトピックな定値写像になる。
レトラクションは $r\circ i=\operatorname{id}_A$ だけを与え、 $i\circ r\simeq\operatorname{id}_X$ を与えない。後者を与える追加条件が変位レトラクションである。
コンパクト性は同相で保たれる。しかし一点空間はコンパクトで $\mathbb R$ はコンパクトでないにもかかわらず、両者は可縮であるためホモトピー同値である。したがってコンパクト性は位相不変量であるが、ホモトピー不変量ではない。

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§E18.1ホモトピーとホモトピー同値

1 写像のホモトピー

2 ホモトピー同値と可縮性

3 レトラクトと変位レトラクト

4 演習

参考文献

前提記事